Post on 05-Jul-2015
MATEMÁTICA
Editora Exato 4
LOGARITMOS
1. DEFINIÇÃO
Dados a, b *+ ∈ R e a 1≠ .
xalog b x a b= ↔ =
2. ELEMENTOS
log ba
= x
logaritmandoLogaritmo
base
O logaritmo representa o expoente da base pa-ra gerar o logaritmando. Exemplo
E.1) x x 32log 8 x 2 8 2 2 x 3= ⇒ = ⇒ = ⇒ = .
E.2) 3
x x 22
3log 2 2 x 2 2 2 2 2 x
2= ⇒ = ⇒ = ⇒ = .
2.2. Conseqüências da Definição Dados x, b, a 0> e a 1≠ . � alog 1 0= , pois a0=1. � alog a 1= , pois a1=a.
� malog a m= , pois am=am.
� alog ba b= . � a alog x log b x b= ⇒ =
2.3. Representações Especiais � O logaritmo na base 10 é escrito sem a ba-
se, isto é, 10log b log b= . � O logaritmo na base e (número periano) é
escrito como elnb log b=
2.4. Propriedades Operatórias Satisfeitas as condições de existência, temos: P1) logb (ac) = alogb + clogb ;
P2) logb
c
a = alogb − clogb ;
P3) logbam = m . alogb ;
P4) alogm
1alog bmb
⋅= .
2.5. Mudança de Base O alog b pode ser escrito em qualquer base
( )x x 0 e x 1> ≠ como a divisão de xlog b e xlog a , ou se-
ja, xa
x
log blog b
log b= (com a 0> e a 1≠ ).
Exemplo:
E.1) 23
2
log 5log 5
log 3=
E.2) Calcule o valor de 3log 2 , sabendo que
10log 2 0,301= e 10log 3 0,477= .
Resolução: Mudando o logaritmo para a base 10, temos:
3
log 2 0,301log 2
log 3 0,477= =
2.6. Antilogaritmo e Cologaritmo Define-se como antilog de x na base a como o
logaritmando do logaritmo de b na base a, ou seja, a alog b x antilog x b= ⇔ = .
Define-se como cologaritmo de b na base a como o oposto do logaritmo de b na base a, ou seja,
a acolog b log b= − .
Exemplo: E.1) 2 2b antilog 3 log b 3 b 8= ⇔ = ⇒ = . E.2) Determine o 2 2colog 16 log 16 4= − = − .
2.7. Equações Logarítmicas Para resolver as equações logarítmicas da
mesma base, usamos o fato de a função logarítmica ser injetora, ou seja, quando suas imagens são iguais, então os elementos correspondentes do domínio são iguais (supondo satisfeitas as condições de existência dos logaritmos). Em símbolos, temos:
( )c 1 c 2 1 2 1 2log x log x x x x , x ,c e c 1+ +
= ⇔ = ∈ ∈ ≠R R .
Exemplo: E.1) Calcule o valor de x na equação
( ) ( )log x 3 log 2x 5− = −
Resolução: Usando a propriedade na equação.
( ) ( )log x 3 log 2x 5 x 3 2x 5 x 2− = − ⇒ − = − ⇒ = ,
como x 2= não satisfaz à condição de existência, pois o logaritmando se torna negativo, então o con-junto solução é vazio.
3. LOGARITMOS DECIMAIS
Denomina-se de logaritmo decimal ou de Brigss a todo logaritmo de base 10. Esses logaritmos podem ser escritos como abaixo.
log b= c + 0, m
Representa a mantissa (partefracionária do logaritmo).
Representa a característica (parteinteira do logaritmo).
3.1. Cálculo da Característica Considere o logaritmo logb, em que b está es-
crito na forma decimal.
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� Se b 1> , então a característica de log b é encontrada subtraindo uma unidade do nú-mero de algarismos que b apresenta em sua parte inteira.
Exemplo: E.1) {
4alg
log3478,701 4 1 3⇒ − =
E.2) {1 alg
log 2 ,347 c 1 1 0⇒ = − = .
� Se b 1< , então a característica de log b é i-gual ao oposto do números de zeros que b apresenta antes do primeiro algarismo não nulo.
Exemplo: E.1) {
2 zeros
log 0,0 31 c 2⇒ = − .
E.2) 4 zeros
log0,000345 c 4⇒ = −123
3.2. Cálculo da Mantissa É obtida em tabela conhecida como tábua de
logaritmos. Propriedade: se as representações decimais de
dois números positivos diferem apenas na posição da vírgula, então os logaritmos possuem a mesma man-tissa. Exemplo:
E.1) log 271 = 2 + 0,43297 = 2,43297 E.2) log 2,71 = 0 + 0,43297 = 0,43297 E.3) log 0,0271 = −2 + 0,43297 = −1, 56703
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 Resolva: 625
log 5 Resolução:
625log 5 (lê-se log de 5 na base 625)x= Fatorar:
625125
2551
5555
54
( )1
4 2
625 5
15 5 4
2
1
8
x
x
x
x
=
/ /= → =
=
2 A soma 2 2
log 8 log 16+ . Resolução:
2log 8
2 8
2 2
3
x
x
x
x
=
=
=
=
2
4
log 16
2 16
2 2
4
x
x
x
x
=
=
=
=
3 + 4 = 7
3 Qual o valor da expressão 5 3
log 25 log 81+ ? Resolução:
5
2
log 25
5 25
5 5
2
x
x
x
x
=
=
=
=
3
4
log 81
3 81
3 3
4
x
x
x
x
=
=
=
=
2 + 4 = 6
EXERCÍCIOS
1 (PUC) Se 2 2
log 512 x= , então x vale:
a) 6 b) 3/2 c) 9 d) 3 e) 2/3
2 (FESP) A expressão 2 4
log 16 log 32− é igual a: a) ½ b) 3/2 c) 1 d) 2 e) 2/3
3 (CESCEM) O valor da expressão
1 0,1
2
log 32 log0,001 log 10 10+ − é:
a) –13 b) 2 c) –13/2 d) 13/2 e) –19/2
4 A solução da equação ( )8 8log x log 3x 2 1+ − = é i-
gual a: a) –4/3 b) 1/2 c) –2 d) 2 e) 4/3
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5 Se 2
log x a= , então 8
log x é igual a: a) a/3. b) a/4 c) 2a. d) 3a. e) 4a.
6 O produto 9 2 5
log 2 log 5 log 3⋅ ⋅ é igual a: a) 0. b) 1. c) 1/5. d) 1/3. e) 1/2.
7 O valor da expressão 3 25
log 5 log 27⋅ é: a) 2/3. b) 3/2. c) 2. d) 3. e) 1/3.
8 (MACK) O valor de ( )3 42log log 2 log 3⋅ é:
a) 2. b) 1/2. c) –1/2. d) –2. e) 3/2.
9 (FUVEST) Se 2 2
log b log a 5− = , o quociente b
a
vale: a) 10. b) 25. c) 32. d) 64. e) 128.
10 (UFMT) Sendo 4
xlog 25
3= , podemos afirmar que
2log 5 é igual a:
a) x
3
b) 2x
3
c) 2x
9
d) 3x
3
e) 2
3x
9
11 (FEI-SP) Se log2 a= e log3 b= , escrevendo 32
log27
em função de a e b, obtemos:
a) 2a+b b) 2a-b c) 2ab
d) 2a
b
e) 5a-3b
12 (FATEC) A solução da equação 7 5
log 10 log 7 logx 4⋅ ⋅ = é: a) 625. b) 2401. c) 10000. d) 710. e) 57.
13 A característica de log2 é: a) 2. b) 1. c) 0. d) 1 . e) 2 .
14 (PUC) O logaritmo negativo 10
log a 3,415= − po-derá ser escrito: a) 3.415. b) 4,415 . c) 3,415 . d) 4,585 . e) Nenhuma.
15 (GAMA FILHO) Dado log3 0,47712= , calcule log81 log2,43+ a) 2,29408. b) 1.01476. c) 2,01002. d) 3,65432. e) 2,41784.
16 (CESCEM) As características, no sistema deci-mal, de log7, log 0,032, log105 e log0,00010, são, respectivamente: a) 1, -1, 6, -3. b) 1, -1, 5, -3. c) 0, -1, 5, -4. d) 0, -2, 5, -4. e) 7, 0, 5, 0.
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17 Supondo-se para log 2 o valor aproximado 0,301, acha-se para log 12,5 o valor: a) 0,602. b) 0,398. c) 0,903. d) 0,097. e) 1,097.
GABARITO
1 A
2 B
3 C
4 D
5 A
6 E
7 B
8 D
9 C
10 A
11 E
12 A
13 C
14 D
15 A
16 D
17 E