Post on 02-Jan-2016
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“Toda honra seja dada ao Eterno, Poderoso D-us”
Professor Tiago MachadoEducação Matemática
Formado pelas Faculdades Integradas Campo-grandense – FIC RJ.Especializado em Ensino da Matemática fundamental e Médio– FIC RJ.
Especializado em Ensino da Matemática – UERJ.
Blog-professortiagomachado.blogspot.comCurrículo - http://lattes.cnpq.br/0317131329053631
Exercícios de Análise combinatória – Resolvidos:
1) homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só de sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição?
Resolução:
8! => Pratos diferentes que podem ser permutarmos de carne;
5! => Pratos diferentes que podem ser permutarmos de sobremesas.
Então:
Usaremos combinação para calcular:
a) Pratos de carne.
8! = 8. 7! = 8 pratos de carne combinados.1! (8-1)! 1! 7!
b) Pratos de sobremesa:
5!4!1!4.5
)!15(!1!5 =
//=
−
pratos de sobremesa combinados.
Logo:
Carne x sobremesa : 8 x 5 = 40 formas diferentes de combinações.
2) Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saia:
Observação: Usamos o mesmo cálculo usado na questão de n° 1.
5! => Formas diferentes de permutarmos as blusas.
6! => Formas diferentes de permutarmos as saias.
Então:
Usaremos combinação para calcular:
a) Combinação das blusas:
5!4!1!4.5
)!15(!1!5 =
//=
− formas diferente de
combinarmos as blusas.
b) Formas de combinarmos as saias.
6!5!1!5.6
)!16(!1!6 =
//=
− Formas diferentes
de combinarmos as saias.Logo:
Blusas x saias = 5.6 = 30 formas diferente de combinarmos.
Observação: sempre que estivermos usando o sinal de vezes como demonstrado acima, estamos misturando todos os elementos.
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3) Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados?
80! => Permutação entre os homens.
90! => Permutação entre as mulheres.
Então:
Usaremos combinação para calcular:
a) homens.
!79!.1!79.80
)!180(!1!80 =−
= 80 modos de
combinarmos cada homem tomado 1 a 1.
b) mulheres.
90!89!1!89.90
)!190(!1!90 ==−
Modos de
combinarmos todas as mulheres tomado 1 a 1.
Obs: como cada casal forma uma dupla, então:
Mulheres x homem = 80. 90 = 7200 casais combinados entre si.
4) Um edifício tem 8 portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar e sair do edifício por uma porta diferente da que usou para entrar?
8! => Permutação entre as portas diferentes.
2! => Permutação como só se pode entrar e sair de uma porta.
Obs: usaremos a forma de arranjo, então.
567.8!6
!6.7.8)!28(
!8 ===−
=> Formas
diferente de entrar e sair das portas.
Ou 8 . 7 = 56 => Formas diferente de entrar e sair das portas. Entrar sair
5) Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas poderá ele vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos?
10! => Formas diferentes de permutarmos os ternos.
12!=> Formas diferentes de permutarmos as camisas.
5! => Formas diferentes de permutarmos os pares de sapatos.
=> Ele deseja vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos..
Então vamos combinar:
a) Os ternos.
10!9!.1!9.10
)!110!.(1!10 ==−
Modos de combinarmos cada terno tomado 1 a 1.
b) As camisas
12!11!.1!11.12
)!112(!1!12 ==−
Modos de combinarmos cada camisa tomado 1 a 1.
c) Os pares de sapatos.
5!4.1!4.5
)!15(!1!5 ==−
Modos de combinarmos cada par de sapatos tomado 1 a 1.
Logo:
Terno x camisa x pares de sapatos = 10 . 12 . 5 = 600 modos diferentes.
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6) Uma prova consta de 20 testes do tipo verdadeiro ou falso. De quantas formas uma pessoa poderá responder os 20 testes?
2 => tipos de respostas: falso e verdadeiro.
20 => testes.
Vamos ver:
2 . 2 . 2 . 2 ....... 2 . 2 . 1ªteste 2° teste 3° teste 4° teste 19°teste 20° teste
20 teste no total com 2 respostas.Então:
202 = 10448576 formas de responder.
7) Quantos anagramas podemos formar, batendo ao acaso em 6 teclas num teclado de computador? Consta o anagrama TECTEC?26 => no total do alfabeto brasileiro.
6 => teclas para escolher no teclado.
Vejamos:
26 . 26 . 26 . 26 . 26 . 26 . 1ª possib. 2ª possib. 3ª possib. 4ª possib. 5ª possib. 6ª possib.
No total 6 possibilidades de escolha de 26 letras.
Então:
626 = 308915776 teclas.
A palavra TECTEC aparece? Com certeza, por causa da repetição que é possível.
8) Em um concurso para preenchimento de uma cátedra, apresentam-se 3 candidatos. A comissão julgadora é constituída de 5 membros, devendo cada examinador escolher exatamente um candidato. De quantos modos os votos desses examinadores podem ser dados?
3 => candidatos para serem escolhidos.
5 => Membros da comissão julgadora.
3 . 3 . 3 . 3 . 3 .1°membro 2°membro 3°membro 4°membro 5°membro
5 membros que podem cada um escolher entre os três 1 candidato.
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Então:
53 = 243 possibilidades.
9) Quantos números de 3 algarismos (iguais ou distintos) podemos formar com os digitos 1,2,3,7 e 8.
Iguais ou distintos => quer dizer tudo.
3 => algarismos dos números ou seja de 100 a 999.
5 => elementos no total, pois n(5) ={1,2,3,7,8}
Então:
5 . 5 . 5 .1° algarismo 2°algarismo 3° algarismo
3 algarismo, 5 elementos.
Então:
35 = 125 números.
10) Temos um conjunto de 10 nomes e outro 20 sobrenomes. Quanta pessoas podem receber um nome e um sobrenome, com esses elementos?
10 => nomes.
20 => sobrenomes.
Só podem receber 1 nome e 1 sobrenome.
Então:
10 . 20 = 200 pessoas. Nome sobrenome
11) Cinco moedas são lançadas. Quantas seqüências possíveis de cara e coroa existem?
2 => possibilidades: cara e coroa.
5 => número de moedas.Vejamos:
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 1ªmoeda 2ªmoeda 3ªmoeda 4ªmoeda 5ªmoeda
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5 moedas, duas possibilidades somente.
Então:
52 = 32 possíveis seqüências.
12) Seis dados são lançados simultaneamente. Quantas seqüências de resultados são possíveis, se considerarmos a cada elemento da seqüência como o número obtido em cada dado?
6 => números de dados.
6 => possíveis da números obtidos na face do dado.
Vejamos: 6 . 6 . 6 . 6 . 6 . 6 .1ª possib. 2ª possib. 3ª possib 4ª possib. 5ª possib. 6ª possib.
6 dados, 6 possíveis face que pode resultar.
13) As letras em código MORSE são formadas por seqüências de traços (-) e pontos (.) sendo permitidos repetições.Por exemplo: [(-);(.);(-);(-);(.);(.)].Quantas letras podem ser representadas:
a) Usando exatamente 3 símbolos?
2 => seqüências.
3 => símbolos.
Vejamos:
2 . 2 . 2 = 1°simb. 2simb. 3°simb.
Então:
32 = 8 possibilidades possíveis.
b) Usando no máximo 8 símbolos?
8 => possibilidades máximas possíveis.
2 => seqüências.
Vejamos:
Máximo 8 símbolos: 1 símbolo ou 2 símbolos ou 3 símbolos ou... ou 8 símbolos.
1 símbolo: ___ = 2 = 12 maneiras2 símbolos: ___ , ___ = 22 = 4 maneiras
3 símbolos: ___, ___, ___ = 32 = 8 maneiras..8 símbolos: ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___ = 82 maneiras.
Então:
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 = 510
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14) Quantos divisores positivos têm o número N= dcba 7.5.3.2 ?
Pelo principio da contagem temos:
(a+1).(b+1).(c+1).(d+1).
Resposta:(a+1).(b+1).(c+1).(d+1).
15) Cada pedra de dominó é constituída de 2 números. As peças são simétricas, de sorte que o par de números não é ordenado exemplo:
é o mesmo que
Quantas peças diferentes podem ser formadas, se usarmos os números 0,1,2,3,4,5 e 6?
N(5) = {0,1,2,3,4,5,6} => sete elementos.
4 => seqüências
Então:
2847 11 =• peças diferentes.
16) Em um campeonato de futebol, participaram 20 times. Quantos resultados são possíveis para os três primeiros lugares.
20! => permutação vintes dos times;
3! => permutação dos três primeiros lugares.
Usaremos a forma de Arranjo para calcular este problema.
Então:
684018.19.20!17
!17.18.19.20)!320(
!20 ===−
Possibilidades.
Ou podemos assim:
20 . 19 . 18 =6840 possibilidades 1°lugar 2° lugar 3° lugar
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17) Em um torneio de dois turnos do qual participaram seis times, quantos jogos são disputados?
6! => Permutação entre os times.
2!=> permutação entre os turnos.
Então:
Usaremos a forma de arranjo para calcular esse problema.
305.6!4
!4.5.6)!26(
!6 ===−
Possibilidades.
Ou podemos assim:
6 . 5 =30 possibilidades.1° turno 2° Turno
18) Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, cada listra com uma cor. De quantas formas isto pode ser feito?
8! => permutação entre as cores.
5! => permutação entre as listras.
Usaremos a forma de arranjo para calcular esse problema.
Então:
67204.5.6.7.8!3
!3.4.5.6.7.8)!58(
!8 ===−
possibilidades.
Ou podemos assim:
8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 6720 possibilidades1ª listra 2ª listra 3ª listra 4ª listra 5ª listra
19) Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada tipo deve assinar a estação de partida e de chegada respectivamente?
16! => permutação entre as estações;
2! => permutação entre a chegada e a saída.
Então:
24015.16!14
!14.15.16)!216(
!16 ===−
possibilidades
Ou podemos assim:
16 . 15 =240 possibilidades Chegada saída
20) As 5 finalistas do concurso para miss. Universo são: Miss. Japão, Miss. Brasil, Miss. Finlândia, Miss. Argentina e Miss. Noruega. De quantas formas os juizes poderão escolher o primeiro, segundo e terceiro lugar neste concurso?
5! => Permutação entre as finalistas.
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3! => permutação entre os lugares.
Então:
603.4.5!2
!2.3.4.5)!35(
!5 ===−
possibilidades
Ou podemos assim:
5 . 4 . 3 =60 possibilidades. 1° lugar 2° lugar 3° lugar
21) Um cofre possui um disco marcado, com os 0,1,2...,9. O segredo do cofre é formado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverão fazer, no máximo, para conseguir abri-lo. (suponha que a pessoa sabe que o segredo é formado por dígitos distintos).
Sendo N(d) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} logo 10 elementos:
10! => permutação entre todos os números de 0 a 9.
3! => permutação entre os números de dígitos.
Pelo método de arranjo, então:
7208.9.10!7
!7.8.9.10)!310(
!10 ===−
tentativas.
Ou podemos assim:
10 . 9 . 8 = 720 tentativas.
22) Uma urna A contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Outra urna B contém 7 bolas numeradas de 1 a 3. qual o número, de seqüências numérica que podemos obter se extrairmos, sem reposição 3 bolas da urna A, e em seguida, 2 bolas da urna B.
Sendo N(A) = {1,2,3,4,5} e N(B) ={1,2,3} logo:
5! => Permutação entre os elementos de A.
3! => Permutação entre os elementos de B.
3! de A => Permutação de tiragem da urna A.
2! de B => Permutação de tiragem da urna B.
Então:
a) Urna A.
603.4.5!2
!2.3.4.5)!35(
!5 ===−
Possibilidades da urna A
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b) Urna B.
62.3!1
!1.2.3)!23(
!3 ===−
Possibilidades da urna B.
Misturando tudo temos:
Urna A x Urna B = 60.6=360 possibilidades.
Ou podemos:
5 . 4 . 3 . 3 . 2 = 360 possibilidades Urna A1 Urna A2 Urna A3 Urna B1 Urna B2Obs: A1,A2,A3,B1 e B2 bolas das urnas subseqüentes e suas respectivas tiragem.
23) Existem duas urnas. A 1ª com quatro bolas numeradas de 1 a 4. A 2ª urna com três bolas numeradas de 7 a 9. Duas bolas são extraídas da 1ª urna, sucessivamente e sem reposição e em seguida duas bolas são extraídas da 2ª urna, sucessivamente e sem repetição.Quantos números de quatro algarismos são possíveis de serem formados nestas condições?
Sendo N(U1)={1,2,3,4} com a 1ª urna 4 elementos e N(U2)={7,8,9} com a 2ª urna com 3 elementos então temos:4! => Permutação da 1ª urna.
3! => Permutação da2ª Urna.
2! => permutação de tiragem da 1ª urna.
2! => Permutação de tiragem da 2ª urna.
Então:
a) 1ª urna.
123.4!2
!2.3.4)!24(
!4 ===−
b) 2ª urna.
62.3!1
!1.2.3)!23(
!3 ===−
Logo temos:
1ª urna x 2ª urna = 12.6=72 possibilidades.
Ou podemos:
4 . 3 . 3 . 2 = 72 possibilidades.
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U1-1 U1-2 U2-1 U2-2
Obs: U1-1,U1-2,U2-1 e U2-2 Tiragens da 1ª Urna (U1) e da 2ª Urna (U2).
24) com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9 quantos números de três algarismos distintos podemos formar?
Sendo N(A) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} total de 9 elementos então:
9! => permutação entre todos os números de 1 a 9.
3! => permutação entre os algarismos.
Então:
5047.8.9!6
!6.7.8.9)!39(
!9 ===−
Possibilidades.
Ou podemos:
9 . 8 . 7 = 504 possibilidades.1ªdigito 2ªdigito 3ªdigito
25) com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 e 9 quantos números com algarismos distintos existem entre 500 e 1000?
Sendo N(A) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} total de 9 elementos então:
9! => permutação que podemos fazer entre os números.
3! => permutação entre o numero de algarismos.Vemos que temos números igual ou maiores que 500 se não então vejamos:
5..,6..,7... e etc.
Então o conjunto que podemos utilizar são:
N(A1)={5,6,7,8,9} total de 5 algarismos. Não temos mais 9! Mais sim 8! Pois a primeira casa dos três algarismos tem que ser ocupada pelos números do conjunto N(A1) e logo nos resta para ser habitado pelos números de 8! Duas casas.Logo temos:
2807.8.5!5
!5.6.7.8)!28(
!8.5 ===−
possibilidades.
Ou podemos assim:
5 . 8 . 7 = 280 possibilidades. N°do conj.N(A1) N° do conj. N(A)-1 N° do conj. N(A)-1
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26) com os algarismos 1,2,3,4,5 quantos números de 3 algarismos (iguais ou distintos).
Solução:
5 . 5 . 5 = 125
26) com os algarismos 1,2,3,..., 9 quantos números de quatro algarismos existem, onde pelo menos dois algarismos são iguais?
Solução:
9 . 8 . 7 . 6 = 3024 <= n° distintos.
9 . 9 . 9 . 9 = 6561 <= n° repetidos.
6561-3024 = 3537
27) quantos números formados por três algarismos distintos escolhidos entre 2,3,4,6,8,9 contém o 2 e não contém o 6? (lembre-se que o 2 pode ocupar a 1ª,2ª ou 3ª posição).
Solução:
Neste problema o algarismo 6 não pode aparecer:
3 . 3 . 2 = 18.
28) com os dígitos 1,2,3,4,5,6 quantos arranjos desses tomados 4 a 4 tem o digito 1 antes do 4?
Solução:
12!2!4
)!24(!4 ==
−
6x12=72
29) Com os algarismos 1,2,3,4,5,6 quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar?
Solução:
3 . 5 . 4 = 60. N°de pares
30) Com os dígitos 2,5,6,7 quantos números formados por três dígitos distintos ou não, são divisíveis por 5?
Solução:
4 . 4 . 1 = 16.
30) formados e dispostos em ordem crescente os números que obtém permutando-se os algarismos 2,3,4,8,9, que lugar ocupa o numero 43892?
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1 . 4 . 3 . 2 . 1 = 24 1 . 4 . 3 . 2 . 1 = 24 1 . 1 . 3 . 2 . 1 = 5 1 . 1 . 1 . 2 . 1 = 2 1 . 1 . 1 . 2 . 1 = 2
24+24+5+2+2 = 58°
31) Uma peça para ser fabricada deve passar por sete máquinas sendo que a operação de cada máquina independente das outras. De quantas formas, as máquinas podem ser dispostas para montar a peça?
Solução:
7!=7x6x5x4x3x2x1=5040
32) Com relação a palavra TEORIA:
a) quantos anagramas existem?
Solução:
6!=6x5x4x3x2x1=720.
b) quantos anagramas começam por T?
solução:
T . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 =120 Fixo
Ou
1.!1!5=120
c) Quantos anagramas começam e terminar por T e terminam com A?
Solução:
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T . 4 . 3 . 2 . 1 . A = 24 Fixo fixo
1. 24!1!4 =
d) Quantos anagramas começam por vogal?
Solução:
4 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 480Vogais
4. 480!1!5 =
e) Quantos anagramas têm vogais juntas?
Solução:
E . O . I . 3 . 2 . 1 = 12
3 . E . O . I . 2 . 1 = 12
3 . 2 . E . I . O . 1 = 12
3 . 2 . 1 . E . O . I = 12
Temos:
12x4=48 ao trocar as letras temos: 48x3=144.
Ou
3! . 144!1!4 =
33) Quantos anagramas da palavra FILTRO começam por consoantes?
Solução:
4 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 480
Ou
4. 480!1!5 =
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34) Quantas palavras distintas podem formar com a palavra PERNAMBUCO? Quantas começam com a silaba PER?
Solução 1:
10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 10!
Solução 2:
P . E . R . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 7!
35) Quantos anagramas da palavra PASTEL começam e terminam por cosoantes?
Solução:
4 . 4 . 3 . 2 . 1 . 3 = 288
Ou
4.3. 288!1!4 =
36) De Quantas formas podemos colocar 8 torres num tabuleiro de xadrez de modo que nenhuma torre possa “comer” outras?
Solução:
8!=40320.
37) Em um “horário especial” um diretor de televisão dispõe de 7 intervalos para anúncios, de quantas formas o diretor poderá colocar os 7 intervalos destinados a eles?
Solução:
7!=5040.
38) De quantas formas 4 homens e 5 mulheres podem ficar em fila se:
a) Os homens devem ficar juntos.
Solução:
4! = 24 homem permutados entre si.
6! = 720 As mulheres e os homens com um só logo.
24x720 = 7280.
b) Os homens devem ficar juntos e as mulheres também?
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“Toda honra seja dada ao Eterno, Poderoso D-us”
Solução:
2! x 5! x 4! = 5760.||->mulheres como um só e homens como um só.
39) Temos 5 meninos e 5 meninas. De quantas formas eles podem ficar em fila se meninos e meninas ficam em posições alternadas?
Solução:
2.5!.5!=28800
40) De quantas formas 6 pessoas podem sentar-se numa fila de 6 cadeiras se duas delas (Geraldo e Francisco) se recusam sentar um ao lado do outro?
Solução:
1ª situação:
G . 4 . F . 3 . 2 . 1 =24 G . 4 . 3 . F . 2 . 1 =24 G . 4 . 3 . 2 . F . 1 =24 G . 4 . 3 . 2 . 1 . F =24
24.4.2 = 192 (2 por causa do inverso)
2ª situação;
4 . G . 3 . F . 2 . 1 =24 4 . G . 3 . 2 . F . 1 =24 G . G . 3 . 2 . 1 . F =24
24.3.2=144
3ª situação:
4 . 3 . G . 2 . F . 1 =24
24.2=48
Logo: 92+44+96+48=480 possibilidades.
41) temos numa estante 5 livros, dos quais 4 são de matemática. De quantas formas podemos coloca-los em ordem na estante, de modo que os livros de matemática fiquem sempre juntos?
Solução;
4!.12!
42) De quantas formas 12 crianças podem formar uma roda?
Solução:
!11!12
!11.12!12!12 ==
43) Quantos colares podem formar usando quatro contas, todas diferentes?Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut:
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Solução:
61.2.3!4!3.4 ==
44) Obter m sabendo-se que :42,
3, =m
m
AA
Solução:
( ) ( )( ) 4
12.1. =
−−−
mmmmm
m-2=4m=6.
45) Resolva a equação: :303, mAm =Solução:M(m-1).(m-2) = 30m
46) Obter m na equação (m+2)!=72m!
Solução:
(m+2).(m+2-1).(m+2-2)(m+2-3)...(m+2)(m+1)m(m-1)...=72m(m-1).(m-2)...
(m+2)(m+1)=72
17
2892809
07037233
2
2
±=∆
=∆+=∆
=−+
=++
mmmm
47) Obter todas as combinações do elemento de M={7,8,9,0} tomados de dois a dois:
Solução:
6!2!22.3.4
!2!.2!4
)!24(!2!4
2,4 ===−
=C
48) Sabendo-se que 21,8
2,8 =+
+
p
p
CC
determine o valor de P.
Solução:
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11121
11290283
30232
2
±=∆=∆
+=∆=−−
=+−
mmmm
102
173
72
1732
173
2
1
−=−−=
=+−=
±−=
m
m
m
valenaomm
m
< =−==
±=
47
2113
2
1
2
133
742427
)2(27
227
2)!6).(2()!6).(7(
2)!6).(2(
)!7(
)!6)!.(1.().1).(2()!7)!.(1.().1( =
=−=−
−=−−+=+−
+=+−
=+
+−
=+−++−+−
=+−+
+−
+−−+++−−+
pp
pppppp
pp
pppp
ppp
ppppppppp2
1,8
2,8 =+
+
p
p
CC
2)!6)(2()!7)(2(
2!8
)!7)(2()!6)(2(
!8
2)!7)(1(
!8)!6)(2(
!8
)!7)(1(!8
)!6()!2(!8
)!6()!2(!8
)]!2(8)[2(!8
1,8
2,8
=+−++−+
=+−+⋅+−+
=
+−+
÷
+−+
+−+=
+−+=
+−+=
+−+=
+
+
pppp
pppp
pppp
ppppC
ppppC
p
p
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48) Calcule p, sabendo-se que pmpm CA ,, = m∀ e .0 mp ≤≤
Solução:
)!(!!
)!(!
pmpm
pmm
−=
−
!1
11
p=
P!=1; P=1 ou P=0
49) Calcule 3,mA sabendo-se que .843, =mC
Solução:
)2).(1(3, −−= mmmAm
84)!3(!3
!3, =
−=
mmCm
504
504)2)(1(
84)!4)(3(6
)!4)(3)(2)(1(
3, =
=−−
=−−
−−−−
mA
mmm
mmmmmmm
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( ) 270725!48!4
!52!452!4
!52 ==−
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50) Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?
Solução:
15! => permutação entre as questões;
10! =. Permutação entre as questões escolhidas.
Então devemos combinar;
3003!5!15
)!1015(!10!15 ==−
51) De um baralho de 52 cartas, são extraídas 4 cartas sucessivamente e sem reposição. Qual o numero de resultados possíveis, se não levarmos em conta a ordem das cartas extraídas?
Solução:
52! => permutação entre as cartas.
4! => permutação entre as quatro cartas extraídas.
52) Em uma reunião social, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo 45 apertos de mão. Quantas pessoas havia na reunião.
Solução:
foraestán
nnn
nn
nnnn
nn
< =−=
==−−
=−
=−
−−
=−
9
10090
90)1(
45)!2.(1.2
)!2)(1(
45)!2(!2
!
2
1
2
53) Quantos produtos podemos obter se tomarmos 3 fatores distintos escolhidos 2,3,5,7 e 11?Solução:
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5! => Permutação dos 5 elementos do conjunto.
3! => Permutação entre os 3 fatores. 10
!2!3!5
)!35(!3!5 ==−
54) Um grupo tem 10 pessoas. Quantas comissões de no mínimo 4 pessoas podem ser formada com as disponíveis? R: 848
Solução:
O mínimo de pessoas por comissão são 4 pessoas, não tendo máximo, logo temos:
210!4!6!10
)!610(!6!10
252!5!5!10
)!510(!5!10
210!6!4!10
)!410(!4!10
==−
==−
==−
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1!0!10
!10)!1010(!10
!10
10!1!9!10
)!110(!9!10
45!2!8!10
)!810(!8!10
120!3!7!10
)!710(!7!10
==−
==−
==−
==− 11045120210252210
:,++++++
entaotemos