Universidade Federal Rural de Pernambuco - UFRPE

Mestrado Profissional em Matematica em Rede Nacional - PROFMAT

Primeira Prova Local de Geometria I - MA 13 Prof. Jorge Antonio Hinojosa Vera

Nome:

1. Em um triangulo ABC, seja M o ponto medio de BC. Se AM = 12BC, mostre que BAC = 90o.

2. Em um triangulo ABC, sejam M o ponto medio do lado BC e Hb, Hc respectivamente os pes das alturas relativas

a AC e AB. Prove que o triangulo MHbHc e isosceles.

3. Seja ABC um triangulo qualquer e sejam M, N e P os pontos onde as bissetrizes internas de ABC, relativas

respectivamente aos vertices A, B e C, intersectam o crculo circunscrito ao triangulo (M 6= A, N 6= B, P 6= C.Prove que o incentro de ABC e o ortocentro de MNP.

4. Dados tres numeros reais positivos a, b e c, dizemos que um numero x e a quarta proporcional de a, b e c

(nessa ordem) se ab

= cx

. Construa com regua e compasso a quarta proporcional dos segmentos de comprimentos

a < b < c

5. Construa com regua e composso os arcos capazes de um angulo dado sobre um segmento AB tambem dado.

6. Na figura da esquerda abaixo, ABCD e um quadrado, E o ponto de intersecao das diagonais AC e BD. O crculo

esta centrado em B e tem raio BE. O ponto F e a intersecao do crculo com o segmento BC e G e a intersecao

do crculo com AB. O triangulo GFD e equilatero?

7. Construa, para dentrodo quadrado ABCD (figura da direita abaixo), triangulos equilateros BCF e CDE sobre

os lados BC e CD respectivamente. Sejam G a intersecao da raioAE com o segmeto BC e H a intersecao do raio

AF com o segmento CD.

(a) Mostre que o triangulo AGH tambem e equilatero;

(b) Mostre que Area(4ABG) +Area(4AHD) = Area(4HGC).

Figura 1: Ex. 6 Figura 2: Ex. 7

Resolver 5 problemas. Cada problema vale 2.0 pontos.

Boa Sorte.

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