1ª VA Local de MA13 - Prova
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Universidade Federal Rural de Pernambuco - UFRPE Mestrado Profissional em Matem´ atica em Rede Nacional - PROFMAT Primeira Prova Local de Geometria I - MA 13 Prof. Jorge Antonio Hinojosa Vera Nome: 1. Em um triˆ angulo ABC, seja M o ponto m´ edio de BC. Se AM = 1 2 BC, mostre que [ BAC = 90 o . 2. Em um triˆ angulo ABC, sejam M o ponto m´ edio do lado BC e H b , H c respectivamente os p´ es das alturas relativas a AC e AB. Prove que o triˆ angulo MH b H c ´ e is´ osceles. 3. Seja ABC um triˆ angulo qualquer e sejam M, N e P os pontos onde as bissetrizes internas de ABC, relativas respectivamente aos v´ ertices A, B e C, intersectam o c´ ırculo circunscrito ao triˆ angulo (M 6= A, N 6= B, P 6= C. Prove que o incentro de ABC ´ e o ortocentro de MNP. 4. Dados trˆ es n´ umeros reais positivos a, b e c, dizemos que um n´ umero x ´ e a quarta proporcional de a, b e c (nessa ordem) se a b = c x . Construa com r´ egua e compasso a quarta proporcional dos segmentos de comprimentos a<b<c 5. Construa com r´ egua e composso os arcos capazes de um angulo α dado sobre um segmento AB tamb´ em dado. 6. Na figura da esquerda abaixo, ABCD ´ e um quadrado, E o ponto de interse¸c˜ ao das diagonais AC e BD. Oc´ ırculo Ω est´ a centrado em B e tem raio BE. O ponto F ´ e a interse¸c˜ ao do c´ ırculo com o segmento BC e G ´ e a interse¸c˜ ao do c´ ırculo com AB. O triˆ angulo GFD ´ e equilatero? 7. Construa, ”para dentro”do quadrado ABCD (figura da direita abaixo), triˆ angulos eq¨ uilateros BCF e CDE sobre os lados BC e CD respectivamente. Sejam G a interse¸ c˜ ao da raio -→ AE com o segmeto BC e H a interse¸ c˜ ao do raio -→ AF com o segmento CD. (a) Mostre que o triangulo AGH tamb´ em ´ e eq¨ uilatero; (b) Mostre que Area(4ABG)+ Area(4AHD)= Area(4HGC). Figura 1: Ex. 6 Figura 2: Ex. 7 Resolver 5 problemas. Cada problema vale 2.0 pontos. Boa Sorte. 1
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Universidade Federal Rural de Pernambuco - UFRPE
Mestrado Profissional em Matematica em Rede Nacional - PROFMAT
Primeira Prova Local de Geometria I - MA 13 Prof. Jorge Antonio Hinojosa Vera
Nome:
1. Em um triangulo ABC, seja M o ponto medio de BC. Se AM = 12BC, mostre que BAC = 90o.
2. Em um triangulo ABC, sejam M o ponto medio do lado BC e Hb, Hc respectivamente os pes das alturas relativas
a AC e AB. Prove que o triangulo MHbHc e isosceles.
3. Seja ABC um triangulo qualquer e sejam M, N e P os pontos onde as bissetrizes internas de ABC, relativas
respectivamente aos vertices A, B e C, intersectam o crculo circunscrito ao triangulo (M 6= A, N 6= B, P 6= C.Prove que o incentro de ABC e o ortocentro de MNP.
4. Dados tres numeros reais positivos a, b e c, dizemos que um numero x e a quarta proporcional de a, b e c
(nessa ordem) se ab
= cx
. Construa com regua e compasso a quarta proporcional dos segmentos de comprimentos
a < b < c
5. Construa com regua e composso os arcos capazes de um angulo dado sobre um segmento AB tambem dado.
6. Na figura da esquerda abaixo, ABCD e um quadrado, E o ponto de intersecao das diagonais AC e BD. O crculo
esta centrado em B e tem raio BE. O ponto F e a intersecao do crculo com o segmento BC e G e a intersecao
do crculo com AB. O triangulo GFD e equilatero?
7. Construa, para dentrodo quadrado ABCD (figura da direita abaixo), triangulos equilateros BCF e CDE sobre
os lados BC e CD respectivamente. Sejam G a intersecao da raioAE com o segmeto BC e H a intersecao do raio
AF com o segmento CD.
(a) Mostre que o triangulo AGH tambem e equilatero;
(b) Mostre que Area(4ABG) +Area(4AHD) = Area(4HGC).
Figura 1: Ex. 6 Figura 2: Ex. 7
Resolver 5 problemas. Cada problema vale 2.0 pontos.
Boa Sorte.
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