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2 Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes
2.1. Considerações gerais
Na engenharia geotécnica, com o intuito de poder analisar diversos
problemas, tradicionalmente tem-se considerado que um fluido (geralmente água)
preenche totalmente todos os poros de um solo. Entretanto, estes poros também
podem estar preenchidos por outro fluido (geralmente ar), proporcionando ao solo
características particulares, tanto hidraúlicas quanto mecânicas, que não podem
ser representadas pela mecânica de solos clássica.
Nesse sentido, novos conceitos tiveram que ser desenvolvidos para o estudo
do solo nestas condições. Um destes conceitos corresponde ao “grau de saturação”
( lS ), que representa a proporção de poros que é ocupada pela água e graças à qual
é possível identificar duas zonas dentro de um perfil típico de solo, como
apresenta a figura (2.1).
Figura 2.1.- Esquematização de solos saturados e solos parcialmente saturados.
A zona inferior corresponde ao solo saturado, já que os poros encontram-se
saturados por água ( lS = 1). Em função das poropressões ( pp ) esta zona ainda
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 33
33
divide-se em duas subzonas separadas pela superfície freática. Uma destas
corresponde à subzona das águas subterrâneas, em que as poropressões são
positivas, e a outra corresponde à subzona da franja capilar, em que as
poropressões se reduzem tornando-se negativas até um valor mínimo ( *pp ) que
dependerá, dentre outros fatores, da granulometria do solo.
Caso estas poropressões atinjam valores abaixo de *pp , o ar ingressa nos
poros do solo, deslocando parte da água ( lS < 1) e estabelecendo a zona não
saturada. No solo desta zona, também conhecido como solo parcialmente
saturado, os grãos são submetidos a forças de compressão que exercem um efeito
estabilizador sobre o esqueleto sólido do solo. Estas forças são geradas
principalmente pela diferença entre a pressão do ar ( gp ) e a pressão d’água ( lp ),
dando origem a um novo conceito chamado de “sucção” (s).
Tanto s como lS têm-se tornado variáveis de significativa importância no
surgimento de novas teorias e no desenvolvimento de sofisticados modelos
constitutivos para modelagem dos solos parcialmente saturados.
Neste capítulo discutem-se parte destas teorias, abordam-se as relações
constitutivas adotadas nesta pesquisa e se desenvolvem as equações governantes
necessárias para a modelagem do acoplamento hidromecânico dos solos
parcialmente saturados.
Como convenção de sinal assume-se que as tensões e poropressões são
positivas quando se tratam de compressão, como comumente utiliza-se na
Geotecnia.
2.2. Relações constitutivas mecânicas
Nos solos saturados as tensões efetivas
T'''' xzyzxyzzyyxx τττσσσ σ que atuam sobre seu esqueleto sólido
podem ser obtidas através do princípio de Terzaghi como
mσσ lp' (2.1)
em que σ é o vetor das tensões totais, lp é um escalar que representa as
poropressões do líquido e, T000111m é um vetor de componentes
unitárias nas direções normais.
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 34
34
Entretanto, em um meio parcialmente saturado, os poros são ocupados por
mais de um fluido, usualmente água e ar, que produzem uma diferença de pressão,
ou sucção, nos meniscos entre os grãos sólidos. Esta sucção, que também depende
do grau de saturação, proporciona características mecânicas particulares ao solo
durante os processos de secagem e umedecimento, afetando tanto sua resistência
quanto sua deformabilidade.
Neste contexto, diferentemente dos solos saturados, surge a necessidade de
adotar novas variáveis constitutivas para representar o comportamento dos solos
parcialmente saturados. Segundo Gens (2010), qualquer variável que seja
relevante no problema pode ser selecionada como variável constitutiva. No
entanto, como na engenharia empregam-se leis constitutivas que usualmente estão
definidas no espaço das tensões, é preferível empregar variáveis do tipo tensorial,
vetorial ou escalar que mantenham as unidades de tensão.
As primeiras tentativas para estabelecer variáveis constitutivas nos solos
parcialmente saturados foram baseadas na previsão da sua resistência ao
cisalhamento. Bishop (1959) propõe uma nova variável de tensão como
mσσ pp' (2.2)
sendo pp a pressão de poros dada por
)( lggp pppp (2.3)
em que χ é um parâmetro que está diretamente associado ao grau de saturação
d’água ( lS ).
Esta nova variável constitutiva, também conhecida como “tensão de
Bishop”, apresentou-se bastante conveniente já que, quando o solo se torna
saturado, o princípio de Terzaghi pode ser recuperado naturalmente. No entanto, a
falta de uma definição física de χ e dificuldades associadas com a determinação
experimental da sua relação com lS têm limitado sua aceitação.
Mais adiante, com o propósito de estender o critério de Mohr-Coulomb,
Fredlund et al. (1978) propõem determinar a resistência ao cisalhamento dos solos
parcialmente saturados em função de duas variáveis constitutivas: as tensões
líquidas ( lσ ) e a sucção (s), ambas dadas por
mσσ gl p (2.4)
lg pps (2.5)
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 35
35
Observe que estas representam variáveis de tensão independentes entre si. Logo,
substituindo estas variáveis na equação (2.2), a tensão de Bishop pode ser
reescrita como
mσσ sl ' (2.6)
Em seguida, fazendo uma analogia com a proposta de Fredlund et al. (1978),
pode-se deduzir uma expressão para determinar o parâmetro de Bishop como
'tan
tan
b
(2.7)
em que ' é o ângulo de atrito do solo saturado (independente da sucção) e b é
um ângulo que caracteriza a contribuição da sucção na resistência do solo.
Segundo Houlsby (1997), tanto a tensões de Bishop quanto as tensões de
Fredlund podem ser utilizadas na modelagem de solos parcialmente saturados;
entretanto, os parâmetros de Fredlund são de mais fácil determinação
experimental em comparação à determinação direta do parâmetro de Bishop.
Esta característica associada à independência existente entre as variáveis de
Fredlund possibilitaram que através do controle da sucção sejam obtidas algumas
trajetórias de tensão líquida em ensaios de laboratório. Baseados nestas trajetórias
de tensão, Alonso et al. (1990) propuseram o modelo Barcelona (BBM) como
uma expansão do modelo Cam-Clay Modificado (MCC) para sua aplicação em
solos parcialmente saturados.
A figura (2.2) apresenta a superfície de escoamento do BBM no espaço
tridimensional (p,J,s), sendo p a tensão octaédrica líquida e J o segundo invariante
das tensões de desvio. Nesta figura também se apresenta a projeção da superfície
de escoamento nos planos (p,J) e (p,s).
No plano (p,J) observa-se que a máxima tensão de desvio desta projeção
dependerá da inclinação (M) da linha de estado crítico (LEC), podendo ser
superior à medida que a sucção se incrementa. Esta mudança de tamanho na
superfície de escoamento é controlada pela pressão de pré-adensamento do solo
em condições não saturadas ( *0p ). Observe que para o caso saturado, a pressão de
pré-adensamento ( 0p ) define o tamanho da superfície de escoamento adotada no
MCC.
No plano (p,s) observam-se os limites da superfície de escoamento do BBM
estabelecidos em função da linha de carregamento colapso (LC), da linha que
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 36
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define a máxima sucção que o solo pode suportar (SI) e da linha com inclinação
(k) que define os incrementos de coesão em função dos incrementos de suçção.
Maiores detalhes a respeito da formulação original do BBM podem ser
encontrados em Gens et al. (1989) e Alonso et al. (1990).
Figura 2.2.- Superfícies de escoamento do Modelo Básico de Barcelona (BBM) em
função das tensões líquidas.
Graças à simplificação dos processos hidráulicos, o BBM tem servido como
referência para o desenvolvimento de novos modelos, cujo objetivo principal é a
previsão do comportamento mecânico dos solos parcialmente saturados (Josa et
al., 1992; Wheeler & Sivakumar, 1995; Guimarães, 2002). No entanto, o emprego
das variáveis de tensão de Fredlund podem apresentar alguns inconvenientes
quando os parâmetros hidráulicos definem variáveis constitutivas de significativa
importância.
De acordo com Sheng et al. (2004), as variáveis de tensão de Fredlund
podem apresentar dificuldades na transição entre os estados saturado e não
saturado, particularmente quando a modelagem de solos saturados é baseada nas
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 37
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tensões efetivas de Terzaghi. Nestes casos, a escolha pelas tensões de Bishop
(Bishop, 1959) parece ser a melhor opção porque a transição de estados, de
saturado para não saturado e vice-versa, pode ser facilmente representada pela
simplificação natural das tensões de Bishop nas tensões efetivas de Terzaghi.
Em contrapartida, a determinação experimental de trajetórias de tensão de
Bishop pode se tornar complexa, e por vezes impossível, se a relação entre e
lS não é estabelecida (Gens, 2010). Nesse sentido, vários pesquisadores têm
considerado como válida a relação: χ = lS , tanto em solos como em rochas
(Verruijt, 1969; Delleur, 1999; Zienkiewicks et al., 1999; Kim, 2004; Laloui &
Nuth, 2009). Esta hipótese permite que, a partir do conhecimento da sucção e da
curva de retenção do solo, seja possível determinar as tensões de Bishop.
Estudos recentes estabeleceram um vínculo mais estreito entre o parâmetro
χ e a informação disponível na microestrutura dos solos. Alonso et al. (2010)
propõem substituir χ pelo grau de saturação efetivo ( elS ) como
rl
sl
rlle
l SS
SSS
χ (2.8)
em que slS corresponde ao grau de saturação do solo em condições saturadas
(usualmente igual à unidade) e rlS corresponde ao grau de saturação residual
concernente à água preenchida nos microporos.
De acordo com Alonso et al. (2010), elS descreve o máximo valor relativo
d’água capaz de ser armazenado em um estado adsorvido. A ideia principal é que
apenas a fração de água que parcialmente preenche os vazios contribui, via ação
capilar, ao comportamento mecânico do solo.
Algumas vantagens desta proposta podem ser observadas em função do grau
de saturação residual ( rlS ) que caracteriza os diferentes tipos de solos. Por
exemplo, quando rlS tende a um valor próximo de zero, como normalmente
acontece nos solos granulares, elS pode se tornar igual a lS . Por outro lado,
quando rlS tende a valores elevados, como no caso dos solos finos, e
lS pode
assumir valores inferiores reduzindo o impacto da sucção nas tensões de Bishop.
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 38
38
Empregando a equação (2.8) e desprezando as mudanças na pressão do ar,
como normalmente é assumido na maioria das aplicações geotécnicas, pode se
determinar a pressão de poros ( pp ) de um solo parcialmente saturado como
lel
elp pSsSp (2.9)
e reescrever as tensões de Bishop como
mσσ lel pS' (2.10)
Em seguida, utilizando estas tensões como variáveis de tensão constitutivas,
é possível traçar as superfícies de escoamento do BBM no espaço (p’,J,s), sendo
p’ a tensão octaédrica de Bishop, como apresenta a figura (2.3).
Figura 2.3.- Superfícies de escoamento do Modelo Básico de Barcelona (BBM) em
função das tensões de Bishop.
Observe que, diferentemente do BBM estabelecido em função das tensões
líquidas, as superfícies de escoamento são limitadas pelo eixo s, não sendo
necessário definir o parâmetro k. Observe também que a linha de estado crítico
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 39
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(LEC) apresenta uma inclinação (Lθ
g ) que representa uma função dependente do
ângulo de Lode ( Lθ ). Esta função Lθ
g define a forma da superfície de escoamento
no plano desviador. Neste plano, o hexágono de Mohr-Coulomb é reconhecido
como a forma mais apropriada na modelagem de solos. No entanto, as derivadas
da função de escoamento em relação às tensões (fundamentais na integração das
tensões) podem apresentar singularidades nas regiões próximas aos vértices do
hexágono. Por este motivo, vários critérios de arredondamento têm sido propostos
na literatura: Matsuoka & Nakai’s (1974), Lade & Duncan (1975), Abbo (1997) e
Sheng et al. (2000). Para fins de apreciação, na figura (2.4), apresentam-se
graficamente os critérios propostos por Abbo (1997) e Sheng et al. (2000)
juntamente com o círculo de Drucker-Prager.
Figura 2.4.- Superfícies de escoamento no plano desviador.
Em geral, as funções que definem as superfícies de escoamento e potencial
plástico são formuladas em função dos três invariantes de tensão: Lθ junto a 'p e
J . Segundo Potts & Zdravkovic (1999), a adoção destes invariantes de tensão não
é arbitrária, já que possuem significado geométrico no espaço das tensões
principais ( 1'σ , 2'σ , 3'σ ), como apresenta a figura (2.5) para o caso de um ponto P
que tem como invariantes P'p , PJ e PLθ . Observe que o valor de P'3p na figura
(2.5a) é uma medida da distância da origem até o plano desviador ao longo da
diagonal espacial, o valor de P2J na figura (2.5b) é uma medida da distância do
estado de tensão à diagonal espacial no plano desviador; e PLθ define a orientação
do estado de tensão no plano desviador.
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 40
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Figura 2.5.- Representação dos invariantes no espaço de tensões principais. (Adaptado
de Potts & Zdravkovic, 1999).
Os três invariantes de tensão podem ser expressos em função das seis
componentes do tensor de tensões de acordo com
3
'σ'σ'σ' zyxp
(2.11)
)(6)'σ'(σ)'σ'(σ)'σ'(σ6
1 222222yzzxxyzyzxyxJ (2.12)
''σ
''σ
''σ
2
33sen
3
1-
31
L
p
p
p
Jθ
zyxzx
yxyxy
zxxyx
(2.13)
Logo, com base nestes invariantes de tensão é possível apresentar as funções de
escoamento de diversos modelos constitutivos mecânicos.
A função de escoamento para o modelo Barcelona (BBM), por exemplo, é
dada por
*0
*0
2
2
*0
BBM
'1
')(
L p
p
p
pg
p
JF θ (2.14)
em que *0p corresponde à pressão de pré-adensamento do solo parcialmente
saturado, podendo ser determinada em função da pressão de pré-
adensamento na condição saturada ( 0p ) e da sucção (s) de acordo com
s
rr p
ppp
0
0*0 (2.15)
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 41
41
em que rp é uma tensão média de referência, é a inclinação da linha de
carregamento-descarregamento (considerada independente da sucção), 0 é
a inclinação da linha de consolidação normal em condições saturadas, s é a
linha de consolidação normal em condições não saturadas dada por
rer ss
s )(0 )1( , sendo r e s os parâmetros do modelo.
A função de escoamento para o modelo Cam-Clay modificado (MCC) é
dada por
00
2
2
0MCC
'1
'L p
p
p
pg
p
JF θ (2.16)
Observe que, quando o solo se torna saturado com sucção nula, o BBM é
simplificado para esta função.
A função de escoamento para o modelo de Lade-Kim (LDK) é dada por
η
LL3223
3
LDK
'31
sen)2cos2
1(
33
4''
'27
ap
p
JJpp
pF
(2.17)
em que η representa um parâmetro do modelo e ap representa a pressão
atmosférica.
A função de escoamento para o modelo constitutivo de Mohr-Coulomb
(MHC) é dada por
1
''tan
'L
MHC
θgpc
JF
(2.18)
em que 'c é a coesão e ' é o ângulo de atrito, ambos, parâmetros do modelo.
Observe que os parâmetros dos modelos MCC, LDK e MHC não
apresentam mudanças com a sucção, por conseguinte suas funções de escoamento
resultam independentes desta variável. Por outro lado, no BBM, o parâmetro *0p é
dependente da sucção, podendo produzir uma expansão do tamanho da superfície
de escoamento durante os processos de secagem ou uma redução durante os
processos de umedecimento.
Maiores detalhes a respeito destes modelos constitutivos mecânicos podem
ser encontrados na literatura e não serão discutidos diretamente neste trabalho.
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 42
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Outra importante relação constitutiva mecânica é a lei de Hook
generalizada, através da qual um incremento no vetor de tensão efetiva )'(dσ
pode ser relacionado com um incremento no vetor de deformação )(dε . De acordo
com a mecânica de solos clássica esta lei é estabelecida como
'dd σCε (2.19)
ou
εDσ d'd (2.20)
em que D é a matriz tensão-deformação e 1 DC . Estas relações são válidas
para solos saturados; entretanto, para solos parcialmente saturados, deve-se levar
em consideração a contribuição exercida pela sucção. Deste modo, as equações
anteriores podem ser generalizadas como
sd'dd VσCε (2.21)
ou como
sdd'd WεDσ (2.22)
em que, V é o vetor constitutivo deformação-sucção e W é o vetor constitutivo
tensão-sucção. Observe que a equação (2.21) considera a sucção como uma
variável de tensão adicional, enquanto a equação (2.22) considera a sucção como
uma variável de deformação adicional.
Muitos modelos, como o BBM na sua formulação original, consideram a
sucção como uma variável de tensão adicional. Nestes casos, as equações
constitutivas são conduzidas de forma mista, já que é necessário integrar seis
componentes de tensão com base no conhecimento de seis incrementos de
deformação e um incremento de tensão.
Segundo Sheng et al. (2003a), esta consideração pode causar problemas na
integração das tensões, posto que a sucção não afeta apenas o tamanho das
superfícies potencial plástica e de escoamento mas também o estado de tensão
final. Se um esquema de integração implícito é utilizado, podem ocorrer
problemas de convergência, já que a trajetória das tensões elásticas preditoras
pode atravessar uma superfície de escoamento não convexa. Observe que a
convexidade da superfície (LC) no plano (p’,s) não é garantida para solos
parcialmente saturados. Por outro lado, se um esquema de integração explícito é
utilizado, a subincrementação da deformação pode ter que ser executada numa
taxa diferente da subincrementação da sucção. Isto pode causar dificuldades no
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 43
43
processo de integração explícito das tensões já que seria necessário executar duas
etapas de integração separadamente.
Problemas de convergência também podem ocorrer quando se considera a
sucção como uma variável de deformação adicional; no entanto, as equações
constitutivas podem ser conduzidas por puras deformações conhecidas. Isto
permite uma formulação consistente com a metodologia utilizada na integração
das tensões dos solos saturados, já que os algoritmos de integração de tensão
podem ser generalizados sem a necessidade de controles adicionais para distinguir
o estado do solo.
Desta forma, segundo a teoria da plasticidade, a matriz D e o vetor W
podem ser determinados através de
He
Te
Te
e
PF
FP
aDa
DaaDDD (2.23)
H
C
eT
me
PF
P
aDa
aDW (2.24)
em que eD é a matriz constitutiva elástica, '/ σa FF é o gradiente da função
de escoamento ( F ), '/ σa PP é o gradiente da função potencial plástica ( P ),
sF /Cm é a derivada da função de escoamento em relação à sucção e H é o
parâmetro que define a lei de endurecimento/amolecimento do modelo
constitutivo mecânico. De um modo geral, H pode ser determinado por
d
dH
h
h
F
(2.25)
em que h é um escalar que representa o parâmetro de endurecimento, cujos
incrementos podem ser obtidos pela seguinte relação constitutiva
sh Qddd εP (2.26)
sendo
H
Be
Te
T
PF
F
aDa
DaP (2.27)
H
CBQ
eT
m
PF aDa (2.28)
hF
/
HB (2.29)
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 44
44
H
dCdd
eT
meT
PF
F s
aDa
εDa (2.30)
Observe que para conhecidos incrementos de deformação e sucção, um
sistema de equações diferenciais ordinárias, formado pelas equações (2.22) e
(2.26), deve ser solucionado a fim de poder integrar corretamente as tensões. Para
esta tarefa empregam-se algoritmos especiais de solução, também conhecidos
como “esquemas de integração”. Como mencionado anteriormente, estes
esquemas podem ser divididos em dois grandes grupos: implícitos e explícitos.
Nos esquemas de integração implícitos, os incrementos de tensão e do
parâmetro de endurecimento são avaliados em estados de tensão desconhecidos,
gerando na maioria dos casos um sistema de equações não lineares que deve ser
resolvido iterativamente. Estes esquemas são atrativos porque as tensões
resultantes satisfazem automaticamente as condições de consistência, fazendo
com que o estado de tensão permaneça sobre a superfície de escoamento.
Entretanto, a principal dificuldade dos esquemas implícitos é a necessidade de
avaliação das segundas derivadas das funções de escoamento em relação às
tensões, resultando em complicadas expressões algébricas quando se utilizam
modelos constitutivos mecânicos mais complexos.
Por outro lado, nos esquemas de integração explícitos, os incrementos de
tensão e do parâmetro de endurecimento são avaliados em estados de tensão
conhecidos no início de um incremento de deformação. Em geral, estes esquemas
são de fácil implementação computacional, podendo ser utilizados como
esquemas gerais de integração de diversos modelos constitutivos. No entanto, sua
aproximação depende da subdivisão dos incrementos de deformação em pequenos
subincrementos. Para superar esta dificuldade, técnicas especiais de
subincrementação por controle de erro têm sido propostas com base nos
algoritmos sugeridos por Sloan (1987). Abbo (1997), por exemplo, aperfeiçoou o
algoritmo de interseção da trajetória de tensão com a superfície de escoamento
assim como o algoritmo de correção das tensões quando estas não satisfazem a
condição de consistência do modelo de Mohr-Coulomb. Sloan et al. (2001)
estenderam estes algoritmos para sua utilização nos modelos de estado crítico. Por
sua vez, Jakobsen & Lade (2002) os estenderam para o modelo de Lade-Kim.
Posteriormente, Sheng et al. (2003a) generalizaram estes algoritmos para seu uso
na integração das tensões de solos parcialmente saturados.
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 45
45
Algumas comparações entre os esquemas de integração têm sido
apresentadas na literatura. Potts & Ganendra (1992) compararam a eficiência do
método de integração implícito proposto por Ortiz & Simo (1986) com o método
de subincrementação explícito proposto por Sloan (1987), concluindo que, para
modelos de estado crítico em solos saturados, o método explícito pode ser mais
rápido e eficiente. Conclusões similares para solos parcialmente saturados foram
obtidas por Gonzáles (2011), que comparou o método de integração implícito
proposto por Pérez et al. (2001) com o método de integração explícito proposto
por Sheng et al. (2003a).
Pelos resultados destas comparações, nesta pesquisa optou-se por utilizar o
método de integração explícito automático (MIEA) proposto por Sheng et al.
(2003a), já que este pode ser utilizado para integrar as tensões constitutivas, tanto
do solo saturado quanto do solo parcialmente saturado. O MIEA pode ser
estabelecido empregando a aproximação de Euler de primeira ordem nas equações
(2.22) e (2.26), como
shsh 00000 ,,','1' σσ WεDσ (2.31)
sh hsh 00000 ,,','1 Q σσ εP (2.32)
em que os sub-índices 0 e 1 indicam valores correspondentes ao início e fim,
respectivamente, dos incrementos de deformação e de sucção. Com estas
aproximações, as primeiras estimativas das tensões constitutivas e do parâmetro
de endurecimento, no final dos incrementos de deformação e de sucção, são dadas
por
1011 ''' σσσ (2.33)
1011 hhh (2.34)
Esses valores são utilizados para calcular uma segunda estimativa nas mudanças
das tensões efetivas e do parâmetro de endurecimento como
shssh
110
11
11
11 ,,','2' σσ
WεDσ (2.35)
shhssh
110
11
11
11 ,,','2 Q
σσεP (2.36)
Finalmente, melhores estimativas das tensões e do parâmetro de endurecimento
podem ser encontradas utilizando o procedimento de Euler modificado por
2
'''' 210
21
σσσσ (2.37)
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 46
46
2
210
21
hhhh (2.38)
Como controle de erro, Sheng et al. (2003a) recomendam o uso de uma medida
adimensional dada por
EPS,,'
''max
2
121
12
21
12
h
hhRloc
σ
σσ (2.39)
em que representa a norma euclidiana do vetor das tensões constitutivas. EPS
é uma constante correspondente ao menor erro relativo que pode ser calculado
pelo computador (usualmente 10-16). Os atuais incrementos de deformação e de
sucção são aceitos se locR for menor ou igual a uma tolerância definida para o erro
de integração local (STOL). Caso contrário, estes incrementos são rejeitados e os
incrementos de deformação e de sucção são divididos em subincrementos de
acordo com
εε
10
1,
STOL
10
9max
locR (2.40)
sR
sloc
1.0,STOL
9.0max (2.41)
Se o subincremento satisfaz o critério de convergência, ainda verifica-se se
as tensões determinadas e o parâmetro de endurecimento satisfazem a função de
escoamento de acordo com o seguinte critério
FTOLF (2.42)
em que FTOL é uma tolerância pequena. Caso esse critério não seja satisfeito,
executa-se um algoritmo de correção que leva as tensões de volta à superfície de
escoamento. Satisfeito este critério, atualizam-se as tensões e o parâmetro de
endurecimento empregando as equações (2.37) e (2.38) a cada subincremento, até
que as somas dos subincrementos sejam iguais aos incrementos de deformação e
de sucção inicialmente dados.
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 47
47
2.3. Relações constitutivas hidráulicas
Entre as principais relações constitutivas hidráulicas nos solos parcialmente
saturados encontram-se as curvas de retenção que relacionam o grau de saturação
com a sucção, como apresenta a figura (2.6).
Figura 2.6.- Curvas de retenção típicas de um solo parcialmente saturado.
Estas curvas podem ser obtidas através de técnicas experimentais em
laboratório ou de medições in-situ. Neste sentido, várias pesquisas têm sido
conduzidas para determinar as curvas de retenção em diferentes tipos de solos
(Haines, 1930; Gardner, 1937; McQueen & Miller, 1968; Ridley & Wray, 1996;
Likos & Lu, 2002; Benevelli, 2002; Soares, 2005; Lopes, 2006; Boszczowski,
2008; Moncada, 2008), verificando-se que estas dependem dos processos de
secagem e de umedecimento aos quais o solo foi previamente submetido.
Segundo Lu & Likos (2004, 2006), este fenômeno, também conhecido como
“histerese”, resulta da ação de diferentes mecanismos que atuam na microestrutura
(nas partículas) ou na macroestrutura (entre partículas) dos solos. Estes
mecanismos incluem: (1) a distribuição não uniforme no tamanho dos poros, (2) a
ocorrência de bolhas de ar aprisionadas, (3) o ângulo de contato entre partículas e
(4) a expansão ou colapso do solo.
Recentemente, algumas pesquisas têm sido voltadas para o estudo da
histerese em função do seu impacto não apenas no fenômeno de fluxo, mas
também nos fenômenos de tensão e deformação (Lehmann et al., 1998; Ng &
Pang, 2000; Li, 2005; Lins et al., 2007; Sheng et al.; 2008; Pedroso et al., 2008);
entretanto, ainda não existe um consenso. Por razões práticas é comum medir a
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 48
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curva de retenção através de processos de secagem e assumir que esta representa
uma condição de equilíbrio com os processos de umedecimento.
Outras importantes relações que caracterizam o comportamento hidráulico
dos solos parcialmente saturados são as curvas de permeabilidade relativa, que
relacionam o coeficiente de permeabilidade relativa ( rk ) com o grau de saturação
ou com a sucção, como apresenta a figura (2.7).
Figura 2.7.- Curva de permeabilidade relativa de um solo parcialmente saturado.
Desta figura, observa-se que o coeficiente rk pode assumir valores
próximos à unidade quando o solo é saturado e valores próximos a zero quando o
solo é parcialmente saturado com elevada sucção.
Diversas técnicas experimentais também estão disponíveis para se
determinar a curva da permeabilidade relativa. No entanto, em função da sua
elevada complexidade, usualmente rk é obtido a partir das curvas de retenção que
experimentalmente resultam menos difíceis de determinar (Boszczowski, 2008).
As curvas de retenção e de permeabilidade relativa são comumente referidas
como “curvas características” e para sua descrição nas modelagens de fluxo
empregam-se diversas equações ou modelos matemáticos. Expressando
convenientemente a sucção em função das cargas de pressão d’água ( lh ) como
ll hs , caso 0lh (2.43)
0s , caso 0lh (2.44)
em que l representa o peso especifico d’água, é possível descrever alguns destes
modelos matemáticos.
As curvas características do modelo de Brooks & Corey (1964), por
exemplo, são dadas por
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 49
49
al
all
arl
rl
l
hh
hhh
hSSS
BC
,1
,)1(
(2.45)
al
alel
rhh
hhSk
BC
,1
,)( /23
(2.46)
em que ah é a carga de pressão de entrada do ar e BC é um parâmetro
próprio do modelo.
As curvas características do modelo de van Genuchten (1980) são dadas por
0,1
0,))(1)(1(
l
lmn
lvgrl
rl
lh
hhSSS
vgvg (2.47)
0,1
0 ,)(11)(2
/12/1
l
l
mmvgel
el
rh
hSSkvg
(2.48)
em que vg e vgn são os parâmetros próprios do modelo, sendo
frequentemente assumido que vgvg nm /11 .
As curvas características do modelo exponencial de Srivastava & Yeh
(1991) são dadas por
0,1
0,)1( exp
l
llr
lrl
l
h
hh
eSSS
(2.49)
0,1
0 ,
l
lel
rh
hSk (2.50)
em que exp é um parâmetro próprio do modelo.
Vantagens e desvantagens destes modelos não serão discutidas nesta
pesquisa; entretanto, informação pertinente pode ser encontrada nos trabalhos
realizados por Leong & Rahardjo (1997), Sillers et al. (2001) e Fredlund et al.
(2011).
Para descrever os processos de fluxo é necessário adotar outra relação
constitutiva dada pela lei de Darcy, segundo a qual, a descarga específica d’água
( lq ) é diretamente proporcional ao gradiente hidráulico. Originalmente, esta lei
foi enunciada por Darcy (1856) para solos saturados, sendo posteriormente
generalizada por Richards (1931) para sua aplicação também nos solos
parcialmente saturados, de acordo com
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 50
50
)(sat zhk lrl kq (2.51)
em que satk é a matriz de permeabilidade saturada do solo e z é o eixo vertical
global que representa a carga de elevação d’água. Nesta equação observa-se que
em condições não saturadas, o coeficiente rk atua como um fator de redução da
permeabilidade saturada do solo.
A lei de Darcy é válida apenas em regimes de fluxo laminar em que o
número de Reynolds
)(Tl
pill
e
dqR
(2.52)
encontra-se numa faixa de valores entre 1 e 10. Nesta equação, l é a massa
específica d’água, ilq é a descarga específica na direção i , dp é o diâmetro médio
dos poros e l é a viscosidade dinâmica d’água que depende da temperatura do
meio (T).
Na maioria dos processos de fluxo subsuperficial, a variação da temperatura
pode ser desconsiderada, resultando em l constante. Por outro lado, l pode
sofrer alterações em função dos níveis de poropressão; no entanto, estas alterações
não afetam significativamente o número de Reynolds. Logo, o número de
Reynolds pode ser assumido como um parâmetro que depende exclusivamente da
velocidade de Darcy e do diâmetro médio dos poros.
Delleur (1999) indica que através de meios com elevadas porosidades, como
fraturas e formações calcárias, pode acontecer a passagem de água em velocidades
altas suficientes estabelecendo o regime de fluxo como de transição
)1004( eR ou até mesmo turbulento ( 100eR ). Por outro lado, nos meios
com microporos as forças viscosas são preponderantes e o fluxo se estabelece em
regime laminar, validando o uso da lei de Darcy na maioria das aplicações
geotécnicas.
Outra relação constitutiva importante consiste na avaliação da matriz de
permeabilidade saturada ( satk ) em função das deformações que pode sofrer o
meio poroso. Uma relação fortemente citada na literatura foi proposta por Kozeny
(1927) e posteriormente modificada por Carman (1937, 1956) estabelecendo a
conhecida equação de Kozeny-Carman. Essa equação foi desenvolvida após
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 51
51
considerar a analogia entre um material poroso e um conjunto de tubos capilares
que obedecem às equações de Navier-Stokes.
A equação de Kozeny-Carman (Kim, 2006) pode ser escrita como
2
21
31
)1( ssl
lxsat d
n
nfk
i
(2.53)
em que ixsatk é a permeabilidade saturada na direção ix , ds é o diâmetro efetivo
dos grãos sólidos, e sf é o fator de forma dos poros e dos grãos sólidos.
De acordo com a mecânica dos solos clássica (Lambe & Whitman, 1969), a
equação de Kozeny-Carman é aproximadamente válida para solos granulares, mas
pode ser inapropriada para solos finos; o mesmo enunciado aparece em alguns
textos de hidrogeologia (Domenico & Shwartz, 1990). Estas dificuldades, para um
uso geral da equação de Kozeny-Carman, parecem estar diretamente ligadas com
a determinação do fator sf .
Em um trabalho mais recente, Chapuis & Aubertin (2003) mostraram que,
em regra geral, a equação de Kozeny-Carman fornece boas estimativas da
permeabilidade saturada para a maioria dos solos e que apenas em alguns casos,
pelas estimativas pouco precisas de sf ou pela anisotropia do solo, suas
estimativas não resultam válidas.
Desprezando as variações de sd , l , sf e w , é possível generalizar a
expressão de Kozeny-Carman para atualizar a matriz satk em função das
variações que experimenta a porosidade (n) de acordo com
0sat
2
1
0
3
0
1
1sat 1
1kk
n
n
n
n (2.54)
em que os sub-índices 0 e 1 indicam valores correspondentes ao início e fim,
respectivamente, dos incrementos de deformação.
Observe que para a família dos modelos de estado critico (MCC e BBM), as
porosidades podem ser atualizadas de acordo com suas relações constitutivas
mecânicas. Já para outros modelos, Kim (2006) apresenta uma expressão em
função da deformação volumétrica.
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 52
52
2.4. Equações governantes
2.4.1. Equação de equilíbrio
Considerando que uma quantidade elementar do solo se deforma
estaticamente, as equações de equilíbrio podem ser representadas pelo seguinte
sistema
0Tu gσ (2.55)
em que g representa o vetor das forças de corpo e u representa um operador
diferencial dado por
xyz
zxy
zyx
000
000
000
Tu (2.56)
Assumindo que derivadas temporais podem ser efetuadas sem afetar a
equação (2.55), esta pode ser reescrita em forma de taxas como
0Tu gσ (2.57)
Empregando a equação (2.10) que define a tensão constitutiva, o vetor das
tensões totais pode ser definido como
mσσ lel pS ' (2.58)
Substituindo nesta equação a taxa das tensões efetivas da equação (2.22), o vetor
taxa das tensões totais pode ser reescrito como
lel pSs mWεDσ (2.59)
ou ainda, de forma mais conveniente como
lell hS )( mWεDσ (2.60)
Finalmente, substituindo esta última expressão na equação (2.57), obtém-se a
equação de equilíbrio para um meio poroso saturado ou parcialmente saturado
como
0)(Tu gmWεD l
ell hS (2.61)
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 53
53
2.4.2. Equação de fluxo
O balanço de massa d’água em um sistema composto por uma quantidade
elementar de solo pode ser expresso por
0)()()(
wrvv llll
ll nSnSt
nS
(2.62)
na qual, representa o operador gradiente, v é a velocidade do sistema e wrv é
a velocidade relativa d’água em relação ao sistema. Após expandir cada um dos
termos desta equação tem-se
0)(
)()(
llllll
lllll
ll
lll
nSnS
SnnSt
Sn
tnS
t
nS
rr vv
vv (2.63)
em que, o vetor rv llnS representa a descarga específica d’água ( lq ) determinada
pela lei de Darcy.
Considerando que os processos de fluxo são isotérmicos e assumindo que a
água é ligeiramente compressível, sua compressibilidade pode ser aproximada
pela equação de estado termodinâmico (Chen et al., 1995) através de
l
l
ll p
1 (2.64)
em que l é o coeficiente de compressibilidade d’água. Rearranjando a equação
anterior em forma conveniente tem-se
t
p
tl
lll
(2.65)
Substituindo esta última expressão na equação (2.63), produz-se após rearranjo
dos termos
0)(
)(
l
ll
l
lll
lllll
Sn
t
Sn
t
pnSn
t
nS
qvqv (2.66)
Nesta equação, os dois últimos termos do lado esquerdo podem ser desprezados
em função das pequenas variações espaciais que sofre a massa específica d’água.
Logo, considerando que a taxa do grau de saturação pode ser obtida a partir das
curvas de retenção, o balanço de massa d’água pode ser expresso como
0)()(
lll
lllll h
h
SnnSn
t
nS qv (2.67)
O balanço da massa sólida do sistema (composta pelos grãos sólidos) pode
ser expresso por
Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 54
54
0])1([)]1([
vnnt ss (2.68)
em que s é a massa específica dos grãos sólidos. Expandindo cada um dos
termos desta equação, rearranjando-os convenientemente e desprezando os
gradientes espaciais e temporais da massa específica dos grãos sólidos, obtém-se
t
V
Vn
t
n s
1
)( vv (2.69)
em que sV e V representam os volumes, dos grãos sólidos e do sistema,
respectivamente. Nesta última equação, o vetor v pode ser expresso através de
uma variação do vetor de deslocamentos }{ zyx uuuu dentro de um
incremento de tempo infinitesimal como
εmuu
v T)()(
z
u
y
u
x
u
tttzyx (2.70)
Logo, desprezando as variações de volume dos grãos sólidos e substituindo a
equação (2.70) na equação (2.69) tem-se
εmv T)(
nt
n (2.71)
Finalmente, substituindo as equações (2.51) e (2.71) na equação (2.67),
chega-se à equação de fluxo para um meio poroso saturado ou parcialmente
saturado como
0)()( satT zhkhnS
dh
dSnS lrllll
l
ll kεm (2.72)
Observe que esta equação constitui uma generalização da equação de Richards, já
que leva em consideração a deformação que pode experimentar o meio poroso.