F415–TurmaA

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Prof.AlexandreFontesdaFonseca

afonseca@ifi.unicamp.br

ForçasCentrais

Sistemaisolado:2corposm1em2

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1)ParDculas–consideradaspuntuais

2)Sóforças,F12eF21,conservaHvasecentrais

3)AsforçaspodemserobHdasdeumpotencialU(r1,r2) 4)De2):U(r1,r2)=U(|r1–r2|)=U(r)

Sistemaisolado:2corposm1em2

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Qualoproblema? Resolveradinâmicadedoiscorpos:acharomovimento.

Sistemaisolado:2corposm1em2

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r=|r|=|r1–r2|

Sistemaisolado:2corposm1em2

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Escolhemos:sistemaderef.doCM

6 EquaçãodeEuler-Lagrange:

Onde:

Problemadeumcorpo!

MomentoAngular:conservação

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Sistemaisolado Simetriaesférica

Omomentoangulartotaléconservado!

Noref.deCM:

OMovimentoé,então,em2D

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Duasequaçõesdemovimento(variáveisreθ)

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Primeiraintegraldemovimento

AoutraequaçãodeEuler-Lagrange:

2ªleideKepler:velocidadearealéCTE

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Vetorr(t)varreaáreadotriangulo:

Conservaçãodeenergia:2ªctedemov.

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ComonãoháforçasdissipaHvas

Mas

Daconservaçãodeenergia:eqs.demov.

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Mas,eθ(t)?

Daconservaçãodeenergia:eqs.demov.

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Naverdade,θ(t)nãoéinteressante,massimθ(r)...

Mesmacoisa,masdaeq.deEuler-Lagrange

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ou

Deverdecasa:estudaradeduçãodaseguinteequação:

Órbitasemumcampocentral

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Asraízesdoradicalindicamospontos,r,taisque:ou

Emgeral,háduas raízes:rMINerMAX. Istoé,omovimentoéconfinadonaregião:

QuandoE,U(r)el,sãotaisquesóháumaraiz, ,levaaumasoluçãodoHpor=CTE,quesignificaórbitacircular.

Órbitasemumcampocentral:mov.periódico

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Considereocaso:

Aórbitapodeserperiódicaouaberta. SeráperiódicoseapósumnúmerofinitodeexcursõesentrerMINerMAX,omovimentoserepeHrexatamente.

EnergiacentrífugaepotencialefeHvo

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Nasexpressõesanterioresparadr/dteΔθ,oseguintetermoaparecia:

Onde a força FC é chamada (inapropriadamente) de “forçacentrífuga”eUCde“energiapotencialcentrífuga”.

Se interpretarmos o termo “a mais” dentro da raiz comouma“energiapotencial”:

EnergiacentrífugaepotencialefeHvo

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Doestudodomov.em1D:

Comparando as expressões acima, vemos que podemosdefinirumaenergiapotencialefeBvaV(r):

EnergiacentrífugaepotencialefeHvo

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Paraocasodaforçacentraldaleidoinversodoquadradodadistância:

EnergiacentrífugaepotencialefeHvo

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EnergiacentrífugaepotencialefeHvo

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Movimentoplanetário–problemadeKepler

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Quando a força central é do Hpo da lei do inverso doquadradodadistância:

Aintegralpodeserfeitaescolhendotransformaçãodevariá-veisderparau=l/r.(exercício2dalista,temqueprovarqueaCTE=-π/2).Impõeacondiçãoqueθ=0quandor=rMIN.O“soluHons”nãofazessaúlHmaparte...

Movimentoplanetário–problemadeKepler

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Quando a força central é do Hpo da lei do inverso doquadradodadistância:

Movimentoplanetário–problemadeKepler

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Definindoasconstantesαeεacima,aequaçãor(θ)ouθ(r)fica:

Essaéumaequaçãodeumaseçãocônicacomumdosfocosnaorigem.

Movimentoplanetário–problemadeKepler

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Movimentoplanetário–problemadeKepler

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Movimentoplanetário–problemadeKepler

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Uma seção cônica é o lugargeométrico dos pontos P cujadistância a um ponto fixo F(chamado fóco da cônica) éuma constante (chamadaexcentricidadeε=r/r’)vezesadistânciadePaumalinhafixa(chamada diretriz da cônica).Se 0 < ε < 1, obtemos umaelípse,seε=1aparábola,eseε>1,ahipérbole.

Movimentoplanetário–problemadeKepler

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Movimentoplanetário–problemadeKepler

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Movimentoplanetário–problemadeKepler

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os casos em que 0 < ε < 1correspondem aos movimentosplanetários(órbitaselípHcas):

PeP’sãoosfocosdaelipse

Movimentoplanetário–problemadeKepler

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Distâncias apsidais (rMIN e rMAXmedidasaparHrdosfocos):

Movimentoplanetário–problemadeKepler

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PeríododomovimentoelípHco:

Deverdecasa

A3aLeideKepleré100%correta?

Dinâmicaorbital

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Dinâmicaorbital

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Eq.8.42

Porquê-?

Energia de órbita em tornodoSolcomraio=raioTERRA

Dinâmicaorbital

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v1: velocidade de ór-bitaigualadaTerra

vt1: velocidadedeór-bita elítpHca que in-terceptaMarte

Dinâmicaorbital

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Ida

Volta onde: