• Conteúdo:

• Sistemas Fuzzy

• Fuzzifier

• Inferência

• Regras

• Máquina de Inferência

• Defuzzifier

Sistemas fuzzy

• A inferência fuzzy é um paradigma computacional baseado na Teoria de conjuntos fuzzy, regras de inferência “se-então” e raciocínio fuzzy.

• Há diferentes nomes: sistemas fuzzy baseado em regras, modelo fuzzy, memória associativa fuzzy, controle fuzzy e sistema fuzzy.

• O sistema fuzzy é um sistema não-linear, pois, para entradas e saídas crisp, implementa um mapeamento não linear do espaço de entrada ao espaço de saída.

Sistemas fuzzy

• Estrutura:

– A base de regras: as regras são construídas em base ao conhecimento do especialista e/ou extraído de dados históricos.

– A base de dados: formada pelas funções de pertinência que serão usadas nas regras. Essas funções podem ser construídas através de procedimentos experimentais, estatísticos, conceituais, entre outros.

Sistemas fuzzy

• Estrutura:

– A máquina de inferência: encarregada de realizar a inferência, isto é, derivar a conclusão a partir dos dados de entrada e das regras.

Sistemas fuzzy

Base de Regras

Máquina de Inferência

Fuzzifier Defuzzifier Entradas precisas

Saída precisa

Números fuzzy de entrada

Números fuzzy de saída

•Mapeia fuzzy sets em fuzzy sets •Determina como as regras são ativadas

Base de Dados

Base de Dados

Fornecida por especialistas ou extraídas de dados numéricos

Sistemas fuzzy: Fuzzifier

• Mapeia números precisos (crisp) de entrada em números fuzzy através de funções de pertinência que representam conjuntos fuzzy.

• As funções de pertinência podem ser representados por funções do tipo impulso, triangular, trapezoidal, etc.

Sistemas fuzzy: Fuzzifier

A função de pertinência define ao conjunto fuzzy e transforma as entradas precisas (“crisp”) de seu domínio a graus de pertinência de um dado conjunto fuzzy.

Universo de discurso

Entradas precisas 18 30 40 20 28 8 oC 0

1 frio morno quente Etiquetas

graus de pertinência

10

0,4

Temperatura Variável linguística

Sistemas fuzzy: Inferência

• Diagrama de blocos de um sistema de inferência fuzzy. • Regras são expressas como implicações lógicas:

𝑆𝑒 𝑢 é 𝐴 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑣 𝑒 𝑉

• Regras representam a relação entre 𝐴 e 𝑉, cuja função de pertinência é:

𝜇𝐴→𝐵 𝑢, 𝑣 =? ?

Sistemas fuzzy: Regras

• O isomorfismo entre a Álgebra booleana, Teoria dos

Conjuntos e a Lógica proposicional garante que cada teorema em qualquer dessas teoria tenha um teorema equivalente em cada uma das outras duas teorias.

Lógica Teoria de Conjuntos

∧ ∩

∨ ∪

¬

Lógica Álgebra booleana

𝑉 1

𝐹 0

∧ X

∨ +

↔ =

𝑝, 𝑞, 𝑟 … . 𝑎, 𝑏, 𝑐, …

Sistemas fuzzy: Regras

Tautologias importantes

𝑝 → 𝑞 ↔ ¬ 𝑝 ∧ ¬𝑞

𝜇𝑝→𝑞 𝑥, 𝑦 = 1 − 𝜇𝑝∩𝑞 𝑥, 𝑦

𝜇𝑝→𝑞 𝑥, 𝑦 = 1 −mín [𝜇𝑝 𝑥 , 1 − 𝜇𝑞 𝑦 ]

𝜇𝑝→𝑞 𝑥, 𝑦 = 1 − 𝜇𝑝 𝑥 ∙ [1 − 𝜇𝑞 𝑦 ]

𝑝 → 𝑞 ↔ ¬ (¬𝑝) ∨ 𝑞

𝜇𝑝→𝑞 𝑥, 𝑦 = 𝜇𝑝 ∪𝑞 𝑥, 𝑦

𝜇𝑝→𝑞 𝑥, 𝑦 =máx [1 − 𝜇𝑝 𝑥 , 𝜇𝑞 𝑦 ]

𝜇𝑝→𝑞 𝑥, 𝑦 = 𝑚í𝑛[1,1 − 𝜇𝑝 𝑥 + 𝜇𝑞 𝑦 ]

Sistemas fuzzy: Regras

• Modus Ponens Clássico

• Modus Ponens Generalizado

Premissa 1: 𝑥 é 𝐴 Premissa 2: Se 𝑥 é 𝐴 então 𝑦 é 𝐵 Conclusão: 𝑦 é 𝐵

[ 𝑝 ∧ (𝑝 → 𝑞 ] →q

Premissa 1: 𝑥 é 𝐴∗ Premissa 2: Se 𝑥 é 𝐴 então 𝑦 é 𝐵 Conclusão: 𝑦 é 𝐵∗ 𝐴∗ e 𝐵∗não são necessariamente iguais a 𝐴 e 𝐵 respectivamente.

Sistemas fuzzy: Regras Exemplo:

“Se homem é Baixo, então homem não é bom profissional de basquete”

Entrada: homem é abaixo de 1,6m = A* Conclusão: Homem é péssimo profissional = B* • Lógica crisp: a regra somente é disparada se a premissa 1 for

exatamente igual ao antecedente, a resposta é o próprio consequente.

• Lógica fuzzy a regra é disparada desde que exista um grau de similaridade diferente de zero entre a premissa 1 e o antecedente, a resposta é o consequente com um grau de similaridade diferente de zero com o consequente da regra.

A B

Sistemas fuzzy: Regras

Interpretação do Modus Ponens Generalizado

Sistemas fuzzy: Regras

Interpretação do Modus Ponens Generalizado • O Modus Ponens generalizado é uma composição

fuzzy, onde a primeira relação fuzzy é apenas um conjunto fuzzy e a segunda relação é a relação de implicação.

Sistemas fuzzy: Regras

Interpretação do Modus Ponens Generalizado

Sistemas fuzzy: Regras

Exemplo: Suponha que 𝜇𝐴∗ 𝑥 = 1 para 𝑥 = 𝑥′ e 𝜇𝐴∗ 𝑥 = 0 para 𝑥 ≠ 𝑥′ , com 𝑥 ∈ 𝑈.

𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝑠𝑢𝑝

𝑥∈𝐴∗[𝜇𝐴∗ 𝑥 ⋆ 𝜇𝐴→𝐵 𝑥, 𝑦 ]

𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝜇𝐴∗ 𝑥′ ⋆ 𝜇𝐴→𝐵 𝑥′, 𝑦

𝜇𝐵∗ 𝑦 = 1 ⋆ 𝜇𝐴→𝐵 𝑥′, 𝑦

𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝑚í𝑛[1, 𝜇𝐴→𝐵 𝑥′, 𝑦 ]

𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝜇𝐴→𝐵 𝑥′, 𝑦

𝜇𝐵∗ 𝑦 = 1 −𝑚í𝑛[𝜇𝐴 𝑥′), 1 − 𝜇𝐵(𝑦 ]

A operação sup é desnecessária pois, 𝜇𝐴 𝑥 ≠ 0 apenas no ponto 𝑥′.

⋆ usa o operador mín.

usa 𝜇𝑝→𝑞 𝑥, 𝑦

Sistemas fuzzy: Regras

Exemplo (continuação): Interpretação gráfica, tem-se em (a) a função de pertinência do consequente 𝜇𝐵 𝑦 , em (b) 𝜇𝐵 (𝑦) , 𝜇𝐴(𝑥

′) e 𝑚í𝑛[𝜇𝐴 𝑥′ , 1 − 𝜇𝐵 𝑦 ], em (c) o resultado final 𝜇𝐵∗ 𝑦 .

O resultado, mostrado em (c), é inadequado para aplicações em engenharia. O resultado nos diz que dada uma entrada específica 𝑥 = 𝑥′, o resultado de disparar uma regra específica, cujo consequente esta associado com o conjunto fuzzy de suporte finito 𝜇𝐵 𝑦 (a), é um conjunto fuzzy de suporte infinito 𝜇𝐵∗ 𝑦 (c).

Sistemas fuzzy: Regras

Implicações Fuzzy: Mamdani

• Para evitar o resultado inadequado ou perturbador de

𝜇𝐴→𝐵 𝑥, 𝑦 = 1 −𝑚í𝑛[𝜇𝐴 𝑥), 1 − 𝜇𝐵(𝑦 ] Mamdani propõe a Implicação mínima :

𝜇𝐴→𝐵 𝑥, 𝑦 =mín [𝜇𝐴 𝑥 , 𝜇𝐵 𝑦 ]

• Posteriormente, Larsen, propõe a implicação produto:

𝜇𝐴→𝐵 𝑥, 𝑦 = 𝜇𝐴 𝑥 ∙ 𝜇𝐵 𝑦

Sistemas fuzzy: Regras

Exemplo: Suponha que 𝜇𝐴∗ 𝑥 = 1 para 𝑥 = 𝑥′ e 𝜇𝐴∗ 𝑥 = 0 para 𝑥 ≠ 𝑥′ , com 𝑥 ∈ 𝑈.

𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝑠𝑢𝑝

𝑥∈𝐴∗[𝜇𝐴∗ 𝑥 ⋆ 𝜇𝐴→𝐵 𝑥, 𝑦 ]

𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝜇𝐴∗ 𝑥′ ⋆ 𝜇𝐴→𝐵 𝑥′, 𝑦

𝜇𝐵∗ 𝑦 = 1 ⋆ 𝜇𝐴→𝐵 𝑥′, 𝑦

𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝑚í𝑛[1, 𝜇𝐴→𝐵 𝑥′, 𝑦 ]

𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝜇𝐴→𝐵 𝑥′, 𝑦

𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝑚í𝑛[𝜇𝐴 𝑥′), 𝜇𝐵(𝑦 ]

Ou

𝜇𝐵∗ 𝑦 = 𝜇𝐴 𝑥′) ∙ 𝜇𝐵(𝑦

A operação sup é desnecessária pois, μA∗ x ≠ 0 apenas no ponto x′.

⋆ usa o operador mín.

usa implicação mín de Mamdani

usa implicação produto

Sistemas fuzzy: Regras

Exemplo (continuação): Interpretação gráfica, tem-se em (a) a

função de pertinência do consequente𝜇𝐵 𝑦 , em (b) a

implicação mínima: 𝑚í𝑛[𝜇𝐴 𝑥′ , 𝜇𝐵 𝑦 ], em (c) a implicação

produto 𝜇𝐴 𝑥′ ∙ 𝜇𝐵 𝑦 .

Com os métodos da implicação mínima e produto, o domínio

de saída permanece finito.

Sistemas fuzzy: Máquina de Inferência

Inferência Fuzzy de Mamdani

1. Obtenção dos números fuzzy das variáveis de entrada (fuzzifier).

2. Aplicar as regras de avaliação

3. Agregação das regras de saída

4. Obter o número crisp de saída (Defuzzifier)

Sistemas fuzzy: Máquina de Inferência

Exemplo: Mamdani – Passo 1 (Fuzzifier)

Sistemas fuzzy: Máquina de Inferência

Exemplo: Mamdani – Passo 2 (Avaliar regras)

Sistemas fuzzy: Máquina de Inferência

Exemplo: Mamdani – Passo 3 (Agregação)

Sistemas fuzzy: Defuzzifier

• Muitos defuzzifier foram propostos na literatura, não entanto, não há bases científicas para nenhum deles. Assim, defuzzification é um arte mais do que uma ciência.

• Dentre os defuzzier tem-se: Menor do máximo, Média do máximo, Centróide da área, Bissetriz da área, Maior do máximo.

Sistemas fuzzy: Defuzzifier

Sistemas fuzzy: Defuzzifier

• Devido ao interesse de aplicações em engenharia, a escolha de um defuzzifier é sua simplicidade computacional.

• Dentre os defuzzifier o mais popular é o método do centroide (COG)

Forma contínua 𝐶𝑂𝐺 = 𝜇𝐴 𝑥 𝑥𝑑𝑥𝑏𝑎

𝜇𝐴 𝑥 𝑑𝑥𝑏𝑎

Forma discreta 𝐶𝑂𝐺 = 𝜇𝐴 𝑥 𝑥𝑏𝑎

𝜇𝐴 𝑥𝑏𝑎

Sistemas fuzzy: Defuzzifier Exemplo: Mamdani – Passo 4 (defuzzifier)

𝐶𝑂𝐺 =0 + 10 + 20 × 0,1 + 30 + 40 + 50 + 60 × 0,2 + (70 + 80 + 100) × 0,5

0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5

𝐶𝑂𝐺 = 67,4

Sistemas fuzzy: Máquina de Inferência

Inferência Fuzzy de Sugeno

• A inferência de Mamdani requer determinar o COG de uma área em duas dimensões pela integração de uma função contínua, e, esta tarefa não é computacionalmente eficiente.

• Sugeno utiliza a função impulso (singleton) como consequente da regra . A função impulso existe em um único ponto e tem valor unitário. Facilitando o processo do defuzzifier.

Sistemas fuzzy: Máquina de Inferência

Exemplo: Inferência Sugeno – Avaliar regras

Sistemas fuzzy: Máquina de Inferência

Exemplo: Inferência Sugeno – Agregação de regras

Sistemas fuzzy: Máquina de Inferência

Exemplo: Inferência Sugeno – Defuzzifier

𝑍 =𝜇 𝑘1 × 𝑘1 + 𝜇 𝑘2 × 𝑘2+ 𝜇 𝑘3 × 𝑘3

𝜇 𝑘1 + 𝜇 𝑘2 + 𝜇 𝑘3

𝑍 =0,1 × 20 + 0,2 × 50+0,5 × 80

0,1 + 0,2+0,5 = 65

65

Sistema Fuzzy • Exemplo: Controle do tempo de regar usando como entradas a

temperatura e a umidade do solo.

TEMPERATURA

UMIDADE

38 60 100 40 62 % 0

1 seco norma

l

úmido mU

0,1

0,3

38,5%

18 30 40 20 28 8 oC 0

1 frio normal quente mT

0,6

0,3

29,5oC

Base de dados: Funções de pertinência para Temperatura e Umidade. Passo 1: Fuzzifier, transforma números crisp em números fuzzy usando as funções de pertinência

Sistema Fuzzy

Umidade

Seco Normal Úmido

Frio Médio Médio Curto

Normal Médio Médio Curto

Quente Longo Médio Curto

Tem

pe

ratu

ra

Regras do sistema: Fuzzy Associative Memory (FAM) Passo 2: Regras a serem disparadas (ativadas) para avaliação

Exemplo: Continuação

Sistema Fuzzy

• Se T normal (0,3) E U seco (0,3) então R médio (0,3)

• Se T normal (0,3) E U normal (0,1) então R médio (0,1)

• Se T quente (0,6) E U seco (0,3) então R longo (0,3)

• Se T quente (0,6) E U normal (0,1) então R médio (0,1)

Usa o mínimo grau de pertinência no operador E

Usa o máximo grau de pertinência entre dois consequentes iguais

Resposta: R médio com 0,3 e R longo com 0,3.

Passo 2: Continuação Avaliação das Regras

Passo 3: Agregação das Regras

Exemplo: Continuação

Sistema Fuzzy

t = (0,3*6 + 0,3*10) = 8 h

(0,3+0,3)

2 10 6 t (h) 0

1 curto médio longo mt

0,3

Base de dados: Funções de pertinência para Tempo de regar. Passo 4: Fuzzifier, transforma números fuzzy em números crisp usando o Método Sugeno

Exemplo: Continuação

Sistema Fuzzy

Regras

Máquina de Inferência

Fuzzifier Defuzzifier

Entradas crisp

Saída crisp

29,5oC

38,5%

Se T normal (0,3) E U seco (0,3) então R médio (0,3) Se T normal (0,3) E U normal (0,1) então R médio (0,1) Se T quente (0,6) E U seco (0,3) então R longo (0,3) Se T quente (0,6) E U normal (0,1) então R médio (0,1)

8 h

Umidade

S N Ú

Frio Mo M C

Normal Mo M C

Quente L M C Tem

per

atu

ra

(0,3+0,3)

t = (0,3*6 + 0,3*10) = 8 h

Exemplo: Continuação