Logaritmo e função logaritmica (exercícios resolvidos sobre logaritmos, logaritmos, função...

Formandos da Escola Profissional de Estaquinhaem uma visita à Escola Agrária de

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Formandos da Escola Profissional de Estaquinha _Bùzi uma visita à Escola Agrária de Gorongosa

Y|Ä|Ñx `tà{âááÉ _âÇtäÉ

Filipe Mathusso Lunavo Página 2 Logaritmo e Função Logarítmica

Ficha Técnica: Matemática Real - 10ª Classe/ Logaritmo e Função logarítmica.

Autor: Filipe Mathusso Lunavo

Revisão dos Exercícios: Domingos Joaquim

Estaquinha, Búzi - Sofala/ Moçambique/ Setembro de 2014

INTRODUÇÃO

Os logaritmos que hoje estudamos, a sua invenção e definição foram dada por

John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561

A sua origem é grega e significa a razão dos números

e “aritmo”, número. Em 1614 Neper publicou o seu trabalho sobre logaritmos

no livro “Descrição das Maravilhosas Regras dos Logaritmos” no qual expõe o

uso dos logaritmos.

Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação

em soma, de divisão em subtração, entre outras

Contudo, pode-se dizer que o nome

para expoente, conforme veremos a seguir.

APLICAÇÕES DOS LOGARITMOS NO QU

Os logaritmos possuem inúmeras aplicações no cotidiano.

� Na Física é utilizado para medir a intensidade do som

� Na Química utilizam as funções logarítmicas para calcular o pH

(potencial hidrogeniônico) de uma solução.

� Na computação, é utilizado o logaritmo na base 2 para representar

dígitos de informação (bits).

� Na geologia, os logaritmos permitem medir a

de algum abalo sísmico através da Escala Richter

� Na medicina para calcular as taxas de natalidade e mortalidade de

indivíduos de uma poulção (plantas e animais), assim como para

calcular a propagação de doenças em sistemas ipidemo

John Napier ( 1550-1617),

barão de Marchiston

(Escócia)

Os logaritmos que hoje estudamos, a sua invenção e definição foram dada por

e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630).

A sua origem é grega e significa a razão dos números – “logos” significa razão

Em 1614 Neper publicou o seu trabalho sobre logaritmos

no livro “Descrição das Maravilhosas Regras dos Logaritmos” no qual expõe o

se transformar as operações de multiplicação

em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis.

se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação

, conforme veremos a seguir.

DOS LOGARITMOS NO QUOTIDIANO

úmeras aplicações no cotidiano.

Na Física é utilizado para medir a intensidade do som;

Na Química utilizam as funções logarítmicas para calcular o pH

(potencial hidrogeniônico) de uma solução.

Na computação, é utilizado o logaritmo na base 2 para representar

Na geologia, os logaritmos permitem medir a amplitude (ou a “força”)

de algum abalo sísmico através da Escala Richter.

Na medicina para calcular as taxas de natalidade e mortalidade de

indivíduos de uma poulção (plantas e animais), assim como para

calcular a propagação de doenças em sistemas ipidemológicos.

Para não ter problemas na

resolução ou na percepção dos

Logaritmos, vamos lembrar alguns

casos de potências, como os

seguintes:

25 =

ma ×

ma :

2 =−a

2

1

2

1−

=

ou

2

1

−

30 =a 0 o seu resultado é 1.

a =1

125=

Vamos decompor o 125.

125

Henry Briggs (1561-1630) - Inglês

5

25

1

RECORDE

Para não ter problemas na

resolução ou na percepção dos

Logaritmos, vamos lembrar alguns

casos de potências, como os

seguintes:

3222222 =××××=

nmn aa +=×

nmn aa −=

21

=a

( ) 642

424

2

2

1

2

1

2

1

2

12

−−+−

−−−

=

×

=×

6424242

22222 ==×=× +−

1 porque qualquer nº elevado

a 0 o seu resultado é 1.

a ou aa =

35= porque:

Vamos decompor o 125.

Logo: 35125=

5

5

5

CONCEITO DE LOGARITMO

Dados os números reais b (� > 0�� ≠ 1), N (positivo), chama-se logaritmo do número N, na base b, ao número x que

é necessário elevar a b para se obter N, isto é, o logaritmo que satisfaz a relação bx = N, dizemos que x é o logaritmo de N

na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x.

Onde: N- é o logaritmando ou antilogaritmo;

b- é a base do logaritmo e;

x- é o logaritmo.

Exemplos:

� 532log2 = porque 5232 = . Aqui podemos observar o seguinte: logbN = x 32-N; 2-b e 5-x e como

sabemos que 322222225 =××××=

� 12log2 = porque 122 =

� 01log5 = porque 150 =

Nota 1: Quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação

simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo

que foi exposto, que 10x = N.

a) log10=1 porque 101 = 10.

b) log100= 2 porque 102 = 100

Nota 2: Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático

escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional e = 2,7183... e indicamos este logaritmo

pelo símbolo ln. Assim, MMe lnlog = . Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos

naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.

a) 1ln =e b) 4log4ln ee =


CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO

A definição dos logaritmos tem como consequências algumas condições a que os logaritmos devem sempre obedecer.

1ª Condição: 01log =b . Quando o logaritmando é igual a 1 a solução é sempre nula, pois de acordo com a fórmula bx =

N, qualquer número elevado a 0 tem como soulção 1.

Exemplos: * 01log3 = * 01log2

1 = * 01log1000000 =

2ª Concição: 1log =bb . Quando a o valor do logaritmando for igual ao valor da base, a solução será 1. Porque pela

fórmula bx = N, teremos bb =1

Exemplos: * 13

1log

3

1 = * 17log7

= * 132log32 =

3ª Condição: Se mbmb =log , então pela fórmula teremos mm bb =

Exemplos: * 35log 35 = * 43log81log 4

33 == * 34

1log4log64log

3

4

13

4

1

4

1 −=

==−

4ª Condição: Se aab b =log ou seja: b elevado ao logaritmo de a na base b é igual a a. Porque? Porque: aab b =log

então abab =log

Exemplos: * 34log3log4 344 == * 255log25log5 25

55 ==

5ª Condição: Se caca bb =⇔= loglog . Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo

equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).

Exemplos: * 55loglog2

1

2

1 =⇔= aa * 27log27log 33 =⇔= cc

PARTICULARIDADES NO USO DE LOGARITMO

O uso dos logaritmos tem algumas restrições tais como:

1. Para que o logaritmo exista, é necessário que o logaritmando não seja negativo, isto é, > 0.

Exemplo: ( ) x=− 25log5 , pela definição de logaritmo, teremos: ( ) x525 =− , logo é impossível calcular o

logaritmo (valor de x), pois qualquer potência de base positiva o resultado é sempre positivo.


2. Para que o logaritmo exista, é necessário que a base seja diferente de 1, ou seja 1≠b .

Exemplo: x=4log1 vamos mostrar porque não é possível. Observa a tabela:

Vamos agora tomar os valores da tabela, substituindo no lugar de x, para melhor sustentarmos a nossa

explicação de porque não é possível achar o logaritmo.

Se x=1 pela fórmula teremos: 4111 ≠=

Se x= 2 411112 ≠=×=∴

Se x=3 4111113 ≠=××=∴

Logo é impossível calcular o valor de x nesta equação, porque qualquer potência de 1 é sempre igual a 1.

3. Para que o logaritmo exista, é necessário que a base não seja nula nem negativa ou seja � > 0�� ≠ 1.

Exemplo: ( ) ( )xx 32727log 3 −=⇒=− , neste contesto é impossível calcular o valor de x, pois não nehuma

potência de base negativa (-3) é igual a 27.

Embora em alguns casos pode-se calcular, mas quando se trata de logaritmo, de acordo com a definição, não se

pode calcular ( veja a conclusão a seguir).

Ex 2: ( ) ( )xx 41616log 4 −=⇒=− Ex 3: ( ) ( )xx 6216216log 6 −=⇒=−

Conclusão sobre as particularidades de uso de logaritmos: Da definição de logaritmo, conclui-se que somente os números reais positivos possuem logaritmo.

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS

1ª Propriedade:Logaritmo de um Produto

Exemplos:

Ex 1: ( )

( ) 64242

3

1log

3

1log3log3log81log9log819log

4

3

1

2

3

14

3

12

3

1

3

1

3

1

3

1

−=−−=−+−=

+

=+=+=×−−

ou

( ) 6

3

1log3log729log819log

6

3

16

3

1

3

1

3

1 −=

===×−

Ex 2: ( ) 6423log3log81log9log819log 4

32

3333 =+=+=+=× ou

x 1 2 3

O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores.

Simbolicamente: ( ) nmnm bbb logloglog +=×

Filipe Mathusso Lunavo Logaritmo e Função Logarítmica

32

3

22 =

( ) 729log819log 33 =×

2ª Propriedade: Logaritmo de um Quociente

Ex 1: log64log16

64log 444 −=

14log16

64log 44 ==

Prova:

Ex 2: log64log4

64log 22 −=

log16log4

64log 22 ==

EX 3: 81log3

81log 33 −=

log81log3

81log 333 −=

Prova: 3

993

3

8131 ×=⇔=

O logaritmo de uma fração numerador da fração e do denominador

Simbolicamente:n

mblog

63log 63 ==

m Quociente

1234log4log16 24

344 =−=−= ou

Prova: 4416

6441 =⇔

=

4262log2log4log 22

622 =−=−= ou

42log 42 = Prova: 16

4

6424 ⇔

=

( ) 3log3log3log3log3log 32

334

33 −=−=

( )2

43log33log3log3

)1(

32

4

334

3 −=−=−= lo

333

333 =⇔×=⇔

O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador.

nmn

mbb loglog −=

Página 7

1616 =

1123 =−= ou

12

2

2

242

)2(==−=

ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do


3ª Propriedade: Logaritmo de uma Potência

Exemplos:

Ex 1: 53log53log243log 35

33 ===

Ex 2: ( )2

3

4

1log

2

3

4

1log4log4log64log

4

1

2

3

4

12

3

4

13

4

1

4

1 −=

−=

===−

Prova ( ) 64444

1 32

32

3

===

−

Ex 3: 8422log216log 42

22 =×== Podemos comprovar que está certo pela fórmula de logaritmo 25628 = ,

como nós sabemos que 256162 = .

4ª Propriedade: Mudança de Base

Exemplos:

Ex 1: 32:62log2log4log64log64log 22

62224 ==÷=÷= Prova: 64646443 =⇔=

Ex 2: 3266log6log36log1296log1296log 26

666636 =÷=÷=÷=

O logaritmo da patência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

Ou Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente

irá multiplicar o resultado desse logaritmo.

Simbolicamente: xmx bm

b loglog =

Se soubermos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a, essa mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo

com a fórmula : bxx mmb logloglog ÷=


Nb

aNa

b

=

=log

5ª Propriedade: ba ba =log

Exemplos:

Ex 1: 344log44 34

64log4 =×==

6ª Propriedade: a

N bab

loglog =

Exemplos:

Ex 1: log

3

49log49log 73

7 ==

Ex 2: ( ) log8127log3

13

3

1 =÷

6

9

3

4

2

3

3

4

2

3

)2()3(

+−=+−=

−−−

1. Calcule o valor de:

a) log9

81log81log 39 ÷=

b) log3

c) 225,0log2 ⇔= α

d) 5 1255

125

5log =⇔ x

12=

a

Nb

3

2

3

7log 27 =

2

3

1log

3

81log

2

27log

81log27 3

1

3

1

3

1

3

3

1

=−=−

6

1

6

8 −=+

Exercícios Resolvidos

Calcule o valor de:

29log81 29 == ou

2243log3log9log 23

433 =−=÷=÷

32log2

1 322 −== −

222

12

4

12

100

252 2

2=⇔=⇔=⇔= −αααα

25

15

25

15

125

55

125

5

=⇔=⇔=⇔ xxx

Página 9

3

3

1log

3

14

3

1

3 −−

−

2−=⇔ α

2

122

1

55×−

=⇔

x


12

255 2

2

−=⇔−=⇔=⇔−

xxx

e) 13

3log

33

9log

3

9log 3

33

3===

f) 4,05

2

5

4log

5

16log16log

2445

4 ====

g) 6,05

3

5

6log6log

365 3

6 ===

h) 7

4

7

4

7

2

1log

7

2log

7

16log

16log

4

2

14

2

1

2

1

7

2

1 −=−=

===

−

i) 8

3

4

1

2

3

42

3

4

2log

4

8log8log

3

2444

2

=×====

2. Calcule o valor dos logaritmos

a) 15log5log6log18log 3333 +−− 5log6log15log18log 3333 −−+⇒

23log9log33log56

1518log56log)1518(log 2

333333 ===×=××=×−×=

b) 27log64log 32 − para acharmos a solução desta expressão temos que achar em parte a solução de

cada logaritmo, isto é:

62264log 62 =⇒=⇒= aa a

33627log64

33327log

32

33

=−=−∴=⇒=⇒=

lo

bb b

c) 32log16log 42 −

42216log 42 =⇒=⇒= aa a

2

5222432log 525

4 =⇒=⇒=⇒= bb bb

2

3

2

58

2

5432log16log

)1()2(

42 =−=−=−∴


d) 36log227log8log 63

2

1 −+

32

1log2log8log

3

2

13

2

1

2

1 −=

⇔=⇔=−

αα

( )443336log227log8log

46log36log2

33log27log

63

2

1

2266

333

−=−+−=−+−=⇔=⇔=−

=⇔=⇔=− δδδ

βββ

e) ( ) 23log9log12108log12618log12log6log18log 23333333 ===÷=÷×=−+

f) ( )125loglog 5

3

1 Vamos resolver em partes.

355125log 35 =⇔=⇔= αα α

( ) 13

1

3

13

3

13log125loglog

1

3

15

3

1 −=⇔

=

⇔=

⇔==∴−

ββββ

g) ( )5log2

102331log2log +++ Vamos resolver em parte o valor de cada logaritmo

12log2 =

( )

( ) 46450131log2log

4559333

01log

5log2102

5log25log2

10

3

33

=++=++∴

=×=×=

=

+

+

h) ( )

2

184

2

36

4

2

1log2log

40

2log2log

3log0

8log64log

81log1log

2

3

2

16

2

3

2

16

2

43

2

12

33

−=

−×=

×

+=×

+=

×+

−

9

4

18

8

18

24 −=−=

−×=2

2


3. Calcule o valor de y.

Lembre-se que caca bb =⇔= loglog

a) 8

512loglog

8

1632loglog8log16log32loglog 44444444 =⇒

×=⇒−+= yyy

6464loglog 44 =∴=⇒ yy

b) 3log210log27log27loglog 22222 −++=y

( )

30

30loglog9270loglog9log270loglog

3log270loglog3log1027loglog

2222222

2222

2222

=⇒

=⇒÷=⇒−=⇒

−=⇒−×=

y

yyy

yy

c) 55loglog 22 =⇔= yy

d) 88loglog 1515 =⇔= yy

e) 10log10lglog1000log 3

3

13

3

13

3

1

3

1 =⇔=⇔= yyy

f) 77loglog 10001000 =⇔= yy

g) 44lglg =⇔= yy Lembre-se dos logaritmos de base 10.

h) 2

1

2

1238log

3333 =⇔

=⇔=⇔−=−

−− yyyy

i) 99332

13log 2

222

12

2

1

=⇔=⇔=⇔=⇔=×

yyyyy

j) ( ) ( ) 3322623216log 333332 =⇔×=⇒=⇔= yyyy

k) 1515lglg53lglg5lg3lglg =⇔=⇔×=⇔+= yyyy

l) 2

7

2

34

2

322

2

32lg

2

3lg

)1()2(

=⇔+=⇔+=⇔=−⇔=

− yyyyy

m) ( ) ( ) 9252952lg95lg2lglg95lg −=−⇔=+⇔=+⇔+=+ yyyyyyyy

33

993 −=⇔−=⇔−=⇔ yyy

n) 4

5

33 1

5

3 8log2log yy =−

( ) ( ) yyyy

yyyy

4

3

3

1

3

1222282 4

3

3

1

3

1

4

133

1143 1 =−⇔=⇔=⇔=⇔

−−−

5

4

5

12

12

4

12

4

12

5

12

4

12

9

12

4

3

1

4

3

3

1

)4()3()4(

=−⇔×=−⇔=−⇔=−⇔=−⇔ yyyyyyy /-1


5

4−=⇔ y

o) 22222222

322log 2

3

2

332

322

3

2

3

=⇔=⇔=⇔×=⇔=⇔= yyyyyy

p) ( ) yyyyyy =⇔=⇔=⇔=

⇔=⇔= 3222225log 52

55

2

15

2

4. Calcule:

q) 31000101000

110001,0lg 3 −=⇔=⇔=⇔= − aa aa

r) 4101010000lg 4 =⇔=⇔= aa a

s) 210010100

1lg 2 −=⇔=⇔= − aa a

5. Sendo 3log3 −=a , 4log3 =b e 2log3 =c , determine:

a) ( )ab3log Resolução : 143loglog 33 =+−=+ ba

b) 23log

c

ab Resolução: 341243logloglog 22

333 −=−=−+−=−+ cba

c) ba3log

Resolução: 12

2

2

46

2

43

2

log3loglog 3

33 −=−=+−=+−=+−=+b

ba

6. Sabendo que 5log =ab e 3log −=cb determine o valor de :

a) ( )acblog Resolução: ( ) ( ) 23535logloglog =−=−+=+= caac bbb

b)

a

cblog Resolução: 853logloglog −=−−=−=

ac

a

cbbb

c) 3log acb Resolução: ( )

3

2

3

35

3

loglog

3

loglog 3 =−+=

+==

caacac bbb

b

d) ( )4log acb Resolução: ( ) ( ) 162)35(35logloglog 4444444 ==−=−+=+= caac bbb

7. Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos

a) ( )ba22log

Resolução: ( ) bababa 2222

22

2 loglog2logloglog +=+=


b)

65 4

5log π

Resolução: πππ 5556

556

5 log64log5loglog4

5log

4

5log +−=+=

c) 2

log

log2logloglog2log2log8

888888

g

l

g

l

g

l ++=++=

πππ

g

l

g

l

g

l

22log

2

12log22log 888 +=×+=÷+×= πππ

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Considere a função , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1 (,

e definida para todo x real.

Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para todo x Є R, onde R é o conjunto dos números reais.Denotando

o conjunto dos números reais positivos por , poderemos escrever a função exponencial como segue:

f: R ® R+* ; y = ax , 0 < a ≠ 1.

Vamos determinar a função inversa da função y = ax , onde 0 < a ≠ 1.

Permutando x por y, vem:

x = ay \ y = logax Portanto, a função logarítmica é então:

f: R+* ® R ; y = logax , 0 < a≠ 1 .Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = ax ) e logarítmica ( y = logax ),

para os casos a > 1 e 0 < a ≠ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação

à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.

Exemplos: xxf 4log)( = ; xxg2

1log)( = ; ( )2log)( 6 −= xxf ; ( )13log)(3

1 += xxf

Gráfico da função logarítmica

Vamos fazer o estudo da função xxf 3log)( = construindo a tabela e respectivo gráfico.

xay = 0⟩a

1≠a

+IR


−1 1 2 3

−3

−2

−1

1

x

y

Para facilitar a compreensão, vamos escrever uma função logarítmica na forma de função exponencial: xyyx 3log3 =⇔=

Tabela da função xy 3= Tabela da função x3log

Gráfico da função logarítmica

Observando o gráfico, concluímos que:

� Domínio: += IRDf

� Contradomínio: IRfD =´

� Zero da função: 1=x

� A função é crescente

� A curva da função não intercepta o eixo das

ordenadas.

� A função é positiva, isto é:

] [+∞∈> ;1;0)( xxf

� A função é negativa, isto é,

] [1;0;0)( ∈< xxf

Nota: Esta função a base é positiva e maior que 1.

Vejamos agora o gráfico de uma função logarítmica onde a base é maior que zero e menor que 1 ( 10 << a ).

Considere a função xxf3

1log)( = . Passando para forma de função exponencial teremos: x

y

=3

1.

x xy 3= y

-3 27

1

3

133

33 =

=== −xy 27

1

-2

9

1

3

133

22 =

=== −xy 9

1

-1

3

1

3

133

11 =

=== −xy 3

1

0 133 0 === xy 1

1 333 1 === xy 3

2 933 2 === xy 9

3 2733 3 === xy 27

x x3log y

27

1 3333log

333

1

327

1

3 −====−

x

-3

9

1 2333log

223

1

39

1

3 −====−

x -2

3

1 1333log

113

1

33

1

3 −====−

x -1

1 01loglog 33 ==x 0

3 13loglog 33 ==x 1

9 23log9loglog 2333 ===x 2

27 33log9loglog 3333 ===x 3


−2 −1 1 2 3 4

−2

−1

1

2

3

x

y

Tabelas

Gráfico

A partir do gráfico, podemos constatar que:

� Domínio: += IRDf

� Contradomínio: IRfD =´

� Zero de função: 1=x

� A função é decrescente.

� A curva da função de f não intercepta o eixo das

ordenadas.

� A função é positiva, isto é, ] [1;0;0)( ∈> xxf

� A função é negativa, isto é,

] [+∞∈< ;1;0)( xxf

x x

y

=3

1

y

-3 273

3

1

3

1 33

==

=

=−x

y 27

-2 93

3

1

3

1 22

==

=

=−x

y 9

-1 33

3

1

3

1 11

==

=

=−x

y 3

0 1

3

1

3

10

=

=

=x

y 1

1

3

1

3

1

3

11

=

=

=x

y 3

1

2

9

1

3

1

3

12

=

=

=x

y 9

1

3

27

1

3

1

3

13

=

=

=x

y 27

1

x xy3

1log= y

27

33

3

1

3

13

3

1−

=

↔=

yy

-3

9 22

3

1

3

13

3

1−

=

↔=

yy

-2

3 11

3

1

3

13

3

1−

=

↔=

yy

-1

1 01log3

1 =↔= yy 0

3

1 1

3

1log

3

1 =↔= yy 1

9

1

yy

=↔

=3

1

3

1

3

1

9

12

2

27

1

yy

=↔

=3

1

3

1

3

1

27

13

3


−2 −1 1 2 3 4

−2

−1

1

2

3

x

y

As tabelas que construímos, nos levam a afirmar que uma função logarítmica tem como inversa a função exponencial,

e de acordo com as tabelas, com a 1ª função com qual trabalhamos, podemos esboçar os seguintes gráficos.

Vamos denominar a função xy 3= como xxf 3)( = a logarítmica mantemos x3log

Graficamente teremos Pela observação dos gráficos, vemos que eles, apresentam uma simetria em relação à bissectriz do primeiro e

do terceiro quadrante y=x.

Portanto a função xxf 3)( = , é inversa da função x3log .

Ainda, se 10 << a teremos os seguintes gráficos:

Vamos denominar a função x

y

=3

1 como

x

xf

=3

1)( a logarítmica mantemos x

3

1log

−1 1 2

−1

1

2

3

4

x

yy = (1/3)^xy = log(1/3,x)y = x

xxf 3)( =

x3log

xy =


Em suma, podemos resumir estes últimos dois exemplos da seguinte maneira:

� O domínio da função exponencial é o conjunto imagem (contradomínio) da função logarítmica e o

domínio da função logarítmica é o conjunto imagem da função exponencial, isto é,

( )+=== IRgDIRDf ´)( e ( ) ( )+=== IRfDIRDg ´ . Isto acontece pelo facto destas

funções serem inversas entre si.

� As funções )(xf e )(xg são crescentes para 0>a .

� As funções )(xf e )(xg são decrescentes para 10 << a .

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES DO TIPO ( )bxy a ±= log

Como já vimos como se adquirem os dados da tabela de uma função logarítmica nos exemplos anteriores, aqui vamos fazer

a demonstração de apenas dois casos.

Dadas as funções: xxf 2log)( = , ( )1log)( 2 += xxg e ( )1log)( 2 −= xxh

Como podemos ver, os gráficos das funções ( )1log)( 2 += xxg e ( )1log)( 2 −= xxh , surgem através da

translação de b unidades para cima xxf 2log)( = , se b for positivo e b unidades para baixo da função

xxf 2log)( = se b for negativo.

Existem elementos comuns, comuns para todas as parábolas, hora vejamos:

� As três parábolas são crescentes em todos os seus domínios;

� Os seus domínios são iguais.

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−3

−2

−1

1

2

3

x

yy = log(2,x+1) y = log(2,x-1) y = log(2,x)

•

•

•


−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−3

−2

−1

1

2

3

x

yy = log(1/2,x)y = log(1/2,x+1)y = log(1/2,x-1)

� Os seus contradomínios também são iguais.

Diferenças:

� Zero de função: Para a parábola da função ( )1log)( 2 += xxf , x=0

Para a parábola da função ( )1log)( 2 −= xxg , x=2.

Como podemos notar no exemplo que acabamos de mostrar, a base do logaritmo é maior que 1, agora vamos trabalhar com

logaritmo cuja base é positiva, mas menor que 1.

Dadas as funções: xxf2

1log)( = , ( )1log)(2

1 += xxg e ( )1log)(2

1 −= xxh

A diferença que agora encontramos, é de que

todas as três funções são decrescentes,

diferentemente no exemplo anterior.

Vamos ainda seguir com outros exemplos. Mas queremos chamar atenção de que o valor do logaritmando nas funções que

seguem, não está entre parênteses, daí que a representação gráfica será diferente com a que está acima


Dadas as funções xxf 2log)( = , g

Para a função �( ): 2log2 =>+x

Para a função �( ): 2log2 =>−x

� As funções �( )��( ) são obtidas através da função

negativas respectivamente.

Agora vamos construir o gráfico da seguinte função

2log)( 2 += xxg e 2log)( 2 −= xxh

� Todas as funções são crescentes;

� As funções são definidas para valores de x > 0,

isto é, o domínio de DgDf ,

� As funções não intercepta o eixo das ordenadas,

porque não estão definidas para x = 0.

� As funções interceptam o eixo das abcissas

quando y = 0 (zeros de função) sendo:

�( ), � 0,25 e ��

Podemos determinar os zeros da função da seguinte

maneira:

2

122log

22

2 ==>

==>==>−==> − xxxx

422log 22 ==>==>==> xxx

são obtidas através da função �� pela translação de 2 unidades positivas e

Agora vamos construir o gráfico da seguinte função 2log)(2

1 += xxf e log)(2

1=xg

� Todas as funções são decrescentes

� As funções são definidas para valores

de 10 << b , isto é, o domínio (

� As funções não interceptam o eixo das

ordenadas (yy), porque não estão definidas para

x=0.

� As funções interceptam o eixo das

abcissas quando y= 0 (zeros da função, sendo:

4),0( =xf e g

Página 20

s as funções são crescentes;

As funções são definidas para valores de x > 0, += IRDhDg, .

As funções não intercepta o eixo das ordenadas,

porque não estão definidas para x = 0.

As funções interceptam o eixo das abcissas

quando y = 0 (zeros de função) sendo: �� , � 1,

� , � 4

Podemos determinar os zeros da função da seguinte

25,04

1 ==>= x

pela translação de 2 unidades positivas e

22

1 −x

funções são decrescentes

As funções são definidas para valores

, isto é, o domínio ( += IRD f )

As funções não interceptam o eixo das

ordenadas (yy), porque não estão definidas para

As funções interceptam o eixo das

abcissas quando y= 0 (zeros da função, sendo:

4

1),0( =xg ).


REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES DO TIPO

Dadas as funções: (log)( 2 += xxf

As funções acimas, são crescentes porque o base do logaritmo maior que zero (0), acontecerá o que vai observar

Dada as funções: (log)(2

1= xxf

( ) 21log)(2

1 −+= xxm

•

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES DO TIPO ( ) cbxy a +±= log

) 11 ++ ; ( ) 21log)( 2 ++= xxg ; (log)( 2= xxh

( )1log)( 2 += xxm

� Observando os gráficos, notamos que todas as funções são crescentes.

� Todas as funções interceptam o eixo das ordenadas (yy) em: para a função f(x), g(x), y=3; h(x), y= -1 e

� Os zeros de função (onde as funções interceptam o eixo das abcissas

função f(x), 2

1−=x ; g(x),

1=x e m(x), 2=x

As funções acimas, são crescentes porque o base do logaritmo é maior que 1 unidade mas se for memor que 1 e á o que vai observar nos gráficos a baixos.

) 11 ++x ; ( ) 21log)(2

1 ++= xxg ; (log)(2

1= xxh

Como podemos observar nos gráficos, constatamos alterações em:

� Todos os gráficos são decrescentes;

� Os zeros de função (onde as funções interceptam o eixo das abcissas

função f(x), 1=x ; g(x),

2

1−=x e m(x), x

Página 21

) 11 −+ e 2−

Observando os gráficos, notamos que todas as funções são crescentes.

Todas as funções interceptam o eixo das ordenadas (yy) em: para a função f(x), y= 1;

1 e m(x), y= -2.

Os zeros de função (onde as funções interceptam o eixo das abcissas-xx): para a

; g(x), 4

3−=x ; h(x),

mas se for memor que 1 e

) 11 −+x e

Como podemos observar nos gráficos, constatamos alterações em:

Todos os gráficos são decrescentes;

Os zeros de função (onde as funções interceptam o eixo das abcissas-xx): para a

; g(x), 3=x ; h(x),

4

3−=x


Filipe Mathusso Lunavo

Natural do distrito de Machanga, Província de Sofala

Professores do Futuro Nhamatanda, é professor de

Contabilidade Simplificada

no 1º, 2º e

Estaquinha

Para quaisquer reclamação ou sugest

[email protected]

Natural do distrito de Machanga, Província de Sofala. Formado pela ADPP Escola de

Professores do Futuro Nhamatanda, é professor de Matemática, Física, Informática

Contabilidade Simplificada na Escola Profissional Familiar Rural de Estaquinha

no 1º, 2º e 3º ano. Também leccionou Matemática na Escola Secund

Estaquinha (6ª e 7ª Classes) durante 3 anos.

reclamação ou sugestão na melhoria deste texto, envie um correio electrónico para:

Página 22

. Formado pela ADPP Escola de

Matemática, Física, Informática e

na Escola Profissional Familiar Rural de Estaquinha – Búzi,

. Também leccionou Matemática na Escola Secundária São José de

melhoria deste texto, envie um correio electrónico para:

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