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Introduo ao determinante
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
O que ? Quais so suas propriedades? Como se calcula (Qual a frmula ou algoritmo para o clculo)? Para que serve?
lgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
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Introduo ao determinante
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
O que ? Quais so suas propriedades? Como se calcula (Qual a frmula ou algoritmo para o clculo)? Para que serve?
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Introduo ao determinante
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
O que ? Quais so suas propriedades? Como se calcula (Qual a frmula ou algoritmo para o clculo)? Para que serve?
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Introduo ao determinante
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
O que ? Quais so suas propriedades? Como se calcula (Qual a frmula ou algoritmo para o clculo)? Para que serve?
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rea e Determinante em R2 A = u v matriz 2 2. P paralelogramo com arestas u e v. u+v v
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
u 0 Denio det A a rea (com sinal) do paralelogramo P.lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 44
rea e Determinante em R2 A = u v matriz 2 2. P paralelogramo com arestas u e v. u+v v
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
u 0 Denio det A a rea (com sinal) do paralelogramo P.lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 44
rea e Determinante em R2 A = u v matriz 2 2. P paralelogramo com arestas u e v. u+v v
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
u 0 Denio det A a rea (com sinal) do paralelogramo P.lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 44
Volume e Determinante em R3 A = u v w matriz 3 3. P paraleleppedo com arestas u, v e w.
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
u
Denio det A o volume (com sinal) do paraleleppedo P.lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 44
v
w0
Volume e Determinante em R3 A = u v w matriz 3 3. P paraleleppedo com arestas u, v e w.
DeterminanteIntroduo
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u
Denio det A o volume (com sinal) do paraleleppedo P.lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 44
v
w0
Volume e Determinante em R3 A = u v w matriz 3 3. P paraleleppedo com arestas u, v e w.
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
u
Denio det A o volume (com sinal) do paraleleppedo P.lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 44
v
w0
Determinante Matriz Diagonal
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Exemplo a 0 , com a, b > 0. Calcule det A. 0 b Pela denio, det A a rea do retngulo com lados de tamanho a e b. Portanto, det A = ab. Isto ilustra o caso geral: o determinante de uma matriz diagonal igual ao produto dos elementos da diagonal. Considere A =
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Determinante Matriz Diagonal
DeterminanteIntroduo
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Exemplo a 0 , com a, b > 0. Calcule det A. 0 b Pela denio, det A a rea do retngulo com lados de tamanho a e b. Portanto, det A = ab. Isto ilustra o caso geral: o determinante de uma matriz diagonal igual ao produto dos elementos da diagonal. Considere A =
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Determinante Matriz Diagonal
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Exemplo a 0 , com a, b > 0. Calcule det A. 0 b Pela denio, det A a rea do retngulo com lados de tamanho a e b. Portanto, det A = ab. Isto ilustra o caso geral: o determinante de uma matriz diagonal igual ao produto dos elementos da diagonal. Considere A =
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O que signica det(A) = 0?
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
O que signica det(A) = 0 em R2 ? rea do paralelogramo zero. = Um vetor mltiplo do outro.
O que signica det(A) = 0 em R3 ? Volume do paraleleppedo zero.
Um vetor pertence ao = plano gerado pelos outros dois.
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O que signica det(A) = 0?
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
O que signica det(A) = 0 em R2 ? rea do paralelogramo zero. = Um vetor mltiplo do outro.
O que signica det(A) = 0 em R3 ? Volume do paraleleppedo zero.
Um vetor pertence ao = plano gerado pelos outros dois.
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O que signica det(A) = 0?
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
O que signica det(A) = 0 em R2 ? rea do paralelogramo zero. = Um vetor mltiplo do outro.
O que signica det(A) = 0 em R3 ? Volume do paraleleppedo zero.
Um vetor pertence ao = plano gerado pelos outros dois.
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O que signica det(A) = 0?
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
O que signica det(A) = 0 em R2 ? rea do paralelogramo zero. = Um vetor mltiplo do outro.
O que signica det(A) = 0 em R3 ? Volume do paraleleppedo zero.
Um vetor pertence ao = plano gerado pelos outros dois.
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O que signica det(A) = 0?
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
O que signica det(A) = 0 em R2 ? rea do paralelogramo zero. = Um vetor mltiplo do outro.
O que signica det(A) = 0 em R3 ? Volume do paraleleppedo zero.
Um vetor pertence ao = plano gerado pelos outros dois.
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O que signica det(A) = 0?
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
O que signica det(A) = 0 em R2 ? rea do paralelogramo zero. = Um vetor mltiplo do outro.
O que signica det(A) = 0 em R3 ? Volume do paraleleppedo zero.
Um vetor pertence ao = plano gerado pelos outros dois.
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det(A) = 0 em R2 : Exemplos
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R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Exemplo det 12 4 9 3 =0 Por qu? 1a col = 3 2a col
Exemplo det 3 3 3 3 =0 Por qu? 3a col = 1a col
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det(A) = 0 em R2 : Exemplos
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R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Exemplo det 12 4 9 3 =0 Por qu? 1a col = 3 2a col
Exemplo det 3 3 3 3 =0 Por qu? 3a col = 1a col
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det(A) = 0 em R2 : Exemplos
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Exemplo det 12 4 9 3 =0 Por qu? 1a col = 3 2a col
Exemplo det 3 3 3 3 =0 Por qu? 3a col = 1a col
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det(A) = 0 em R2 : Exemplos
DeterminanteIntroduo
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Exemplo det 12 4 9 3 =0 Por qu? 1a col = 3 2a col
Exemplo det 3 3 3 3 =0 Por qu? 3a col = 1a col
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det(A) = 0 em R3 : Exemplos
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Exemplo 1 3 1 det 1 7 1 = 0 1 9 1 Exemplo 1 2 3 det 1 2 3 = 0 1 2 3
Por qu? 3a col = 1a col
Por qu? 3a col = 1a col + 2a col
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det(A) = 0 em R3 : Exemplos
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Exemplo 1 3 1 det 1 7 1 = 0 1 9 1 Exemplo 1 2 3 det 1 2 3 = 0 1 2 3
Por qu? 3a col = 1a col
Por qu? 3a col = 1a col + 2a col
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det(A) = 0 em R3 : Exemplos
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Exemplo 1 3 1 det 1 7 1 = 0 1 9 1 Exemplo 1 2 3 det 1 2 3 = 0 1 2 3
Por qu? 3a col = 1a col
Por qu? 3a col = 1a col + 2a col
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det(A) = 0 em R3 : Exemplos
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Exemplo 1 3 1 det 1 7 1 = 0 1 9 1 Exemplo 1 2 3 det 1 2 3 = 0 1 2 3
Por qu? 3a col = 1a col
Por qu? 3a col = 1a col + 2a col
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Sinal do DeterminanteMantendo xo u e variando v, como varia o sinal do determinante? vu + v vu + v 0 u 0 u vu + v 0 u 0 vu + v u
DeterminanteIntroduo
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determinante positivo vu + v determinante zero 0 u determinante negativo 0 u vu + vlgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral
0 u 0 u&
vu + vDMA / IM / UFRJ 8 / 44
vu + v Goldfeld Prof. Paulo
Propriedade (a)
DeterminanteIntroduo
(a) Se duas colunas so iguais o determinante zero: paralelogramo ou paraleleppedo degenerado. Exemplo det det det 2 3 u u 2 3 v u v v =0 =0 =0
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Propriedade (a)
DeterminanteIntroduo
(a) Se duas colunas so iguais o determinante zero: paralelogramo ou paraleleppedo degenerado. Exemplo det det det 2 3 u u 2 3 v u v v =0 =0 =0
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Propriedade (a)
DeterminanteIntroduo
(a) Se duas colunas so iguais o determinante zero: paralelogramo ou paraleleppedo degenerado. Exemplo det det det 2 3 u u 2 3 v u v v =0 =0 =0
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Propriedade (a)
DeterminanteIntroduo
(a) Se duas colunas so iguais o determinante zero: paralelogramo ou paraleleppedo degenerado. Exemplo det det det 2 3 u u 2 3 v u v v =0 =0 =0
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Propriedade (a)
DeterminanteIntroduo
(a) Se duas colunas so iguais o determinante zero: paralelogramo ou paraleleppedo degenerado. Exemplo det det det 2 3 u u 2 3 v u v v =0 =0 =0
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Propriedade (b1 )
DeterminanteIntroduo
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(b1 ) Se multiplicarmos uma coluna por k (constante) o determinante ser multiplicado por k : a altura (ou base) ser multiplicada por k .
v 3u 2u u 0
3, 5u
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Propriedade (b1 )
DeterminanteIntroduo
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(b1 ) Se multiplicarmos uma coluna por k (constante) o determinante ser multiplicado por k : a altura (ou base) ser multiplicada por k .
v 3u 2u u 0
3, 5u
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Propriedade (b1 ): Exemplo
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Exemplo det 5 0 0 1 = 5 det 1 0 . 0 1
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Propriedade (b1 ): Exemplo
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Exemplo det 5 0 0 1 = 5 det 1 0 . 0 1
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Propriedade (b2 )
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
(b2 ) det u + v
w = det u w + det v u+v v u
w
0
w
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Propriedade (b2 )
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
(b2 ) det u + v
w = det u w + det v u+v v u
w
0
w
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Propriedade (b2 ): Exemplo
ExemploDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
det
2 8 1 det 5
0 3 0 3
= 6 = det + det
1+1 0 = 5+3 3 1 0 =3+3=6 3 3
Exemplo Note que no verdade que det(A + B) = det(A) + det(B)! 1 0 1 0 2 0 det + = det =4= 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 det + det = 1 + 1 = 2. 0 1 0 1lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
Propriedade (b2 ): Exemplo
ExemploDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
det
2 8 1 det 5
0 3 0 3
= 6 = det + det
1+1 0 = 5+3 3 1 0 =3+3=6 3 3
Exemplo Note que no verdade que det(A + B) = det(A) + det(B)! 1 0 1 0 2 0 det + = det =4= 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 det + det = 1 + 1 = 2. 0 1 0 1lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
Propriedade (b2 ): Exemplo
ExemploDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
det
2 8 1 det 5
0 3 0 3
= 6 = det + det
1+1 0 = 5+3 3 1 0 =3+3=6 3 3
Exemplo Note que no verdade que det(A + B) = det(A) + det(B)! 1 0 1 0 2 0 det + = det =4= 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 det + det = 1 + 1 = 2. 0 1 0 1lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
Propriedade (b2 ): Exemplo
ExemploDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
det
2 8 1 det 5
0 3 0 3
= 6 = det + det
1+1 0 = 5+3 3 1 0 =3+3=6 3 3
Exemplo Note que no verdade que det(A + B) = det(A) + det(B)! 1 0 1 0 2 0 det + = det =4= 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 det + det = 1 + 1 = 2. 0 1 0 1lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
Propriedade (b2 ): Exemplo
ExemploDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
det
2 8 1 det 5
0 3 0 3
= 6 = det + det
1+1 0 = 5+3 3 1 0 =3+3=6 3 3
Exemplo Note que no verdade que det(A + B) = det(A) + det(B)! 1 0 1 0 2 0 det + = det =4= 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 det + det = 1 + 1 = 2. 0 1 0 1lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
Propriedade (b2 ): Exemplo
ExemploDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
det
2 8 1 det 5
0 3 0 3
= 6 = det + det
1+1 0 = 5+3 3 1 0 =3+3=6 3 3
Exemplo Note que no verdade que det(A + B) = det(A) + det(B)! 1 0 1 0 2 0 det + = det =4= 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 det + det = 1 + 1 = 2. 0 1 0 1lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
Propriedade (b2 ): Exemplo
ExemploDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
det
2 8 1 det 5
0 3 0 3
= 6 = det + det
1+1 0 = 5+3 3 1 0 =3+3=6 3 3
Exemplo Note que no verdade que det(A + B) = det(A) + det(B)! 1 0 1 0 2 0 det + = det =4= 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 det + det = 1 + 1 = 2. 0 1 0 1lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
Propriedade (b2 ): Exemplo
ExemploDeterminanteIntroduo
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det
2 8 1 det 5
0 3 0 3
= 6 = det + det
1+1 0 = 5+3 3 1 0 =3+3=6 3 3
Exemplo Note que no verdade que det(A + B) = det(A) + det(B)! 1 0 1 0 2 0 det + = det =4= 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 det + det = 1 + 1 = 2. 0 1 0 1lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
Propriedade (b2 ): Exemplo
ExemploDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
det
2 8 1 det 5
0 3 0 3
= 6 = det + det
1+1 0 = 5+3 3 1 0 =3+3=6 3 3
Exemplo Note que no verdade que det(A + B) = det(A) + det(B)! 1 0 1 0 2 0 det + = det =4= 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 det + det = 1 + 1 = 2. 0 1 0 1lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
Propriedade (b2 ): Exemplo
ExemploDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
det
2 8 1 det 5
0 3 0 3
= 6 = det + det
1+1 0 = 5+3 3 1 0 =3+3=6 3 3
Exemplo Note que no verdade que det(A + B) = det(A) + det(B)! 1 0 1 0 2 0 det + = det =4= 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 det + det = 1 + 1 = 2. 0 1 0 1lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
linearidade
ExemploDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Utilize a linearidade na primeira coluna para calcular 2 0 det . 6 3 2 2+0 2 0 Como = = + , 6 0+6 0 6 2 0 2+0 0 = det = det 6 3 0+6 3 2 0 0 0 det + det = 6 + 0 = 6. O primeiro 0 3 6 3 determinante 6 por ser matriz diagonal, o segundo zero pois uma coluna mltipla da outra.
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linearidade
ExemploDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Utilize a linearidade na primeira coluna para calcular 2 0 det . 6 3 2 2+0 2 0 Como = = + , 6 0+6 0 6 2 0 2+0 0 = det = det 6 3 0+6 3 2 0 0 0 det + det = 6 + 0 = 6. O primeiro 0 3 6 3 determinante 6 por ser matriz diagonal, o segundo zero pois uma coluna mltipla da outra.
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linearidade
ExemploDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Utilize a linearidade na primeira coluna para calcular 2 0 det . 6 3 2 2+0 2 0 Como = = + , 6 0+6 0 6 2+0 0 2 0 = = det det 0+6 3 6 3 2 0 0 0 det + det = 6 + 0 = 6. O primeiro 0 3 6 3 determinante 6 por ser matriz diagonal, o segundo zero pois uma coluna mltipla da outra.
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linearidade
ExemploDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Utilize a linearidade na primeira coluna para calcular 2 0 det . 6 3 2 2+0 2 0 Como = = + , 6 0+6 0 6 2+0 0 2 0 = = det det 0+6 3 6 3 2 0 0 0 det + det = 6 + 0 = 6. O primeiro 0 3 6 3 determinante 6 por ser matriz diagonal, o segundo zero pois uma coluna mltipla da outra.
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linearidade
ExemploDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Utilize a linearidade na primeira coluna para calcular 2 0 det . 6 3 2 2+0 2 0 Como = = + , 6 0+6 0 6 2+0 0 2 0 = = det det 0+6 3 6 3 2 0 0 0 det + det = 6 + 0 = 6. O primeiro 0 3 6 3 determinante 6 por ser matriz diagonal, o segundo zero pois uma coluna mltipla da outra.
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Propriedade (c)
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
(c) o determinante da matriz identidade 1: rea de um quadrado de lado 1 = volume de um cubo de lado 1 = 1.
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Propriedade (c)
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
(c) o determinante da matriz identidade 1: rea de um quadrado de lado 1 = volume de um cubo de lado 1 = 1.
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Denio Algbrica em RnUm fato surpreendente :DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Teorema Considere o conjunto Mnn , o conjunto das matrizes quadradas n n. Existe uma nica funo det : Mnn R com as seguintes propriedades: (a) se duas colunas so iguais o valor zero; (b) linear em cada coluna; (c) na matriz identidade o valor 1. Denio O determinante a funo dada pelo teorema acima.
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Denio Algbrica em RnUm fato surpreendente :DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Teorema Considere o conjunto Mnn , o conjunto das matrizes quadradas n n. Existe uma nica funo det : Mnn R com as seguintes propriedades: (a) se duas colunas so iguais o valor zero; (b) linear em cada coluna; (c) na matriz identidade o valor 1. Denio O determinante a funo dada pelo teorema acima.
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Denio Algbrica em RnUm fato surpreendente :DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Teorema Considere o conjunto Mnn , o conjunto das matrizes quadradas n n. Existe uma nica funo det : Mnn R com as seguintes propriedades: (a) se duas colunas so iguais o valor zero; (b) linear em cada coluna; (c) na matriz identidade o valor 1. Denio O determinante a funo dada pelo teorema acima.
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Denio Algbrica em RnUm fato surpreendente :DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Teorema Considere o conjunto Mnn , o conjunto das matrizes quadradas n n. Existe uma nica funo det : Mnn R com as seguintes propriedades: (a) se duas colunas so iguais o valor zero; (b) linear em cada coluna; (c) na matriz identidade o valor 1. Denio O determinante a funo dada pelo teorema acima.
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Comentrios
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Embora completa, a denio acima no apresenta uma frmula para calcular o determinante. Segundo Klaus Jnich: Se voc ainda acha que a informao mais importante acerca de um objeto matemtico uma frmula para calcular o seu valor, certamente voc compartilha o pensamento da maioria das pessoas medianamente educadas, mas com conhecimentos apenas superciais de matemtica.
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Comentrios
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Embora completa, a denio acima no apresenta uma frmula para calcular o determinante. Segundo Klaus Jnich: Se voc ainda acha que a informao mais importante acerca de um objeto matemtico uma frmula para calcular o seu valor, certamente voc compartilha o pensamento da maioria das pessoas medianamente educadas, mas com conhecimentos apenas superciais de matemtica.
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Propriedade Equivalente
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Lema As propriedades abaixo so equivalentes: (a) Se duas colunas so iguais o determinante zero. (a) Se trocarmos duas colunas o determinante troca de sinal
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Propriedade Equivalente
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Lema As propriedades abaixo so equivalentes: (a) Se duas colunas so iguais o determinante zero. (a) Se trocarmos duas colunas o determinante troca de sinal
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Propriedade Equivalente
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Lema As propriedades abaixo so equivalentes: (a) Se duas colunas so iguais o determinante zero. (a) Se trocarmos duas colunas o determinante troca de sinal
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Prova do Lema
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Prova Vamos provar para matriz 2x2. Suponha (a). Ento det u + v u + v = 0 (colunas iguais)
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Prova do Lema
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Prova Vamos provar para matriz 2x2. Suponha (a). Ento det u + v u + v = 0 (colunas iguais)
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Prova do Lema (continuao)ProvaDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Por (b) (linearidade) 0 = det u + v u + v = det u u + v + det v u + v = det u u + det u v + det v u + det v v lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 44
Prova do Lema (continuao)ProvaDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Por (a) novamente det u u = det v v = 0. u v + det v u Logo 0 = det det u v = det v u . Suponha (a). Tomando u = v , det(u|u) = det(u|u). Portanto 2 det(u|u) = 0. Logo det(u|u) = 0.lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 44
Prova do Lema (continuao)ProvaDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Por (a) novamente det u u = det v v = 0. u v + det v u Logo 0 = det det u v = det v u . Suponha (a). Tomando u = v , det(u|u) = det(u|u). Portanto 2 det(u|u) = 0. Logo det(u|u) = 0.lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 44
Prova do Lema (continuao)ProvaDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Por (a) novamente det u u = det v v = 0. u v + det v u Logo 0 = det det u v = det v u . Suponha (a). Tomando u = v , det(u|u) = det(u|u). Portanto 2 det(u|u) = 0. Logo det(u|u) = 0.lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 44
Prova do Lema (continuao)ProvaDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Por (a) novamente det u u = det v v = 0. u v + det v u Logo 0 = det det u v = det v u . Suponha (a). Tomando u = v , det(u|u) = det(u|u). Portanto 2 det(u|u) = 0. Logo det(u|u) = 0.lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 44
Propriedades do Determinante
DeterminanteIntroduo
Das trs propriedades bsicas do determinante podemos deduzir de forma direta as seguintes propriedades:1
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
trocando uma coluna por sua soma com um mltiplo de outra, aj aj + ak , k = j, o determinante no se altera; determinante de matriz diagonal igual ao produto dos elementos da diagonal; determinante de matriz triangular igual ao produto dos elementos da diagonal; determinante zero se uma coluna combinao linear das outras. (De fato, se e somente se.)
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Propriedades do Determinante
DeterminanteIntroduo
Das trs propriedades bsicas do determinante podemos deduzir de forma direta as seguintes propriedades:1
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
trocando uma coluna por sua soma com um mltiplo de outra, aj aj + ak , k = j, o determinante no se altera; determinante de matriz diagonal igual ao produto dos elementos da diagonal; determinante de matriz triangular igual ao produto dos elementos da diagonal; determinante zero se uma coluna combinao linear das outras. (De fato, se e somente se.)
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Propriedades do Determinante
DeterminanteIntroduo
Das trs propriedades bsicas do determinante podemos deduzir de forma direta as seguintes propriedades:1
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
trocando uma coluna por sua soma com um mltiplo de outra, aj aj + ak , k = j, o determinante no se altera; determinante de matriz diagonal igual ao produto dos elementos da diagonal; determinante de matriz triangular igual ao produto dos elementos da diagonal; determinante zero se uma coluna combinao linear das outras. (De fato, se e somente se.)
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Propriedades do Determinante
DeterminanteIntroduo
Das trs propriedades bsicas do determinante podemos deduzir de forma direta as seguintes propriedades:1
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
trocando uma coluna por sua soma com um mltiplo de outra, aj aj + ak , k = j, o determinante no se altera; determinante de matriz diagonal igual ao produto dos elementos da diagonal; determinante de matriz triangular igual ao produto dos elementos da diagonal; determinante zero se uma coluna combinao linear das outras. (De fato, se e somente se.)
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Propriedades do Determinante
DeterminanteIntroduo
Das trs propriedades bsicas do determinante podemos deduzir de forma direta as seguintes propriedades:1
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
trocando uma coluna por sua soma com um mltiplo de outra, aj aj + ak , k = j, o determinante no se altera; determinante de matriz diagonal igual ao produto dos elementos da diagonal; determinante de matriz triangular igual ao produto dos elementos da diagonal; determinante zero se uma coluna combinao linear das outras. (De fato, se e somente se.)
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Produto de Matrizes
LemaDeterminanteIntroduo
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det(AB) = det(A) det(B) Prova Se det(A) = 0, dena fA (B) = det(AB)/ det(A). fcil ver que possui as propriedades da denio (fA (I) = 1, linear nas colunas, zero se colunas so iguais). Logo fA (B) = det(B). Corolrio det(A) = 0 se, e somente se, A possui inversa.
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Produto de Matrizes
LemaDeterminanteIntroduo
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det(AB) = det(A) det(B) Prova Se det(A) = 0, dena fA (B) = det(AB)/ det(A). fcil ver que possui as propriedades da denio (fA (I) = 1, linear nas colunas, zero se colunas so iguais). Logo fA (B) = det(B). Corolrio det(A) = 0 se, e somente se, A possui inversa.
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Produto de Matrizes
LemaDeterminanteIntroduo
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det(AB) = det(A) det(B) Prova Se det(A) = 0, dena fA (B) = det(AB)/ det(A). fcil ver que possui as propriedades da denio (fA (I) = 1, linear nas colunas, zero se colunas so iguais). Logo fA (B) = det(B). Corolrio det(A) = 0 se, e somente se, A possui inversa.
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Transposta de Matrizes
DeterminanteIntroduo
Lema det(At ) = det(A). Corolrio Todas as propriedades do determinante para colunas podem ser enunciadas como propriedades das linhas. Portanto, o determinante: linear por linhas; troca de sinal quando se trocam as linhas.
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Transposta de Matrizes
DeterminanteIntroduo
Lema det(At ) = det(A). Corolrio Todas as propriedades do determinante para colunas podem ser enunciadas como propriedades das linhas. Portanto, o determinante: linear por linhas; troca de sinal quando se trocam as linhas.
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Transposta de Matrizes
DeterminanteIntroduo
Lema det(At ) = det(A). Corolrio Todas as propriedades do determinante para colunas podem ser enunciadas como propriedades das linhas. Portanto, o determinante: linear por linhas; troca de sinal quando se trocam as linhas.
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Transposta de Matrizes
DeterminanteIntroduo
Lema det(At ) = det(A). Corolrio Todas as propriedades do determinante para colunas podem ser enunciadas como propriedades das linhas. Portanto, o determinante: linear por linhas; troca de sinal quando se trocam as linhas.
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Exemplos
DeterminanteIntroduo
Exemplo Considere A = [u|v |w|z] 4 4. det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] = 32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] = 34 det(A) = 3 det(A)! Exemplo Considere A = [u|v |w] 3 3. det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] = 3 det[u|v |w] + 2 0 = 3 det(A).
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Exemplos
DeterminanteIntroduo
Exemplo Considere A = [u|v |w|z] 4 4. det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] = 32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] = 34 det(A) = 3 det(A)! Exemplo Considere A = [u|v |w] 3 3. det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] = 3 det[u|v |w] + 2 0 = 3 det(A).
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Exemplos
DeterminanteIntroduo
Exemplo Considere A = [u|v |w|z] 4 4. det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] = 32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] = 34 det(A) = 3 det(A)! Exemplo Considere A = [u|v |w] 3 3. det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] = 3 det[u|v |w] + 2 0 = 3 det(A).
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Exemplos
DeterminanteIntroduo
Exemplo Considere A = [u|v |w|z] 4 4. det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] = 32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] = 34 det(A) = 3 det(A)! Exemplo Considere A = [u|v |w] 3 3. det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] = 3 det[u|v |w] + 2 0 = 3 det(A).
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Exemplos
DeterminanteIntroduo
Exemplo Considere A = [u|v |w|z] 4 4. det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] = 32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] = 34 det(A) = 3 det(A)! Exemplo Considere A = [u|v |w] 3 3. det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] = 3 det[u|v |w] + 2 0 = 3 det(A).
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DeterminanteIntroduo
Exemplo Considere A = [u|v |w|z] 4 4. det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] = 32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] = 34 det(A) = 3 det(A)! Exemplo Considere A = [u|v |w] 3 3. det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] = 3 det[u|v |w] + 2 0 = 3 det(A).
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DeterminanteIntroduo
Exemplo Considere A = [u|v |w|z] 4 4. det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] = 32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] = 34 det(A) = 3 det(A)! Exemplo Considere A = [u|v |w] 3 3. det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] = 3 det[u|v |w] + 2 0 = 3 det(A).
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DeterminanteIntroduo
Exemplo Considere A = [u|v |w|z] 4 4. det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] = 32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] = 34 det(A) = 3 det(A)! Exemplo Considere A = [u|v |w] 3 3. det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] = 3 det[u|v |w] + 2 0 = 3 det(A).
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DeterminanteIntroduo
Exemplo Considere A = [u|v |w|z] 4 4. det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] = 32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] = 34 det(A) = 3 det(A)! Exemplo Considere A = [u|v |w] 3 3. det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] = 3 det[u|v |w] + 2 0 = 3 det(A).
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DeterminanteIntroduo
Exemplo Considere A = [u|v |w|z] 4 4. det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] = 32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] = 34 det(A) = 3 det(A)! Exemplo Considere A = [u|v |w] 3 3. det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] = 3 det[u|v |w] + 2 0 = 3 det(A).
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DeterminanteIntroduo
Exemplo Considere A = [u|v |w|z] 4 4. det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] = 32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] = 34 det(A) = 3 det(A)! Exemplo Considere A = [u|v |w] 3 3. det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] = 3 det[u|v |w] + 2 0 = 3 det(A).
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DeterminanteIntroduo
Exemplo Considere A = [u|v |w|z] 4 4. det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] = 32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] = 34 det(A) = 3 det(A)! Exemplo Considere A = [u|v |w] 3 3. det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] = 3 det[u|v |w] + 2 0 = 3 det(A).
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DeterminanteIntroduo
Exemplo Considere A = [u|v |w|z] 4 4. det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] = 32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] = 34 det(A) = 3 det(A)! Exemplo Considere A = [u|v |w] 3 3. det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] = 3 det[u|v |w] + 2 0 = 3 det(A).
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DeterminanteIntroduo
Exemplo Considere A = [u|v |w|z] 4 4. det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] = 32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] = 34 det(A) = 3 det(A)! Exemplo Considere A = [u|v |w] 3 3. det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] = 3 det[u|v |w] + 2 0 = 3 det(A).
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DeterminanteIntroduo
Exemplo Considere A = [u|v |w|z] 4 4. det(3A) = det[3u|3v |3w|3z] = 3 det[u|3v |3w|3z] = 32 det[u|v |3w|3z] = 33 det[u|v |w|3z] = 34 det[u|v |w|z] = 34 det(A) = 3 det(A)! Exemplo Considere A = [u|v |w] 3 3. det[v |3u + 2v |w] = 3 det[v |u|w] + 2 det[v |v |w] = 3 det[u|v |w] + 2 0 = 3 det(A).
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DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Exemplo det(P 1 ) =? det(I) = 1 = det(PP 1 ) = det(P) det(P 1 ). Concluso: det(P 1 ) = 1/ det(P). Exemplo det(PAP 1 ) = det(P) det(A) det(P 1 ) = det(P) det(P 1 ) det(A) = 1 det(A) = det(A).
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Exemplos
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Exemplo det(P 1 ) =? det(I) = 1 = det(PP 1 ) = det(P) det(P 1 ). Concluso: det(P 1 ) = 1/ det(P). Exemplo det(PAP 1 ) = det(P) det(A) det(P 1 ) = det(P) det(P 1 ) det(A) = 1 det(A) = det(A).
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Exemplos
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Exemplo det(P 1 ) =? det(I) = 1 = det(PP 1 ) = det(P) det(P 1 ). Concluso: det(P 1 ) = 1/ det(P). Exemplo det(PAP 1 ) = det(P) det(A) det(P 1 ) = det(P) det(P 1 ) det(A) = 1 det(A) = det(A).
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Exemplos
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Exemplo det(P 1 ) =? det(I) = 1 = det(PP 1 ) = det(P) det(P 1 ). Concluso: det(P 1 ) = 1/ det(P). Exemplo det(PAP 1 ) = det(P) det(A) det(P 1 ) = det(P) det(P 1 ) det(A) = 1 det(A) = det(A).
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Exemplos
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Exemplo det(P 1 ) =? det(I) = 1 = det(PP 1 ) = det(P) det(P 1 ). Concluso: det(P 1 ) = 1/ det(P). Exemplo det(PAP 1 ) = det(P) det(A) det(P 1 ) = det(P) det(P 1 ) det(A) = 1 det(A) = det(A).
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Exemplos
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Exemplo det(P 1 ) =? det(I) = 1 = det(PP 1 ) = det(P) det(P 1 ). Concluso: det(P 1 ) = 1/ det(P). Exemplo det(PAP 1 ) = det(P) det(A) det(P 1 ) = det(P) det(P 1 ) det(A) = 1 det(A) = det(A).
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Exemplos
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Exemplo det(P 1 ) =? det(I) = 1 = det(PP 1 ) = det(P) det(P 1 ). Concluso: det(P 1 ) = 1/ det(P). Exemplo det(PAP 1 ) = det(P) det(A) det(P 1 ) = det(P) det(P 1 ) det(A) = 1 det(A) = det(A).
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Exemplos
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Exemplo det(P 1 ) =? det(I) = 1 = det(PP 1 ) = det(P) det(P 1 ). Concluso: det(P 1 ) = 1/ det(P). Exemplo det(PAP 1 ) = det(P) det(A) det(P 1 ) = det(P) det(P 1 ) det(A) = 1 det(A) = det(A).
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Exemplos
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Exemplo det(P 1 ) =? det(I) = 1 = det(PP 1 ) = det(P) det(P 1 ). Concluso: det(P 1 ) = 1/ det(P). Exemplo det(PAP 1 ) = det(P) det(A) det(P 1 ) = det(P) det(P 1 ) det(A) = 1 det(A) = det(A).
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Frmula para 2 2: parte 1
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Vamos deduzir frmula do determinante de
a c b d
utilizando somente propriedades bsicas. a a 0 + , linearidade na primeira Como = b 0 b coluna implica: a c a c 0 c det = det + det . b d 0 d b d
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Frmula para 2 2: parte 1
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Vamos deduzir frmula do determinante de
a c b d
utilizando somente propriedades bsicas. a a 0 + , linearidade na primeira Como = b 0 b coluna implica: a c a c 0 c det = det + det . b d 0 d b d
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Frmula para 2 2: parte 1
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Vamos deduzir frmula do determinante de
a c b d
utilizando somente propriedades bsicas. a a 0 + , linearidade na primeira Como = b 0 b coluna implica: a c a c 0 c det = det + det . b d 0 d b d
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Frmula para 2 2: parte 2
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
det
a c b d
= det
a c 0 d + a c 0 0 0 c b 0
+ det
0 c b d
.
Como
c c = d 0 coluna implica: a c = det det 0 d det 0 c b d = det
0 , linearidade na segunda d + det + det a 0 0 d 0 0 b d .
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Frmula para 2 2: parte 2
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
det
a c b d
= det
a c 0 d + a c 0 0 0 c b 0
+ det
0 c b d
.
c c = d 0 coluna implica: a c = det det 0 d Como det 0 c b d = det
0 , linearidade na segunda d + det + det a 0 0 d 0 0 b d .
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Frmula para 2 2: parte 2
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
det
a c b d
= det
a c 0 d + a c 0 0 0 c b 0
+ det
0 c b d
.
c c = d 0 coluna implica: a c = det det 0 d Como det 0 c b d = det
0 , linearidade na segunda d + det + det a 0 0 d 0 0 b d .
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Frmula para 2 2: parte 2
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
det
a c b d
= det
a c 0 d + a c 0 0 0 c b 0
+ det
0 c b d
.
c c = d 0 coluna implica: a c = det det 0 d Como det 0 c b d = det
0 , linearidade na segunda d + det + det a 0 0 d 0 0 b d .
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Frmula para 2 2: parte 3
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Portanto, obtemos: colocando constantes em evidncia: a c det = b d a c 1 c det + a det + 0 0 0 0 a 0 + det 0 d 0 c det + b 0 0 0 det b d
1 0 1 ad det 0 0 bc det 1 0 bd det 1 ac det
1 + 0 0 + 1 1 + 0 0 1
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Frmula para 2 2: parte 3
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Portanto, obtemos: colocando constantes em evidncia: a c det = b d a c 1 c det + a det + 0 0 0 0 a 0 + det 0 d 0 c det + b 0 0 0 det b d
1 0 1 ad det 0 0 bc det 1 0 bd det 1 ac det
1 + 0 0 + 1 1 + 0 0 1
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R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Portanto, obtemos: colocando constantes em evidncia: a c det = b d a c 1 c + det + a det 0 0 0 0 a 0 + det 0 d 0 c det + b 0 0 0 det b d
1 0 1 ad det 0 0 bc det 1 0 bd det 1 ac det
1 + 0 0 + 1 1 + 0 0 1
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R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Portanto, obtemos: colocando constantes em evidncia: a c det = b d a c 1 c det + a det + 0 0 0 0 a 0 + det 0 d 0 c det + b 0 0 0 det b d
1 0 1 ad det 0 0 bc det 1 0 bd det 1 ac det
1 + 0 0 + 1 1 + 0 0 1
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Frmula para 2 2: parte 3
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Portanto, obtemos: colocando constantes em evidncia: a c det = b d a c 1 c det + a det + 0 0 0 0 a 0 + det 0 d 0 c det + b 0 0 0 det b d
1 0 1 ad det 0 0 bc det 1 0 bd det 1 ac det
1 + 0 0 + 1 1 + 0 0 1
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Frmula para 2 2: parte 3
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Portanto, obtemos: colocando constantes em evidncia: a c det = b d a c 1 c det + a det + 0 0 0 0 a 0 + det 0 d 0 c det + b 0 0 0 det b d
1 0 1 ad det 0 0 bc det 1 0 bd det 1 ac det
1 + 0 0 + 1 1 + 0 0 1
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R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Portanto, obtemos: colocando constantes em evidncia: a c det = b d a c 1 c det + a det + 0 0 0 0 a 0 + det 0 d 0 c det + b 0 0 0 det b d
1 0 1 ad det 0 0 bc det 1 0 bd det 1 ac det
1 + 0 0 + 1 1 + 0 0 1
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Frmula para 2 2: parte 4
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Portanto, obtemos: a c = det b d 1 1 ac det ac 0 0 0 1 0 +ad det +ad 1 0 1 0 1 +bc det bc det 1 0 0 0 +bd det +bd 0 1 1
(colunas iguais) (identidade) 1 0 0 1 bc 1 (colunas iguais)
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Frmula para 2 2: parte 4
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Portanto, obtemos: a c = det b d 1 1 ac 0 ac det 0 0 1 0 +ad det +ad 1 0 1 0 1 +bc det bc det 1 0 0 0 +bd det +bd 0 1 1
(colunas iguais) (identidade) 1 0 0 1 bc 1 (colunas iguais)
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Frmula para 2 2: parte 4
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Portanto, obtemos: a c = det b d 1 1 ac 0 ac det 0 0 1 0 +ad 1 +ad det 0 1 0 1 +bc det bc det 1 0 0 0 +bd det +bd 0 1 1
(colunas iguais) (identidade) 1 0 0 1 bc 1 (colunas iguais)
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Frmula para 2 2: parte 4
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Portanto, obtemos: a c = det b d 1 1 ac 0 ac det 0 0 1 0 +ad 1 +ad det 0 1 1 0 bc det bc 1 0 1 0 0 +bd det +bd 0 1 1
(colunas iguais) (identidade) (troca colunas) (colunas iguais)
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Frmula para 2 2: parte 4
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Portanto, obtemos: a c = det b d 1 1 ac 0 ac det 0 0 1 0 +ad 1 +ad det 0 1 1 0 bc det bc 1 0 1 0 0 +bd det +bd 0 1 1
(colunas iguais) (identidade) (identidade) (colunas iguais)
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Frmula para 2 2: parte 4
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Portanto, obtemos: a c = det b d 1 1 ac 0 ac det 0 0 1 0 +ad 1 +ad det 0 1 1 0 bc det bc 1 0 1 0 0 +bd det +bd 0 1 1
(colunas iguais) (identidade) (identidade) (colunas iguais)
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Frmula para 2 2: Fim!
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Finalmente, a c det = ac 0 + ad 1 bc 1 + bd 0 = ad bc b d
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Regra de SarrusPodemos repetir o que foi feito para matriz 2 2 para matriz 3 3. Obtemos a frmula conhecida, que pode ser recordada atravs da Regra de Sarrus: a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a11 a12 a31 a32 a33 a31 a32 a21 a22 + + + +
DeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
Observao (regra se Sarrus) A regra de Sarrus NO generaliza para dimenso maior que 3: No existe procedimento semelhante a este para matrizes 4 4.lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 32 / 44
Regra de SarrusPodemos repetir o que foi feito para matriz 2 2 para matriz 3 3. Obtemos a frmula conhecida, que pode ser recordada atravs da Regra de Sarrus: a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a11 a12 a31 a32 a33 a31 a32 a21 a22 + + + +
DeterminanteIntroduo
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Observao (regra se Sarrus) A regra de Sarrus NO generaliza para dimenso maior que 3: No existe procedimento semelhante a este para matrizes 4 4.lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 32 / 44
Regra de SarrusPodemos repetir o que foi feito para matriz 2 2 para matriz 3 3. Obtemos a frmula conhecida, que pode ser recordada atravs da Regra de Sarrus: a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a11 a12 a31 a32 a33 a31 a32 a21 a22 + + + +
DeterminanteIntroduo
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Observao (regra se Sarrus) A regra de Sarrus NO generaliza para dimenso maior que 3: No existe procedimento semelhante a este para matrizes 4 4.lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 32 / 44
Como calcular de forma eciente?Existem diversas formas de clculo do determinante. A maneira mais eciente, utilizada nos algoritmos numricos, : Fazer eliminao de Gauss, reduzindo matriz a forma diagonal superior (ou inferior); Levar em conta a cada operao elementar o efeito sobre o determinante:troca de linhas = determinante troca de sinal; multiplicar linha por constante = determinante multiplicado pela constante; substituir linha por combinao linear dela com outra linha = determinante no se altera.
DeterminanteIntroduo
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Calcular determinante da matriz resultante pelo produto dos elementos da diagonal;lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 44
Como calcular de forma eciente?Existem diversas formas de clculo do determinante. A maneira mais eciente, utilizada nos algoritmos numricos, : Fazer eliminao de Gauss, reduzindo matriz a forma diagonal superior (ou inferior); Levar em conta a cada operao elementar o efeito sobre o determinante:troca de linhas = determinante troca de sinal; multiplicar linha por constante = determinante multiplicado pela constante; substituir linha por combinao linear dela com outra linha = determinante no se altera.
DeterminanteIntroduo
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Calcular determinante da matriz resultante pelo produto dos elementos da diagonal;lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 44
Como calcular de forma eciente?Existem diversas formas de clculo do determinante. A maneira mais eciente, utilizada nos algoritmos numricos, : Fazer eliminao de Gauss, reduzindo matriz a forma diagonal superior (ou inferior); Levar em conta a cada operao elementar o efeito sobre o determinante:troca de linhas = determinante troca de sinal; multiplicar linha por constante = determinante multiplicado pela constante; substituir linha por combinao linear dela com outra linha = determinante no se altera.
DeterminanteIntroduo
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Calcular determinante da matriz resultante pelo produto dos elementos da diagonal;lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 44
Como calcular de forma eciente?Existem diversas formas de clculo do determinante. A maneira mais eciente, utilizada nos algoritmos numricos, : Fazer eliminao de Gauss, reduzindo matriz a forma diagonal superior (ou inferior); Levar em conta a cada operao elementar o efeito sobre o determinante:troca de linhas = determinante troca de sinal; multiplicar linha por constante = determinante multiplicado pela constante; substituir linha por combinao linear dela com outra linha = determinante no se altera.
DeterminanteIntroduo
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Calcular determinante da matriz resultante pelo produto dos elementos da diagonal;lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 44
Como calcular de forma eciente?Existem diversas formas de clculo do determinante. A maneira mais eciente, utilizada nos algoritmos numricos, : Fazer eliminao de Gauss, reduzindo matriz a forma diagonal superior (ou inferior); Levar em conta a cada operao elementar o efeito sobre o determinante:troca de linhas = determinante troca de sinal; multiplicar linha por constante = determinante multiplicado pela constante; substituir linha por combinao linear dela com outra linha = determinante no se altera.
DeterminanteIntroduo
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Calcular determinante da matriz resultante pelo produto dos elementos da diagonal;lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 44
Como calcular de forma eciente?Existem diversas formas de clculo do determinante. A maneira mais eciente, utilizada nos algoritmos numricos, : Fazer eliminao de Gauss, reduzindo matriz a forma diagonal superior (ou inferior); Levar em conta a cada operao elementar o efeito sobre o determinante:troca de linhas = determinante troca de sinal; multiplicar linha por constante = determinante multiplicado pela constante; substituir linha por combinao linear dela com outra linha = determinante no se altera.
DeterminanteIntroduo
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Calcular determinante da matriz resultante pelo produto dos elementos da diagonal;lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 44
Como calcular de forma eciente?Existem diversas formas de clculo do determinante. A maneira mais eciente, utilizada nos algoritmos numricos, : Fazer eliminao de Gauss, reduzindo matriz a forma diagonal superior (ou inferior); Levar em conta a cada operao elementar o efeito sobre o determinante:troca de linhas = determinante troca de sinal; multiplicar linha por constante = determinante multiplicado pela constante; substituir linha por combinao linear dela com outra linha = determinante no se altera.
DeterminanteIntroduo
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Calcular determinante da matriz resultante pelo produto dos elementos da diagonal;lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 44
Como calcular de forma eciente?Existem diversas formas de clculo do determinante. A maneira mais eciente, utilizada nos algoritmos numricos, : Fazer eliminao de Gauss, reduzindo matriz a forma diagonal superior (ou inferior); Levar em conta a cada operao elementar o efeito sobre o determinante:troca de linhas = determinante troca de sinal; multiplicar linha por constante = determinante multiplicado pela constante; substituir linha por combinao linear dela com outra linha = determinante no se altera.
DeterminanteIntroduo
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Calcular determinante da matriz resultante pelo produto dos elementos da diagonal;lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 44
Exemplo de clculo de modo ecienteExemploDeterminanteIntroduo
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0 4 8 Considere a matriz A = 2 1 8 . 3 6 9 3 6 9 Troque l1 com l3 : det A = det 2 1 8 . 0 4 8 1 2 3 Coloque 3 em evidncia em l1 : det A = 3 det 2 1 8 . 0 4 8 1 2 3 Faa l2 l2 2l1 : det A = 3 det 0 3 2 . 0 4 8lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 44
Exemplo de clculo de modo ecienteExemploDeterminanteIntroduo
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0 4 8 Considere a matriz A = 2 1 8 . 3 6 9 3 6 9 Troque l1 com l3 : det A = det 2 1 8 . 0 4 8 1 2 3 Coloque 3 em evidncia em l1 : det A = 3 det 2 1 8 . 0 4 8 1 2 3 Faa l2 l2 2l1 : det A = 3 det 0 3 2 . 0 4 8lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 44
Exemplo de clculo de modo ecienteExemploDeterminanteIntroduo
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0 4 8 Considere a matriz A = 2 1 8 . 3 6 9 3 6 9 Troque l1 com l3 : det A = det 2 1 8 . 0 4 8 1 2 3 Coloque 3 em evidncia em l1 : det A = 3 det 2 1 8 . 0 4 8 1 2 3 Faa l2 l2 2l1 : det A = 3 det 0 3 2 . 0 4 8lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 44
Exemplo de clculo de modo ecienteExemploDeterminanteIntroduo
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0 4 8 Considere a matriz A = 2 1 8 . 3 6 9 3 6 9 Troque l1 com l3 : det A = det 2 1 8 . 0 4 8 1 2 3 Coloque 3 em evidncia em l1 : det A = 3 det 2 1 8 . 0 4 8 1 2 3 Faa l2 l2 2l1 : det A = 3 det 0 3 2 . 0 4 8lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 44
Exemplo de clculo de modo ecienteExemploDeterminanteIntroduo
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0 4 8 Considere a matriz A = 2 1 8 . 3 6 9 3 6 9 Troque l1 com l3 : det A = det 2 1 8 . 0 4 8 1 2 3 Coloque 3 em evidncia em l1 : det A = 3 det 2 1 8 . 0 4 8 1 2 3 Faa l2 l2 2l1 : det A = 3 det 0 3 2 . 0 4 8lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 44
Exemplo de clculo de modo ecienteExemploDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
0 4 8 Considere a matriz A = 2 1 8 . 3 6 9 3 6 9 Troque l1 com l3 : det A = det 2 1 8 . 0 4 8 1 2 3 Coloque 3 em evidncia em l1 : det A = 3 det 2 1 8 . 0 4 8 1 2 3 Faa l2 l2 2l1 : det A = 3 det 0 3 2 . 0 4 8lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 44
Exemplo de clculo de modo ecienteExemploDeterminanteIntroduo
R2 e R3Algumas Propriedades Denio Algbrica Equivalncias Propriedades Frmula Matriz 2 2 Frmula Modo Eciente Sistemas Transformaes Lineares Mudana de rea
0 4 8 Considere a matriz A = 2 1 8 . 3 6 9 3 6 9 Troque l1 com l3 : det A = det 2 1 8 . 0 4 8 1 2 3 Coloque 3 em evidncia em l1 : det A = 3 det 2 1 8 . 0 4 8 1 2 3 Faa l2 l2 2l1 : det A = 3 det 0 3 2 . 0 4 8lgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 44
Exemplo de clculo de modo eciente (continuao)
DeterminanteIntroduo
Exemplo 1 2 3 det A = 3 det 0 3 2 . 0 4 8 Faa l3 l3 + 4l2 /3: 1 2 3 2 . det A = 3 det 0 3 0 0 8 + 8/3 = 32/3 Agora a matriz triangular: calcule produto dos elementos da diagonal: det A = 3(1)(3)(32/3) = 96.
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Exemplo de clculo de modo eciente (continuao)
DeterminanteIntroduo
Exemplo 1 2 3 det A = 3 det 0 3 2 . 0 4 8 Faa l3 l3 + 4l2 /3: 1 2 3 2 . det A = 3 det 0 3 0 0 8 + 8/3 = 32/3 Agora a matriz triangular: calcule produto dos elementos da diagonal: det A = 3(1)(3)(32/3) = 96.
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Exemplo de clculo de modo eciente (continuao)
DeterminanteIntroduo
Exemplo 1 2 3 det A = 3 det 0 3 2 . 0 4 8 Faa l3 l3 + 4l2 /3: 1 2 3 2 . det A = 3 det 0 3 0 0 8 + 8/3 = 32/3 Agora a matriz triangular: calcule produto dos elementos da diagonal: det A = 3(1)(3)(32/3) = 96.
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Exemplo de clculo de modo eciente (continuao)
DeterminanteIntroduo
Exemplo 1 2 3 det A = 3 det 0 3 2 . 0 4 8 Faa l3 l3 + 4l2 /3: 1 2 3 2 . det A = 3 det 0 3 0 0 8 + 8/3 = 32/3 Agora a matriz triangular: calcule produto dos elementos da diagonal: det A = 3(1)(3)(32/3) = 96.
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Exemplo de clculo de modo eciente (continuao)
DeterminanteIntroduo
Exemplo 1 2 3 det A = 3 det 0 3 2 . 0 4 8 Faa l3 l3 + 4l2 /3: 1 2 3 2 . det A = 3 det 0 3 0 0 8 + 8/3 = 32/3 Agora a matriz triangular: calcule produto dos elementos da diagonal: det A = 3(1)(3)(32/3) = 96.
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Matrizes em Blocos
DeterminanteIntroduo
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Lema (determinante de matrizes triangulares por blocos) A B A 0 ou ou M = , com A 0 D C D e D matrizes quadradas. Ento det(M) = det(A) det(D) Suponha que M =
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Sistemas e Determinante
DeterminanteIntroduo
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Seja A matriz quadrada. Quando Av = b tem soluo? se det(A) = 0, A possui inversa e portanto existe uma nica soluo v = A1 b; se b = 0 e det(A) = 0, a nica soluo ser v = 0; se det(A) = 0 podemos garantir que o sistema homogneo Av = 0 possui soluo v = 0, isto , possuir soluo no-trivial (soluo diferente de zero).
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Sistemas e Determinante
DeterminanteIntroduo
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Seja A matriz quadrada. Quando Av = b tem soluo? se det(A) = 0, A possui inversa e po