PONTO PLANO E RETA

AULA 1

A geometria elementar, também conhecida como geometria Euclidiana é fundamentada praticamente e principalmente em três elementos geométricosaceitos sem demonstração. O Ponto, a Reta e o Plano.

CONCEITOS INICIAIS

. S

. N

REPRESENTADO POR: . A. B

PONTOS

RETAS

REPRESENTADAS POR: Reta rr u

OU POR:A

BH

I

𝑅𝐸𝑇𝐴 𝐴𝐵 RETA 𝐻𝐼

Reta u

O QUE É UMA RETA?

ELA É INFINITA DOS DOIS LADOSNÃO TEM ESPESSURA, E COMO SÃOFEITAS DE PONTOS, PODEMOS MEDIRA DISTANCIA ENTRE ELES.

Reta r

A

B

.........................................................................................................................

RETAInfinita em ambos os lados

Não tem inicio nem fimNão é possível medir seu tamanho

Representado com uma flecha de dois Sentidos

Ou uma letra minúscula

SEMIRRETATem um ponto inicial

É infinita apenas em um dos ladosNão é possível medir seu tamanho

Representado com uma flecha em cima

SEGMENTO DE RETAÉ a parte limitada de uma reta

Tem um ponto inicial e um ponto finalÉ possível medir seu tamanho

Representado por uma linha acima

.

.

A

B

Reta r Ou

Reta 𝐴𝐵

.

.

C

D

Semirreta 𝐶𝐷

.

.

E

F

.

.

E

F

Segmento 𝐸𝐹

PLANO

𝛼 𝛽

Plano ALFA

Principais axiomas e propriedades

1) Por um ponto passam infinitas retas:

. A

2) Por dois pontos distintos passam apenas uma única reta

..

A

B

3) Pontos colineares são pontos pertencentes a mesma reta

Prefixo Co vem de companhia, simultaneidade e lineares vem de linha, reta

. . .A B C

D.

A, B e C são colinearese D é colinear apenas com um dos pontos simultaneamente

4) Para determinarmos um plano é necessário no mínimo 3 pontos não colineares

. .

.

AB

C

3) Pontos colineares são pontos pertencentes a mesma reta

Prefixo Co vem de companhia, simultaneidade e lineares vem de linha, reta

. . .A B C

D.

A, B e C são colinearese D é colinear apenas com um dos pontos simultaneamente

4) Para determinarmos um plano é necessário no mínimo 3 pontos não colineares

. .

.

AB

C

3) Pontos colineares são pontos pertencentes a mesma reta

Prefixo Co vem de companhia, simultaneidade e lineares vem de linha, reta

. . .A B C

D.

A, B e C são colinearese D é colinear apenas com um dos pontos simultaneamente

4) Para determinarmos um plano é necessário no mínimo 3 pontos não colineares

. .

.

AB

C

3) Pontos colineares são pontos pertencentes a mesma reta

Prefixo Co vem de companhia, simultaneidade e lineares vem de linha, reta

. . .A B C

D.

A, B e C são colinearese D é colinear apenas com um dos pontos simultaneamente

4) Para determinarmos um plano é necessário no mínimo 3 pontos não colineares

. .

.

AB

C

3) Pontos colineares são pontos pertencentes a mesma reta

Prefixo Co vem de companhia, simultaneidade e lineares vem de linha, reta

. . .A B C

D.

A, B e C são colinearese D é colinear apenas com um dos pontos simultaneamente

4) Para determinarmos um plano é necessário no mínimo 3 pontos não colineares

. .

.

AB

C

Ponto Médio de um segmento de retaO Ponto médio de um segmento de reta,

nada mais é do que um ponto que divide o segmento de reta exatamente ao meio

Desta forma, o ponto médio forma dois segmentos simétricos

.A B

10 Cm

A 5 Cm C 5 Cm B

....

C é o ponto médio, pois divide 𝐴𝐵 exatamente ao meio,

criando 𝐴𝐶 𝑒 𝐶𝐵

A C. .5 Cm

. .C B

5 Cm

Posições relativas entre duas retas distintas

Dado duas retas r e s, elas podem ser:

a) Concorrentes se a sua interseção for um ponto b) Paralelas se são coplanares (mesmo plano) e não tem um ponto em comum c) Reversas se estão em planos distintos d) Coincidentes se possuem mais de um ponto em comum

OBS: O mesmo se aplica para posições relativas entre planos (excluindo o item C)

Fonte: http://denieziogomez.blogspot.com/2017/03/geometria-descritiva-posicoes-relativas.html

Planos coincidentes Planos paralelos Planos concorrentes

Fonte: https://slideplayer.com.br/slide/1826533/

ÂNGULOS

AULA 2

ÂNGULOS

Ângulo é a medida da abertura entre duas semirretas que possuem a mesma origem.

. .O A

B.

∝

Sendo as semirretas 𝑂𝐵 𝑒 𝑂𝐴 𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜E o ponto O o vértice do ânguloSendo o ângulo representado por AÔB ou alguma letra grega, neste caso ∝

A cada ângulo podemos associar um número, ou seja, uma medida. A

unidade de medida que vamos, inicialmente, utilizar para trabalhar é o Grau.

Classificação de um ângulo de acordo com a sua medida

1) Ângulo Nulo: é o ângulo formado por duas semirretas coincidentes e que não há abertura entre elas, ou seja, o ângulo é de 0º

. . .O A BAÔB = 0º

2) Ângulo Agudo: Ângulo cujo medida está entre 0º e 90º (Ou seja, maior que zero e menor que 90 graus)

O A

B

..

.∝

0º > AÔB > 90ºOU

0º > > 90º∝

3) Ângulo Reto: Ângulo que tem sua medida igual a 90º

A

BO. ..

.

AÔB = 90º

4) Ângulo Obtuso: Ângulo cuja medida é maior que 90º

A

B

O ...

∝ 90º > AÔB > 360º90º > > 360º∝

5) Ângulo Raso: Ângulo cujo medida é igual a 180º, é formado quando as semirretas são opostas. (também conhecido como meia volta)

. ..A O B

AÔB = 180º

Outras classificações importantes

Ângulos congruentes: Dois ângulos são congruentes quando possuem a mesma medida

𝜃𝛼

Os dois ângulos são congruentes se 𝛼 = 𝜃 ou se AÔB = CÔDPois apesar de serem visualmente diferentes, o que importa é o grau entre as semirretas E não sua posição ou direção

Ângulos adjacentes: São dois ângulos consecutivos que tem o mesmo vértice e possuem um dos lados em comum

. .

.

A B

. C

O

Os ângulos AÔB (Ou 𝜃) e BÔC (Ou 𝛼) são consecutivos pois possuem o mesmo vértice e tem a semirreta 𝑂𝐵 em comum

𝛼𝜃

Ângulos complementares: Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90º

O

B𝛼

𝛽

Como os ângulos AÔB (𝛼) e BÔC (𝛽) formam um ângulo de 90º, eles são ângulos complementaresOu seja, 𝛼 + 𝛽 = 90

Exemplo

𝛼 B

O

42º

Se 𝛼 é um ângulo complementar de 42º, quanto vale 𝛼?

𝛼 + 42 = 90𝛼 = 90 – 42𝛼 = 48

Ângulos suplementares: Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180º

𝛼

𝛽

Como os ângulos AÔB (𝛼) e AÔC (𝛽) formam um ângulo de 180º, eles são ângulos SuplementaresOu seja, 𝛼 + 𝛽 = 180

Por exemplo

32º

𝛼

Se 𝛼 é um ângulo suplementar de 32º, quanto vale 𝛼?

𝛼 + 32 = 180𝛼 = 180 − 32

𝛼 = 148

Bissetriz de um ângulo: Bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem no vértice desse ângulo

e que o divide em dois outros ângulos congruentes (iguais).

Ou seja, dado um ângulo CÔD qualquer, se a semirreta 𝑂𝐴 é 𝑢𝑚𝑎 𝑏𝑖𝑠𝑠𝑒𝑡𝑟𝑖𝑧

Então 𝑂𝐴 cortará o ângulo CÔD pela metade, criando dois novos ângulos iguais

. .O A

B.

Exemplo

C

3x

5x – 20º

Sabendo que 𝑂𝐶 é a bissetriz do ângulo AÔB, determine o X e o ângulo AÔB

Se 𝑂𝐶 é a bissetriz, então os ângulos BÔC e CÔA são congruentes (iguais)

Então3x = 5x – 2020 = 5x – 3x20 = 2x20/2 = x10 = x

Logo o ângulo BÔC = 3x

BÔC = 3 x 10BÔC = 30

O ângulo CÔA = 5x-20CÔA = 5 x 10 – 20CÔA = 50 – 20CÔA = 30

Dois ângulos são chamados opostos pelo vértice quando os lados de um ângulo são semirretas opostas aos

lados do outro. Dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes, ou seja, têm a mesma

medida.

Ângulos opostos pelo vértice:

O

𝛼

𝛽

Portanto α = 𝛽

Exemplo

5x - 10

20 - x

Dado os ângulos acima, sabendo que são opostos pelo vértice calcule o ângulo MÔD

O

Se são opostos pelo vértice, logo os ângulos MÔD e JÔC são iguais, portanto:

5x - 10 = 20 – x5x + x = 20 + 106x = 30X = 30/6X = 5

Então: MÔD = 5x – 10MÔD = 5 x 5 – 10MÔD = 25 – 10MÔD = 15º

TRIÂNGULOS

AULA 3

TRIÂNGULOS

Definição: Figura geométrica plana formada por três pontos não colineares, chamados vértices e a união das semirretas que unem esse três pontos. Em resumo, é uma figura de três lados e que possui três ângulos. A

B C

D

E FX Y

Z

Representado porTriangulo ABC

Ou Δ𝐴𝐵𝐶

Representado porTriangulo DEF

Ou Δ𝐷𝐸𝐹Representado porTriangulo ZXY

Ou Δ𝑍𝑋𝑌

Chamamos os pontos de vértices, os lados, de lados e os ângulos de ângulos internos

Classificação dos triângulos:

Quanto aos lados:

1) EQUILÁTERO: Se, e somente se, tiver os três lados congruentes (Iguais)(E consequentemente os três ângulos iguais)

𝛼

𝛼𝛼

Classificação dos triângulos:

Quanto aos lados:

1) EQUILÁTERO: Se, e somente se, tiver os três lados congruentes (Iguais)(E consequentemente os três ângulos iguais)

𝛼

𝛼𝛼

2) ISÓSCELES: Se, e somente se, tiver dois lados iguais, sendo o terceiro chamado de base. Os ângulos formados pela base com os lados

são iguais.

𝛼𝛼

𝛽

3) ESCALENO: Não possui nenhum lado igual (E consequentemente nenhum ângulo igual)

𝛼 𝛽

𝜃

Quanto aos ângulos:

Acutângulo: Possui três ângulos internos agudos

(ângulos agudos são ângulos menores que 90º)

Obtusângulo: Possui um ângulo interno obtuso

(Ângulo obtuso são ângulos maiores que

90º)

Retângulo: Formado por um ângulo interno

reto.(Ângulo reto é um ângulo igual a 90º)

Propriedades que relacionam os ângulos de um triangulo

1) A soma dos ângulos internos de um triangulo qualquer é igual a 180º

𝛼 𝛽

𝜃 Ou seja:𝛼 + 𝛽 + 𝜃 = 180º

2) A medida do ângulo externo de um triângulo qualquer é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes a ele

Na figura acima, x é um ângulo externo não adjacente aos ângulos A e C.Pela 2ª propriedade, temos

𝛽

𝛼

𝑋 = 𝛼 + 𝛽

3) O maior lado do triângulo se opõe (“está de frente”) ao maior ângulo e o menor lado se opõe ao menor ângulo;

.

30º70º

90º

Maior lado

3

54

Maior angulo

Menor angulo

𝛼

110º 155º

•Qual deve ser o valor da medida 𝛼 do ângulo externo do triângulo abaixo?

𝛼

110º 155º

•Qual deve ser o valor da medida 𝛼 do ângulo externo do triângulo abaixo?

Dica: OBSERVE ALEM DO TRIÂNGULOLEMBRE DAS AULAS PASSADASÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE SÃO....?

Temos 2 ângulos externos de cada lado, sabemos que o ângulo externo é a continuação do ângulo interno110º é a continuação do ângulo interno, que forma um ângulo raso (180)

Então 180 – 110 = 70º

70º

𝛼

110º 155º

•Qual deve ser o valor da medida 𝛼 do ângulo externo do triângulo abaixo?

Dica: OBSERVE ALEM DO TRIÂNGULOLEMBRE DAS AULAS PASSADASÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE SÃO....?

Temos 2 ângulos externos de cada lado, sabemos que o ângulo externo é a continuação do ângulo interno110º é a continuação do ângulo interno, que forma um ângulo raso (180)

Então 180 – 110 = 70º155º é a continuação do outro ângulo interno, que também forma um ângulo raso (180)

Então 180 – 155 = 25º

70º 25º

𝛼

110º 155º

•Qual deve ser o valor da medida 𝛼 do ângulo externo do triângulo abaixo?

Dica: OBSERVE ALEM DO TRIÂNGULOLEMBRE DAS AULAS PASSADASÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE SÃO....?

E sabemos que a soma dos ângulos internos de um triangulo é igual a 180ºEntão 25 + 70 + x = 180º

95 + x = 180X = 180 – 95

X = 85º

70º 25º

85º

𝛼

110º 155º

•Qual deve ser o valor da medida 𝛼 do ângulo externo do triângulo abaixo?

Dica: OBSERVE ALEM DO TRIÂNGULOLEMBRE DAS AULAS PASSADASÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE SÃO....?

E sabemos que a soma dos ângulos internos de um triangulo é igual a 180ºEntão 25 + 70 + x = 180º

95 + x = 180X = 180 – 95

X = 85º

70º 25º

85º

Vemos que estes dois ângulos são opostos pelo vértice, então tem a mesma medida

Logo 𝛼 = 85º