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INTRODUÇ ÃO ÀTEORIA DOS NÚMEROS
Vı́tor Neves
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Departamento de Matemática
Universidade de Aveiro
2001
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IntroduçãoO presente texto resulta da evolução de um conjunto de notas de apoio à disci-
plina Introdução à Teoria dos Números do segundo semestre do terceiro ano dalicenciatura em Ensino de Matem´ atica da Universidade de Aveiro.
Parafraseando um mestre, não pretendemos ”escrever para autodidatas, mas simpara alunos com professor”, pelo que deixámos para o leitor demonstrar – por vezesexplicitamente como exerćıcio – o que é manifestamente rotineiro (não necessariamentetrivial...) ou nos parece estar fora do âmbito de um primeiro curso sobre Teoria dosNúmeros.
Não sendo especialistas, limitamo-nos a aspectos clássicos e elementares da Teoria,de carácter mais formativo e menos técnico: a orientação foi de facto muito forte nosentido de preparar docentes para o ensino secundário.
O caṕıtulo sobre extensões do corpo dos números reais (Cap. 8) pretende recuperar oestudo das construções do corpo real e suas extensões mais importantes, que deixou de sefazer sistematicamente nas licenciaturas, mas continua a ser importante se se pretendeaprofundar o conceito de Número. As extens̃oes não arquimedianas são afloradas demodo a alertar para a sua existência e onde podem ser estudadas.
A finalidade principal do texto – apoiar uma disciplina semestral – obrigou a es-colhas não muito agradáveis: por questões de tempo não se tem mostrado razoáveltratar cuidadosamente a equação de Pell, aspectos de Teoria Anaĺıtica, aproximaçãopor fracções cont́ınuas, ráızes primitivas, critérios de primalidade ou Teoria Combi-natória. Tais assuntos poderiam ser abordados se a filosofia subjacente a este texto
se modificasse; mesmo assim, nem toda a matéria aqui descrita tem sido trabalhadadurante o semestre nas aulas teóricas ou teórico-práticas.
Utilizamos um mı́nimo de Álgebra, de modo a construir um texto tão independentequanto possı́vel.
Os saltos na numeração das páginas são um expediente de organização tipográficaincompleta: podem incluir-se sempre mais páginas alterando muito pouco as referênciasde edição para edição.
Agradecemos aos Mestres Paulo Almeida e Rui Duarte e à Doutora Ana Foulquiéa leitura cuidada das várias versões preliminares destas notas bem como as sugestõesque apresentaram.
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NOTAÇ ÃO
Salvo referência em contr´ ario, varí aveis representadas por letras min´ usculas designam n´ umeros inteiros.
Aveiro
Maio de 2001
V́ıtor Neves
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Índice
I Introdução à Teoria dos Números 1
1 Teorema Fundamental da Aritmética 3
1.1 Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Axiomática de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Soma, ordem e produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 O máximo divisor comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Teorema Fundamental da Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Congruências 2012.1 Propriedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
2.2 Inversão I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
2.3 Congruências lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
2.3.1 Inversão II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2052.4 A função φ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
2.4.1 Sistemas reduzidos de reśıduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
2.4.2 Teoremas de Euler, de Fermat e de Wilson . . . . . . . . . . . . 207
2.5 Congruências polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2102.5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
2.5.2 Módulo primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
2.5.3 Módulo pot̂encia de base prima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
2.5.4 Teorema Chinês do Resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2152.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
3 Reśıduos quadráticos 3013.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
3.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
3.3 Lei de Reciprocidade Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
3.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
4 Equações Diofantinas 401
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Índice ITN (2001)
4.1 Ternos Pitagóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
4.2 Somas de duas quartas potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
4.3 Somas de dois quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
4.4 Somas de quatro quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
4.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
5 Funções aritméticas 501
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
5.2 Produto de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
5.3 Funções multiplicativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5045.4 Fórmula de Inversão de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
5.5 A função de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
5.6 Números perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
5.7 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
II Números reais 601
6 Fundamentação 603
6.1 Corpos ordenados e números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
6.2 Uma visão construtiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6086.3 Extensões próprias do corpo dos números racionais . . . . . . . . . . . . 610
6.4 Corpos ordenados completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
6.5 Existência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
6.6 Números transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
6.7 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
7 Dı́zimas e Fracções cont́ınuas 701
7.1 Dı́zimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
7.2 Fracções cont́ınuas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
7.3 Fracções periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7137.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
8 Extensões 801
8.1 Os números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801
8.2 Quaterniões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803
8.3 Extensões ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805
8.3.1 (In)Completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805
8.3.2 Parte standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806
8.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807
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Int. à Teoria dos Números Ind́ıce
III Aplicações 901
9 Criptografia 9039.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9039.2 Sistemas afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9039.3 Codificação Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9049.4 Criptografia de chave pública . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9059.5 Assinaturas; ISBN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9079.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908
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Índice ITN (2001)
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Parte I
Introdução à Teoria dos Números
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Caṕıtulo 1
Teorema Fundamental daAritmética
1.1 Números Naturais
Se bem que se suponham conhecidas as propriedades algébricas elementares dos con- juntos de números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, vamos enunciar pro-priedades básicas dos números naturais que serão demonstradas e utilizadas mais tardenuma construção de outros conjuntos de números.
1.1.1 Axiomática de Peano
Uma estrutura de n´ umeros naturais é um terno N =≺ N, S, 1 satisfazendo asseguintes condições:
N1) N é um conjunto não vazio
N2) S é uma função injectiva de N em N.
N3) Existe um elemento de N, designado por 1, que não é imagem por S , isto é,S : N → N\{1}.
N4) Princı́pio de Indução.
Se 1 ∈ A ⊆ N e S (n) ∈ A sempre que n ∈ A, então A = N.
Um elemento S (n) designa-se por sucessor de n, a condição N3 estabelece que 1n˜ ao é sucessor e, de acordo com a condição N2, dois elementos de N s˜ ao iguais sse têm o mesmo sucessor.
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Teorema Fundamental ITN (2001)
Explorando as propriedades das estruturas de números naturais:
Teorema 1.1.1 Qualquer elemento de N\{1} é sucessor.
Por outras palavras: 1 é o ́unico elemento de N que n˜ ao é sucessor.
Dem. Defina-se A = {1} ∪ S (N) = {1} ∪ {S (n) : n ∈ N}. Por definição de A, nãosó 1 ∈ A mas também S (n) ∈ A seja qual for n ∈ N, em particular o mesmo acontecese n ∈ A. Pelo Princı́pio de Indução, A = N, ou seja, o contradoḿınio S (N) de S éN\{1}, em virtude de N3.
Pode também demonstrar-se que
Teorema 1.1.2 Todas as estruturas de n´ umeros naturais s˜ ao isomorfas
Dem. As condições
I(11) = 12
I(S 1(x)) = S 2(I(x)) se x ∈ N1definem uma função1 I : N1 → N2. O Prinćıpio de Indução, o teorema 1.1.1 e ofacto de as funções sucessor serem injectivas garantem que I é um isomorfismo entre asestruturas.
Em face deste teorema, passaremos a designar os elementos de N por n´ umeros naturais. No entanto, ainda antes de nos fixarmos nos números naturais intuitivos,verificaremos que a axiomática N1, N2, N3 é suficiente para definir a Aritmética eordenar adequadamente a estrutura.
1.1.2 Soma, ordem e produto
Seja
N =
≺N, S, 1
uma estrutura de números naturais.
Definição 1.1.1 A soma de dois n´ umeros naturais m e n designa-se por m + n e define-se recursivamente do seguinte modo2:
m + 1 = S (m) (m ∈ N)m + S (n) = S (m + n) (m, n ∈ N) (1.1)
1Veja-se o Teorema de Recursão em [8, pp 39 e seg.]2Idem nota 1
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Int. à Teoria dos Números (2001) Teorema Fundamental
Tem-se então
Teorema 1.1.3 Para quaisquer m, n ∈ N a soma m + n est´ a definida e ≺ N, + é um semigrupo comutativo que verifica a Lei do Corte, isto é, a con-diç˜ ao seguinte
∀m,n,p ∈ N m + p = n + p ⇒ m = n. (1.2)
Dem. Esquematizamos apenas uma demonstração da Lei do Corte. Defina-se paracada m, n ∈ N
Amn = { p ∈ N : m + p = n + p ⇒ m = n}Tem-se 1 ∈ Amn pela definição de soma e pelo axioma N2. Se p ∈ Amn tem-sem + S ( p) = n + S ( p) sse S (m + p) = S (n + p) sse m + p = n + p sse m = n
respectivamente por (1.1), por S ser injectiva (N2) e porque p ∈ Amn. Mas então1 ∈ Amn & p ∈ Amn ⇒ S ( p) ∈ Amn ( p ∈ N)
Pelo Princı́pio de Indução Amn = N.
Há uma forma frequentemente mais conveniente de enunciar oPrinćıpio de Indução, a saber:
Teorema 1.1.4 Se A ⊆ N, 1 ∈ A e n + 1 ∈ A sempre que n ∈ A, ent˜ ao A = N.
A ordenação de N pode fazer-se à custa da soma.O número natural m diz-se menor que o número natural n — escrevendo-se m < n
— se existir p ∈ N tal que n = m + p.
Teorema 1.1.5 1. 1 < n, seja qual for n ∈ N\{1}.2. N n˜ ao tem m´ aximo.
3. A relaç˜ ao < é de ordem total estrita em N, ou seja, é transitiva e para quaisquer m, n
∈N, d´ a-se uma e s´ o uma das seguintes condiç˜ oes
m = n ou m < n ou n < m.
4. Todo o subconjunto n˜ ao vazio de N tem mı́nimo para
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Teorema Fundamental ITN (2001)
Este enunciado é de facto equivalente ao axioma N4 e ao teorema 1.1.4 em estru-turas de números naturais, mas não em conjuntos bem ordenados quaisquer.
E passamos à definição do produto.
Definição 1.1.2 O produto dos n´ umeros naturais m e n, nota-se m · n e define-se recursivamente 3 por
m · 1 = m (m ∈ N)m · (n + 1) = m · n + m (m, n ∈ N) (1.3)
Como habitualmente, a notação simplifica-se pondo
m · n = mn (m, n ∈ N).Nestes termos vem
Teorema 1.1.7 Para quaisquer m, n ∈ N o produto mn est´ a bem definido e ≺ N, · é um semigrupo comutativo com elemento neutro 1 que verifica a Lei doCorte, isto é, a condiç˜ ao seguinte
∀m,n,p ∈ N mp = np ⇒ m = n. (1.4)Retomando o teorema 1.1.2, pode acrescentar-se que
Teorema 1.1.8 A aplicaç˜ ao I do teorema 1.1.2 respeita a soma, o produto e a ordem,isto é, se +i,
·i,
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Int. à Teoria dos Números (2001) Teorema Fundamental
Teorema 1.1.9 Propriedade Arquimediana Para quaisquer a, b ∈ N, existe x ∈ Ntal que a < xb.
Dem. Tome-se a ∈ N. SejaA = {b ∈ N| a ≤ b ou [b < a & ∃x ∈ N a < xb]}.
Em primeiro lugar 1 ∈ A pois, ou a = 1 ou 1 < a, mas pelo teorema 1.1.5, existex ∈ N tal que a < x = x1.
Suponha-se agora que b ∈ A: se a ≤ b também a ≤ b + 1 e b + 1 ∈ A. Se b < a,ou b + 1 = a e, de novo b + 1
∈A, ou b + 1 < a; em qualquer caso, por hipótese, para
certo x ∈ N tem-se a < xb < xb + x = x(b + 1) e consequentemente, b + 1 ∈ A.Pelo Princı́pio de Indução A = N.
1.2 Aritmética
1.2.1 O máximo divisor comum
Teorema 1.2.1 (Algoritmo de Euclides) Para quaisquer a e b, se a > 0 existem n´ umeros inteiros ´ unicos d e r tais que
b = da + r & 0 ≤ r < a (1.5)Dem.
UnicidadeFixe-se a > 0. Suponha-se que da + r = da + r & 0 ≤ r, r < a. Tem-se
(d − d)a = r − r & |r − r| < aSe d = d então 1 ≤ |d − d| e vem
a ≤ |d − d|a = |r − r| < ao que é impossı́vel. Portanto d = d e também r = r.
ExistênciaSe 0 ≤ b < a tem-se b = 0a + b e pode fazer-se d = 0 & r = b. Se a < b, pelo
teorema 1.1.9, existe x ∈ N tal que b < xa. Tome-sed = min{x ∈ N| b < xa} − 1 & r = b − da
Se b < 0, pelo que acabámos de ver, existem d1 ∈ N e r1 ∈ N, sendo 0 ≤ r1 < a,tais que −b = d1a + r1; tome-se d = −d1 − 1 e r = a − r1.
Um corolário de fácil demonstração:
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Teorema Fundamental ITN (2001)
Corolário 1.2.1 Para quaisquer n´ umeros inteiros a, b, se a = 0 existem d, r ∈ Z ´ unicos tais que
b = da + r & 0 ≤ r < |a|
Dem. Aplique-se o teorema anterior 1.2.1 a |b| e |a| e ajuste-se adequadamente.
Os números d e r das proposições anteriores designam-se respectivamente por co-ciente e resto da divisão de b por a.
Definição 1.2.1 Dado a
= 0, b é diviśıvel por a (ou a divide b ou a é divisor de b
ou b é múltiplo de a) se o resto da divis˜ ao de b por a é zero. Nota-se a | b se a divide b.
Repare-se que zero é divisı́vel por qualquer n´ umero inteiro, no sentido em que para qualquer a ∈ Z, existe d ∈ Z tal que 0 = da, nomeadamente d = 0; não se define ocociente de zero por zero
Proposição 1.2.1 A relaç˜ ao ·|· em Z é reflexiva e transitiva, mas n˜ ao é anti-simétrica pois
a | b & b | a ⇔ |a| = |b| (1.6)
Dem. Demonstramos apenas a equivalência 1.6, no caso em que a = 0 = b.Suponha-se que b = ad & a = bd. Tem-se a = add donde dd = 1. Segue-se qued = d = 1, caso em que a = b, ou d = d = −1, caso em que a = −b.
Mais algumas propriedades importantes, cuja demonstração fica ao cuidado doleitor.
Teorema 1.2.2 Para quaisquer a,b, c ∈ Z,1. [a | b & a | c] ⇒ ∀x, y a | (bx + cy);2. em particular a
|b
⇒ ∀x a
|bx.
3. [0 < a & 0 < b & a | b] ⇒ a ≤ b.
A aĺınea 1. do teorema anterior é de facto equivalente a qualquer das aĺıneas docorolário seguinte.
Corolário 1.2.2 Para quaisquer a,b, c, x, y ∈ Z1. [a | b & a |(bx + cy)] ⇒ a |c.2. [a | b & a | (bx + c)] ⇒ a | c.
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Int. à Teoria dos Números (2001) Teorema Fundamental
Definição 1.2.2 O n´ umero inteiro d é máximo divisor comum de a e b e designa-sepor mdc(a, b), se satisfaz simultâneamente as seguintes condições:
1. d > 0
2. d | a & d | b3. ∀c [[c | a & c | b] ⇒ c | d]
Se mdc(a, b) = 1 diz-se que a e b s˜ ao primos entre si.
Teorema 1.2.3 Se a = 0 ou b = 0, ent˜ aomdc(a, b) = min{z = ax + by| x, y ∈ Z & z > 0}, (1.7)
pelo que o m´ aximo divisor comum de dois n´ umeros inteiros n˜ ao simultˆ aneamente nulos existe e é ´ unico.
O que, em particular, tem como consequência
Corolário 1.2.3 Se d = mdc(a, b), ent˜ ao existem x, y ∈ Z tais que d = ax + by.
Dem. (Teorema 1.2.3) Seja
S = {z = ax + by| x, y ∈ Z & z > 0}
Como a = 0 ou b = 0, S = ∅ pois 0 < a2 + b2 = aa + bb; assim S tem mı́nimo (teorema1.1.5), digamos d = min S = ax0 + by0 > 0, para certos x0, y0; d verifica então acondição 1 da definição.
Vamos ver que d | a. Ponha-se a = qd + r, de acordo com o teorema 1.2.1, sendo0 ≤ r < d; repare-se que,
r = a − qd = a(1 − qx0) + b(−qy0) ∈ S,
portanto, se r > 0, r teria de ser maior ou igual ao mı́nimo de S , o que não é o caso. A
troca de a por b neste racićınio, permitiria concluir que d | b e a condição 2 da definiçãotambém está verificada.
Por outro lado, se c | a & c | b, como d = ax0 + by0, pelo teorema 1.2.2, c | d,verificando-se a condição 3.
Quanto à unicidade: utilize-se o que acabámos de ver e a condição 1.6 para concluirque se d verifica as mesmas condições que d, então d = d.
Algumas propriedades do máximo divisor comum.
Teorema 1.2.4 Para quaisquer a, b ∈ Z
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Teorema Fundamental ITN (2001)
1. mdc(a, b) = 1 ⇔ ∃x,y ax + by = 12. mdc( amdc(a,b) ,
bmdc(a,b)) = 1
3. [a | bc & mdc(a, b) = 1] ⇒ a | c4. a | bc ⇒ amdc(a,b) | c5. mdc(na,nb) = n · mdc(a, b) se n > 0.
Dem. Aĺınea 1.
(⇒) é um caso particular do corolário 1.2.3.(⇐) Como 1 é o menor inteiro positivo, se 1 = ax + by , necessariamente 1 =min{z = ax + by| x, y ∈ Z & z > 0} e consequentemente, 1 = mdc(a, b), pelo teorema1.2.3.
Aĺınea 2. Observe-se que d = ax + by, para certos x, y e divida-se por d em, ambosos membros.
Aĺınea 3. Como mdc(a, b) = 1, para certos x,y, 1 = ax + by de onde se segue quec = acx + bcy. Como a | bc, para certo q vem c = acx + aqy = a(cx + qy) e a | c.
Aĺınea 4. Esquematicamente:
a | bc ⇒ bc = qa ⇒ cd = cax + cby = cax + qay = a(cx + qy);
ou ainda c = ad (cx + qy) e ad | c.Aĺınea 5. Observe-se que se n > 0 então min{nz| z ∈ A} = n · minA.
1.2.2 Teorema Fundamental da Aritmética
Definição 1.2.3 Um n´ umero inteiro p diz-se primo se verificar simultˆ aneamente as duas condiç˜ oes
1. p > 1
2.
∀a
∈Z [a
| p
⇒ [
|a
|= p ou
|a
|= 1]] .
Um n´ umero que n˜ ao seja primo nem 1 diz-se composto.
A propriedade mais importante dos números primos é talvez a seguinte:
Lema 1.2.1 (de Euclides) Se p é n ́umero primo e p | ab, ent˜ ao p | a ou p | b.
Dem. Se p | ab, então, pelo teorema 1.2.4, pmdc( p,a) | b; ora se p |a, como p é primomdc( p, a) = 1, consequentemente p | b.
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Lema 1.2.2 Se n > 1 e p = min{x > 1| x | n}, ent˜ ao p é primo. Em particular,qualquer n´ umero natural maior que 1 tem divisores primos.
Dem. Ou bem que n é primo e, nesse caso p = n, ou bem que não; neste caso n temdivisores maiores que 1 e distintos de si próprio, o mı́nimo dos quais é p; ora p nãopode ter divisores distintos de si próprio e de 1, pois qualquer deles seria um divisor den, maior que 1 e menor que p, que não existe por definição de p; logo p é primo.
E passamos a demonstrar o
Teorema 1.2.5 (Fundamental da Aritmética)Se n > 1, existem n´ umeros primos distintos dois a dois p1, · · · , pk e n´ umeros nat-urais α1, · · · , αk de modo que
n =k
i=1
pαii . (1.8)
Esta representaç˜ ao de n é ´ unica a menos de uma permutaç˜ ao dos factores.
Dem. Tome-se um número natural n.I. Existem n´ umeros primos p1, · · · , pm tais que n =
mi=1 pi.
Dem. Seja n > 1. Do lema anterior concluimos que n tem divisores primos.Defina-se uma sequência de números primos da seguinte forma
p1 = min{x > 1| x | n} (1.9)
pi+1 = min{x > 1| x ni
j=1 p j} se existir (1.10)
Repare-se que pi+1 só não existe se nij=1 pj
= 1, isto é, se n = i
j=1 p j , como se
pretende verificar que acontece.Por outro lado,
m j=1 p j | n desde que existam os p j definidos como acima (proposição
1.2.1) e, de facto, m
j=1 p j ≤ n.Observe-se ainda que, sendo os números primos maiores ou iguais a 2, vem
2m
≤m
j=1 p j ≤ n.
Como 2m > n, para m suficientemente grande, concluimos que os números primos pi são em número finito, em particular, para certo i, pi existe, mas pi+1 não. Comoobservámos acima, n =
i j=1 p j.
Não é dif́ıcil mostrar que p j ≤ p j+1 (1 ≤ j < i), pelo que associando da esquerdapara a direita primos iguais, se obtém
n =k
i=1
pαii
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com bases pi em ordem crescente.Resta ver que todos os divisores primos de n foram encontrados. Suponha-se que p
é primo e p | n. Pelo lema 1.2.1, p terá de dividir um dos pi, sendo portanto um deles.
Há muitos números primos.
Corolário 1.2.4 (de Euclides) O conjunto dos n´ umeros primos é infinito.
Dem. Vamos ver que, seja qual for o conjunto de números primos {
p1,· · ·
, pk}
existeum número primo que lhe não pertence.
Dados primos p1, · · · , pk, seja n = p1 · · · pk + 1. De acordo com o Teorema Funda-mental, n terá pelo menos um divisor primo. Ora como nenhum dos pi divide n, pois pi | p1 · · · pk mas pi |1, esse primo não pode ser um deles.
Os números primos estão esparsamente distribuidos
Corolário 1.2.5 Os intervalos entre n´ umeros primos consecutivos s˜ ao arbitrariamente grandes.
Dem. Para qualquer n ∈ N, a sequência(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, · · · , (n + 1)! + (n + 1)
não contém números primos, pois k | (n + 1)! + k se 2 ≤ k ≤ n + 1.
Onde parar na detecção dos divisores primos de um dado inteiro?
Teorema 1.2.6 Todo o n´ umero composto n > 0 tem um divisor primo menor ou igual a √
n.
Dem. Se n é composto tem pelo menos dois divisores primos, possivelmente iguais,caso contrário seria primo pelo Teorema Fundamental; se p1, p2 são primos que dividemn, algum não é maior que
√ n, pois p1, p2 >
√ n ⇒ n ≥ p1 p2 > (√ n)2 = n, o que é
imposśıvel.
Um resultado semelhante é o corolário seguinte do lema de Euclides (1.2.1) e doteorema 1.2.2
Teorema 1.2.7 (de Gauss) O produto de dois n´ umeros naturais menores que um n´ umero primo n˜ ao é diviśıvel por este ́ultimo.
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Quanto à distribuição dos números primos, o seguinte teorema é um dos mais im-portantes de Dirichlet; a sua demonstração é muito difı́cil e está fora do âmbito dopresente texto; o leitor interessado pode encontrar uma demonstração por exemplo em[3], onde todo o caṕıtulo 7 lhe é dedicado.
Teorema 1.2.8 (de Dirichlet) Se a e b s˜ ao n´ umeros naturais primos entre si, a progress˜ ao aritmética (na + b)n∈N tem uma infinidade de termos que s˜ ao n´ umeros pri-mos.
Tendo-se observado que um número primo ı́mpar é de uma das formas 4k + 1 ou4k
−1 (k
∈ Z), uma ligeira adaptação da demonstração do corolário 1.2.4 permite no
entanto demonstrar facilmente o seguinte:
Teorema 1.2.9 Existe uma infinidade de n´ umeros primos da forma 4k − 1(k ∈ Z).Dem. Consideremos um conjunto finito de números primos distintos da forma 4k − 1,digamos C := { p1, · · · , pn} e defina-se
N = 22 p1 · · · pn − 1.Em primeiro lugar observe-se que N é da forma 4k − 1 e maior que qualquer doselementos de C , portanto se for primo não está em C , i.e., C não contém todos os
números primos da forma em estudo; se N for composto e p for um seu divisor primo,então p também não pode ser qualquer dos elementos de C ; deixa-se como exerćıciomostrar que algum divisor primo de N é da forma 4k − 1 e, como acabámos de ver, nãoestá em C .
Em suma: C não contém todos os números primos da forma 4k − 1.
Não é t̃ao simples demonstrar que o teorema anterior vale com 4k + 1 em vez de4k − 1; fá-lo-emos mais tarde (vide corolário 2.4.3).
1.3 Exerćıcios
1. Demonstre que a adição e a multiplicação em N são associativas, são comutativase verificam a Lei do Corte.
2. Mostre que se f : N → N é estritamente crescente, então para qualquer n ∈ N,n ≤ f (n).
3. Demonstre o seguinte teorema.
Prinćıpio de Indução Completa: Se A é um subconjunto de N tal que, seja qual for o n ∈ N, n ∈ A sempre que {k ∈ N : k < n} ⊆ A,ent˜ ao A = N.
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Teorema Fundamental ITN (2001)
4. Suponha dadas duas funções g : N → N e h : N3 → N. Admita que existe umafunçÃo f que verifica as fórmulas de recorrência presentes nas aĺıneas seguintese prove a sua unicidade.
(a) (Recorrência) Defina f : N2 → N tal que f (1, n) = g(n) (n ∈ N)f (m + 1, n) = h(m,n,f (m, n)) (m, n ∈ N)
(b) (Recorrência elementar)Suponha dados a ∈ N e h : N2 → N defina uma
função f :N
→N
por f (1) = af (n + 1) = h(n, f (n)) (n ∈ N)
5. Mostre que, para qualquer n ∈ N,
(a)n
i=1
i = n(n + 1)
2 ;
(b)n
i=1i2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6 ;
(c)n
i=1
i3 =
ni=1
i
2.
6. Encontre uma fórmula de recorrência para n
i=1 i p (n, p ∈ N).
7. Mostre que, para quaisquer a, b ∈ Z e n ∈ N,
(a) an − bn = (a − b)n−1i=0
aibn−1−i;
(b) an + bn = (a + b)
n−1i=0
(−1)ian−1−ibi, se n é ı́mpar;
(c) (a + b)n =n
i=0
n
i
aibn−i;
sendo o coeficiente binomial n
i
definido por
n
i
=
n!
i!(n − i)! (n ∈ N e 0 ≤ i ≤ n).
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8. O coeficiente multinomial é o número n
i1i2···ik
definido por
n
i1i2 · · · ik
=
n!
i1!i2! · · · ik! ,
com i1 + i2 + · · · + ik = n (k, n ∈ N, i1, . . . , ik ∈ Z+0 ).
(a) Mostre que os coeficientes multinomiais são números inteiros.
(b) Mostre que, para quaisquer n, k ∈ N e a1, . . . , ak ∈ Z,
ki=1
ain
=
i1+i2+···+ik=n
n
i1i2 · · · ik
ai11 ai22 · · · aikk .
9. Mostre que d | a se e só se d | |a|.10. Mostre que se a | c, b | c e a e b são primos entre si, então ab | c.
11. Sejam a, b, c e d inteiros tais que b = 0, d = 0, mdc(a, b) = 1 = mdc(c, d) e ab
+ c
dtambém é inteiro. Mostre que |b| = |d|.
12. Um mı́nimo m ́ultiplo comum de dois números inteiros positivos a e b é um númerointeiro mmc(a, b) que verifique as seguintes condições:
• mmc(a, b) > 0;• a | mmc(a, b) e b | mmc(a, b);• para todo k ∈ Z, se a | k e b | k, então mmc(a, b) | k.
(a) Mostre que mmc(a, b) existe e é único. De facto
ab = mdc(a, b)mmc(a, b)
(b) Mostre que · | · é uma relação de ordem parcial em N para a qualmdc(a, b) = inf
{a, b
} & mmc(a, b) = sup
{a, b
}13. (a) Mostre que os factores de base prima da representação de mdc(a, b) (Teorema
Fundamental) são os factores de base prima comum a a e a b tomados como menor expoente.
(b) Mostre que os factores de base prima da representação de mmc(a, b) (Teo-rema Fundamental) são todos os factores de base prima de a ou de b, sendoos factores de base comum tomados com o maior expoente.
14. Algoritmo de Euclides. Dados a, b ∈ Z com b ≥ a > 0, mostre que o algoritmodefinido pelas relações de recorrência seguintes termina com r = mdc(a, b).
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• a = r0;• b = q 1r0 + r1, 0 ≤ r1 < a;• se ri > 0 (i ≥ 1), então ri−1 = q i+1ri + ri+1, 0 ≤ ri+1 < ri;• se ri = 0, então r = ri−1 e o algoritmo termina.
15. Comprimento do algoritmo de Euclides. Considere o algoritmo descrito noexerćıcio anterior e seja rn = mdc(a, b). Mostre que:
(a) b ≥ 2r1 e a ≥ 2r2;
(b) ri ≥ 2ri+2 (i ≥ 1);(c) b ≥ 2n/2.
Qual é o número máximo de passos se b ≤ 10 p?16. Determine mdc(a, b) e escreva-o como combinação linear de a e b para os seguintes
pares:
(a) (21, 77), (12, 128), (54, 640), (28, 640); nesta aĺınea verifique a sua respostautilizando a definição de máximo divisor comum.
(b) (22587, 534), (9800, 180), (1587645, 6755).
17. Determine o mı́nimo múltiplo comum de cada um dos pares de números consid-erados no exerćıcio anterior.
18. Sejam a, b e c números inteiros não simultaneamente nulos.
(a) Mostre que equação diofantina em x e y , ax + by = c tem solução se e só semdc(a, b) | c.
(b) Mostre que se (x0, y0) é uma solução da equação da aĺınea anterior e d =mdc(a, b), então todas as soluções são da forma
x = x0 + b
dk & y = y0 − a
dk (k ∈ Z).
19. Determine as soluções inteiras das equações Diofantinas seguintes:
(a) 5x + 7y = 14;
(b) 4x + 6y = 24;
(c) 17x + 34y = 25;
(d) 56x + 634y = 168;
(e) 1521x + 1955y + 455z = 221;
(f) 2x + 3y + 5z = 7.
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20. Determine duas fracções cujos denominadores sejam 12 e 16 e cuja soma seja 10
48.
21. Numa papelaria vendem-se dois tipos de canetas por 110 e 70 escudos respectiva-mente. Ao fim de um dia a importância total recebida pela venda dessas canetasfoi 6570 escudos. Qual é o menor número posśıvel de canetas vendidas? E qual omaior?
22. Determine todas as soluções inteiras dos sistemas de equações seguintes.
(a)
2x + 3y − 4z = 96x + 9y + 3z = 12
(b)
3x − 2y + 6z = −314x + 28y − 21z = 35
(c)
4x + 5y + 6z = 117x + 14y + 21z = 35
(d)
9x + 3y + 15z = −3
5x − 6y + z = −2(e)
3x + 2y − 5z = 106x + 12y + 4z = 14
23. Números de Fermat. Um número da forma F k = 22k + 1 para algum k ∈ N0
diz-se um n´ umero de Fermat . F 0, F 1, F 2, F 3, F 4 são primos. Euler mostrou em1732 que F 5 não é primo. (F 5 = 4294967297 = 641 × 6700417.)
(a) Mostre que se 2n + 1 é primo, então n é potência de 2.
(Sugestão: comece por estudar o caso em que n é ı́mpar).
(b) Mostre que números de Fermat distintos são primos entre si.
(c) Deduza da aĺınea anterior que há uma infinidade de primos.
24. Números de Mersenne. Um número da forma M p = 2 p − 1, com p primo,
diz-se um n´ umero de Mersenne .
Mostre que se n > 1, a > 1 e an − 1 é primo, então a = 2 e n é primo.
25. Suponha que p é um número primo.(a) Mostre que p é o máximo divisor comum dos coeficientes binomiais
pi
, onde
1 ≤ i ≤ p − 1.(b) Mostre que para quaisquer a, b ∈ Z, a p − b p e p são primos entre si ou
p2 | (a p − b p).26. Mostre todos os números inteiros exceptuando as potências de 2 são somas de
inteiros consecutivos.
27. Mostre que só a primeira soma parcial da série harmónica é inteira.
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Teorema Fundamental ITN (2001)
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Caṕıtulo 2
Congruências
2.1 Propriedades básicas
Definição 2.1.1 Seja n um n´ umero natural maior que 1. Dois n´ umeros inteiros x, e y dizem-se congruentes módulo n se n | (x − y). Se x é congruente com y m´ odulon, nota-se
x ≡ y (mod n)
Repare-se que a definição também tem sentido com n = 1, neste caso todos osnúmeros inteiros são congruentes entre si e por isso eliminamo-lo de inı́cio.
Outra formulação
Teorema 2.1.1 Dois n´ umeros inteiros x, y s˜ ao congruentes (mod n) se e apenas se a divis˜ ao de cada um deles por n tem o mesmo resto.
Dem. Pondo x = dn + r e y = qn + s com 0 ≤ r, s < n, se n | (x − y) então n | (r − s);como
|r
−s
|< n terá de ser r
−s = 0. A rećıproca verifica-se imediatamente.
Demonstra-se sem dificuldade que
Corolário 2.1.1 A relaç˜ ao de congruência · ≡ · é de equivalência em Z e compatı́vel com a soma e o produto, ou seja se a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n), ent˜ ao a + c ≡b + d (mod n)e ac ≡ bd (mod n).
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Congruências ITN(2001)
E daqui se deduz que, mais geralmente,
Corolário 2.1.2 Se ai ≡ bi (mod n) (1 ≤ i ≤ k), ent˜ ao1. k
i=1 ai ≡ k
i=1 bi (mod n)
2. k
i=1 ai ≡ k
i=1 bi (mod n)
3. Se f é um polin ́omio de coeficientes em Z (f ∈ Z[x]) e a ≡ b (mod n), ent˜ aof (a) ≡ f (b) (mod n)
Note-se que, n|
m se e apenas se m≡
0 (mod n).
Exemplo 2.1.1 Dados dı́gitos a0, · · · , a p ∈ {0, 1, · · · , 9}, sejaa p · · · a0 = a p10 p + · · · + a110 + a0;
então
a p · · · a0 ≡ p
i=0
ai (mod 3).
pois, por um lado 10 ≡ 1 (mod 3), por outro, se f (x) = a px p + · · · + a1x + a0 então
a p · · · a0 = f (10) ≡ f (1) = p
i=0
ai (mod 3).
Por outras palavras: um número inteiro representado na base 10 é diviśıvel por 3 se eapenas se a soma dos seus algarismos o for.
Por exemplo 3 |7523426, pois 7+5+2+3+4+2+6 = 29 ≡ 2+ 9 = 11 ≡ 2 (mod 3)e 2 ≡ 0 (mod 3).
Observando um pouco melhor7 + 5 + 2 + 3 + 4 + 2 + 6 = (7 + 5) + 2 + (4 + 2) + 6 ≡ 2 (mod 3)
Teorema 2.1.2 Qualquer n´ umero inteiro é congruente (mod n) com um e s´ o um dos elementos de {0, 1, · · · , n − 1}.
Dem. Dados n ∈ N & x ∈ Z, pelo teorema 1.2.1, existem q e r únicos tais quex = qn + r 0 ≤ r < n;
portanto x ≡ r (mod n) & 0 ≤ r ≤ n − 1. A unicidade resulta doteorema 2.1.1.
Um conjunto {r1, · · · , rn} diz-se um sistema completo de reśıduos módulo n,se para cada número inteiro x existe um e um só ri tal que x ≡ ri (mod n)
Exemplo 2.1.2 {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} e {−7, 8, −5, 10, −3, 19, 13} são sistemas com-pletos de reśıduos módulo 7.
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Int. à Teoria dos Números (2001) Congruências
Teorema 2.1.3 Todos os sistemas completos de reśıduos para um mesmo m´ odulo têm o mesmo n´ umero de elementos.
Dem.Consideremos um sistema completo de reśıduos, digamos R = {r1, r2, · · · , rk}, para
um módulo fixo n > 1; seja ainda R0 = {1, 2, · · · , n−1}. Como vimos acima, no teorema2.1.2, para cada j = 1, · · · , k, existe um e só um i( j) ∈ R0 tal que r j ≡ i( j) (mod n),portanto R0 tem pelo menos o mesmo número de elementos que R; por outro lado, Ré também um sistema completo de resı́duos e, por definição, para cada elemento de R0existe um e só um elemento de R com o qual aquele é congruente (mod n), donde R
tem pelo menos tantos elementos como R0. Em suma: R e R0 têm de facto o mesmonúmero n de elementos.
2.2 Inversão I
A congruência em x 2x ≡ 1 (mod 4) não tem solução, porque os múltiplos de 4 sãopares e 2x − 1 é sempre ı́mpar; mas 2x ≡ 1 (mod 5) tem solução 3.
Definição 2.2.1 Um inverso aritmético de a (mod n) é um n ́umero inteiro a∗ tal
que a∗a ≡ aa∗ ≡ 1 (mod n).
Teorema 2.2.1 O n´ umero a ∈ Z \ {0} tem inverso aritmético (mod n) se e apenas se mdc(a, n) = 1.
Dem. O teorema 1.2.4 diz, em particular, que mdc(a, n) = 1 se e apenas se existemx, y ∈ Z tais que ax + ny = 1. Por um lado esta última equação indica que ax ≡1 (mod n) e consequentemente x é um inverso aritmético de a (mod n), que existe semdc(a, n) = 1;por outro lado, de aa∗ ≡ 1 (mod n), deduz-se aa∗ = dn + 1, para algumd ∈ Z, pelo que aa∗ + (−d)n = 1 e a e n são primos entre si.
Veremos adiante que dois inversos aritméticos de um mesmo número para o mesmomódulo são congruentes entre si para esse módulo.
Teorema 2.2.2 Se mdc(a, n) = d & a = 0, ent˜ ao
ax ≡ ay (mod n) ⇔ x ≡ y mod( nd
)
Dem. (⇐) Se x ≡ y mod( nd ), então, para certo q ∈ Z, x − y = q nd , pelo que ax − ay =q and = q
ad n, ou seja ax ≡ ay (mod n).
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Congruências ITN(2001)
(⇒) Se ax ≡ ay (mod n), então a(x − y) = qn para algum q ∈ Z; segue-se quead (x − y) = nd q ; ora ad e nd são primos entre si (teorema 1.2.4), pelo que ad | q , vindox − y = qa/d n, isto é x ≡ y (mod n).
Observando que, de acordo com o teorema 2.2.1, a∗ (mod n) existe se e apenas semdc(a, n) = 1, deduz-se que
Corolário 2.2.1 Se a tem inverso aritmético (mod n), ent˜ ao
ax ≡ ay (mod n) ⇔ x ≡ y (mod n).E ainda
Corolário 2.2.2 Se p é primo e a ≡ 0 (mod p), ent˜ ao a tem inverso (mod p).Dem. Note-se que a ≡ 0 (mod n) ⇒ mdc(a, p) = 1.
2.3 Congruências lineares
Uma congruência diz-se linear se for da forma
ax ≡ b (mod n) (2.1)Se a = 0, esta congruência tem solução x se e apenas se n | b e neste caso qualquer
x ∈ Z é solução. Assim consideraremos apenas congruênciasax ≡ b com a = 0. (2.2)
Teorema 2.3.1 Se a tem inverso a∗ (mod n), ent˜ ao
ax ≡ b (mod n) ⇔ x ≡ a∗b (mod n).Dem. Suponha-se que aa∗ ≡ 1 (mod n).
(⇒) Se ax ≡ b (mod n), então a∗ax ≡ a∗b (mod n). Ora a∗ax ≡ x (mod n),portanto x ≡ a∗b (mod n).
(⇐) Se x ≡ a∗b (mod n), analogamente se obtémax ≡ aa∗b ≡ b (mod n)
e dáı ax ≡ b (mod n).
Teorema 2.3.2 Suponha-se que a ≡ 0 (mod n). A congruência (2.1) tem soluç˜ ao se e apenas se mdc(a, n) | b. Se d = mdc(a, n) | b, e a∗d é um inverso de ad (mod n), ent˜ aoas seguintes condiç˜ oes s˜ ao equivalentes
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Int. à Teoria dos Números (2001) Congruências
1. A congruência (2.1)
2. x ≡ a∗d
bd
(mod nd )
3. x = a∗d
bd
+ k
nd
0 ≤ k ≤ d − 1 (mod n)
Dem. Seja d = mdc(a, n).
I) Existência de solução
(⇒) Se ax ≡ b (mod n) então n | (ax − b). Como d | n & d | a, tem-se d | (ax − b)e d | a, portanto d | b (corolário 1.2.2).
(⇐) Existem x0, y0 tais que x0a + y0n = d. Por outro lado, por hipótese existe ktal que b = kd, assima(x0k) + n(y0k) = kd = b
isto é a(x0k) ≡ b (mod n). Faça-se x = x0k.II) Determinação da solução.
HIPÓTESE: a∗d
ad
≡ 1 (mod nd ) & d | b.Considere-se a seguinte sequência de congruências equivalentes, observando que 2 e
3 o são obviamente:
ax ≡ b (mod n)d
a
d
x
≡ d
b
d
(mod n)
a
dx ≡ b
d (mod
n
d) (teorema 2.2.2).
2.3.1 Inversão II
Dados a = 0 e n > 0 tais que mdc(a, n) = 1, vimos na demonstração do teorema 2.2.1que a∗ (mod n) é coordenada x da solução (x, y) da equação diofantina ax + ny = 1,pelo que, determinado um a∗, todos os outros são da forma a∗ + kn (k ∈ Z), ou seja
Teorema 2.3.3 Todos os inversos (mod n) de um mesmo n´ umero inteiro n˜ ao nulos˜ ao congruentes (mod n) entre si.
E ainda
Teorema 2.3.4 Se a = 0 & mdc(a, n) = 1 ent˜ ao a∗∗ ≡ a (mod n).
Dem. A equação aa∗ + ny = 1 diz-nos que a é inverso (mod n) de a∗, isto é, a é uma∗∗.
O teorema anterior diz-nos que todos os inversos (mod n) de a∗ são congruentes(mod n). Consequentemente a∗∗ ≡ a (mod n).
Uma outra forma de enunciar o teorema 2.2.1 é a seguinte:
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Int. à Teoria dos Números (2001) Congruências
Dem. Seja P n definido como no exemplo 2.4.1.
1. P n é um sistema reduzido (mod n) porque
(a) Qualquer inteiro é congruente (mod n) com algum elemento de S n ={0, 1, · · · , n − 1}, em particular um inteiro primo com n, cujo congruenteem S n é primo com n (teorema 2.3.5), logo está em P n.
(b) Dois elementos distintos de P n não são congruentes entre si. Assim
I. cada x primo com n é congruente com um e um s´ o elemento de P n.
2. Dado um sistema reduzido de reśıduos (mod n), digamos P n, a proposição Iacima afirma a funç˜ ao que associa a cada resı́duo em P n o seu ´ unico congruente em P n é bijectiva .
2.4.2 Teoremas de Euler, de Fermat e de Wilson
Teorema 2.4.3 (de Euler) Para qualquer a ∈ Z \ {0} e qualquer n ∈ N \ {1}
mdc(a, n) = 1
⇒ aφ(n)
≡1 (mod n).
O corolário seguinte é imediato:
Corolário 2.4.1 Para qualquer a ∈ Z \ {0} e qualquer n ∈ N \ {1}
mdc(a, n) = 1 ⇒ a∗ ≡ aφ(n)−1 (mod n).
Dem. (do teorema 2.4.3) Suponha-se a = 0 & mdc(a, n) = 1.I) Se 0 = r & mdc(r, n) = 1, então mdc(ar,n) = 1.
Dem. Seja d = mdc(ar,n) nas condições da hipótese. Se d > 1, então existe umnúmero primo p tal que p
| d. Segue-se que p
| ar & p
| n, logo p
| a & p
| n ou
p | r & p | n; no primeiro caso mdc(a, n) ≥ p > 1, no segundo mdc(r, n) ≥ p > 1, o quecontradiz as hipóteses.
II) Seja {r1, · · · , rφ(n)} um sistema reduzido de reśıduos (mod n), e defina-seP = {ar1, · · · , arφ(n)}.
Todos os elementos de P são primos com n, pelo que vimos em I. Por outro lado,como os ri nunca são congruentes entre si, o mesmo acontece com os ari (teorema2.2.2). Segue-se que
cada ari é congruente com um e s´ o um dos r j, digamos r j ≡ arσ( j), em que σ é uma permutaç˜ ao de {1, · · · , φ(n)}.
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Congruências ITN(2001)
III) Tem-se entãoφ(n)i=1
(arσ(i)) ≡φ(n)i=1
ri (mod n)
ou seja
aφ(n)φ(n)i=1
rσ(i) ≡φ(n)i=1
ri (mod n)
ou
aφ(n)φ(n)
i=1
ri ≡
φ(n)
i=1
ri (mod n)
Pelo teorema 2.2.2, já que mdc(φ(n)
i=1 ri, n) = 1, conclui-se aφ(n) ≡ 1 (mod n).
Teorema 2.4.4 (Pequeno Teorema de Fermat) Se p é primo e p |a, ent˜ aoa p−1 ≡ 1 (mod p).
Dem. Basta observar que φ( p) = p − 1.
Teorema 2.4.5 (de Wilson) Se p é primo, ent˜ ao ( p − 1)! ≡ −1 (mod p)Dem. Se p = 2, tem-se ( p − 1)! = 1 ≡ −1 (mod 2). Se p = 3, tem-se ( p − 1)! =2 ≡ −1 (mod 3). Suponha-se que p > 3. Sabemos que P p = {1, 2, · · · , p − 1} é umsistema reduzido de reśıduos (mod p). Observando que qualquer número e o seu inverso(mod n) são primos com n e finalmente considerando o teorema 2.3.4:
Cada r ∈ P p tem um inverso (mod p) r∗ p ∈ P p e (r∗ p)∗ p = r. Por outro lado, ser = r∗ p, tem-se r2 = rr∗ p ≡ 1 (mod p) e p | (r2 − 1) = (r + 1)(r − 1); logo p | (r + 1) ou p | (r − 1), isto é, r ≡ −1 (mod p) ou r ≡ 1 (mod p) ou ainda r ≡ p − 1 (mod p) our ≡ 1 (mod p).
Concluimos quer = r∗ p
⇔ (r = 1 ou r = p
−1) (1
≤r
≤ p
−1);
donde os pares {r, r∗} são conjuntos não singulares e definem uma partição de {2, · · · , p−2}, tendo-se
p−2i=2
i =
p−32
i=1
rir∗i ≡ 1 (mod p)
Segue-se que
( p − 1)! = 1 · p−2i=2
i · ( p − 1) ≡ p − 1 (mod p)
isto é ( p − 1)! ≡ −1 (mod p).
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O lema seguinte é extremamente simples, mas tem uma consequência não trivial.
Lema 2.4.1 Se p é um n ́umero primo ı́mpar e (−1) p−12 ≡ 1 (mod p), ent˜ ao p ≡1 (mod 4).
Dem. Suponha-se então que p é um número primo ı́mpar e que (−1) p−12 ≡ 1 (mod p);queremos mostrar que p−12 é par. Se
p−12 fosse ı́mpar, viria −1 ≡ 1 (mod p), pelo que
p dividiria 2, o que não é o caso; portanto p−12 é par.
A consequência:
Teorema 2.4.6 Seja p um primo ı́mpar. A congruência x2 ≡ −1 (mod p) tem soluç˜ aose e apenas se p ≡ 1 (mod 4); neste caso
p−12
! é uma soluç˜ ao.
Dem. (apenas se) De x2 ≡ −1 (mod p) deduz-se
x p−1 = (x2)p−12 ≡ (−1) p−12 (mod p)
e conclui-se 1 ≡ (−1) p−12 (mod p); pelo lema 2.4.1, p ≡ 1 (mod 4).(se) Se p ≡ 1 (mod 4), então p−12 é par. Por outro lado
( p − 1)! =
p − 12
!
p − p − 12
· · · ( p − 2)( p − 1).
Pelo Teorema de Wilson,
−1 ≡ (−1) p−12
p − 12
!
2(mod p)
Como p−12 é par,
−1 ≡
p − 12
!
2(mod p)
como pretendı́amos verificar.
E consequentemente
Corolário 2.4.2 Se p é primo ı́mpar e para algum n ́umero inteiro x p | (x2 + 1), ent˜ ao p ≡ 1 (mod 4).
E mais um corolário (compare-se com o teorema 1.2.9).
Corolário 2.4.3 H´ a uma infinidade de n´ umeros primos da forma 4k + 1(k ∈ Z), i.e., congruentes com 1 para o m´ odulo 4.
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Congruências ITN(2001)
Dem. Vamos mostrar que seja qual for o número natural n, existe um número primomaior que n da forma pretendida. Seja então n um número natural – maior ou igual a4 para evitar trivialidades – e defina-se
N = (n!)2 + 1.
Seja p o menor divisor primo de N . Se N é primo, N = p, é já da forma pretendidae maior que n. Se N não é primo, p > n pois N não é divisı́vel por qualquer númeromenor que n; p > 2 – porque N é ı́mpar – e p | (n!)2 + 1; pelo corolário anterior (2.4.2) p ≡ 1 (mod 4).
2.5 Congruências polinomiais
2.5.1 Introdução
Nesta secção estudamos a resolução de congruências da forma
f (x) ≡ 0 (mod n) (2.3)em que f é um polinómio de coeficientes inteiros e grau m maior que 1 (mod n):
f (x) = a0 + a1x1 +
· · · + amx
m & m > 1 & am ≡
0 (mod n). (2.4)
O grau de um polinómio f (mod n) designa-se por degn(f ). Se f (x) = α ∈ Z, o graude f (mod n) é zero.
O Teorema 2.4.6 é obviamente um caso particular deste estudo.Comecemos por observar que, para qualquer n > 1 existem congruências (2.3) &
(2.4) sem soluç˜ ao; mais precisamente:
Exemplo 2.5.1 Se p é primo e p|n, ent˜ ao a congruência x p−x+1 ≡ 0 (mod n) n˜ ao tem soluç˜ oes. Tal pode verificar-se do seguinte modo: quando p|n,se x p−x+1 ≡ 0 (mod n) também x p−x+1 ≡ 0 (mod p); mas x p−x+1 ≡ 1 ≡ 0 (mod p),quando p é primo, em virtude do Pequeno Teorema de Fermat; portanto a congruência
inicial não tem de facto solução.
Exemplo 2.5.2 Dois polin´ omios f (x) e g(x) congruentes (mod n) para todo o x ∈ Zn˜ ao têm necessariamente o mesmo grau (mod n): se p é primo, x p
2 −x e x p − xsão ambos identicamente nulos (mod p).
A situação é assim algo complicada mas, tal como a propósito do problema daresolubilidade algébrica, há resultados parciais importantes e relativamente simples1.
Repare-se que1De facto, nem mesmo no caso em que n é primo, se conhecem fórmulas resolventes gerais para a
congruência (2.3) & (2.4)
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Teorema 2.5.1 Se dois polin´ omios f e g têm coeficientes do mesmo grau congruentes (mod n), as congruências f (x) ≡ 0 (mod n) e g(x) ≡ 0 (mod n) s˜ ao equivalentes.Assim basta considerar polin´ omios cujos coeficientes estejam entre 0 e n − 1.
Dem. Suponha-se que f (x) = m
i=0 aixi e g(x) =
mi=0 bix
i, sendo ai ≡ bi (mod n)para 0 ≤ i ≤ n. Tomando ci = ai−bin vem
f (x) − g(x) = nmi=0 cixiou seja, f (x) ≡ g(x) (mod n) para qualquer x ∈ Z, em particular f (x) ≡ 0 (mod n) sse g(x) ≡0 (mod n).
De facto, uma aplicação da regra de Ruffini mostra que
Teorema 2.5.2 Para qualquer polin´ omio f (x) como em (2.3) e (2.4) e qualquer a ∈ Z,existe um polin´ omio q (x), de coeficientes inteiros e grau m − 1, tal que
f (x) = (x − a)q (x) + f (a) (x ∈ Z).
Daqui decorre
Corolário 2.5.1 Se f (x) é um polin ́omio como em (2.3) & (2.4) e a ∈ Z, ent˜ ao f (a) ≡0 (mod n) sse existe um polin´ omio q (x) de coeficientes inteiros, grau m − 1 (mod n) e coeficiente de maior ordem igual ao de f (x) tal que
f (x) ≡ (x − a)q (x) (mod n) (x ∈ Z). (2.5)Dem. Se f (a) ≡ 0 (mod n), então n|f (a) e (2.5) resulta imediatamente do teoremaanterior, por definição de congruência. Reciprocamente, se vale (2.5),então como a éconcerteza solução de (x − a)q (x) ≡ 0 (mod n) para qualquer x ∈ Z, necessariamentef (a) ≡ 0 (mod n).
2.5.2 Módulo primo
Convencionemos que p designa um número primo. O primeiro facto a registar é que
basta considerar polinómios de grau menor ou igual a p (mod p) :
Teorema 2.5.3 Qualquer congruência polinomial f (x) ≡ 0 (mod p) é equivalente a outra g(x) ≡ 0 (mod p) em que g(x) é um polin ́omio nulo ou de grau menor ou igual a p − 1 (mod p).
Dem. A ideia é baixar tanto quanto posśıvel o grau dos monómios envolvidos, uti-lizando o Pequeno Teorema de Fermat:
Repare-se que, se n = pq + r com 0 ≤ r < p, entãoxn = (x p)qxr ≡ xqxr = xq+r (mod p)
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Congruências ITN(2001)
Aplicando sucessivamente esta sequência de congruências a cada monómio de f , reduz-se o expoente de cada um deles a um número inferior a p.
Tal como para equações, o teorema 2.5.2 tem a seguinte consequência.
Teorema 2.5.4 Se b1, b2,...,bk s˜ ao soluç˜ oes da congruência polinomial f (x) ≡ 0 (mod p) n˜ ao congruentes duas a duas, existe um polin´ omio q (x), cujo coefi-ciente de maior ordem é o mesmo que o de f e tal que
deg p(q ) ≤ deg p(f ) − k & f (x) ≡ (x − b1)(x − b2) · · · (x − bk)q (x) (mod p)Dem. A demonstração é muito semelhante à correspondente para equações, por uti-lização recursiva da regra de Ruffini:
Primeiro obtem-sef (x) ≡ (x − b1)q 1(x) (mod p)
pelo corolário 2.5.1. Em seguida há que verificar se
q 1(b2) ≡ 0 (mod p) (2.6)e reaplicar o mesmo corolário, tantas vezes quanto necessário. Repare-se então que,por hipótese
0≡
f (b2
)≡
(b2 −
b1
)q 1
(b2
) (mod p),
isto é, p|(b2 − b1)q 1(b2)
e como, também por hipótese, p é primo e p |(b1 − b2), necessariamente p|q 1(b2), ouseja vale a equação (2.6).
Uma conclusão a retirar é
Corolário 2.5.2 Quando p é primo e f (x) é um polin ́omio cujos coeficientes n˜ ao s˜ aotodos nulos (mod p), o n´ umero de soluç˜ oes distintas (mod p) de uma congruência polinomial f (x) ≡ 0 (mod p) é quando muito deg p(f ).
Antes de apresentarmos uma demonstração atentemos no seguinte exemplo.
Exemplo 2.5.3 Se n não é primo, o número de soluções não mutuamente congruentes(mod n) de uma equação como em (2.3) e (2.4) pode ser superior ao grau de f (mod n):x2 − 1 ≡ 0 (mod 8) tem soluções 1, 3, 5, 7.Dem. (Do corolário 2.5.2) Tomem-se f, q e os bi, com 1 ≤ i ≤ k, como no teorema.Como q (x) tem o mesmo coeficiente de maior ordem que f (x), necessariamente o seugrau é maior ou igual a zero, portanto
0 ≤ deg p(q ) ≤ deg pf (x) − k i.e. k ≤ deg p(f ).
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2.5.3 Módulo potência de base prima
Veremos como se podem obter as soluções de uma congruência
f (x) ≡ 0 (mod pα+1) (2.7)a partir das da congruência f (x) ≡ 0 (mod pα). De facto vamos provar o seguinte:
Teorema 2.5.5 As soluç˜ oes da congruência
f (x) ≡ 0 (mod pα+1)s˜ ao da forma
x = b + kpα com k ∈ Z, (2.8)sendo
f (b) ≡ 0 (mod pα) & f (b)k ≡ −f (b) pα
(mod p) (2.9)
Comecemos com uma Fórmula de Taylor. Designando por f a derivada dopolinómio f, definimos também
f (0) = f
f (i+1) =
f (i)
i ∈ Z+0Nestes termos tem-se
Lema 2.5.1 Seja f (x) um polin´ omio de grau m (mod n) de coeficientes inteiros comoem (2.3) & (2.4). Ent˜ ao
f (x + y) = f (x) +m
k=1
f (k)(x)
k! yk (x, y ∈ Z) (2.10)
e os coeficientes f (k)(x)k! (1 ≤ k ≤ m) s˜ ao n´ umeros inteiros.
Dem. Como, para quaisquer polinómios f e g e qualquer α ∈ Z se tem(f + g) = f + g & (αf ) = αf,
basta demonstrar o teorema quando f (x) = xm e neste caso (2.10) é nada mais nadamenos que uma outra forma de apresentar o desenvolvimento de Newton para (x+y)m,pois
f (k)(x) = m(m − 1) · · · (m − k + 1)xm−k = m!(m − k)! x
m−k.
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Dem. (Do teorema 2.5.5)Observe-se que, quando f (x) ≡ 0 (mod pα+1) também f (x) ≡ 0 (mod pα), pelo que
as soluções da primeira congruência se encontram entre as da segunda; resumindo
f (x) ≡ 0 (mod pα+1) ⇒ f (x) ≡ 0 (mod pα) ⇒ x = b + kpα
para algum k ∈ Z e algum b ∈ Z tal que f (b) ≡ 0 (mod pα).Ora, pelo lema 2.5.1, vem
f (b + kpα) = f (x) +
m
i=1f (i)(b)
i! (kpα)i;
como α ≥ 1, os termos do segundo membro em que i > 1 são divisı́veis por pα+1, poisαi > 2α = α + α ≥ α + 1. Assim
f (b + kpα) ≡ f (b) + f (b)1
kpα (mod pα+1);
mas f (b) ≡ 0 (mod pα), pelo que f (b) = tpα, para algum t ∈ Z. A situação a analisaré então a seguinte
pα
t + f (b)k ≡ 0 (mod pα+1)
ou sejaf (b)
pα
+ f (b)k≡
0 (mod p)
como se pretendia verificar.
Segue-se uma verificação mais detalhada da validade da fórmula (2.9).
Caso f (b) ≡ 0 (mod p). Neste caso a congruência (2.9) é equivalente af (b)
pα ≡ 0 (mod p)
por sua vez equivalente af (b) ≡ 0 (mod pα+1); (2.11)
se esta se não verifica, pura e simplesmente não há soluções; se (2.11) se dá, então,pelo lema 2.5.1, a equação (2.8) dá-nos soluções para a congruência (2.7) seja qual fork ∈ Z.Caso f (b) ≡ 0 (mod p). Neste caso a solução em k de (2.9) é dada por
k ≡ −f (b)∗f (b) pα
(mod p)
A solução da congruência (2.7) é mesmo única e dada por
x ≡ b − f (b)∗f (b) pα
pα (mod pα+1) com f (b)∗f (b) ≡ 1 (mod p)
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ou ainda
x ≡ b − f (b)∗f (b) (mod pα+1) & f (b)∗f (b) ≡ 1 (mod p) (2.12)
2.5.4 Teorema Chinês do Resto
A resolução de congruências polinomiais (2.3) & (2.4) pode reduzir-se aos casos quetemos vindo a estudar, como vamos ver. Note-se que para a discussão que segue não
importa se f (x) é ou não um polinómio.Suponhamos então que n é um número natural composto, digamos
n = pα11 pα22 · · · pαkk
para certos números primos pi.Generalizando o argumento apresentado no exemplo 2.5.1, observe-se que
f (x) ≡ 0 (mod n) ⇒ f (x) ≡ 0 (mod pαii ) (1 ≤ i ≤ k),
pelo que as soluções da congruência
f (x) ≡ 0 (mod n) (2.13)se encontram entre as do sistema de congruências
f (x) ≡ 0 (mod pαii )1 ≤ i ≤ k
Acontece que este sistema é mesmo equivalente à congruência (2.13), pois potências deprimos distintos são primas entre si e o seu produto divide qualquer número divididosimultaneamente por todas elas (se a|c, b|c e a e b são primos entre si, então ab|c.)Provámos então o seguinte
Teorema 2.5.6 Se n é um n ́umero composto de factores de base prima pαii
n = pα11 · · · pαkk ,
a congruência
f (x) ≡ 0 (mod n)é equivalente ao sistema de congruências
f (x) ≡ 0 (mod pαii )1 ≤ i ≤ k (2.14)
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Vimos já que algumas congruências polinomiais f (x) ≡ 0 (mod n) não têm solução,mas se todas as do sistema (2.14) tiverem, então há de facto solução e deverá ser posśıveldeterminá-la. Utilizaremos o seguinte lema
Lema 2.5.2 (Teorema Chinês do Resto) Se m1,...,mk s˜ ao n´ umeros naturais pri-mos entre si dois a dois e b1,...,bk s˜ ao n´ umeros inteiros quaisquer, o sistema de con-gruências
x ≡ bi (mod mi)1 ≤ i ≤ k (2.15)
tem soluç˜ ao e quaisquer duas soluç˜ oes s˜ ao congruentes (mod m1 · · · mk).Dem. Comecemos pela afirmação final.
Se x e y são soluções do sistema (2.15), então x − y ≡ 0 (mod mi) para qualquerdos mi, ou seja, x − y é diviśıvel por qualquer dos mi. Como os mi são primos entre si,o seu produto divide x − y, como se pretendia concluir.
Quanto à existência de solução para o sistema: vamos procurá-la na forma
x = x1b1 + · · · + xkbk (2.16)
de modo que, para cada i,
1. todas as parcelas com posśıvel excepção da i-ésima sejam diviśıveis por mi,
2. a i-ésima parcela seja congruente com bi (mod mi).
Para verificar a primeira condição basta que
mi =k
j=1 j=i
m j |xi;
para verificar a segunda basta que
xi ≡ 1 (mod mi)
As duas condições são verificadas simultâneamente se
(mi)∗mi ≡ 1 (mod mi) & xi = (mi)∗mi (2.17)
Ora cada mi é primo com mi, portanto os inversos aritméticos (mi)∗ existem e as
condições (2.16) e (2.17) definem uma solução para o sistema (2.15).
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Exemplo 2.5.4 Considere-se a congruência
x2 − 1 ≡ 0 (mod 108). (2.18)
Como 108 = 22 · 33, pelo teorema 2.5.6, (2.18) é equivalente ao sistema x2 − 1 ≡ 0 (mod 22) (i)x2 − 1 ≡ 0 (mod 33) (ii) (2.19)
Por simples inspecção conclui-se que as soluções da congruência (i) são dadas por
x ≡ 1, −1 (mod 22).Quanto a (ii), vamos utilizar o teorema 2.5.5. O módulo 32 é ainda razoavelmentebaixo e, também por inspecção, se podem obter as soluções
x ≡ 1, −1 (mod 32).
Ora f (x) = 2x donde
f (1) = 2 ≡ −1 ≡ 0 (mod 3) & f (−1) = −2 ≡ 1 ≡ 0 (mod 3).
Ambas as derivadas são invert́ıveis (mod 3) e nas congrûencias em (2.9)
k ≡ 0(mod 3), portantox2 − 1 ≡ 0 (mod 33) se e só se x ≡ ±1 (mod 33).
O sistema (2.19) dá então lugar aos sistemas seguintes, que podem ser resolvidos uti-lizando, por exemplo, o Teorema Chinês do Resto 2.5.2, como vimos atrás.
(S 1)
x ≡ 1 (mod 22)x ≡ 1 (mod 33) (S 2)
x ≡ 1 (mod 22)x ≡ −1 (mod 33)
(S 3)
x ≡ −1 (mod 22)x
≡1 (mod 33)
(S 4)
x ≡ −1 (mod 22)x
≡ −1 (mod 33)
De um modo geral, as soluções da congruência (2.18) são dadas pela fórmula
x ≡ 3 · 33 · (±1) + 7 · 22 · (±1) ≡ ±81 ± 28 (mod 108)
onde as combinações de sinal são todas as possı́veis.Resolvendo detalhadamente (S 1): de acordo com a demonstração de 2.5.2, com
(2.16) e (2.17) tem-se m1 = 22, m1 = 3
3 e (m1)∗ ≡ −1 (mod 22) e também m2 =
33, m2 = 22 e (m2)
∗ ≡ 7 (mod 33). Segue-se que as soluções de (S 1) são dadas por
x ≡ 3 · 33 · 1 + 7 · 22 · 1 ≡ 109 ≡ 1 (mod 22 · 33).
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2.6 Exerćıcios
1. Mostre que a congruência y2 − x2 − 2 ≡ 0 (mod 4) não tem soluções e concluaque a equação Diofantina y2 − x2 − 2 = 0 também as não tem.
2. Utilize congruências módulo 4 para mostrar que se y2 = x3 + 2, então x e y sãoambos ı́mpares.
3. Seja f (x) = 11x3 + 15x2 + 9x − 2. Determine o resto da divisão de f (a) por bpara os pares (a, b) seguintes: (2,7), (6,7), (97,11).
4. Mostre que se p é primo, qualquer sequência de p−1 números inteiros consecutivosque não inclui múltiplos de p é um sistema reduzido de resı́duos (mod p).5. Calcule φ(n) para n ≤ 28.6. Mostre que se p é primo e n ∈ N, então φ( pn) = pn − pn−1.7. Resolva as congruências:
(a) 3x ≡ 1 (mod 5);(b) 3x ≡ 9 (mod 5);(c) 3x ≡ 9 (mod 24);(d) 5x ≡ 15 (mod 12);(e) x2 + 1 ≡ 0 (mod 4);(f) x3 + 2x + 1 ≡ 0 (mod 7);(g) x5 + x4 + x3 + x2 + x ≡ −1 (mod 5).
8. Determine os inversos (mod 18) de todos os inteiros que os têm.
9. Qual o inverso de 1975 (mod 2001)?
10. Mostre que uma quarta potência é congruente com 0 ou 1 (mod 5).
11. Resolva as congruências
(a) 2x + 3y ≡ 5 (mod 7);(b) x2 + y2 − 5y ≡ 2 (mod 9).
12. Seja ak10k + ak−110k−1 + · · · + a110 + a0 a expressão decimal do número natural
n = akak−1 · · · a1a0 (0 ≤ ai ≤ 9, 0 ≤ i ≤ k, a0 = 0).
(a) Mostre que 11 | n se e só se 11 | ki=0(−1)iai;(b) Verifique se 1234567890987654321 é diviśıvel por 11.
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13. Mostre que se k for ı́mpar, 112k + 192k é diviśıvel por 241.
14. Resolva os sistemas de congruências
(a)
2x + 7y ≡ 2 (mod 5)3x + 6y ≡ 2 (mod 7) ;
(b)
9x + 3y ≡ 3 (mod 10)15x + 2y ≡ 4 (mod 15) ;
(c)
2x + 7y ≡ 2 (mod 5)
3x − y ≡ 11 (mod 5) .
15. Verifique se as seguintes congruências têm ou não solução e, no caso afirmativo,resolva-as.
(a) x2 ≡ −1 (mod 17);(b) x2 ≡ −1 (mod 43);(c) x2 ≡ −1 (mod 65).
16. Mostre o recı́proco do Teorema de Wilson:
Se m ∈ N \ {1} e (m − 1)! ≡ −1 (mod m), então m é primo.
(Sugestão: Observe que se m > 4 e m não é primo então (m−1)! ≡ 0 (mod m).)17. Mostre que a equação Diofantina x2 + 1 = 23y não tem soluções inteiras.
18. Seja p um número primo. Mostre que (a + b) p ≡ a p + b p (mod p).19. Suponha que p é um primo ı́mpar. Mostre que
(a)
( p−1)/2i=1
(2i)2 ≡ (−1)( p+1)/2 (mod p),
(b)
( p−1)/2
i=1
(2i
−1)2
≡
( p−1)/2
i=1
(2i)2 (mod p).
20. Reduza o mais possı́vel o grau dos polinómios nas seguintes congruências e resolva-as.
(a) 2x17 + 3x2 + 1 ≡ 0 (mod 5);(b) x10 + 2x5 + 1 ≡ 0 (mod 5);(c) 3x23 + 2x20 + 4x17 − x6 + x5 − 3x3 + 2x + 1 ≡ 0 (mod 5).
21. Factorize (mod 11) de duas maneiras distintas os polinómios f (x) seguintes, ob-servando que em cada caso f (a) ≡ 0 (mod 11).
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Congruências ITN(2001)
(a) f (x) = x2 + 10x + 3, a = 6;
(b) f (x) = x3 − x2 + x + 10, a = 1;(c) f (x) = x3 − 6x2 − 2x + 20, a = −3.
22. Factorize (mod 13) o polinómio f (x) = x4 − 6x3 − 3x2 − 7x + 2 com pelo menosdois factores de primeiro grau.
23. Mostre que o polinómio x3 + 3x2 + 2x + 2 não pode ser factorizado (mod 5).
24. Resolva a congruência x pα ≡ b (mod p) sabendo que p é primo e α ≥ 1.
25. Resolva os seguintes sistemas de congruências
(a)
x ≡ 3 (mod 7)x ≡ 2 (mod 6)x ≡ 1 (mod 5)
(b)
x ≡ 5 (mod 2)x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 2 (mod 5)
(c)
3x ≡ 1 (mod 10)4x ≡ 2 (mod 7)
(d)
3x ≡ 2 (mod 4)2x ≡ 7 (mod 15)
4x ≡ −1 (mod 7)26. (a) Suponha que m, n ∈ N e que d = mdc(m, n). Mostre que o sistema de
congruências x ≡ a (mod m)x ≡ b (mod n)
tem solução se e só se a ≡ b (mod d) e que, nesse caso, a solução é única(mod mmc(m, n)).
(b) Determine se cada um dos seguintes sistemas de congruências tem solução
e, em caso afirmativo, resolva-o.
i.
x ≡ 5 (mod 6)x ≡ 7 (mod 10)
ii.
x ≡ 1 (mod 6)x ≡ 8 (mod 15)
27. Resolva as congruências:
(a) x13 ≡ x (mod 1365);(b) x17 ≡ x (mod 4080).
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Int. à Teoria dos Números (2001) Congruências
28. Resolva as seguintes congruências
(a) x2 + x + 1 ≡ 0 (mod 8);(b) x3 + x2 + 1 ≡ 0 (mod 24);(c) x4 + x2 + 1 ≡ 0 (mod 250).
29. Resolva a congruência
4x4 + 9x3 − 5x2 − 21x + 61 ≡ 0 (mod 1125).
Nota: Pretende-se que este seja um exercı́cio de revisão dos vários temas tratadossobre congruências polinomiais.
30. Resolva a congruência x50 + x12 ≡ 2 (mod 75).31. Mostre que 5n3 + 7n5 ≡ 0 (mod 12), para qualquer inteiro n.32. Determine todos os números inteiros cuja divisão inteira por 8 e por 7 dá respec-
tiva e simultâneamente resto 6 e resto 5.
33. Um Coronel após ter sido destacado para comandar um regimento do Exércitoquis saber por quantos efectivos esse regimento era formado, com esse objectivomandou-os dispor sucessivamente em colunas de:
37 indivı́duos, tendo sobrado um indivı́duo;
32 indivı́duos, tendo sobrado 4 indivı́duos;
27 indivı́duos, tendo sobrado um indivı́duo.
Sabendo que um regimento tem menos de 10 000 efectivos, determine quantaspessoas constitúıam esse regimento.
34. Um casal resolveu ir fazer uma viagem à volta do mundo. Sabendo que partiramno dia 1 de Março de um ano bissexto num domingo, que chegaram no dia 6 deMarço, segunda-feira e que demoraram menos de 4 anos, determine quantos diasdemorou a viagem usando o teorema chinês do resto.
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Caṕıtulo 3
Reśıduos quadráticos
3.1 Introdução
Neste caṕıtulo, vamos estudar a resolubilidade de congruências polinomiais de segundograu
uy2 + vy + w ≡ 0 (mod m) (2 < m |u)Repare-se que a condição 2 < m |u evita que o grau do polinómio no primeiro membrodesça. Vamos ver como se pode reduzir este estudo a congruências da forma
x2 ≡ a (mod p) ( p primo maior que 2 & p |a) (3.1)Comecemos por observar que, fazendo a = v2 − 4uw, x = 2uy + v, as soluções da
congruência inicial se encontram entre as da congruência
x2 ≡ a (mod 4um), (3.2)as quais são soluções do sistema
x2 ≡ a (mod pαii )1 ≤ i ≤ k
se 4um = pα11
· · · pαkk em representação canónica, resolvendo-se cada uma das con-
gruências a partir da inicial x2 ≡ a (mod p). Na verdade, se m |4u2, as soluçõespretendidas podem encontrar-se entre as da congruência
x2 ≡ a (mod m), (3.3)potencialmente com menos soluções.
Uma outra forma de considerar o problema consiste em observar que, se m é primo,o inverso (2u)∗ existe (mod m), ∆ := u2 − vw e z2 ≡ ∆ (mod m), então
uy2 + vy + w ≡ 0 (mod m) ⇔ u ≡ (−v ± z)(2u)∗ (mod m).Organizemos o estudo.
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Reśıduos quadráticos ITN(2001)
3.2 Preliminares
O número inteiro a diz-se resı́duo quadrático (mod n) se mdc(a, n) = 1 e a con-gruência x2 ≡ a (mod n) tem solução; caso contrário diz-se resı́duo não quadrático.
Em primeiro lugar: se a ∈ Z é reśıduo quadrático (mod m), então é reśıduoquadrático (mod p), para qualquer número primo que divida m. Pelo que as soluçõesde x2 ≡ a (mod m) se encontram entre as do sistema
x2 ≡ a (mod p) p|m p primo
Aĺem disso qualquer n´ umero inteiro ı́mpar é resı́duo quadr ́atico (mod 2); assim bastaconsiderar primos ı́mpares. Mas podemos ser mais precisos.
Lema 3.2.1 Se p é n ́umero primo ı́mpar e p |a, a congruência
x2 ≡ a (mod pα) (3.4)
tem soluç˜ ao sse o mesmo acontece com
x2 ≡ a (mod pα+1). (3.5)
De facto, ambas as congruências têm o mesmo n´ umero de soluç˜ oes.
Dem. (se) Qualquer solução da congruência (3.5)é solução de (3.4).(só se) Se x2 ≡ a (mod pα) e (2x)∗ designa um inverso de 2x (mod p), então
(x + kpα)2 ≡ a (mod pα+1) se k ≡ k(x) = −(2x)∗x2 − a pα
(mod p), (3.6)
pois a última expressão implica
2xkpα ≡ x2 − a (mod pα+1).
Finalmente observe-se que duas soluções da forma (3.6) da congruência (3.5) que
sejam congruentes (mod pα+1) provêm de soluções congruentes (mod pα) da primeira.Resumindo: há uma injecção do conjunto das soluções de (3.4) no das soluções de (3.5)que, por sua vez está contido naquele, i.e., são equipotentes.
Segue-se
Corolário 3.2.1 Se p é um n ́umero primo ı́mpar e p |a, o n´ umero de soluç˜ oes das congruências x2 ≡ a (mod p) & x2 ≡ a (mod pα+1) é o mesmo.
E podemos concluir
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Int. à Teoria dos Números (2001) Reśıduos quadráticos
Teorema 3.2.1 Se m é ı́mpar e maior que 2, a é reśıduo quadr ́atico (mod m) sse é resı́duo quadr ́atico (mod p), para todos os n´ umeros primos p que dividem m.
Um outro resultado que interessa ter em conta é:
Teorema 3.2.2 Se p é n ́umero primo ı́mpar, h´ a p−12 resı́duos quadr ́aticos (mod p)que s˜ ao os elementos de {i2| 1 ≤ i ≤ p−12 }.
Dem. verifiquemos que os reśıduos descritos não são congruentes (mod p). Orai2 ≡ j 2 (mod p) sse p|i − j ou p|i + j, isto é, sse i ≡ j ou i ≡ − j (mod p); mas, paravalores de i e j entre 1 e
p−1
2 , estas condições são equivalentes a i = j . Como os resı́duosentre p+12 e p são simétricos (mod p) dos já considerados, têm os mesmos quadrados(mod p) e descrevemos de facto todos os reśıduos quadráticos (mod p).
É claro que 1 é sempre reśıduo quadrático. Mais precisamente
Lema 3.2.2 Se p é n ́umero primo,
x2 ≡ 1 (mod p) ⇔ [x ≡ 1 (mod p) ou x ≡ −1 (mod p)]
3.3 Lei de Reciprocidade QuadráticaO śımbolo de Legendre
a p
é um instrumento de determinação do carácter quadrático
do número inteiro ou reśıduo a (mod p) e define-se do seguinte modo
a
p
=
0 p | a1 a é quadrático (mod p)
−1 caso contrário( p é primo) (3.7)
É bastante simples verificar que
Teorema 3.3.1 Se p |a & p |b & a ≡ b (mod p), ent˜ ao a p = b pDesenvolvamos algumas técnicas de cálculo
Teorema 3.3.2 (Critério de Euler) Se p é primo ı́mpar e p |a, ent˜ aoa
p
≡ ap−12 (mod p) (3.8)
Dem.I) a é reśıduo quadrático.
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Reśıduos quadráticos ITN(2001)
Neste caso temos, por um lado x2 ≡ a (mod p), para algum x, pelo que p |x, e dáıa
p
= 1 ≡ x p−1 ≡ (x2) p−12 ≡ a p−12 (mod p).
II) a não é reśıduo quadráticoRepare-se que, pelo Pequeno Teorema de Fermat,
(ap−12 )2 ≡ 1 (mod p);
pelo que (lema 3.2.2)
ap−
12 ≡ ±1 (mod p).Defina-se
Q p := {i2| 1 ≤ i ≤ p − 12
};
Como xp−12 ≡ 1 (mod p) para qualquer x ∈ Q p e Q p tem precisamente p−12 elementos,
pelo Teorema de Lagrange (2.5.2), a ∈ Q p; consequentementea
p
= −1 ≡ ap−12 (mod p).
Obtém-se então
Corolário 3.3.1 Se p é um n ́umero primo ı́mpar , ent˜ ao
1.
ab p
=
a
p
b
p
( p |a & p |b)
2.−1 p
= (−1) p−12
3. −1 é reśıduo quadr ́atico (mod p), sse p = 2 ou p ≡ 1 (mod 4)A terceira asserção é já conhecida (teorema 2.4.6); a segunda e a primeira resultam
de o sı́mbolo de Legendre só tomar os valores 0, 1 ou −1 e por aplicação do critério deEuler.
Dado n ∈ N\{1, 2}, seja
Ln =
{i ∈ Z| |i| ≤ n2} se n é ímpar
{i ∈ Z| |i| < n2} ∪ {n2} se n é par.
Ln é o sistema completo de reśıduos (mod n), de menor valor absoluto. Para cadax ∈ Z e cada n ∈ N, designe-se por x̂ o resı́duo em Ln congruente com x (mod n).
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