Algebra Linear IIDependencia Linear, Independencia Linear e Base

Exerccios

1. Defina independencia e dependencia linear.

2. Mostre que u = (1, 2, 3), v = (4, 5, 6) e w = (7, 8, 9) em R3 sao linearmente dependentes.

3. Mostre que u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 1) e w = (2, 1, 2) sao linearmente dependentes.

4. Mostre que as matrizes

(1 10 0

),

(1 00 1

)e

(1 11 1

)sao linearmente independentes.

5. Prove que os polinomios p(x) = x3 5x2 + 1, q(x) = 2x4 + 5x 6 e r(x) = x2 5x + 2 saolinearmente independentes.

6. No espaco P3 dos polinomios de grau 3, verifique se os polinomios p(x) = x3 3x2 + 5x+ 1,q(x) = x3 x2 + 6x+ 2 e r(x) = x3 7x2 + 4x sao linearmente dependentes ou independentes.

7. Prove que {1, ex, e2x, e3x, e4x} e um conjunto linearmente independentes no espaco C(R).(Sugestao: Dada uma combinacao linear nula, derive-a, depois divida por ex e prossiga.)

8. Defina base de um espaco vetorial.

9. Mostre que {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e uma base de R3.

10. Mostre que as matrizes

(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

)e

(0 00 1

)constituem uma base de

M22(R).

11. Mostre que {1, x, x2x3} e uma base de P3.12. Mostre que u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 3) e w = (1, 4, 9) formam uma base de R3. Exprima cada

um dos vetores e1, e2, e3 da base canonica de R3 como combinacao linear de u, v e w.

13. Mostre que os polinomios 1, x 1 e x2 3x+ 1 formam uma base de P2. Exprima o polinomio2x2 5x + 6 como combinacao linear dos elementos dessa base.

14. Mostre que os vetores u = (1, 1) e u = (1, 1) formam uma base de R2. Exprima cada um dosvetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) como combinacao linear dos elementos dessa base.

15. Os polinomios p1(x) = 1x3, p2(x) = (1x2), p3(x) = 1x e p4(x) = 1 constituem uma basede P3?