2 Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e ...

2 Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes

2.1. Considerações gerais

Na engenharia geotécnica, com o intuito de poder analisar diversos

problemas, tradicionalmente tem-se considerado que um fluido (geralmente água)

preenche totalmente todos os poros de um solo. Entretanto, estes poros também

podem estar preenchidos por outro fluido (geralmente ar), proporcionando ao solo

características particulares, tanto hidraúlicas quanto mecânicas, que não podem

ser representadas pela mecânica de solos clássica.

Nesse sentido, novos conceitos tiveram que ser desenvolvidos para o estudo

do solo nestas condições. Um destes conceitos corresponde ao “grau de saturação”

( lS ), que representa a proporção de poros que é ocupada pela água e graças à qual

é possível identificar duas zonas dentro de um perfil típico de solo, como

apresenta a figura (2.1).

Figura 2.1.- Esquematização de solos saturados e solos parcialmente saturados.

A zona inferior corresponde ao solo saturado, já que os poros encontram-se

saturados por água ( lS = 1). Em função das poropressões ( pp ) esta zona ainda

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Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e equações governantes 33

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divide-se em duas subzonas separadas pela superfície freática. Uma destas

corresponde à subzona das águas subterrâneas, em que as poropressões são

positivas, e a outra corresponde à subzona da franja capilar, em que as

poropressões se reduzem tornando-se negativas até um valor mínimo ( *pp ) que

dependerá, dentre outros fatores, da granulometria do solo.

Caso estas poropressões atinjam valores abaixo de *pp , o ar ingressa nos

poros do solo, deslocando parte da água ( lS < 1) e estabelecendo a zona não

saturada. No solo desta zona, também conhecido como solo parcialmente

saturado, os grãos são submetidos a forças de compressão que exercem um efeito

estabilizador sobre o esqueleto sólido do solo. Estas forças são geradas

principalmente pela diferença entre a pressão do ar ( gp ) e a pressão d’água ( lp ),

dando origem a um novo conceito chamado de “sucção” (s).

Tanto s como lS têm-se tornado variáveis de significativa importância no

surgimento de novas teorias e no desenvolvimento de sofisticados modelos

constitutivos para modelagem dos solos parcialmente saturados.

Neste capítulo discutem-se parte destas teorias, abordam-se as relações

constitutivas adotadas nesta pesquisa e se desenvolvem as equações governantes

necessárias para a modelagem do acoplamento hidromecânico dos solos

parcialmente saturados.

Como convenção de sinal assume-se que as tensões e poropressões são

positivas quando se tratam de compressão, como comumente utiliza-se na

Geotecnia.

2.2. Relações constitutivas mecânicas

Nos solos saturados as tensões efetivas

T'''' xzyzxyzzyyxx τττσσσ σ que atuam sobre seu esqueleto sólido

podem ser obtidas através do princípio de Terzaghi como

mσσ lp' (2.1)

em que σ é o vetor das tensões totais, lp é um escalar que representa as

poropressões do líquido e, T000111m é um vetor de componentes

unitárias nas direções normais.

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Entretanto, em um meio parcialmente saturado, os poros são ocupados por

mais de um fluido, usualmente água e ar, que produzem uma diferença de pressão,

ou sucção, nos meniscos entre os grãos sólidos. Esta sucção, que também depende

do grau de saturação, proporciona características mecânicas particulares ao solo

durante os processos de secagem e umedecimento, afetando tanto sua resistência

quanto sua deformabilidade.

Neste contexto, diferentemente dos solos saturados, surge a necessidade de

adotar novas variáveis constitutivas para representar o comportamento dos solos

parcialmente saturados. Segundo Gens (2010), qualquer variável que seja

relevante no problema pode ser selecionada como variável constitutiva. No

entanto, como na engenharia empregam-se leis constitutivas que usualmente estão

definidas no espaço das tensões, é preferível empregar variáveis do tipo tensorial,

vetorial ou escalar que mantenham as unidades de tensão.

As primeiras tentativas para estabelecer variáveis constitutivas nos solos

parcialmente saturados foram baseadas na previsão da sua resistência ao

cisalhamento. Bishop (1959) propõe uma nova variável de tensão como

mσσ pp' (2.2)

sendo pp a pressão de poros dada por

)( lggp pppp (2.3)

em que χ é um parâmetro que está diretamente associado ao grau de saturação

d’água ( lS ).

Esta nova variável constitutiva, também conhecida como “tensão de

Bishop”, apresentou-se bastante conveniente já que, quando o solo se torna

saturado, o princípio de Terzaghi pode ser recuperado naturalmente. No entanto, a

falta de uma definição física de χ e dificuldades associadas com a determinação

experimental da sua relação com lS têm limitado sua aceitação.

Mais adiante, com o propósito de estender o critério de Mohr-Coulomb,

Fredlund et al. (1978) propõem determinar a resistência ao cisalhamento dos solos

parcialmente saturados em função de duas variáveis constitutivas: as tensões

líquidas ( lσ ) e a sucção (s), ambas dadas por

mσσ gl p (2.4)

lg pps (2.5)

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Observe que estas representam variáveis de tensão independentes entre si. Logo,

substituindo estas variáveis na equação (2.2), a tensão de Bishop pode ser

reescrita como

mσσ sl ' (2.6)

Em seguida, fazendo uma analogia com a proposta de Fredlund et al. (1978),

pode-se deduzir uma expressão para determinar o parâmetro de Bishop como

'tan

tan

b

(2.7)

em que ' é o ângulo de atrito do solo saturado (independente da sucção) e b é

um ângulo que caracteriza a contribuição da sucção na resistência do solo.

Segundo Houlsby (1997), tanto a tensões de Bishop quanto as tensões de

Fredlund podem ser utilizadas na modelagem de solos parcialmente saturados;

entretanto, os parâmetros de Fredlund são de mais fácil determinação

experimental em comparação à determinação direta do parâmetro de Bishop.

Esta característica associada à independência existente entre as variáveis de

Fredlund possibilitaram que através do controle da sucção sejam obtidas algumas

trajetórias de tensão líquida em ensaios de laboratório. Baseados nestas trajetórias

de tensão, Alonso et al. (1990) propuseram o modelo Barcelona (BBM) como

uma expansão do modelo Cam-Clay Modificado (MCC) para sua aplicação em

solos parcialmente saturados.

A figura (2.2) apresenta a superfície de escoamento do BBM no espaço

tridimensional (p,J,s), sendo p a tensão octaédrica líquida e J o segundo invariante

das tensões de desvio. Nesta figura também se apresenta a projeção da superfície

de escoamento nos planos (p,J) e (p,s).

No plano (p,J) observa-se que a máxima tensão de desvio desta projeção

dependerá da inclinação (M) da linha de estado crítico (LEC), podendo ser

superior à medida que a sucção se incrementa. Esta mudança de tamanho na

superfície de escoamento é controlada pela pressão de pré-adensamento do solo

em condições não saturadas ( *0p ). Observe que para o caso saturado, a pressão de

pré-adensamento ( 0p ) define o tamanho da superfície de escoamento adotada no

MCC.

No plano (p,s) observam-se os limites da superfície de escoamento do BBM

estabelecidos em função da linha de carregamento colapso (LC), da linha que

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define a máxima sucção que o solo pode suportar (SI) e da linha com inclinação

(k) que define os incrementos de coesão em função dos incrementos de suçção.

Maiores detalhes a respeito da formulação original do BBM podem ser

encontrados em Gens et al. (1989) e Alonso et al. (1990).

Figura 2.2.- Superfícies de escoamento do Modelo Básico de Barcelona (BBM) em

função das tensões líquidas.

Graças à simplificação dos processos hidráulicos, o BBM tem servido como

referência para o desenvolvimento de novos modelos, cujo objetivo principal é a

previsão do comportamento mecânico dos solos parcialmente saturados (Josa et

al., 1992; Wheeler & Sivakumar, 1995; Guimarães, 2002). No entanto, o emprego

das variáveis de tensão de Fredlund podem apresentar alguns inconvenientes

quando os parâmetros hidráulicos definem variáveis constitutivas de significativa

importância.

De acordo com Sheng et al. (2004), as variáveis de tensão de Fredlund

podem apresentar dificuldades na transição entre os estados saturado e não

saturado, particularmente quando a modelagem de solos saturados é baseada nas

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tensões efetivas de Terzaghi. Nestes casos, a escolha pelas tensões de Bishop

(Bishop, 1959) parece ser a melhor opção porque a transição de estados, de

saturado para não saturado e vice-versa, pode ser facilmente representada pela

simplificação natural das tensões de Bishop nas tensões efetivas de Terzaghi.

Em contrapartida, a determinação experimental de trajetórias de tensão de

Bishop pode se tornar complexa, e por vezes impossível, se a relação entre e

lS não é estabelecida (Gens, 2010). Nesse sentido, vários pesquisadores têm

considerado como válida a relação: χ = lS , tanto em solos como em rochas

(Verruijt, 1969; Delleur, 1999; Zienkiewicks et al., 1999; Kim, 2004; Laloui &

Nuth, 2009). Esta hipótese permite que, a partir do conhecimento da sucção e da

curva de retenção do solo, seja possível determinar as tensões de Bishop.

Estudos recentes estabeleceram um vínculo mais estreito entre o parâmetro

χ e a informação disponível na microestrutura dos solos. Alonso et al. (2010)

propõem substituir χ pelo grau de saturação efetivo ( elS ) como

rl

sl

rlle

l SS

SSS

χ (2.8)

em que slS corresponde ao grau de saturação do solo em condições saturadas

(usualmente igual à unidade) e rlS corresponde ao grau de saturação residual

concernente à água preenchida nos microporos.

De acordo com Alonso et al. (2010), elS descreve o máximo valor relativo

d’água capaz de ser armazenado em um estado adsorvido. A ideia principal é que

apenas a fração de água que parcialmente preenche os vazios contribui, via ação

capilar, ao comportamento mecânico do solo.

Algumas vantagens desta proposta podem ser observadas em função do grau

de saturação residual ( rlS ) que caracteriza os diferentes tipos de solos. Por

exemplo, quando rlS tende a um valor próximo de zero, como normalmente

acontece nos solos granulares, elS pode se tornar igual a lS . Por outro lado,

quando rlS tende a valores elevados, como no caso dos solos finos, e

lS pode

assumir valores inferiores reduzindo o impacto da sucção nas tensões de Bishop.

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Empregando a equação (2.8) e desprezando as mudanças na pressão do ar,

como normalmente é assumido na maioria das aplicações geotécnicas, pode se

determinar a pressão de poros ( pp ) de um solo parcialmente saturado como

lel

elp pSsSp (2.9)

e reescrever as tensões de Bishop como

mσσ lel pS' (2.10)

Em seguida, utilizando estas tensões como variáveis de tensão constitutivas,

é possível traçar as superfícies de escoamento do BBM no espaço (p’,J,s), sendo

p’ a tensão octaédrica de Bishop, como apresenta a figura (2.3).

Figura 2.3.- Superfícies de escoamento do Modelo Básico de Barcelona (BBM) em

função das tensões de Bishop.

Observe que, diferentemente do BBM estabelecido em função das tensões

líquidas, as superfícies de escoamento são limitadas pelo eixo s, não sendo

necessário definir o parâmetro k. Observe também que a linha de estado crítico

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(LEC) apresenta uma inclinação (Lθ

g ) que representa uma função dependente do

ângulo de Lode ( Lθ ). Esta função Lθ

g define a forma da superfície de escoamento

no plano desviador. Neste plano, o hexágono de Mohr-Coulomb é reconhecido

como a forma mais apropriada na modelagem de solos. No entanto, as derivadas

da função de escoamento em relação às tensões (fundamentais na integração das

tensões) podem apresentar singularidades nas regiões próximas aos vértices do

hexágono. Por este motivo, vários critérios de arredondamento têm sido propostos

na literatura: Matsuoka & Nakai’s (1974), Lade & Duncan (1975), Abbo (1997) e

Sheng et al. (2000). Para fins de apreciação, na figura (2.4), apresentam-se

graficamente os critérios propostos por Abbo (1997) e Sheng et al. (2000)

juntamente com o círculo de Drucker-Prager.

Figura 2.4.- Superfícies de escoamento no plano desviador.

Em geral, as funções que definem as superfícies de escoamento e potencial

plástico são formuladas em função dos três invariantes de tensão: Lθ junto a 'p e

J . Segundo Potts & Zdravkovic (1999), a adoção destes invariantes de tensão não

é arbitrária, já que possuem significado geométrico no espaço das tensões

principais ( 1'σ , 2'σ , 3'σ ), como apresenta a figura (2.5) para o caso de um ponto P

que tem como invariantes P'p , PJ e PLθ . Observe que o valor de P'3p na figura

(2.5a) é uma medida da distância da origem até o plano desviador ao longo da

diagonal espacial, o valor de P2J na figura (2.5b) é uma medida da distância do

estado de tensão à diagonal espacial no plano desviador; e PLθ define a orientação

do estado de tensão no plano desviador.

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Figura 2.5.- Representação dos invariantes no espaço de tensões principais. (Adaptado

de Potts & Zdravkovic, 1999).

Os três invariantes de tensão podem ser expressos em função das seis

componentes do tensor de tensões de acordo com

3

'σ'σ'σ' zyxp

(2.11)

)(6)'σ'(σ)'σ'(σ)'σ'(σ6

1 222222yzzxxyzyzxyxJ (2.12)

''σ

''σ

''σ

2

33sen

3

1-

31

L

p

p

p

Jθ

zyxzx

yxyxy

zxxyx

(2.13)

Logo, com base nestes invariantes de tensão é possível apresentar as funções de

escoamento de diversos modelos constitutivos mecânicos.

A função de escoamento para o modelo Barcelona (BBM), por exemplo, é

dada por

*0

*0

2

2

*0

BBM

'1

')(

L p

p

p

pg

p

JF θ (2.14)

em que *0p corresponde à pressão de pré-adensamento do solo parcialmente

saturado, podendo ser determinada em função da pressão de pré-

adensamento na condição saturada ( 0p ) e da sucção (s) de acordo com

s

rr p

ppp

0

0*0 (2.15)

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em que rp é uma tensão média de referência, é a inclinação da linha de

carregamento-descarregamento (considerada independente da sucção), 0 é

a inclinação da linha de consolidação normal em condições saturadas, s é a

linha de consolidação normal em condições não saturadas dada por

rer ss

s )(0 )1( , sendo r e s os parâmetros do modelo.

A função de escoamento para o modelo Cam-Clay modificado (MCC) é

dada por

00

2

2

0MCC

'1

'L p

p

p

pg

p

JF θ (2.16)

Observe que, quando o solo se torna saturado com sucção nula, o BBM é

simplificado para esta função.

A função de escoamento para o modelo de Lade-Kim (LDK) é dada por

η

LL3223

3

LDK

'31

sen)2cos2

1(

33

4''

'27

ap

p

JJpp

pF

(2.17)

em que η representa um parâmetro do modelo e ap representa a pressão

atmosférica.

A função de escoamento para o modelo constitutivo de Mohr-Coulomb

(MHC) é dada por

1

''tan

'L

MHC

θgpc

JF

(2.18)

em que 'c é a coesão e ' é o ângulo de atrito, ambos, parâmetros do modelo.

Observe que os parâmetros dos modelos MCC, LDK e MHC não

apresentam mudanças com a sucção, por conseguinte suas funções de escoamento

resultam independentes desta variável. Por outro lado, no BBM, o parâmetro *0p é

dependente da sucção, podendo produzir uma expansão do tamanho da superfície

de escoamento durante os processos de secagem ou uma redução durante os

processos de umedecimento.

Maiores detalhes a respeito destes modelos constitutivos mecânicos podem

ser encontrados na literatura e não serão discutidos diretamente neste trabalho.

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Outra importante relação constitutiva mecânica é a lei de Hook

generalizada, através da qual um incremento no vetor de tensão efetiva )'(dσ

pode ser relacionado com um incremento no vetor de deformação )(dε . De acordo

com a mecânica de solos clássica esta lei é estabelecida como

'dd σCε (2.19)

ou

εDσ d'd (2.20)

em que D é a matriz tensão-deformação e 1 DC . Estas relações são válidas

para solos saturados; entretanto, para solos parcialmente saturados, deve-se levar

em consideração a contribuição exercida pela sucção. Deste modo, as equações

anteriores podem ser generalizadas como

sd'dd VσCε (2.21)

ou como

sdd'd WεDσ (2.22)

em que, V é o vetor constitutivo deformação-sucção e W é o vetor constitutivo

tensão-sucção. Observe que a equação (2.21) considera a sucção como uma

variável de tensão adicional, enquanto a equação (2.22) considera a sucção como

uma variável de deformação adicional.

Muitos modelos, como o BBM na sua formulação original, consideram a

sucção como uma variável de tensão adicional. Nestes casos, as equações

constitutivas são conduzidas de forma mista, já que é necessário integrar seis

componentes de tensão com base no conhecimento de seis incrementos de

deformação e um incremento de tensão.

Segundo Sheng et al. (2003a), esta consideração pode causar problemas na

integração das tensões, posto que a sucção não afeta apenas o tamanho das

superfícies potencial plástica e de escoamento mas também o estado de tensão

final. Se um esquema de integração implícito é utilizado, podem ocorrer

problemas de convergência, já que a trajetória das tensões elásticas preditoras

pode atravessar uma superfície de escoamento não convexa. Observe que a

convexidade da superfície (LC) no plano (p’,s) não é garantida para solos

parcialmente saturados. Por outro lado, se um esquema de integração explícito é

utilizado, a subincrementação da deformação pode ter que ser executada numa

taxa diferente da subincrementação da sucção. Isto pode causar dificuldades no

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processo de integração explícito das tensões já que seria necessário executar duas

etapas de integração separadamente.

Problemas de convergência também podem ocorrer quando se considera a

sucção como uma variável de deformação adicional; no entanto, as equações

constitutivas podem ser conduzidas por puras deformações conhecidas. Isto

permite uma formulação consistente com a metodologia utilizada na integração

das tensões dos solos saturados, já que os algoritmos de integração de tensão

podem ser generalizados sem a necessidade de controles adicionais para distinguir

o estado do solo.

Desta forma, segundo a teoria da plasticidade, a matriz D e o vetor W

podem ser determinados através de

He

Te

Te

e

PF

FP

aDa

DaaDDD (2.23)

H

C

eT

me

PF

P

aDa

aDW (2.24)

em que eD é a matriz constitutiva elástica, '/ σa FF é o gradiente da função

de escoamento ( F ), '/ σa PP é o gradiente da função potencial plástica ( P ),

sF /Cm é a derivada da função de escoamento em relação à sucção e H é o

parâmetro que define a lei de endurecimento/amolecimento do modelo

constitutivo mecânico. De um modo geral, H pode ser determinado por

d

dH

h

h

F

(2.25)

em que h é um escalar que representa o parâmetro de endurecimento, cujos

incrementos podem ser obtidos pela seguinte relação constitutiva

sh Qddd εP (2.26)

sendo

H

Be

Te

T

PF

F

aDa

DaP (2.27)

H

CBQ

eT

m

PF aDa (2.28)

hF

/

HB (2.29)

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H

dCdd

eT

meT

PF

F s

aDa

εDa (2.30)

Observe que para conhecidos incrementos de deformação e sucção, um

sistema de equações diferenciais ordinárias, formado pelas equações (2.22) e

(2.26), deve ser solucionado a fim de poder integrar corretamente as tensões. Para

esta tarefa empregam-se algoritmos especiais de solução, também conhecidos

como “esquemas de integração”. Como mencionado anteriormente, estes

esquemas podem ser divididos em dois grandes grupos: implícitos e explícitos.

Nos esquemas de integração implícitos, os incrementos de tensão e do

parâmetro de endurecimento são avaliados em estados de tensão desconhecidos,

gerando na maioria dos casos um sistema de equações não lineares que deve ser

resolvido iterativamente. Estes esquemas são atrativos porque as tensões

resultantes satisfazem automaticamente as condições de consistência, fazendo

com que o estado de tensão permaneça sobre a superfície de escoamento.

Entretanto, a principal dificuldade dos esquemas implícitos é a necessidade de

avaliação das segundas derivadas das funções de escoamento em relação às

tensões, resultando em complicadas expressões algébricas quando se utilizam

modelos constitutivos mecânicos mais complexos.

Por outro lado, nos esquemas de integração explícitos, os incrementos de

tensão e do parâmetro de endurecimento são avaliados em estados de tensão

conhecidos no início de um incremento de deformação. Em geral, estes esquemas

são de fácil implementação computacional, podendo ser utilizados como

esquemas gerais de integração de diversos modelos constitutivos. No entanto, sua

aproximação depende da subdivisão dos incrementos de deformação em pequenos

subincrementos. Para superar esta dificuldade, técnicas especiais de

subincrementação por controle de erro têm sido propostas com base nos

algoritmos sugeridos por Sloan (1987). Abbo (1997), por exemplo, aperfeiçoou o

algoritmo de interseção da trajetória de tensão com a superfície de escoamento

assim como o algoritmo de correção das tensões quando estas não satisfazem a

condição de consistência do modelo de Mohr-Coulomb. Sloan et al. (2001)

estenderam estes algoritmos para sua utilização nos modelos de estado crítico. Por

sua vez, Jakobsen & Lade (2002) os estenderam para o modelo de Lade-Kim.

Posteriormente, Sheng et al. (2003a) generalizaram estes algoritmos para seu uso

na integração das tensões de solos parcialmente saturados.

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Algumas comparações entre os esquemas de integração têm sido

apresentadas na literatura. Potts & Ganendra (1992) compararam a eficiência do

método de integração implícito proposto por Ortiz & Simo (1986) com o método

de subincrementação explícito proposto por Sloan (1987), concluindo que, para

modelos de estado crítico em solos saturados, o método explícito pode ser mais

rápido e eficiente. Conclusões similares para solos parcialmente saturados foram

obtidas por Gonzáles (2011), que comparou o método de integração implícito

proposto por Pérez et al. (2001) com o método de integração explícito proposto

por Sheng et al. (2003a).

Pelos resultados destas comparações, nesta pesquisa optou-se por utilizar o

método de integração explícito automático (MIEA) proposto por Sheng et al.

(2003a), já que este pode ser utilizado para integrar as tensões constitutivas, tanto

do solo saturado quanto do solo parcialmente saturado. O MIEA pode ser

estabelecido empregando a aproximação de Euler de primeira ordem nas equações

(2.22) e (2.26), como

shsh 00000 ,,','1' σσ WεDσ (2.31)

sh hsh 00000 ,,','1 Q σσ εP (2.32)

em que os sub-índices 0 e 1 indicam valores correspondentes ao início e fim,

respectivamente, dos incrementos de deformação e de sucção. Com estas

aproximações, as primeiras estimativas das tensões constitutivas e do parâmetro

de endurecimento, no final dos incrementos de deformação e de sucção, são dadas

por

1011 ''' σσσ (2.33)

1011 hhh (2.34)

Esses valores são utilizados para calcular uma segunda estimativa nas mudanças

das tensões efetivas e do parâmetro de endurecimento como

shssh

110

11

11

11 ,,','2' σσ

WεDσ (2.35)

shhssh

110

11

11

11 ,,','2 Q

σσεP (2.36)

Finalmente, melhores estimativas das tensões e do parâmetro de endurecimento

podem ser encontradas utilizando o procedimento de Euler modificado por

2

'''' 210

21

σσσσ (2.37)

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2

210

21

hhhh (2.38)

Como controle de erro, Sheng et al. (2003a) recomendam o uso de uma medida

adimensional dada por

EPS,,'

''max

2

121

12

21

12

h

hhRloc

σ

σσ (2.39)

em que representa a norma euclidiana do vetor das tensões constitutivas. EPS

é uma constante correspondente ao menor erro relativo que pode ser calculado

pelo computador (usualmente 10-16). Os atuais incrementos de deformação e de

sucção são aceitos se locR for menor ou igual a uma tolerância definida para o erro

de integração local (STOL). Caso contrário, estes incrementos são rejeitados e os

incrementos de deformação e de sucção são divididos em subincrementos de

acordo com

εε

10

1,

STOL

10

9max

locR (2.40)

sR

sloc

1.0,STOL

9.0max (2.41)

Se o subincremento satisfaz o critério de convergência, ainda verifica-se se

as tensões determinadas e o parâmetro de endurecimento satisfazem a função de

escoamento de acordo com o seguinte critério

FTOLF (2.42)

em que FTOL é uma tolerância pequena. Caso esse critério não seja satisfeito,

executa-se um algoritmo de correção que leva as tensões de volta à superfície de

escoamento. Satisfeito este critério, atualizam-se as tensões e o parâmetro de

endurecimento empregando as equações (2.37) e (2.38) a cada subincremento, até

que as somas dos subincrementos sejam iguais aos incrementos de deformação e

de sucção inicialmente dados.

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2.3. Relações constitutivas hidráulicas

Entre as principais relações constitutivas hidráulicas nos solos parcialmente

saturados encontram-se as curvas de retenção que relacionam o grau de saturação

com a sucção, como apresenta a figura (2.6).

Figura 2.6.- Curvas de retenção típicas de um solo parcialmente saturado.

Estas curvas podem ser obtidas através de técnicas experimentais em

laboratório ou de medições in-situ. Neste sentido, várias pesquisas têm sido

conduzidas para determinar as curvas de retenção em diferentes tipos de solos

(Haines, 1930; Gardner, 1937; McQueen & Miller, 1968; Ridley & Wray, 1996;

Likos & Lu, 2002; Benevelli, 2002; Soares, 2005; Lopes, 2006; Boszczowski,

2008; Moncada, 2008), verificando-se que estas dependem dos processos de

secagem e de umedecimento aos quais o solo foi previamente submetido.

Segundo Lu & Likos (2004, 2006), este fenômeno, também conhecido como

“histerese”, resulta da ação de diferentes mecanismos que atuam na microestrutura

(nas partículas) ou na macroestrutura (entre partículas) dos solos. Estes

mecanismos incluem: (1) a distribuição não uniforme no tamanho dos poros, (2) a

ocorrência de bolhas de ar aprisionadas, (3) o ângulo de contato entre partículas e

(4) a expansão ou colapso do solo.

Recentemente, algumas pesquisas têm sido voltadas para o estudo da

histerese em função do seu impacto não apenas no fenômeno de fluxo, mas

também nos fenômenos de tensão e deformação (Lehmann et al., 1998; Ng &

Pang, 2000; Li, 2005; Lins et al., 2007; Sheng et al.; 2008; Pedroso et al., 2008);

entretanto, ainda não existe um consenso. Por razões práticas é comum medir a

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curva de retenção através de processos de secagem e assumir que esta representa

uma condição de equilíbrio com os processos de umedecimento.

Outras importantes relações que caracterizam o comportamento hidráulico

dos solos parcialmente saturados são as curvas de permeabilidade relativa, que

relacionam o coeficiente de permeabilidade relativa ( rk ) com o grau de saturação

ou com a sucção, como apresenta a figura (2.7).

Figura 2.7.- Curva de permeabilidade relativa de um solo parcialmente saturado.

Desta figura, observa-se que o coeficiente rk pode assumir valores

próximos à unidade quando o solo é saturado e valores próximos a zero quando o

solo é parcialmente saturado com elevada sucção.

Diversas técnicas experimentais também estão disponíveis para se

determinar a curva da permeabilidade relativa. No entanto, em função da sua

elevada complexidade, usualmente rk é obtido a partir das curvas de retenção que

experimentalmente resultam menos difíceis de determinar (Boszczowski, 2008).

As curvas de retenção e de permeabilidade relativa são comumente referidas

como “curvas características” e para sua descrição nas modelagens de fluxo

empregam-se diversas equações ou modelos matemáticos. Expressando

convenientemente a sucção em função das cargas de pressão d’água ( lh ) como

ll hs , caso 0lh (2.43)

0s , caso 0lh (2.44)

em que l representa o peso especifico d’água, é possível descrever alguns destes

modelos matemáticos.

As curvas características do modelo de Brooks & Corey (1964), por

exemplo, são dadas por

DBD



49

al

all

arl

rl

l

hh

hhh

hSSS

BC

,1

,)1(

(2.45)

al

alel

rhh

hhSk

BC

,1

,)( /23

(2.46)

em que ah é a carga de pressão de entrada do ar e BC é um parâmetro

próprio do modelo.

As curvas características do modelo de van Genuchten (1980) são dadas por

0,1

0,))(1)(1(

l

lmn

lvgrl

rl

lh

hhSSS

vgvg (2.47)

0,1

0 ,)(11)(2

/12/1

l

l

mmvgel

el

rh

hSSkvg

(2.48)

em que vg e vgn são os parâmetros próprios do modelo, sendo

frequentemente assumido que vgvg nm /11 .

As curvas características do modelo exponencial de Srivastava & Yeh

(1991) são dadas por

0,1

0,)1( exp

l

llr

lrl

l

h

hh

eSSS

(2.49)

0,1

0 ,

l

lel

rh

hSk (2.50)

em que exp é um parâmetro próprio do modelo.

Vantagens e desvantagens destes modelos não serão discutidas nesta

pesquisa; entretanto, informação pertinente pode ser encontrada nos trabalhos

realizados por Leong & Rahardjo (1997), Sillers et al. (2001) e Fredlund et al.

(2011).

Para descrever os processos de fluxo é necessário adotar outra relação

constitutiva dada pela lei de Darcy, segundo a qual, a descarga específica d’água

( lq ) é diretamente proporcional ao gradiente hidráulico. Originalmente, esta lei

foi enunciada por Darcy (1856) para solos saturados, sendo posteriormente

generalizada por Richards (1931) para sua aplicação também nos solos

parcialmente saturados, de acordo com

DBD



50

)(sat zhk lrl kq (2.51)

em que satk é a matriz de permeabilidade saturada do solo e z é o eixo vertical

global que representa a carga de elevação d’água. Nesta equação observa-se que

em condições não saturadas, o coeficiente rk atua como um fator de redução da

permeabilidade saturada do solo.

A lei de Darcy é válida apenas em regimes de fluxo laminar em que o

número de Reynolds

)(Tl

pill

e

dqR

(2.52)

encontra-se numa faixa de valores entre 1 e 10. Nesta equação, l é a massa

específica d’água, ilq é a descarga específica na direção i , dp é o diâmetro médio

dos poros e l é a viscosidade dinâmica d’água que depende da temperatura do

meio (T).

Na maioria dos processos de fluxo subsuperficial, a variação da temperatura

pode ser desconsiderada, resultando em l constante. Por outro lado, l pode

sofrer alterações em função dos níveis de poropressão; no entanto, estas alterações

não afetam significativamente o número de Reynolds. Logo, o número de

Reynolds pode ser assumido como um parâmetro que depende exclusivamente da

velocidade de Darcy e do diâmetro médio dos poros.

Delleur (1999) indica que através de meios com elevadas porosidades, como

fraturas e formações calcárias, pode acontecer a passagem de água em velocidades

altas suficientes estabelecendo o regime de fluxo como de transição

)1004( eR ou até mesmo turbulento ( 100eR ). Por outro lado, nos meios

com microporos as forças viscosas são preponderantes e o fluxo se estabelece em

regime laminar, validando o uso da lei de Darcy na maioria das aplicações

geotécnicas.

Outra relação constitutiva importante consiste na avaliação da matriz de

permeabilidade saturada ( satk ) em função das deformações que pode sofrer o

meio poroso. Uma relação fortemente citada na literatura foi proposta por Kozeny

(1927) e posteriormente modificada por Carman (1937, 1956) estabelecendo a

conhecida equação de Kozeny-Carman. Essa equação foi desenvolvida após

DBD



51

considerar a analogia entre um material poroso e um conjunto de tubos capilares

que obedecem às equações de Navier-Stokes.

A equação de Kozeny-Carman (Kim, 2006) pode ser escrita como

2

21

31

)1( ssl

lxsat d

n

nfk

i

(2.53)

em que ixsatk é a permeabilidade saturada na direção ix , ds é o diâmetro efetivo

dos grãos sólidos, e sf é o fator de forma dos poros e dos grãos sólidos.

De acordo com a mecânica dos solos clássica (Lambe & Whitman, 1969), a

equação de Kozeny-Carman é aproximadamente válida para solos granulares, mas

pode ser inapropriada para solos finos; o mesmo enunciado aparece em alguns

textos de hidrogeologia (Domenico & Shwartz, 1990). Estas dificuldades, para um

uso geral da equação de Kozeny-Carman, parecem estar diretamente ligadas com

a determinação do fator sf .

Em um trabalho mais recente, Chapuis & Aubertin (2003) mostraram que,

em regra geral, a equação de Kozeny-Carman fornece boas estimativas da

permeabilidade saturada para a maioria dos solos e que apenas em alguns casos,

pelas estimativas pouco precisas de sf ou pela anisotropia do solo, suas

estimativas não resultam válidas.

Desprezando as variações de sd , l , sf e w , é possível generalizar a

expressão de Kozeny-Carman para atualizar a matriz satk em função das

variações que experimenta a porosidade (n) de acordo com

0sat

2

1

0

3

0

1

1sat 1

1kk

n

n

n

n (2.54)

em que os sub-índices 0 e 1 indicam valores correspondentes ao início e fim,

respectivamente, dos incrementos de deformação.

Observe que para a família dos modelos de estado critico (MCC e BBM), as

porosidades podem ser atualizadas de acordo com suas relações constitutivas

mecânicas. Já para outros modelos, Kim (2006) apresenta uma expressão em

função da deformação volumétrica.

DBD



52

2.4. Equações governantes

2.4.1. Equação de equilíbrio

Considerando que uma quantidade elementar do solo se deforma

estaticamente, as equações de equilíbrio podem ser representadas pelo seguinte

sistema

0Tu gσ (2.55)

em que g representa o vetor das forças de corpo e u representa um operador

diferencial dado por

xyz

zxy

zyx

000

000

000

Tu (2.56)

Assumindo que derivadas temporais podem ser efetuadas sem afetar a

equação (2.55), esta pode ser reescrita em forma de taxas como

0Tu gσ (2.57)

Empregando a equação (2.10) que define a tensão constitutiva, o vetor das

tensões totais pode ser definido como

mσσ lel pS ' (2.58)

Substituindo nesta equação a taxa das tensões efetivas da equação (2.22), o vetor

taxa das tensões totais pode ser reescrito como

lel pSs mWεDσ (2.59)

ou ainda, de forma mais conveniente como

lell hS )( mWεDσ (2.60)

Finalmente, substituindo esta última expressão na equação (2.57), obtém-se a

equação de equilíbrio para um meio poroso saturado ou parcialmente saturado

como

0)(Tu gmWεD l

ell hS (2.61)

DBD



53

2.4.2. Equação de fluxo

O balanço de massa d’água em um sistema composto por uma quantidade

elementar de solo pode ser expresso por

0)()()(

wrvv llll

ll nSnSt

nS

(2.62)

na qual, representa o operador gradiente, v é a velocidade do sistema e wrv é

a velocidade relativa d’água em relação ao sistema. Após expandir cada um dos

termos desta equação tem-se

0)(

)()(

llllll

lllll

ll

lll

nSnS

SnnSt

Sn

tnS

t

nS

rr vv

vv (2.63)

em que, o vetor rv llnS representa a descarga específica d’água ( lq ) determinada

pela lei de Darcy.

Considerando que os processos de fluxo são isotérmicos e assumindo que a

água é ligeiramente compressível, sua compressibilidade pode ser aproximada

pela equação de estado termodinâmico (Chen et al., 1995) através de

l

l

ll p

1 (2.64)

em que l é o coeficiente de compressibilidade d’água. Rearranjando a equação

anterior em forma conveniente tem-se

t

p

tl

lll

(2.65)

Substituindo esta última expressão na equação (2.63), produz-se após rearranjo

dos termos

0)(

)(

l

ll

l

lll

lllll

Sn

t

Sn

t

pnSn

t

nS

qvqv (2.66)

Nesta equação, os dois últimos termos do lado esquerdo podem ser desprezados

em função das pequenas variações espaciais que sofre a massa específica d’água.

Logo, considerando que a taxa do grau de saturação pode ser obtida a partir das

curvas de retenção, o balanço de massa d’água pode ser expresso como

0)()(

lll

lllll h

h

SnnSn

t

nS qv (2.67)

O balanço da massa sólida do sistema (composta pelos grãos sólidos) pode

ser expresso por

DBD



54

0])1([)]1([

vnnt ss (2.68)

em que s é a massa específica dos grãos sólidos. Expandindo cada um dos

termos desta equação, rearranjando-os convenientemente e desprezando os

gradientes espaciais e temporais da massa específica dos grãos sólidos, obtém-se

t

V

Vn

t

n s

1

)( vv (2.69)

em que sV e V representam os volumes, dos grãos sólidos e do sistema,

respectivamente. Nesta última equação, o vetor v pode ser expresso através de

uma variação do vetor de deslocamentos }{ zyx uuuu dentro de um

incremento de tempo infinitesimal como

εmuu

v T)()(

z

u

y

u

x

u

tttzyx (2.70)

Logo, desprezando as variações de volume dos grãos sólidos e substituindo a

equação (2.70) na equação (2.69) tem-se

εmv T)(

nt

n (2.71)

Finalmente, substituindo as equações (2.51) e (2.71) na equação (2.67),

chega-se à equação de fluxo para um meio poroso saturado ou parcialmente

saturado como

0)()( satT zhkhnS

dh

dSnS lrllll

l

ll kεm (2.72)

Observe que esta equação constitui uma generalização da equação de Richards, já

que leva em consideração a deformação que pode experimentar o meio poroso.

DBD


2 Solos parcialmente saturados, relações constitutivas e ...

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