Eletromagnetismo I

prof. Su Pei Feisu.fei@cruzeirodosul.edu.br

Análise vetorial

• Vetores• Campo escalar e campo vetorial• Algebra vetorial• Produto escalar e produto vetorial• Sistema de Coordenadas

– Coordenadas cartesianas– Coordenadas cilíndricas– Coordenadas esféricas

• Conceitos de Gradiente, Fluxo e Divergente• Integral de linha• Rotacional

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Grandeza escalar refere-se a grandeza cujo valor pode ser represento por um número real único (positivos ou negativos).

Exemplos:•distancia entre dois pontos,•comprimentos de segmentos e curvas,•áreas, volumes, temperatura, densidade, etc.

Grandezas Escalares

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grandezas vetoriais são conceitos que precisam não apenas de um escalar para representá-las, mas também de direção e sentido.

Exemplos:Um exemplo simples pode ser dado pelo conceito de velocidade de uma partícula que se desloca ao longo de uma curva.

Grandezas Vetoriais

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Campo escalar e campo vetorial

• Conceito de campo: fundamental para o estudo do eletromagnetismo

• Quase todas as leis são escritas utilizando campo elétrico, magnético ou de

potenciais

• Para definir o campo, basta atribuir a cada ponto no espaço uma

propriedade (física ou geométrica)

• Outros campos escalares: potenciais, pressão, densidade, umidade

• Para definir um campo escalar, precisamos de

• três variáveis independentes (x, y e z) que definem o ponto do espaço;

• uma variável dependente Ф(x, y, z) que define o campo.

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• Em um campo de temperaturas dado pela chama de uma vela, por exemplo,

em que as isotérmicas são superfícies esféricas cuja temperatura vai

diminuindo conforme nos afastamos do fogo, também precisamos de quatro

variáveis:

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• Os campos vetoriais mais importantes são os que têm existência física

(gravidade, campo elétrico ou magnético)

• Um campo puramente geométrico é formado pelos vetores posição de todos

os pontos do espaço:

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• Exemplo de campo geométrico:

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• Um campo escalar com significado puramente geométrico é aquele em que

associamos a cada ponto (x, y, z) sua própria distância r à origem:

• Um campo vetorial é uniforme quando for o único associado a todos os

pontos do espaço:

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• Os campos escalares e vetoriais que analisamos são chamados de campos

estacionários ou estáticos em virtude de não serem função da variável de

tempo.

• O campo da gravidade e o eletrostático são conservativos

• O campo magnético não é conservativo

• O campo escalar Ф é chamado campo de potenciais

• O trabalho realizado é chamado de diferença de energia potencial

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Algebra Vetorial

• Adição: segue a regra do paralelogramo

– Propriedades:• Comutativa: A + B = B + A• Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C

• Subtração: segue a regra da adição A - B = A + (-B )

• Multiplicação por um escalar– Segue a regra de associativa e distribuitiva– Ex: (r + s) (A + B) = r(A + B) + s(A + B) = rA + rB + sA + sB

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Componentes Vetoriais

• Representação de um vetor r que parte da origem em sistema de coordenadas cartesianas

• r = x + y + z• Notação: a reservado para um vetor

unitário• ax ,ay e az são vetores unitários em

coordenadas cartesianas• rQ = OQ e rP = OP

• RPQ = PQ = rQ – rP

= (2-1)ax + (-2-2)ay + (1-3)az

= 1ax - 4ay - 2az

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Módulo de um Vetor

• Seja B = Bxax + Byay + Bzaz

• O módulo de B ou intensidade de B escrita em |B| é dado por:

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222zyx BBBB

Vetor unitário

• Um vetor unitário na direção de B é dado por:

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B

B

BBB

Ba

zyx

B

222

Produto escalar

• Produto escalar: criado para facilitar a obtenção da projeção de um vetor

sobre outro e se define por:

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Produto escalar: aplicação

• Para apararmos água de uma chuva inclinada e sabermos seu volume,

calculamos o produto escalar do vetor velocidade v pelo vetor unitário

vertical āx vezes a área S que recebe a chuva:

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• A captação da água será máxima para θ = 0º e nula para θ = 90º

• O produto escalar de um vetor por ele mesmo se dá por:

• Para os unitários dos eixos cartesianos, resulta:

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• O produto escalar de dois vetores ortogonais é nulo, resultando para os

unitários do sistema de coordenadas cartesianas:

• A expressão cartesiana do produto escalar é, então, obtida:

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• Exemplo 1.2:Calcule o trabalho realizado pela força: F = ax + 2ay + 3az ao lngo do vetor

L = 4ax + 5ay + 6az .

Solução: basta fazer o produto escalar para obter o trabalho realizado na direção LF . L = (ax + 2ay + 3az) . (4ax + 5ay + 6az ) = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32 (J)

Produto vetorial

• O produto vetorial de dois vetores também nos dá o produto do módulo de

um vetor pela projeção do segundo, porém sobre a direção ortogonal ao

primeiro.

• Se tivermos uma força F e quisermos saber sua tendência de girar em torno

do ponto P, basta achar seu momento pelo produto vetorial:

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• O vetor F × r aponta para fora da tela e a orientação do produto é dada pela

regra da mão direita:

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• Para os unitários do sistema cartesiano temos:

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• A expressão cartesiana do produto vetorial é, então:

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Exemplo 1.3:Calcule o momento (torque) do vetor força ligado à origem F = ax + 2ay + 3az

em relação ao ponto (4,5,6).

Solução: F x r = = -3ax + 6ay - 3az

654

321zyx aaa

Coordenadas cilíndricas

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Coordenadas cilíndricas

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Coordenadas cilíndricas

• As coordenadas cilíndricas são muito usadas no cálculo do campo gerado

pelos fios carregados ou percorridos por corrente elétrica. As coordenadas r,

ø, z e os unitários ar, a ø , az são vistos na figura:

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• Diferencial de comprimento:

• Diferencial de volume:

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• Vamos calcular o volume de um cone usando as coordenadas:

• A Figura 1.34 nos dá:

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• Diferenciando, temos:

• Substituindo e integrando, temos:

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Coordenadas esféricas

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Coordenadas esféricas

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• Diferencial de comprimento:

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• Diferencial de volume:

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Coordenadas esféricas

• As coordenadas esféricas são bastante utilizadas principalmente no estudo

de antenas

• Vamos calcular a área da esfera da Figura 1.40:

• Integrando:

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• O volume da esfera pode ser obtido somando cones elementares:

• Integrando:

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Referencias

• HAYT JUNIOR, W. H.; BUCK, J. A.Eletromagnetismo. 6. ed. Rio de Janeiro: Ltc-Livros Tecnicos e Cientifi, 2003.

• QUEVEDO, C. P.; QUEVEDO-LODI, C. Ondas Eletromagneticas. São Paulo, Brasil: Prentice Hall Brasil, 2009.