1

2.3.4. SISTEMAS EXCITADOS PELA BASE (OU SUPORTE)

Freqüentemente, máquinas são excitadas através de suas montagens elásticas, as quais podem ser modeladas por molas e amortecedores.

Um exemplo seria um sistema de suspensão de um automóvel excitado pela superfície de uma estrada.

Modelo de ¼ de Veículo com 1 GDL

2

Modelo de ½ Veículo com 2 GDL

Modelo de ½ Veículo com 4 GDL

3

Outros exemplos de sistemas com 1 GDL:

Para cada tipo de sistema abaixo, a Equação do movimento será diferente

4

Modelo de 1 GDL: Diagrama de Corpo Livre (supondo xy):

c x(t)

y(t)=Ysent

m

cF kF

)(

)(

yxkF

yxcF

k

c

m

kc

kyyckxxcxm

yxkyxcxm

FFxm kc

)()(

tkYtYckxxcxm sencos

Aplicando a 2a Lei de Newton:

Eq. do movimento

5

ou

)sen()()( 22 tkYYckxxcxm

sendo

k

carctg

A resposta em regime permanente é dada por:

)sen()( tXtx eb

sendo)sen()( tXtx eb

6

222

2

)2()1(

)2(1

rr

rYXeb

)sen()( tXtx eb

32

3

)2(1

2

rr

rarctg

222

2

)2()1(

)2(1

rr

r

Y

Xeb

Transmissibilidade de Deslocamento

tgtg1

tgtgtg

Amplitude da resposta

Ângulo de fase entre a excitação e a resposta

7

Gráfico Xeb/Y versus r e ângulo de fase () versus r

8

* Observações:

1) Na região de r 1 , Xeb/Y 1. A amplitude da massa é praticamente igual a da base

2) Na região de r 1 (região da ressonância), a amplitude da massa é controlada pelo amortecimento

3) Na região de r 1, Xeb/Y 0. A massa quase não se move.

4) Para r 2 Sempre Xeb Y

O amortecimento aumenta Xeb !!

9

31 21 2 3

1 2 3

22 2

n n nkk k

M M M

k k k

Exemplo Animado:

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Exercícios

1ª) Um oscilador harmônico possui massa igual a 2 kg e rigidez 4.500 N/m. O suporte do oscilador é colocado em um shaker, que vibra a 50 Hz com amplitude de 0,5 mm. Determinar a amplitude em metros da vibração resultante no oscilador.

Vibração Vertical

ShakerAmplificador de Potência

Gerador de Sinais

Oscilador harmônico (Sistema Massa-Mola)

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2ª) A suspensão de um automóvel pode ser representada pelo sistema mostrado na figura abaixo. O automóvel de massa 1200kg se desloca a uma velocidade de 100 km/h sobre uma estrada de seção longitudinal senoidal como ilustrado. Dados k=400kN/m, = 0,4, L = 4 m e Y = 8 cm, determinar a amplitude de vibração do automóvel.

12

3ª) Determine as equações do movimento do sistemas abaixo.

(a)

(b)

13

2.3.5. TRANSMISSIBILIDADE DE FORÇA

Devido à excitação pela base móvel

Da massa vibratória à base fixa

1. Transmissibilidade de Força Devido à Excitação pela Base

Estudamos o deslocamento da massa m devido ao deslocamento de sua base. Agora, iremos estudar qual a força transmitida à massa devido a este deslocamento harmônico da base.

x(t)

y(t)

F(t)

x(t)

A força transmitida para a massa principal é efetuada através da mola e do amortecedor. Então, a força transmitida à massa é a soma da força na mola e no amortecedor, ou seja:

m

m

c

c k

k

)()()( yxkyxctftr

14

)()()( tfyxkyxcxm tr Logo,

xmtftr )( )]sen([)(2

2 tX

dt

dmtf ebtr

2

22 )sen()(

n

nebtr tXmtf

)sen( )( 2 tXrktf ebtr

)sen()2()1(

)2(1 )(

222

22

t

rr

rYrktftr

Expressão da força transmitida da base à massa

)sen()( tFtf trtrou

15

Em que a amplitude da força transmitida é dada por:

222

22

)2()1(

)2(1

rr

rrkYFtr

Define-se então:

rftr T

rr

rr

kY

F

222

22

)2()1(

)2(1

Transmissibilidade de Força

(Da base móvel à massa principal)

16

Exercício

1ª) Uma máquina (máquina 1) causa o piso de uma fábrica oscilar

harmonicamente. Uma outra máquina (máquina 2) irá ser montada no

mesmo piso. O deslocamento do piso onde será montada esta segunda

máquina é medido ser y(t)=0,1sen(t) [cm]. Calcule a força máxima

transmitida à máquina 2 na ressonância se esta pesa 30.000 N e é

montada sobre isoladores de vibração cuja rigidez e coeficiente de

amortecimento equivalentes são 40.000 N/m e 900 Ns/m,

respectivamente.

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2. Transmissibilidade de Força da Massa Vibratória à Base Fixa

A força transmitida à base fixa é a força agindo através da mola e do amortecedor, ou seja:

)sen()( tXtx

tFtF sen)( 0

m

c k

)()()( txctkxtftr

)sen()( tXtx )cos()( tXtx

)cos()sen()( tXctkXtftr

)sen()()()( 22 tXckXtftr

Amplitude da força transmitida:22 )()( XckXFtr

22

222022 )(

)2()1(

/)(

ck

rr

kFckXFtr

18

222

20

)2()1(

)2(1

rr

rFFtr

rftr T

rr

r

F

F

222

2

0 )2()1(

)2(1

2

Transmissibilidade de Força (da massa principal à base fixa)

r > (2)1/2, há atenuação da força transmitida

r < (2)1/2, há ampliação da força transmitida

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Exercícios

1ª) Um equipamento de massa 3 kg opera a 500 rpm. Calcule

o valor da rigidez de seu isolador de modo que este transmita

à base apenas 5% da força gerada na massa do equipamento

(considere c=0)..

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2ª) Um motor operando a 1200 rpm aciona uma bomba que opera a 600 rpm. Os dois elementos são montados sobre uma base retangular comum com quatro isoladores de vibração, cada um localizado em uma das extremidades da base.

Uma vez que o motor é mais pesado que a bomba, a distribuição de carga é tal que os dois isoladores abaixo do motor suportam um peso de 200N cada um, enquanto que os dois abaixo da bomba suportam, cada um, um peso de 100N.

Calcule então o valor da rigidez de cada isolador, para que se obtenha uma eficiência de 80% no isolamento da vibração. Desprezar o amortecimento.