Argumento

Definição: Um argumento é uma sequência de enunciados(proposições) na qual um dos enunciados é a conclusão e os demais são premissas, as quais servem para provar ou, pelo menos, fornecer alguma evidência para a conclusão.

Argumento Válido

• Uma forma de argumento é válida se todas as suas instâncias (interpretações) são válidas (valor verdade verdadeiro), assim toda instância (interpretação) de um argumento válido é uma forma válida.

• Todo argumento válido é uma tautologia.

Argumento Válido

• Um argumento válido é aquele que é logicamente impossível que sua conclusão tenha valor verdade falso enquanto suas premissas tenham valor verdade verdadeiro.

𝑝1 , 𝑝2, 𝑝3, … … . 𝑝𝑛 ⊨ 𝑞

Se 𝑝1 = 𝑉 𝑒 𝑝2 = 𝑉 𝑒 𝑝3 = 𝑉 𝑒 … 𝑝𝑛 = 𝑉, a conclusão 𝑞 = 𝑉

• Para determinar se um argumento é válido usando tabela verdade, usa-se o conceito de linha crítica:

“Denomina-se linha crítica à linha da tabela verdade na qual todas as premissas são

verdadeiras, e, nesse caso deve-se verificar se a conclusão do argumento é verdadeira”

Argumento Válido

• A análise do “conclui-se que” ⊨ é feito com o operador → .

Observe a tabela verdade de 𝑝 → 𝑞

Argumento Válido

Se 𝑝 é verdade, 𝑞 tem que ser verdade para que 𝑝 → 𝑞 seja verdadeira

Se 𝑝 é verdade e 𝑞 é falso então 𝑝 → 𝑞 É falsa

Se 𝑝 é falsa então 𝑞 sendo verdadeira ou falsa sempre 𝑝 → 𝑞 será verdadeira

Se 𝑞 é falsa , 𝑝 tem que ser falsa para que 𝑝 → 𝑞 seja verdadeira

• Exemplo: Determinar a validade de (𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟 ), (¬𝑟) ⊨ (𝑝 ∨ 𝑞).

• Para todas as linhas críticas do argumento conclusão é verdadeira,

portanto o argumento é válido.

Argumento Válido

• Exemplo: Determinar a validade de 𝑝 → 𝑞 ∨ ¬𝑟 , 𝑞 → 𝑝 ∧ 𝑟 ⊨ (𝑝 → 𝑟).

• As linhas críticas são: 1 – 4 – 7 – 8, na linha 4 a conclusão é falsa, portanto o

argumento é inválido

Argumento Válido

• Exemplo: Determinar a validade de 𝑝 → 𝑞 , 𝑞 → 𝑟 , 𝑟 → 𝑝 ⊨ 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟.

• Não é necessário calcular todas as conclusões, apenas para as linhas críticas. • As linhas críticas são: 1 - 8, na linha 8 a conclusão é falsa, portanto o argumento é

inválido.

Argumento Válido

• Uma forma de argumento é inválida se pelo menos uma de suas instâncias(interpretações) é inválida (valor verdade falso).

Argumento Inválido

• Uma forma de argumento é uma contradição se todas suas instâncias (interpretações) são falsas, assim toda instância (interpretação) de um argumento contraditório é uma forma falsa.

• A contradição também é chamada de insatisfazível ou inconsistente.

Argumento Contraditório

• Se uma expressão assume o valor verdade verdadeiro em alguma instância (interpretação), é dita satisfazível, ou consistente.

– As tautologias são exemplos de expressões satisfazíveis.

• Uma expressão é uma tautologia se para toda instância (interpretação) o valor verdade é verdadeiro.

• Toda tautologia é satisfazível, mas, nem toda expressão satisfazível é uma tautologia.

Satisfazível e Tautologia

• Uma expressão é inválida se pelo menos uma de suas instâncias é inválida (valor verdade falso).

• Uma expressão é uma contradição se todas as suas instâncias (interpretações) são falsas.

• Toda contradição é inválida, mas, nem toda expressão inválida é contraditória.

Contraditória e Invalidade

• P implica semanticamente 𝑄 ou 𝑄 é uma consequência lógica de P, se, e somente se, para toda interpretação I, se I P = V, então I 𝑄 = 𝑉.

P ⊨ 𝑄

Seja: P = 𝑝 ∨ 𝑞 , (¬𝑝) e 𝑄 = 𝑞

𝑝 ∨ 𝑞 , (¬𝑝) ⊨ 𝑞

• Para toda interpretação onde “ 𝑝 ∨ 𝑞 , (¬𝑝)” é verdadeiro, "𝑞“ deve ser verdadeiro também.

Implicação semântica

• P equivale semanticamente 𝑄 se e somente se, para toda interpretação I, se I P = I 𝑄 .

Seja: P = (𝑝 → 𝑞) e 𝑄 = ¬𝑝 ∨ 𝑞 Para toda interpretação I: I P = I 𝑄 . Pode se verificar usando a tabela verdade com operador ↔

(𝑝 → 𝑞) ⟺ ¬𝑝 ∨ 𝑞

• Para todas as linhas da tabela as duas expressões mantém o mesmo valor verdade. Obtém-se uma tautologia sob operador ↔

• Isto significa que pode ser escrito de forma indistinta (𝑝 → 𝑞) ou ¬𝑝 ∨ 𝑞 pois elas expressam o mesmo raciocínio lógico.

• No contexto do português seriam sinônimos.

Equivalência semântica