Álgebra Linear(Parte 1)

(C. T. Chen, Capítulo 3)

Sistemas Lineares

IntroduçãoSejam as matrizes reais Anxm, Bmxr , Clxn , Drxp. Seja ai

a i-ésima coluna de A e bj a j-ésima linha de B. Então

- aibi é uma matriz nxr (ai é nx1 e bi é 1xr)- biai só existe se n=r. Neste caso, o resultado é um escalar.

Bases, representação e ortonormalização

Seja o espaço linear real de dimensão n (n-dimensional) Cada vetor em é uma n-upla, e é dado por

que normalmente escrevemos de forma transposta, por economia de espaço, como

,

A dimensão de um espaço linear pode ser definida como o número máximo de vetores linearmente independentes no mesmo. Logo, em podemos ter no máximo n vetores LI

Base e representação

Base ortonormal

Exemplo

-1 q1

2 q2

0.5 q2

2 i2

Normas de vetores

Norma 1

Norma 2, quadrática ou Euclidiana

Norma ∞

Ortonormalização

Um vetor é dito normalizado se sua norma Euclidiana é 1, ou seja,

Observe que é um escalar e é uma matriz nxn.

Ortonormalização

Dado um conjunto de vetores LI Pode-se obter um conjunto ortonormal através do seguinte procedimento:

meee 21

Ortonormalização de Schmidt

Equações algébricas lineares

Range space de A se traduz como espaço imagem ou espaço de colunas de A

Exemplo

Espaço imagem de A

Espaço nulo de A

Teorema da existência de soluções

Teorema da parametrização das soluções

Exemplo

Corolário

Determinante e inversa de matrizes quadradas

Transformação de similaridadeSeja uma matriz quadrada . Ela mapeia nele mesmo. Se associarmos a a base ortonormal em (3.8), então a -ésima coluna de é a representação de na base ortonormal. Agora, selecionando um conjunto diferente como base, a saber, , a matriz terá uma representação diferente, . Daí, a -ésima coluna de é a representação de na base . Isto é ilustrado pelo exemplo a seguir:

Exemplo 3.4

Continuação...

Caso geral

• Seja A uma matriz n por n