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1

CClculo Numlculo Numricorico

Resoluo Numrica deSistemas Lineares Parte

II

Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br

MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CLCULONUMRICO DA UFCG - www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/

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2

bastante comum encontrar sistemas lineares que

envolvem uma grande porcentagem de coeficientes nulos. Esses sistemas so chamados de sistemas esparsos.

Para esses tipos de sistemas, o mtodo de Eliminao deGauss no o mais apropriado, pois ele no preserva essaesparsidade, que pode ser til por facilitar a resoluo dosistema.

Maneira mais apropriado para esse tipo de sistema mtodos iterativos

Sistemas Lineares Mtodos Iterativos

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3

Consistem em encontrar uma seqncia de estimativas xik(dada uma estimativa inicial xi0)que aps um nmerosuficientemente grande de iteraes convirja para a soluo do

sistema de equaes.

Mtodos Iterativos

nnnn xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

210

4

2

4

1

4

0

4

3

2

3

1

3

0

3

2

2

2

1

2

0

2

1

2

1

1

1

0

1

MMMM

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4

Outra vantagem destes mtodos no so tosuscetveis ao acmulo de erros de arredondamento como

o mtodo de Eliminao de Gauss.

importante lembrar que:

Como todo processo iterativo, estes mtodos sempreapresentaro um resultado aproximado, que ser toprximo do resultado real conforme o nmero de iteraesrealizadas.

Alm disso, tambm preciso ter cuidado com aconvergncia desses mtodos.

Mtodos Iterativos

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5

Transforma o sistema linear Ax=b em

x=Cx+g A: matriz dos coeficientes, n x m x: vetor das variveis, n x 1; b: vetor dos termos constantes, n x 1.

Mtodos utilizados:Gauss-Jacobi

Gauss-Seidel

C: matriz n x n

g: vetor n x 1

Mtodos Iterativos

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6

Mtodo de Gauss-Jacobi Conhecido x(0) (aproximao inicial) obtm-se

consecutivamente os vetores:

etc.o),aproxima(segundagCxx

o)aproxima(primeiragCxx

,

,

)1()2(

)0()1(

+=

+=

De um modo geral, a aproximao x(k+1) calculadapela frmula:

x(k+1) = C x(k)+g, k=0, 1, ...

So geradas novas aproximaes at que um doscritrios de parada seja satisfeito:

Mx xi(k+1) - xi(k) (Tolerncia), com 1 i n, ou:

k > M, com M=Nmero mximo de iteraes

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7

Mtodo de Gauss-Jacobi Da primeira equao do sistema

a11x1 + a12x2 + ... +a1nx2 = b1

obtm-se x1 = b1 - ( a12x2 + a13x3 ... +a1nxn)

a11

analogamente x2 = b2 (a21x1 + a23x3 + ... + a2nxn)

a22

Ou:xn = (1/ann) (bn - an1x1 - ... - an,n-1xn-1 )

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8

Mtodo de Gauss-Jacobi

Desta forma para x = C x + g

0 - a12 /a11 ... - a1n /a11

- a21 /a22 0 ... - a2n /a22. . .

- an1 /

ann

- an2

/ann

0

C =

g = (b1 /a11 b2 /a22 . . . bn /ann ) T

xn = (1/ann) (bn - an1x1 - ... - an,n-1xn-1 )

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9

Mtodo de Gauss-Jacobi

Ento como x = Cx + g

g = (b1 /a11 b2 /a22 . . . bn /ann ) T

- a21 /a22 0 ... - a2n /a22. . .

- an1 /ann - an2 /ann 0

C =

0 - a12 /a11 ... - a1n /a11

x1(k+1) = (1/a11)(b1 - a12x2(k) - ... -a1nxn(k))

x2(k+1) = (1/a22)(b2 - a21x1(k) - ... -a2nxn(k))

...

xn(k+1) = (1/ann)(bn - an1x1(k) - .. - an,n-1xn-1(k))

x =

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10

Mtodo de Gauss-Jacobi EXEMPLO 1

Seja o sistema 10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7

x1 + 5x2 + x3 = -8

2x1 + 3x2 + 10x3 = 6

C =

0 - 2/10 - 1/10

-1/5 0 - 1/5

-1/5 3/10 0

g =

7/10

-8/5

6/10

- a21 /a22 0 ... - a2n /a22. . .

- an1 /ann - an2 /ann 0

C =

0 - a12 /a11 ... - a1n /a11

e = 0,05

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11

Mtodo de Gauss-Jacobi EXEMPLO 1

x1(k+1) = (1/a11)(b1 - a12x2(k) - ... -a1nxn(k))

x2(k+1) = (1/a22)(b2 - a21x1(k) - ... -a2nxn(k))

...

xn(k+1) = (1/ann)(bn - an1x1(k) - .. - an,n-1xn-1(k))

x1(k+1)

= (1/10)(7 - 2x2(k)

x3(k)

) =(0x1(k)

0.2x2(k)

0.1x3(k)

+0,7)x2(k+1) = (1/5)(-8 - x1(k)x3(k)) =(-0.2x1(k) 0x2(k)0.2x3(k) 1.6)

x3(k+1) = (1/10)(6 - 2x1(k) -3x2(k) =(-0.2x1(k) 0.3x2(k)0x3(k)+ 0.6)

O Processo iterativo :

Equaes de Iterao

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12

Mtodo de Gauss-Jacobi EXEMPLO 1

Com x0 =0,7

-1,6

0,6

x1(k+1) = 0x1(k) 0.2x2(k)0.1x3(k) +0,7 = -0.2(-1.6)-0.1(0.6)+0,7=0.96

x2(k+1) = -0.2x1(k) 0x2(k)0.2x3(k) 1.6 = -0.2(0.7)-0.2(0.6)-1.6=-1.86

x3(k+1)

=-0.2x1(k)

0.3x2(k)

0x3(k)

0.6=-0.2(0.7)-0.3(-1.6)+0.6=0.94

Para k=0:

Obs: X0 estimado por (bn/ann), muito embora possa ser adotadoqualquer valor inicial, como por exemplo x0 = [0 0 0]T

Obtemos ento:x(1) = Cx(0) + g =

0,96

-1,86

0,94

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Mtodo de Gauss-Jacobi EXEMPLO 1Avaliando o critrio de parada para = 0,05 :

|x1(1) x1(0)| = 0,26|x2(1) x2(0)| = 0,26

|x3(1) x3(0)| = 0,34

Mx xi(k+1) - xi(k) = 0,34 >

Mxxi(k+1) - xi(k) (Tolerncia), com 1 i n, ou:

x1(2) = 0x1(1) 0.2x2(1)0.1x3(1) +0,7 = -0.2(-1.86)-0.1(0.94)+0,7=0.978

x2(2) = -0.2x1(1) 0x2(1)0.2x3(1) 1.6 = -0.2(0.96)-0.2(0.94)-1.6=-1.98

x3(2) =-0.2x1(1) 0.3x2(1)0x3(1) 0.6=-0.2(0.96)-0.3(-1.86)+0.6=0.966

Prosseguindo com as iteraes, para k=1:

x(1) = Cx(0) + g =0,96

-1,86

0,94

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14

Mtodo de Gauss-Jacobi EXEMPLO 1

x(2)

=

0,978

-1,98

0,966

x(3) =

0,9997

-1,9888

0,984

|x1(2) x1(1)| = 0,018|x2(2) x2(1)| = 0,12

|x3(2) x3(1)| = 0,026

Mx xi(k+1) - xi(k) = 0,12 >

|x1(3) x1(2)| = 0,0021|x2(3) x2(3)| = 0,008

|x3(3) x3(2)| = 0,018

Mx xi(k+1) - xi(k) = 0,018 <

Para k=2:

x* =

0,9997

-1,9888

0,984

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15

Mtodo de Gauss-Jacobi Resumindo:1. Escolhe-se a aproximao inicial x(0):

x(0) = [x1(0), x2(0), ..., xn(0)]T

2. Calculam-se as aproximaes sucessivas x(k), a partir da

iterao: x(k+1) = Cx(k) + g

3. Continua-se a gerar aproximaes at que um dos critrios de

parada seja satisfeito: Mx xi(k+1) - xi(k) (Tolerncia), com 1 i n, ou:

K > M, com M=Nmero mximo de iteraes

Observar que os elementos do sistema original aii 0, i. Caso isso noocorra, deve-se reorganizar as equaes para que se consiga essa condio.

importante tambm que na diagonal principal estejam os maiores valoresabsolutos, para acelerar o processo de convergncia e dar mais preciso ao

resultado final.

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16

Mtodo de Gauss-Jacobi EXEMPLO 2

Resolver o sistema abaixo, com 10-2 ou k >10:

2x1

- x2

= 1

x1 + 2x2 = 3

Encontrando as equaes de iterao:

2x1 = 1+x2 x1 = (1+x2)

2x2 = 3-x1 x2 = (3 - x1)

Ento: x1(k+1) = (1+x2(k))

x2(k+1) = (3-x1(k)), k= 0, 1, 2, .n

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17

Mtodo de Gauss-Jacobi EXEMPLO 2

Fazendo x(0) = [ 0 0 ]T como soluo inicial:

Ento, para k=0:

x1(k+1) = (1+x2(k))

x1(1) = (1+x2(0)) = (1 + 0) = 0,5

x2(k+1)

= (3-x1(k)

)x2(1) = (3-x1(0)) = (3 - 0) = 1,5

Para k=1:

x1(2) = (1+x2(1)) = (1 + 1,5) = 1,25

x2(2) = (3-x1(1)) = (3 0,5) = 1,25

= Mx xi(k+1) - xi(k) = |1,25 0,5| = 0,75 > 10-2

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18

Mtodo de Gauss-Jacobi EXEMPLO 2

Para k=2:

x1

(3) = (1+x2

(2))

x1(3) = (1 + 1,25) = 1,125

x2(3) = (3-x1(2))

x2(3) = (3-x1(2)) = (3 1,25) = 0,875

= | 0,875 - 1,25 | = 0,375 > 10-2

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19

Mtodo de Gauss-Jacobi - EXEMPLO

0,0061,0020,9989

0,0120,9960,99680,0230,9921,0087

0,0471,0161,0166

0,0941,0310,9695

0,1880,9380,9384

0,3750,8751,1253

0,7501,2501,2502

1,5001,5000,5001-000

X2(k)x1(k)k

Prosseguindo com as iteraes para k=3, 4:

0,06 10-2

Ou k > 10?

Ento pare!

x1 = 0,998x2 = 1,002

x = 0,998

1,002

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20

Mtodo de Gauss-Seidel

Conhecido x(0)

(aproximao inicial) obtm-se x1

,x2, ...xk.

Ao se calcular usa-se todos os valores

que j foram calculados e os

valores restantes.

1+kjx

11

11

+

+ kj

kxx ,...,

knkj xx ,...,1+

Sistemas de Equaes Lineares

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21

Descrio do Mtodo

Seja o seguinte sistema de equaes:

nnnnnnnnnn

nnnn

nnnn

nnnn

bxaxaxaxaxa

bxaxaxaxaxa

bxaxaxaxaxa

bxaxaxaxaxa

........

........

........

........

=+++++

=+++++

=+++++

=+++++

11321

313113333232131

212112323222121

111111313212111

1321

M

Mtodos Iterativos Gauss Seidel

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22

Isolando xi a partir da linha i, tem-se:

( )

( )

( )

( )1121

31132322313

33

3

21123231212

22

2

1111313212111

1

21

1

1

1

1

=

=

=

=

nnnnnn

nn

n

nnnn

nnnn

nnnn

xaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

......

....

....

....

,

,

,

,

M

Mtodos Iterativos Gauss Seidel

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23

O processo iterativo obtido a partir das equaes, fazendo:

( )

( )

( )

( )111,

1

22

1

11

1

311,3

1

232

1

1313

33

1

3

211,2323

1

1212

22

1

2

111,1313212111

1

1

......1

.......1

.......1

.......1

+

+++

+++

++

+

=

=

=

=

k

nnn

k

n

k

nn

nn

k

n

k

nn

k

nn

kkk

k

nn

k

nn

kkk

k

nn

k

nn

kkk

xaxaxaba

x

xaxaxaxab

a

x

xaxaxaxab

a

x

xaxaxaxabax

Mtodos Iterativos Gauss Seidel

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24

Critrio de Parada

Diferena relativa entre duas iteraes

consecutivas.Define-se por diferena relativa a expresso:

Fim do processo iterativo - valor de dRk+1pequeno o bastante para a preciso desejada.

)(

|)(|

|,|

RelativaDiferenak

iXmx

kd1k

Mx

k

r

k

i

1k

i

d

ni1xxd

====++++

==== ++++

Mtodos Iterativos Gauss Seidel

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25

Ex.: Resolva:

.. 2kR 105Dcom

0z6y3x3

6zy4x3

5zyx5

====++++++++

====++++++++

====++++++++

(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))yx2

1zy3x3

6

1z

zx364

1y

zy55

1x

++++====++++====

====

====

Soluo:

Mtodos Iterativos Gauss Seidel

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26

kx

kxD

ky

kyD

kz

kzD

kRD

-1 - 0 - 1 - -0,8 2,25 0,65 1 -0,725 2,379 2,379

1,015 0,212 0,92 0,293 -0,967 0,250 0,293

1,009 0,006 0,985 0,066 -0,997 0,030 0,066

1,002 0,007 0,998 0,0013 -1 0,003 0,0013

x = 1,002 y = 0,998 z = -1

Verificao (substituio no sistema):

5.(1,002) + (0,998) + (-1) = 5,008 5 ok3.(1,002) + 4.(0,998) + (-1) = 5,998 6 ok

3.(1,002) + 3.(0,998) + 6.(-1) = 0 ok

Mtodos Iterativos Gauss Seidel

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27

Mtodo de Gauss-Seidel

Critrios de Convergncia Processo iterativo a convergncia para a

soluo exata no garantida para qualquersistema.

Existem certas condies que devem ser

satisfeitas por um sistema de equaes linearespara se garantir a convergncia do mtodo.

As condies podem ser determinadas por dois

critrios:Critrio de SassenfeldCritrio das Linhas.

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28

Critrio de Sassenfeld

Sejam as quantidades i dadas por:

para i= 2, 3, ..., n.

=

=

n

j

jaa 2

1

11

11

+=

+=

=

n

ij

ij

i

j

jij

ii

i aaa 1

1

1

1 e

n - ordem do sistema linear que se deseja resolveraij- so os coeficientes das equaes que compem o sistema.

Este critrio garante que o mtodo de Gauss-Seidel convergirpara um dado sistema linear se a quantidade M, definida por:

i

ni

M max1

= for menor que 1 (M

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29

Exemplo: SejaA, a matriz dos coeficientes e bo vetor dos termos constantes dados por:

444434241

334333231

224232221

114131211

baaaa

baaaabaaaa

baaaa

( )

( )

( )

( )34324214144

4

34232131

33

3

2423121

22

2

141312

11

1

1

1

1

1

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

++=

++=

++=

++=

Critrio de Sassenfeld

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30

Exemplo: Mostre se a soluo do sistemalinear dado pelas equaes:

0104802140

01202010

873060360

4020202

4321

4321

4321

4321

........

....

...

=+++

=++

=+

=++

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

convergir pelo mtodo de Gauss-Seidel.

Critrio de Sassenfeld

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31

Soluo: critrio de Sassenfeld Calcular os valores das quantidades i.

( )

( )

( )

( ) 2736.0358.08.044.02.17.04.04

1

358.02.044.02.07.01.01

1

44.03.06.07.06.03

1

7.02.02.012

1

4

3

2

1

=++=

=++=

=++=

=++=

7.0max41

==

i

i

M M menor que 1 a soluodesse sistema ir convergir usandoo mtodo de Gauss-Seidel.

10.0-4.00.81.20.4

1.00.21.00.2-0.1-7.8-0.3-0.6-3.00.6

0.40.20.2-1.02.0

A B

Critrio de Sassenfeld

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32

Critrio das Linhas

Segundo esse critrio, um determinado sistemair convergir pelo mtodo de Gauss-Seidel, se:

ii

n

ij

j

ij aa

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33

Exemplo: O sistema do exemplo anterior satisfaz ocritrio das linhas e essa verificao pode ser feita demaneira quase imediata, observando-se que:

4.28.02.14.04

5.02.02.01.01

5.13.06.06.03

4.12.02.012

43424144

34323133

24232122

14131211

=++=++>=

=++=++>=

=++=++>=

=++=++>=

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

0104802140

01202010

873060360

4020202

4321

4321

4321

4321

........

....

...

=+++

=++

=+

=++

xxxxxxxx

xxxx

xxxx

ii

n

ijj

ij aa

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34

importante saber que:

A convergncia de um sistema INDEPENDE dos

valores iniciais estimados. Os Critrios so condies suficientes, porm no

necessrias, para a convergncia do mtodo deGauss-Seidel para um dado sistema linear Issosignifica que um sistema pode no satisfazer essescritrios e ainda convergir.

Um sistema pode no satisfazer o critrio das linhas

e satisfazer o critrio de Sassenfeld, o que garantirsua convergncia.

Consideraes Finais

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35

Exemplo:Seja o sistema:

18x2x6

23xx10

21

21

====++++

====++++

Note que esse sistema no satisfaz o critrio das linhas,pois:

62 2122 =

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36

Outra observao importante

A ordem com que as equaes aparecem nosistema pode ser alterada para se avaliar aconvergncia.

Apesar da ordem das equaes no alterar asoluo do sistema, ela pode alterar a

convergncia do mesmo pelo mtodo daGauss-Seidel.

Consideraes Finais

7/24/2019 6CN_Sistemas_Parte2.pdf

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Exemplo:Seja o sistema:

15x3x519x10x4

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Na forma como o sistema est representado, ele no

satisfaz o critrio das linhas (verifique isso), portantosua convergncia no garantida.

Porm, trocando-se a ordem das duas equaes, osistema satisfaz esse critrio, e sua convergncia pelomtodo de Gauss-Seidel garantida (verifique issotambm).

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