CalculoDiferencialeIntegral Livro U2 20150901110846 (1)

Funções

UNIDADE 1

Cálculo Diferencial e Integral

UNIDADE 1

Cálculo Diferencial e Integral

UNIDADE 2

LIVRO

Gabriela Faria Barcelos Gibim

Limites e Derivadas

© 2015 por Editora e Distribuidora Educacional S.A

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e

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e-mail: [email protected] Homepage: http://www.kroton.com.br/

Sumário

Unidade 2 | Limites e Derivadas

Seção 2.1 - É hora de limites!

Seção 2.2 - Limites finitos e no infinito

Seção 2.3 - Derivada - Introdução

Seção 2.4 - Regras de Derivação - Parte 1

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35

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Unidade 2

LIMITES E DERIVADAS

O desenvolvimento do Cálculo no século XVII, por Newton e Leibniz, propiciou aos cientistas da época as primeiras noções sobre “taxa de variação instantânea”, tal como ocorre com a velocidade ou a aceleração. Esse conceito influenciou os métodos computacionais e os conhecimentos sobre Cálculo que se desenvolveram a partir do conceito de limites.

O estudo de limites e de derivada são muito importantes para a compreensão do Cálculo! Vamos então estudar, nesta seção, o conceito e aplicação de limites, assim como o conceito de derivada e algumas regras de derivação. Para tanto, vamos ter em mente os conhecimentos sobre funções estudados na Unidade 1, você irá perceber que tudo está interligado. Aproveite!

A partir deste estudo, você irá:

Para auxiliar no desenvolvimento da competência acima e atender aos objetivos específicos do tema em questão, Limites e Introdução à Derivada, vamos relembrar a situação hipotética apresentada na Unidade 1. Essa situação visa aproximar os conteúdos teóricos com a prática.

Convite ao estudo

Competência a ser desenvolvida Objetivos

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.

Conhecer e aplicar o conceito de limite na descrição de fenômenos e situações. Conhecer o conceito de derivada e as

regras de derivação para as funções poli-nomiais, exponenciais, logarítmicas. As regras do produto e do quociente assim como as derivadas de ordem superior.

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Vamos relembrar!

João acabou de concluir o Ensino Médio e irá participar de um processo seletivo de uma empresa multinacional para trabalhar como estagiário. Para tanto, precisa realizar um teste para mostrar que é capaz de compreender e resolver problemas ligados ao nosso cotidiano. A empresa entende que o profissional, dependendo de sua qualificação, pode atuar em diversas áreas. Em todas elas, a facilidade em lidar com a Matemática é fundamental, principalmente no que diz respeito ao estudo de limites e derivadas. Por tanto, João terá que resolver situações-problema que tratam de entender a interdependência de várias coisas ao nosso redor, das mais simples às mais complexas, como valor de despesas de uma família, número de indivíduos de uma população, cálculo de velocidade e aceleração etc.

Limites e Derivadas Limites e Derivadas

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Seção 2.1

É hora de limites!

Diálogo aberto

A partir de agora iremos iniciar nossos estudos sobre limites! Veremos, nesta seção, conhecimentos sobre o conceito e propriedades dos limites, conteúdo de Cálculo Diferencial e Integral. Vamos lá!

Você pode encontrar mais sobre o estudo de limite detalhadamente em livros de matemática. Pesquise também no site: <http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php>. Acesso em: 20 jun. 2015.

Dica

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor. Pesquise sobre o “Paradoxo de Zenão” no link: <http://www.brasilescola.com/filosofia/zenao.htm. Acesso em: 20 jun. 2015>.

Lembre-se

Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Uma das situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte:

Uma das despesas que compõem o orçamento familiar é o serviço de TV a cabo. Em uma cidade, observa-se que a despesa de uma família com a TV a cabo depende do tempo t, mensal, que os habitantes assistem à TV, e esta quantidade,

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em centenas de reais, é modelada por:

Analise a continuidade da despesa P=P(t). A despesa de uma família é sensivelmente diferente se o tempo que assiste à TV é ligeiramente inferior ou superior a 20 horas? E para 100 horas?

E agora, como João poderá resolver este problema?

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?

Você deve conhecer o conceito de limite e suas propriedades.

Reflita

Não pode faltar

Limites

O conceito moderno de Limites foi desenvolvido na Europa a partir do século XVIII a XIX. Muito utilizado para resolução de problemas envolvendo Cálculo Diferencial, com aplicação em várias áreas de conhecimento, como Física, Engenharia, Astronomia e Biologia, entre outras.

Por muitos anos, o conceito de Limites foi relacionado à ideia de infinito envolvendo a representação numérica com grandes valores, ou o contrário, com valores muito pequenos. Vamos iniciar nossos estudos com uma noção intuitiva de limites!

Noção intuitiva de limites

Vamos considerar a divisão de uma área de um quadrado igual a 4 cm², para apresentar a noção intuitiva sobre Limites.


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Fonte: O autor (2015)

Figura 2.1 | Representação da noção intuitiva de limite

Se dividirmos a figura com 4 cm² e colorirmos a metade, obteremos a fração , depois se colorirmos a metade da metade que sobrou, obteremos certo?

Se novamente pintarmos a metade da metade que sobrou, se continuarmos nesta sequência, a área colorida vai tendendo ao valor total de 4 cm². Ou seja, a resultante vai tendendo a 4, assim concluímos que o Limite desse desenvolvimento é representado quanto ao número de momentos que tendem ao infinito.

Vamos aplicar agora a noção intuitiva envolvendo uma função linear.

Seja a função f(x) = 2x + 1, vamos atribuir valores para x que se aproximem de 1 por valores menores que 1 (esquerda) e por valores maiores que 1 (direita).

Fonte: <http://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites.php>. Acesso em: 20 jun. 2015

Figura 2.2 | Noção intuitiva de limite

x y = 2x + 1

1,5 41,3 3,61,1 3,2

1,05 3,11,02 3,041,01 3,02

x y = 2x + 1

0,5 20,7 2,40,9 2,8

0,95 2,90,98 2,960,99 2,98

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Assimile

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x→1), y tende para 3 (y →3), ou seja:

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. Esse é o estudo do comportamento de f enquanto x ->1, x não precisa assumir o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)→3), dizemos que o limite de f quando x→1 é 3. Podem ocorrer alguns casos em que para x = 1 o valor de f(1) não seja 3.

Definição formal de Limites

Definimos como limite de uma função f quando x tende a c e é representado pela notação f(x), como sendo o número L, tal que f(x) pode se tornar tão próxima a L quanto quisermos sempre que existir suficientemente próximo de c,

com x≠ c. Se existir, escrevemos:

f(x) = L

Vamos investigar o comportamento da função definida por f(x)= x² - x + 2 para

valores próximos de 2:

Reflita

Fonte: Stewart (2013, p. 80).

Figura 2.3 | Tabela da função Y = f(x)= x² - x + 2

x f(x)= x² - x + 2 x f(x)= x² - x + 2

1,0 2,00000 3,0 8,000000

1,5 2,75000 2,5 5,7500001,8 3,440000 2,2 4,6400001,9 3,710000 2,1 4,310000

1,95 3,852500 2,05 4,1525001,99 3,970100 2,01 4,030100

1,995 3,985025 2,005 4,0150251,999 3,997001 2,001 4,003001


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Observando a tabela e o gráfico, percebemos que quando x estiver próximo a 2 pela esquerda ou pela direita, os valores tendem a 4. É evidente que podemos tornar os valores de f tão próximos de 4 quanto queremos possibilitando que x fique próximo a 2, ou seja, o limite da função f(x) = x² - x + 2 quando x tende a 2 é igual a 4.

Notação: = 4

Figura 2.4 | Gráfico da função Y = f(x)= x² - x + 2

Limites Laterais

Dizemos que o limite esquerdo de f quando x tende a a ou limite de f, quando x tende a a pela esquerda é igual a L se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, tomando-se x suficiente próximo de a e x menor que a. Notação:

Dizemos que o limite esquerdo de f (quando x tende a a ou limite de f(x), quando x tende a a pela direita é igual a L se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, tomando-se x suficiente próximo de a e x maior que a.

Notação:

O símbolo x→ a_ indica que estamos considerando somente valores x menores que a e da mesma forma, x→ a+ indica que estamos considerando valores maiores que a. Pela definição, teremos:

Fonte: Stewart (2013, p. 80)

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Exemplificando

Como determinar o limite de = L?

Vamos primeiro determinar o limite quando x tende a zero pela direita!

Para o módulo de um número positivo, teremos:

= = = = -1

Determinando o limite quando x tende a zero pela esquerda:

Para o módulo de um número negativo, teremos -x, será o oposto do número.

Notação

= =

Assim, se o limite pela direita é igual a -1 e pela esquerda é -3, talvez o limite L não se defina, observe a representação gráfica:

Figura 2.5 | Representação gráfica da função


Percebe-se que no eixo vertical das ordenadas há uma lacuna entre os números -1 e -3 representando uma descontinuidade, na verdade o limite não se define.


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Continuidade de uma função:

Uma função f é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:

Concluímos que:

Uma função f, definida em um intervalo I com a Є I, é dita contínua em x=a, se:

= f(a)

Exemplos:

Figura 2.6 | Função contínua e descontínua

Fonte: <http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/continuidade/continuidade.htm>. Acesso em: 20 jun. 2015

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Figura 2.7 | Função contínua e descontínua

Fonte: <http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/continuidade/continuidade.htm>. Acesso em: 20 jun. 2015

Propriedades dos Limites

Muitas das propriedades de limites são utilizadas com o objetivo de simplificar as resoluções de algumas funções:

Quadro 2.1 | Propriedades dos limites

Fonte: <http://www.petcivil.ufc.br/portal/wp-content/uploads/2012/02/Apostila-Pr%C3%A9-Engenharia-completo.pdf>. Acesso em: 20 jun. 2015


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Quadro 2.2 | Das cinco leis apresentadas acima, são derivadas as leis seguintes:

Fonte: <http://www.petcivil.ufc.br/portal/wp-content/uploads/2012/02/Apostila-Pr%C3%A9-Engenharia-completo.pdf>. Acesso em: 20 jun. 2015

Atenção!

Observações sobre as propriedades:

1. As propriedades que valem para duas funções, valem também para um número finito de funções.

2. As propriedades a, b, c e d estabelecem que se existem os limites das parcelas, então existirá o limite da operação, mas a recíproca deste fato não é verdadeira, pois o limite de uma operação pode existir sem que existam os limites das parcelas.

Para saber mais sobre as propriedades de limites você pode acessar o link: <http://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites2.php>. Acesso em: 20 jun. 2015. Nesta página você encontrará exemplos sobre cada uma das propriedades. Vale a pena conferir!

Pesquise mais

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Qual o e ?

Faça você mesmo

Sem Medo de Errar

Após o estudo de limite, vamos resolver a situação-problema apresentada a João?

Vamos relembrar!

Uma das despesas D(t) que compõem o orçamento é o serviço de TV a cabo, estudiosos observaram que ela pode ser calculada de acordo com o tempo t mensal, dado em horas. Dessa forma, representaram algebricamente como é possível

obter o valor da despesa com TV a cabo:

Tendo em vista os dados apresentados, você deve analisar a continuidade das despesas para D = D(t) e verificar se a despesa de uma família é diferente caso o tempo seja inferior ou superior a 20 horas. E também o valor das despesas para 100 horas.

Desse modo, temos a resolução:

Primeiramente, vamos determinar D no intervalo de 0 ≤ t < 20

Percebemos que a função é descontínua em t0=20. Note que a mudança de gasto de uma família varia sensivelmente se o tempo que assiste à TV é ligeiramente inferior ou superior a 20 horas. Por outro lado, calculamos:

O segundo passo será determinar as despesas para t = 100

= 10

A função é contínua em t0 = 100. Note que não existem mudanças de gasto quando


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o tempo em que assiste à TV muda, ligeiramente inferior ou superior a 100 horas.

Figura 2.8 | A função é contínua


Avançando na prática

Pratique mais!

InstruçãoDesafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare-as com as de seus colegas e com o gabarito disponibilizado no apêndice do livro.

Trajetória da Bola

1. Competência de fundamentos de área

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à forma-ção do profissional da área de exatas.

2. Objetivos de aprendizagem

Aplicar o estudo de limites na descrição de fenômenos e situações.

3. Conteúdos relacionados

Limite e suas propriedades.

4. Descrição da SP

Na matemática, o limite tem o objetivo de determinar o

comportamento de uma função à medida que se aproxima

de certos valores. Ao determinar a imagem da função y = 4x

+ 1, à medida que x tende a 2, o limite será igual a:

a) L=0

b) L=7

c) L=8

d) L=9

e) L=10

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5. Resolução da SP

A alternativa correta é a letra “D”, L = 9, pois

y = 4x + 1

= 4.2 + 1 = 9


A seguir, você tem a oportunidade de testar seus conhecimentos sobre os principais itens desta seção. Retome o conteúdo anterior e reveja o conceito estudado, especialmente aquele em que você teve maior dificuldade. Faça os exercícios a seguir e não desanime diante dos possíveis erros e dificuldades, pois assim ficará mais evidente quais os conteúdos e competências que você precisa rever.

Dica

Faça valer a pena

1. Muitas das propriedades de limites são utilizadas com o objetivo de simplificar as resoluções de algumas funções. Para determinar o limite da função: f(x) = x² - 5x + 3, um aluno do curso superior aplicou as propriedades da soma, subtração e da multiplicação e encontrou o seguinte resultado para o valor do limite quando x tende a 4:

a) L = 16.

b) L = -20.

c) L = 3.

d) L = -3.

e) L = -1.

2. Encontre o limite para a função a seguir quando x tende a 2.

3. Podemos afirmar que a função f (x) = :

a) É contínua em x=3.


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b) É descontínua em x=3

c) A função f(x) não está definida para x=4.

d) A função f(x) é contínua para qualquer valor real.

e) Todas as alternativas são verdadeiras.

4. Qual deve ser o valor de m Є R de modo que a função f(x) seja contínua em x=4?

f(x) = x2-5x + 6, se x ≠ 4.

3m, se x=4

a) 2/3.

b) 3/2.

c) 3.

d) 2.

e) 1.

5. Marque a alternativa correta:

a) 7= 4

b) 6x2= 6

c) = 12

d) = 5

e) (5x3+ x) = 32

6. Dado o gráfico da função f(x) e as afirmações:

{

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Fonte: <http://uapi.ufpi.br/conteudo/disciplinas/matematica/uni03_funcao_3.html>. Acesso em: 20 jun. 2015.

a) = 2

b) = 4

c) Não existe

d) = 2

e) = 4

Quais são verdadeiras?

7. (UFU-MG) Sabendo-se que = , x ≠ m, então podemos afirmar que:

a) m é maior do que 4

b) m é menor do que -4

c) m Є [1,4]

d) m Є [-4,1]

e) não existe m, tal que =


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Seção 2.2

Limites finitos e no infinito

A partir de agora iremos ampliar nossos estudos sobre limites! Veremos, nesta seção, conhecimentos sobre alguns limites, como limites no infinito, limites infinitos, limites exponenciais, trigonométricos e limites de função composta.

Vamos lá! Bons estudos!

Você pode encontrar mais sobre o estudo de limite detalhadamente em livros de matemática. Pesquise também no site: <https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/limit_topic_precalc/limits_precalc/v/limit-examples-w-brain-malfunction-on-first-prob-part-4.> Acesso em: 20 jun. 2015.

Dica

Limites são a principal base de construção para os cálculos. Muitas vezes, uma função pode ser indefinida em certo ponto, mas podemos pensar sobre o que a função "se aproxima" conforme chega cada vez mais perto deste ponto (este é o limite). Veja mais no site: <https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/limit_topic_precalc>. Acesso em: 20 jun. 2015.

Lembre-se


Diálogo aberto

Limites e Derivadas

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A empresa multinacional onde João pretende fazer o estágio fabrica um certo produto para o mercado brasileiro. E determina-se que um empregado, após x dias de treinamento, monte m produtos por dia, onde:

m(x) =

Qual é o comportamento de m= m(x) para treinamentos longos?


Conhecer e saber resolver limites para x tendendo ao infinito e limites infinitos.

Reflita

Limites infinitos e limites para x tendendo ao infinito

Agora você irá ampliar o conceito de limite, com o elemento infinito, que é representado pelo símbolo ∞. Quando resolvemos um limite e não encontramos como resposta valores numéricos, mas sim infinito (+ ∞ ou - ∞), dizemos então que o limite é infinito.

O infinito é algo que não tem fim? Ou algo que nunca será atingido?

Sempre buscou-se a compreensão sobre o infinito. Na antiguidade, pensadores anteriores a Pitágoras (século V a.C.) já eram instigados por esse tema. Mas foi só no final do século XIX, na Alemanha, com Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918), que a ideia de infinito foi realmente consolidada na matemática. Sua teoria era revolucionária e, por isso mesmo, acabou motivando embates entre os matemáticos da época. Veja mais em: <http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT638940-2680,00.html>. Acesso em: 20 jun. 2015.

Reflita

Não pode faltar


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Assimile

Definição:

Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em a. Se podemos, através de uma escolha adequada de x, nas proximidades de a, fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes (tão grandes quanto quisermos), então escrevemos: ∞. E lê-se “o limite de f(x), quando x tende a a, é infinito”.

Seja f uma função definida e algum intervalo (a, ∞). Então . E lê-se “o limite de f(x), quando x tende ao infinito, é

L”. Significa que os valores f(x) podem ficar arbitrariamente próximos de L, tornando os valores de x grandes.

Vamos ver algumas situações?

1. Determine o limite de , com x ≠ 0Para determinar o limite quando x tende a zero pela direita e pela esquerda,

vamos organizar os dados em uma tabela:


Tabela 2.1 | Tabela da função Y =

x Y =

0 Não se define

0,1 Y = 10

0,01 Y = 100

0,001 Y= 1000

0,0001 Y = 10.000

x Y =

0 Não se define-0,1 Y = -10

-0,01 Y = -100-0,001 Y= -1000

-0,0001 Y = -10.000

Limites e Derivadas

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Gráfico 2.1 | Representação gráfica da função y =


Podemos observar que:

Quando x se aproxima de zero, pela direita, y cresce indefinidamente, superando qualquer valor arbitrário que fixemos, isto é, y tende a mais

infinito. = ∞.

Quando x se aproxima de zero, pela esquerda, y decresce indefinidamente, isto é, y tende a menos infinito. = – ∞.

Não existe porque os limites laterais são diferentes.

Quando x cresce indefinidamente, o gráfico quase toca o eixo x, isto é, y tende a zero. = 0.

Quando x decresce indefinidamente, o gráfico quase encosta no eixo x, isto

é, y tende a zero. = 0.

2. Determine o limite de , quando x tende a zero

Vamos analisar o comportamento de x e y por meio de uma tabela:


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Quadro 2.3 | Tabela e gráfico da função Y = 2

X Y = 2

0,1 100

-0,1 100

0,01 10.000

-0,01 10.000


Ao analisamos o comportamento do x e do y através dos resultados apresentados na tabela e no gráfico, percebemos que:

Quando x cresce ou decresce indefinidamente, a função se aproxima de zero, ou seja, y tende a zero.

= 0 = 0

Quando x se aproxima de zero, y cresce indefinidamente, isto é, y tende a

mais infinito. = +∞3. Limite da função polinomial para x tendendo a mais ou menos infinito.

Considere a função polinomial f(x), de grau n, com an ≠ 0.

, colocando xn em evidência, cada um dos termos tende a zero, logo temos:

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Exemplificando

= ?

Para calcular limites no infinito, primeiro dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de x que ocorre no denominador. No nosso caso, a maior potência de x é x², então temos:

Cálculo de uma indeterminação do tipo

Quando o numerador e o denominador de uma fração tendem a zero, no cálculo de limites para determinado valor de x, devemos tentar simplificar a função antes de efetuarmos a substituição. Para simplificar a expressão você deve fatorar, racionalizar ou utilizar dispositivo prático de Briot-Ruffini para dividir polinômios. Dado o limite:

Observe que f(x)= não é definida para x=3, e o numerador e o

denominador da fração tendem a zero quando x se aproxima de 3.

Fatorando e simplificando, temos:


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= = x+3= 3+3=6.

Expressões indeterminadas

Vimos que é uma expressão de indeterminação matemática. Também são:

, ∞ − ∞, 0 × ∞, 1∞ , 00 e ∞0. Veja exemplos destes casos em: <http://chinelodepneu.xpg.uol.com.br/Materias/Calculo_1.pdf>. Acesso em: 20 jun. 2015.

Outros limites:

Limites Trigonométricos

O limite fundamental trigonométrico aborda um limite cuja indeterminação é

do tipo envolvendo a função trigonométrica y = sen(x).

Quadro 2.4 | função trigonométrica y = sen(x).

Proposição:

A função f(x) = é par, isto é, f (− x) = f (x), ∀x ≠ 0, pois

f(-x) = = = = f(x)

Se x→0+ e x→0-, f(x) apresenta o mesmo valor numérico.

Vamos utilizar a tabela de aproximação para verificar este resultado.

Limites e Derivadas

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Tabela

xf(x) =

±0,1 0.9983341664683..±0,01 0.9999833334167..±0,001 0,9999998333333..±0,0001 0,9999999983333..±0,00001 0,9999999999833..±10-10 0,9999999999999.....

.

.

.

x → 0 f (x) → 1

Visualizando o gráfico da função f(x) = , podemos perceber também este resultado.

Fonte: <http://chinelodepneu.xpg.uol.com.br/Materias/Calculo_1.pdf>. Acesso em: 20 jun. 2015

Exemplificando


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Limite Exponencial Fundamental

Devido à sua vasta aplicação, a função exponencial f(x)= ex é muito importante. Seja o limite exponencial:

Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional cujo valor aproximado é 2,7182818. Vamos analisar a tabela e o gráfico para visualizar melhor o resultado.

Tabela 2.2 | Base dos logaritmos

x

100 2,7048..1000 2,7169..100.000 2,7182.....

.

.

.

x → + ∞ f(x) → e

Fonte: <http://chinelodepneu.xpg.uol.com.br/Materias/Calculo_1.pdf>. Acesso em: 20 jun. 2015

Exemplificando

x=?

Consideramos x + 3 = t, com x→∞ e t→∞

Limites e Derivadas

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t-3 assim temos t/ 3

Logo: = e

Temos então que = e

Limites da Função Composta

Sabendo que e g é uma função contínua cujo domínio contém a, então:

= g ( = g(a)

Exemplificando

Qual o limite ?

A função f(x) = 4x é contínua em R, logo, para x = /2, temos: = sen ( ) = sen 4 /2= sen 2 = 0

Para saber mais sobre aplicação de limites, você pode acessar o link: <http://www.ime.uerj.br/~calculo/Ecomat/cap5.pdf>. Acesso em: 20 jun. 2015. Nesta página você encontrará exemplos de aplicação de limite. Vale a pena conferir!

Pesquise mais

Qual o (x2-x)?

Faça você mesmo


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Após o estudo de limites infinitos e no infinito, vamos resolver a situação-problema apresentada a João?

Vamos relembrar!

A empresa multinacional onde João pretende fazer o estágio fabrica um certo produto para o mercado brasileiro. E determina-se que um empregado, após x dias de treinamento, monte m produtos por dia, onde:

m(x) =

Qual é o comportamento de m= m(x) para treinamentos longos?

Observe que m(x)= =

= 20

Logo, após um longo treinamento, um empregado pode montar 20 computadores por dia.

Figura 2.9 | Gráfico de treinamento

Sem Medo de Errar

Limites e Derivadas

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Pratique mais!Instrução

Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare-as com as de seus colegas e com o gabarito disponibilizado no apêndice do livro.

Preço do produto





3. Conteúdos relacionados Limites infinitos e no infinito.


O custo para produzir x unidades de um certo produto é dado por

C(x)= 0,25x + 3600 em reais. Determine o custo médio quando x cresce e interprete o resultado.


Primeiramente, CMe(x)= = 0,25 + ; então

CMe(x) = (0,25 + ) = 0,25.

Isto é, quando o bem em questão é produzido em grande escala, o custo médio tende a estabilizar-se em 0,25 reais.

Figura 2.10 | Gráfico escala de custo médio




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Faça valer a pena

1. Qual o limite da função log10x, em que x>0?

a) 3.

b) 4.

c) 10.

d) 100.

e) 1.

2. O valor do é:

a) 1/3.

b) 3.

c) ½.

d) 2.

e) ∞.

3. Num trecho de 5 km de uma estrada pretende-se plantar árvores afastadas de x metros uma da outra. Deverá ser plantada uma árvore no início e outra no fim da estrada. Escreva a função f que dá o número de árvores em função de x para esse trecho da estada. E determine quantas árvores poderão ser plantadas se x for um número muito grande.

a) 2

b) 3

c) 4

d) 1

e) 5

4. O valor do é:

a) 2.

Limites e Derivadas

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b) 3.

c) 6.

d) ∞.

e) 0.

5. A água de um reservatório com 100.000 litros evapora-se à taxa de 10% ao mês. O que acontecerá com a água ao longo do tempo? Qual o volume de água limite?

6. Qual deve ser o valor de m para que = 5?

a) 1.

b) 2.

c) 10.

d) 5.

e) 3.

7. Marque as alternativas corretas:

a) = +∞.

b) = +∞.

c) = -∞.

d) = +∞.

e) = 0.


U2

35

Seção 2.3

Derivada - Introdução

A partir de agora iremos iniciar nossos estudos sobre Derivada!

O objeto de estudo de um curso de cálculo é o estudo de funções, sendo a derivada um dos instrumentos usados para estudar as propriedades e os detalhes do comportamento da função num ponto ou localmente, pois permite verificar se a função está crescendo ou decrescendo; se há um ponto de mínimo ou de máximo, mesmo que local; se a função muda de concavidade, entre outros.

A derivada pode ser vista como um limite construído a partir da função, uma vez que esse limite está associado à inclinação da reta tangente, mas também pode ser vista como o limite que dá a variação instantânea da função no ponto observado.

Lembre-se

As derivadas são muito usadas em engenharia, ciência, economia, medicina e ciência da computação para calcular a velocidade e a aceleração, para explicar o funcionamento de máquinas, para estimar a diminuição do nível da água quando ela é bombeada para fora de um tanque e para prever as consequências de erros cometidos durante as medições (THOMAS, 2012). Há muito a ser aprendido! Aproveite a leitura!

Dica

Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Uma das situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi o seguinte

Diálogo aberto

Limites e Derivadas

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problema:

Uma pedra desprende-se do topo do galpão da empresa. Qual é a sua velocidade média durante os primeiros dois segundos de queda? Considerando que, experimentalmente, temos que y= 4,9 t2.


Você deve conhecer o conceito de limite, derivada e taxa de variação.

Reflita

Taxa de variação média

O comportamento das funções pode ser variável em todo o seu domínio, de forma que estudar as informações contidas num intervalo específico pode responder questões acerca do problema em questão a ser solucionado. Por exemplo, numa função que descreve a produção do produto A é possível determinar a quantidade produzida em determinado espaço de tempo. Essa questão é respondida facilmente ao considerar um intervalo (x1, x2) e os respectivos valores de produção de A (y1, y2). Dessa forma, basta pegar o total da produção de A (y2) no instante x2 e subtrair do total da produção de A (y1) no instante x1, correto? Sim, esse cálculo corresponde à média da produção no intervalo (x1, x2), mas e o que aconteceu com a produção de A nesse intervalo de tempo? Será que o ritmo de produção foi constante? Houve alguma interrupção na produção? Houve aceleração na produção? Para responder a essas perguntas é importante o estudo de limites de funções, que por sua vez também nos mostram taxas de variação instantâneas.

Assimile

Mas, afinal, o que é especificamente uma taxa de variação? A taxa de variação é a razão que uma quantidade varia em relação à outra. Veja o exemplo simples da velocidade de um carro. Se for considerada a razão da distância percorrida pelo intervalo de tempo gasto, o resultado é a velocidade média para realizar o percurso.

Não pode faltar


U2

37

Veja o exemplo mostrado na Figura 2.11, ao percorrer 300 km em três horas, a velocidade média é de 100 km/h. Esse resultado mostra uma taxa de variação média da função do ponto P ao Q, que corresponde ao coeficiente angular da reta secante que passa nesses pontos.

Fonte: Adaptado de Thomas (2012, p. 155)

Figura 2.11 | Velocidade média

Secante: Uma reta secante intercepta uma curva em dois pontos ou mais.

Vocabulário

Considere então que a taxa de variação média é obtida pela divisão de duas grandezas que, em situações práticas, têm unidades de medidas como o quilômetro para a distância e hora para o tempo, como é o caso do exemplo visto anteriormente.

Agora relembre que, ao estudar a função da reta (funções de 1º grau), certamente você aprendeu que o seu coeficiente angular (m) mostra sua variação. Quando m assume valor negativo, temos a indicação de que a reta decresce seu valor em y conforme aumenta o valor em x; quando m é positivo ocorre o inverso, a reta cresce seu valor em y conforme aumenta o valor de x. Além disso, dá-se o nome de coeficiente angular porque o ângulo da reta com relação ao eixo x mostra a sua inclinação e a “velocidade” de crescimento ou decrescimento da função. Outra definição importante é que o coeficiente angular de uma reta é a tangente do seu ângulo de inclinação. Observe a Figura 2.12:

Limites e Derivadas

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38


Figura 2.12 | Coeficiente angular da reta y = mx+b.

Para lembrar:

se m>0, a taxa de variação é positiva e a função é crescente.

Se m<0, a taxa de variação é negativa e a função é decrescente.

Como já foi explicado, m representa a taxa de variação média! Afinal,

Mas esse conceito não é exclusivo das funções do 1º grau, pois pode ser calculado para qualquer função – veja a Figura 2.13. Se y representa a variável dependente e x a independente, então vale a relação (1) indicada a seguir.

(1)


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Figura 2.13 | Reta secante à função y = f(x), com coeficiente angular m = ∆y/∆x.

Fonte: Adaptado de Finney et al. (2002, p. 85)

Quando y é uma função linear de x, y = mx + b, a inclinação m é uma medida da taxa de variação de y em relação a x (Figura 2.14a). Para uma curva qualquer y =f(x), por exemplo a Figura 2.14b, a variação em y que resulta de um aumento de 1 unidade em x tende a ter magnitude maior nas regiões em que a curva cresce ou decresce mais rapidamente do que em regiões em que a curva cresce ou decresce mais lentamente.

Reflita

(a) Uma unidade de aumento em x produz sempre m unidades de variação em y. (b) Uma unidade de aumento em x produz diferentes magnitudes de valor de m para a variação em y.

Figura 2.14 | Magnitudes de valor

Fonte: Adaptado de Anton, Bivens e Davis (2007, p. 172-173).

Limites e Derivadas

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Taxa de variação instantânea, limite e reta tangente

Taxas instantâneas e retas tangentes estão intimamente ligadas e aparecem em muitos outros contextos. A taxa de variação instantânea compreende um valor de variação num instante específico.

No processo de se definir a taxa de variação instantânea, foram consideradas taxas de variação médias em intervalos que foram diminuindo em torno de um ponto. Esse processo de tornar o tamanho do intervalo tão pequeno que se aproxime de zero, trata-se do cálculo do limite. Considere a função esboçada na Figura 2.15, que mostra a reta secante PQ.

Figura 2.15 | Diagrama para obter o coeficiente angular da função y = x2 no ponto P(2,4).


Como encontrar a taxa de variação instantânea para y = x2, quando x=2? Observe que o ponto Q está em x+h (2+h), sendo h uma distância arbitrária (∆x). Se para calcular a taxa de variação instantânea é necessário diminuir o intervalo entre as variáveis independentes dos pontos analisados, nesse exemplo específico até o ponto x=2, então ∆x (ou h) deve ser decrementado até muito próximo de zero, certo? Sim, logo, pode-se dizer que à medida que ∆x →0 (leia-se “∆x tende a zero” ou “∆x se aproxima de zero”) a reta secante PQ “tende” para uma posição limite. Essa posição é representada pela reta tangente à curva no ponto P. Logo, se ∆x→0 então Q→P.

Ao analisar a Figura 2.15, observamos que o coeficiente angular da reta secante PQ é m = 4 + h, ou seja,


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41

A variação instantânea no ponto x = 2 não é dada pela inclinação da reta tangente nesse ponto? Ou seja, pelo coeficiente angular dessa reta tangente? Então, pelo processo de tomar o limite e fazendo a distância do intervalo de Q a P diminuir até zero, então ∆x tenderá a zero pela definição que já vimos. Dessa forma, conforme está indicado na Figura 2.15, o coeficiente angular da reta tangente em x = 2 será m = 4. Em termos matemáticos: msec = ∆x+4, Q→P então ∆x→0, logo mtang = 4. Então podemos escrever:

Esse cálculo pode ser efetuado ao verificar o valor da taxa de variação média em intervalos cada vez menores de forma a ∆x ser suficientemente próximo de 0. Esse processo (ou tipo de limite) foi identificado como o cálculo da taxa de variação instantânea ou, ainda, como a determinação do coeficiente angular (inclinação) da reta tangente que passa no ponto limite, e essa é a definição da derivada num ponto.

Derivada num ponto

Percebe-se que a derivada de uma função num ponto é a taxa de variação instantânea naquele ponto.

Se existir o limite, então f é diferenciável em a.

Uma expressão bastante usada para tratar de derivadas das funções é “cálculo diferencial”.

Verifique que se x = a + h, então h = x – a e h tende a 0 se e somente se x tende a a. Consequentemente, uma maneira equivalente de enunciar a definição da derivada é

Limites e Derivadas

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Exemplificando

Exemplo [extraído de Stewart (2010, p. 133)] – Encontrar a derivada da função f(x) = x2 – 8x + 9 em um número a.

Solução: usando a definição de derivada em que h → 0, deve-se aplicar a f(x) que se deseja derivar. É importante lembrar que é necessário subtrair a função f(x) quando estiver no ponto x=a+h da f(x) quando x=a. Logo, algebricamente a solução é a descrita a seguir:

Para saber mais sobre conceito de derivada, você pode acessar o link: <http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/limderiv/DefDer.html>. Acesso em: 20 jun. 2015. Nesta página você encontrará exemplos sobre o cálculo de derivada. Vale a pena conferir!

Pesquise mais

Faça você mesmo

Determine a equação da reta tangente à parábola y= x² - 8x + 9 no ponto (3,-6).

O presente conteúdo desenvolveu o estudo do conceito de derivada. Vamos agora praticar? Chegou a hora de aplicar os conteúdos aprendidos na resolução de problemas!


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Após o estudo de limites infinitos e no infinito, vamos resolver a situação-problema apresentada a João?

Vamos relembrar!

Uma pedra desprende-se do topo do galpão da empresa. Qual é sua velocidade média durante os dois segundos de queda?

Experimentos mostram que, ao entrar em queda livre a partir do repouso, próximo da superfície terrestre, um objeto sólido e denso percorrerá y metros nos primeiros t segundos, onde: y = 4,9 t2

A velocidade média da pedra em qualquer intervalo de tempo é a distância percorrida,

∆y, dividida pelo tempo decorrido, ∆t , neste percurso. Para os primeiros 2s temos:

t0= 0 e tf = 2, logo y0 = 0 e yf = 4,9(2)2. Daí v = = = 9,8 m/s

Podemos saber a velocidade média da pedra ao longo do percurso desde t=2 até qualquer tempo posterior t=2+h, h>0.

=

Sem Medo de Errar


Tabela 2.3 | Velocidade média se aproxima do valor limite

A tabela nos diz que quando h→0 (h tende a 0), a velocidade média se aproxima do valor limite 19,6 m/s.

Assim, temos que:

= = = =

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19,6 + 4,9h

Fazendo h→0 descobrimos a velocidade instantânea em t = 2s, isto é, seu valor limite é 19,6 + 4,9(0) = 19,6 m/s.

Desse modo, quando h→0 temos que = 19,6 m/s


Pratique mais!


Velocidade de um objeto




Aplicar o estudo de derivadas na descrição de fenômenos e situações.

3. Conteúdos relacionados Conceito de derivada.


Um objeto é jogado do alto de um prédio de uma altura

de 1250 pés acima do nível da rua, e a sua modelagem foi

representada através da função em relação à posição s= f(t) =

1250 – 16t², onde f(t) é medido em pés acima do nível da rua e

t, em segundos depois de ser jogado. Determine:

a) A função velocidade do objeto.

b) O intervalo de tempo ao longo do qual vale a função

velocidade.

c) A velocidade do objeto ao atingir o nível da rua.


U2

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a) Substituindo os valores dados na função: ,

teremos: =

= -16 ( )

-16 = - 32t pés/segundos

b) A função velocidade em (a) é válida a partir do instante (t=0),

em que o objeto é jogado, até o instante t1, em que atinge o

solo, quando: 1250 – 16t1² = 0

16t1² = 1250 assim, t1= ≅ 8,84s

Portanto, para o valor positivo de t1, concluímos que a função

velocidade é válida até o instante 8,84 s

c) Para determinar a velocidade do objeto quando atinge o

solo, substituímos o valor de t1 8,84 s na função velocidade

v(t)= -32t

V(8,84) = - 32. (8,84) ≅ -282,88 pés/s.

Faça valer a pena

1. Considere o gráfico a seguir e determine o valor da derivada no ponto A da curva em que y = 9 e x = 3.

Fonte: Adaptado de Murolo e Bonetto (2012, p. 160)

Limites e Derivadas

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2. A taxa de variação instantânea de uma função produção P(x) no instante três horas é 15 reais/hora. Qual a inclinação m da reta tangente em P(3) e qual é a derivada nesse ponto?

a) 15.

b) 3.

c) 5.

d) 2.

e) 0.

3. Considerando o gráfico a seguir, marque a alternativa que mostra a taxa de variação média da produção no intervalo de 20 a 30 horas.

a) 100 toneladas/horas.

b) 200 toneladas/horas.

c) 300 toneladas/horas.

d) 400 toneladas/horas.

e) 500 toneladas/horas.

4. Assinale a alternativa que corresponde às afirmativas corretas:

I. O coeficiente angular da reta secante que passa pelos pontos Q e P de uma função apresenta a sua taxa de variação média.

II. O coeficiente angular da reta tangente ao ponto P de uma função apresenta a sua taxa de variação instantânea.

III. Para definir a taxa de variação instantânea, são consideradas taxas de variação médias em intervalos que são diminuídos em torno de um ponto P. Esse processo de tornar o tamanho do intervalo tão pequeno que se aproxime de zero, trata-se do cálculo do limite.

a) I e II.


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b) II e III.

c) III e I.

d) I, II e III.

e) Apenas a I está correta.

5. A posição de um objeto em movimento é representada pela função: S = f(t) = , onde t é medido em segundos e s é representado em

metros. Determine a velocidade e a rapidez após t=2.

a) 1/9 m/s.

b) 9 m/s.

c) 1 m/s.

d) ¼ m/s.

e) 7 m/s.

6. Considerando seu conhecimento anterior sobre o coeficiente angular de uma reta, para cada função a seguir, calcule o valor de m e explique o resultado encontrado.

Fonte: Adaptado de Anton, Bivens e Davis (2007).

7. Determine a reta tangente à função f(x) = x² - 1 no ponto (1,0).

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Seção 2.4

Regras de Derivação - Parte 1

Diálogo aberto

A partir de agora iremos continuar nossos estudos sobre derivada! Na seção anterior você estudou o significado e o cálculo da taxa de variação instantânea a partir de limite. Nesta seção, o valor da taxa de variação instantânea, já definido como derivada, será determinado de forma direta através de fórmulas.

Obter derivadas calculando limites pode ser demorado e difícil. Por isso, vamos conhecer alguns métodos que facilitam o cálculo da derivada. Você pode saber mais acessando: <http://www.somatematica.com.br/superior/derivada.php> e <http://www.ufrgs.br/lmqa/arquivos/uploads/LIMITES+e+DERIVADAS.pdf>. Acesso em: 3 mar. 2015.

Dica

A derivada, em geral, assume valores diferentes em pontos diferentes. Outra característica importante que o estudo das derivadas mostra com relação à função é que “o valor absoluto da derivada nos dá, em valor absoluto, a taxa de variação; logo, se f’ é grande em módulo (positiva ou negativa), então o gráfico de f é bastante inclinado (subindo ou descendo), enquanto, se f’ é pequena, o gráfico de f é mais suave” (HUGHES-HALLETT et al., 2011, p. 69).

Lembre-se


Limites e Derivadas

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Um importador do setor automotivo estima que quando consegue vender x unidades de uma determinada peça automotiva, consegue uma receita bruta representada pela expressão matemática: C = 0,5x² + 3x - 2 (milhares de reais). Determine a taxa de variação da receita quando o empresário conseguir vender três unidades dessas peças. Interprete o resultado obtido.


Você deve conhecer o conceito de derivada e regras de derivação.

Reflita

Não pode faltar

Caro aluno, no tema anterior você estudou que se o limite de função f(x) existe,

então a função tende a um valor L quando x tende a um valor c,

Esse cálculo pode ser efetuado ao verificar o valor da taxa de variação média em intervalos cada vez menores, de forma a x ser suficientemente próximo de c. Esse processo (ou tipo de limite) foi identificado como o cálculo da taxa de variação instantânea ou ainda como a determinação do coeficiente angular (inclinação) da reta tangente que passa no ponto limite, e essa é a definição da derivada num ponto.

Assimile

Derivada num ponto

Como já foi visto, a derivada de uma função num ponto é a taxa de variação instantânea naquele ponto.

Se existir o limite, então f é diferenciável em a.

Sabemos que existem regras determinadas que nos auxiliarão no cálculo das derivadas. Primeiramente, no entanto, é importante explorar a derivada como a inclinação da reta tangente e compreender que a derivada também pode ser vista


U2

51

como uma função.

Exemplificando

Encontrar uma equação da reta tangente à parábola y = x2 – 8x + 9 no ponto (3,-6)

(STEWART, 2010, p. 133).

Solução: lembre-se de que a equação da reta é dada por y=mx+b, sendo m a inclinação da reta e b o ponto em que essa reta corta o eixo y.

Considere o ponto (a, f(a)), ou seja, a coordenada (x, y) é representada por x=a e y = f(a).

Como foi visto, a inclinação da reta tangente num ponto da curva é a derivada da função nesse ponto, então m = f’(a). No exemplo 1 foi encontrada a derivada da função f(x) = x2 – 8x + 9 no ponto a como f’(a) = 2a – 8.

Logo, a inclinação da reta tangente no ponto (3, -6) é encontrada ao substituir o valor desse ponto na função derivada: f’(3) = 2.(3)-8 = -2. Dessa forma, m = f’(3) = -2 e a equação da reta pode ser escrita como y = -2x + b.

Mas como calcular o valor de b que é o ponto no eixo y pelo qual a reta tangente passa? Se a reta tangente passa no ponto (3, -6) então substitua esses pontos na equação encontrada.

y = -2x + b, logo: -6 = -2.(3) + b

b = -6 + 6 → b = 0

Portanto, a equação da reta tangente que passa no ponto (3, -6) da função f(x) = x2 – 8x + 9 é expressa por y = -2x.

Outra forma de encontrar a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (a, f(a)) é calcular y – f(a) = f’(a)(x-a). Ou seja, o cálculo seria:

y – f(a) = f’(a)(x-a), assim temos y – (-6) = -2(x – 3)

y + 6 = -2x + 6, logo: y = -2x + 0 → y = -2x.

Reflita

Limites e Derivadas

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Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive dessa reta é a derivada da função f no ponto a. Essa reta, tangente, nas proximidades de a, “se confunde com a curva”, podendo “de certa forma” substituí-la (Figura 2.16)

Fonte: Murolo e Bonetto (2012, p. 168)

Figura 2.16 | Ampliação da reta tangente ao ponto P

Derivada como função

Até agora estudamos a derivada de uma função em um ponto fixo. Considere agora o que acontece em uma série de pontos. A derivada, em geral, assume valores diferentes em pontos diferentes e é também uma função. Em primeiro lugar, lembre-se de que a derivada de uma função em um ponto mostra a taxa segundo a qual o valor da função está variando naquele ponto. Geometricamente, a derivada pode ser considerada a inclinação da curva ou o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto, conforme explicam Hughes-Hallett et al. (2011, p. 67).

Exemplificando

Estimar a derivada da função f(x), cujo gráfico aparece na Figura 2.17, para x = -2, -1, 0,1,2,3,4,5 (HUGHES-HALLETT et al., 2011, p. 67).

Derivada vista graficamente como o coeficiente angular da reta tangente.


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Figura 2.17 | Coeficiente angular da tangente

Fonte: Adaptado de Hughes-Hallett et al. (2011, p. 68)

Solução: a partir do gráfico é possível estimar a derivada em qualquer ponto traçando a reta tangente naquele ponto e estimando o coeficiente angular da tangente (por meio do uso de papel quadriculado, como no exemplo da Figura 2.17). Por exemplo, a reta tangente em x = -1 tem coeficiente angular perto de 2, de modo que f'(-1) ≈ 2. Note que a inclinação em x = - 2 é positiva e bem grande; a inclinação em x= -1 é positiva, mas menor. Em x = 0 a inclinação é negativa e em x = 1 mais negativa ainda. Essa análise pode ser feita para todos os pontos. Logo, observe que para todo valor de x existe um valor correspondente para a derivada. Ou seja, a derivada é uma função de x.

A Figura 2.18 apresenta valores estimados para a derivada nos pontos indicados no enunciado. Trace as tangentes aos pontos no gráfico e verifique se os valores que você encontrou são semelhantes aos mostrados.

Figura 2.18 | Valores estimados para a derivada da função

Fonte: Adaptado de Hughes-Hallett et al. (2011, p. 68)

Há muitas notações usadas para representar a derivada de uma função y = f(x). Além de f'(x), as mais comuns são:

Limites e Derivadas

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Os operadores D e d/dx são chamados operadores diferenciais, pois indicam a operação de diferenciação que é o processo de cálculo de uma derivada. dy/dx é lido como “a derivada de y em relação a x”, e df/dx ou (d/dx)f(x) como “a derivada de f em relação a x”.

As notações que indicam a derivada de uma função também podem indicar um ponto em que se deseja avaliar a derivada, como segue.

O símbolo de avaliação (|x=a) significa calcular a expressão à esquerda em x = a.

Agora que você já conhece as notações para as derivadas de funções, aprenderá algumas regras de derivação. Essas regras permitem calcular a derivada de uma função rapidamente.

Regra 1 – derivada de uma função constante é zero.

Exemplificando

Calcule a derivada de f(x) = 5.

Solução: observe que essa é uma função constante que passa no ponto 5 do eixo y e não corta o eixo x, mas é paralelo a ele. Logo, essa reta é paralela ao eixo x (coeficiente angular = m = 0). Isso significa que ao variar o valor em x não há alteração em y. Consequentemente, a derivada de uma função constante é zero.

Regra 2 – derivada de uma função potência, quando n for um número real qualquer.


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Exemplificando

Calcule a derivada de f(x) = x5. Em seguida, determine a taxa de variação instantânea da função f em x = 2.

Solução:

Regra 3 – derivada de uma função multiplicada por constante.

Exemplificando

Calcule a derivada de f(x) = 10x3. Em seguida, determine a taxa de variação instantânea da função f(x) em x = 4.

Solução:

Regra 4 – derivada da soma ou diferença de duas funções deriváveis.

Exemplificando

Calcule a derivada de f(x) = x2 – 8x + 9. Em seguida, determine a taxa de variação instantânea da função f(x) em x = 3.

Limites e Derivadas

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Solução:

Para saber mais sobre conceito e regras de derivação, você pode acessar o link: <http://ltodi.est.ips.pt/am1/documentos/DERIVADAS/FolhasRegrasDeriv.pdf>. Acesso em: 3 mar. 2015. Nesta página você encontrará exemplos sobre cada uma das propriedades. Vale a pena conferir!

Pesquise mais

Faça você mesmo

Considere f(x) = 2x3+ 15x2 +12x e determine f´(1).

O presente conteúdo desenvolveu o estudo de derivada. Você aprendeu que a derivada num ponto é considerada como taxa de variação instantânea e geometricamente como a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. Também estudou que é possível encontrar a derivada de uma função usando regras de derivação que valem para a função em todos os pontos em que a função for derivável (ou diferenciável).

Vamos agora praticar? Chegou a hora de aplicar os conteúdos aprendidos na resolução de problemas!


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Sem Medo de Errar

Após o estudo das regras de derivação, vamos resolver a situação-problema apresentada a João?

Vamos relembrar!

Um importador do setor automotivo estima que quando consegue vender x unidades de uma determinada peça automotiva, consegue uma receita bruta representada pela expressão matemática: C = 0,5x² + 3x - 2 (milhares de reais). Determine a taxa de variação da receita quando o empresário conseguir vender três unidades dessas peças. Interprete o resultado obtido.

Solução:

Ao realizar a derivação da função, foi encontrado:

C = 0,5x² + 3x - 2

C’(x) = x + 3

C’(3) = 3 + 3 = 6 mil/unidade

Quando a produção é de três unidades a receita da empresa aumenta a uma taxa de 6 mil reais por unidade produzida.


Pratique mais!


Velocidade do atleta


Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.



3. Conteúdos relacionados Regras de derivação.

Limites e Derivadas

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Carlos, um atleta de natação, ao participar de uma competição,

salta de um trampolim; a sua posição inicial é de H = -16t² +

16t + 32.

a) Em que instante Carlos atinge a água?

b) Qual a velocidade de Carlos no momento do impacto?


Momento inicial quando t = 0 => H = -16t² + 16t + 32.

Derivando a função, teremos:h’(t) = 32t + 16E substituindo t = 2sh’(2) = - 32.2+ 16 => - 64 + 16 = - 48

Faça valer a pena

1. Considerando seu conhecimento anterior sobre taxa de variação média, considere que a função custo para beneficiar uma quantidade q de trigo é dada por C(q) = 3q2 + 500, sendo C dado em reais (R$) e q dado em toneladas (ton). Determine a taxa de variação média do custo para o intervalo de 1 até 6 toneladas. E indique qual a inclinação da reta secante associada à taxa de variação média obtida.

2. A derivada num ponto é considerada como taxa de variação instantânea e geometricamente como a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. É possível encontrar a derivada de uma função usando regras de derivação que valem para a função em todos os pontos em que a função for derivável (ou diferenciável). Assim, determine a taxa de variação instantânea para a função f(x)= 12x3+5x2+10x-15 quando x = 2.

a) 174.

b) 300.

c) 354.

d) 150.

e) 201.

3. A derivada da função y = x4+12x no ponto x=1 é:

a) 34.


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b) 45.

c) 16.

d) 14.

e) 40.

4. Calcule a derivada da função y = x3 + (4/3)x2 -5x + 1.

5. A derivada da função f(x) = 2x100+3x50+4x25+x é:

a) f'(x) =x99+x49+x24+1.

b) f'(x) = x100+x50+x25+x.

c) f'(x) =2x99+3x49+4x24+1.

d) f'(x) =200x99+150x49+100x24+x.

e) f'(x) =200x99+150x49+100x24+1.

6. Classifique as seguintes afirmações por verdadeira (V) ou falsa (F), e assinale a alternativa que corresponde à sequência correta.

I. A derivada de uma função constante é zero.

II. A derivada de uma função num ponto é a taxa de variação instantânea naquele ponto.

III. Geometricamente, a derivada pode ser considerada a inclinação da curva ou o coeficiente angular da reta secante que passa pelo ponto.

Alternativas:

a) V, F, V

b) F, F, V

c) F, V, F

d) V, V, F

e) V, V, V

Limites e Derivadas

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7. Ao aplicar as regras de derivação das funções f(x)= , g(x)= e h(x) = , foram encontradas as seguintes derivadas:

a) f’(x) = , g’(x) = e h’(x)=-

b) f’(x) = , g’(x) = . e h’(x) =-

c) f’(x) = , g’(x) = . e h’(x) =-

d) f’(x) = , g’(x) = . e h’(x) =-

e) f’(x) = , g’(x) = . e h’(x) =-


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Referências

ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2007.

HUGHES-HALLETT, Deborah. Cálculo de uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2009.

Referências Complementares:

ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. São Paulo: Bookman, 2007. Disponível em: <http://books.google.com.br/books?id=Bk_HEUqubpIC&printsec=frontcover&dq=c%C3%A1lculo+i&hl=ptR&sa=X&ei=UImDU9bcBPDJsQT2w4DgDA&ved=0CC4Q6AEwAA#v=onepage&q=c%C3%A1lculo%20i&f=false>. Acesso em: 3 mar. 2015.

ÁVILA, Geraldo Severo de Souza; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de. Cálculo: ilustrado, prático e descomplicado. Rio de Janeiro: LTC, 2012. <http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-2128-7>. Acesso em: 3 mar. 2015.

HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações tópicos avançados. Rio de Janeiro: LTC, 2010. Disponível em: <http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-2666-4/epubcfi/6/2>. Acesso em: 3 mar. 2015.

HUGHES-HALLETT, Deborah. et al. Cálculo: a uma e a várias variáveis. São Paulo: LTC, 2011. Disponível em: <http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-1955-0>. Acesso em: 3 mar. 2015.

MALTA, Iaci. PESCO, Sinésio. LOPES. Hélio. Cálculo de uma variável. Rio de Janeiro: PUC-RIO, 2007. Disponível em: <http://books.google.com.br/books?id=MbxCf9v3z78C&printsec=frontcover&dq=c%C3%A1lculo&hl=pt-BR&sa=X&ei=IJyDU-fBHrjfsASI2ILoDw&ved=0CEcQ6AEwBA#v=onepage&q=c%C3%A1lculo&f=false>. Acesso em: 3 mar. 2015.

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2012.

STEWART, J. Cálculo I. São Paulo: Cengage Learning, 2008.

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