Aula 21

Integrais Duplas em Coordenadas Polares

Integrais Duplas em Coordenadas Polares

Coordenadas Polares

2 2 2 cos sen r x y x r y r

Retângulo Polar

Retângulo Polar

1i ir r r Logo a área de é dada por:ijR

Soma de Riemann

As coordenadas retangulares do centro sãoijR

Logo, a soma de Riemann típica será dada por:

*onde A = r ri i

* * * * ( cos , sen ). i j i jr r

* * * * * * * * *

1 1 1 1

( cos , sen ) ( cos , sen ) m n m n

i j i j i i j i j ii j i j

f r r A f r r r r

Integrais Duplas em Coordenadas Polares

onde

Mudança para Coordenadas Polares

Regra do Ponto MédioRegra do Ponto Médio

Mudança para Coordenadas Polares

Se é contínua no retângulo polar dado por

onde então

f

Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 1

Calcule onde é a

região no semiplano superior limitada pelos

círculos e

2 2 4.x y

2(3 4 ) ,R

x y dA R

2 2 1x y

Exemplo 1

1 2 e 0 ,r

Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 2

Determine o volume do sólido limitado pelo plano e pelo parabolóide

2 21 .z x y 0z

Exemplo 2

Exemplo 2

0 1 e 0 2 ,r

Regiões mais complicadas

Mudança para Coordenadas Polares

Regra do Ponto MédioRegra do Ponto Médio

Integral dupla em regiões mais complicadas

Se é contínua em uma região polar da forma

então

f

Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 3 Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 3

Use integral dupla para determinar a área

contida em um laço da rosácea de quatro

pétalas

cos 2 .r

Exemplo 3

Exemplo 3

Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 3 Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 4

Determine o volume do sólido que está

sob o parabolóide

e dentro do cilindro

2 2 2 .x y x

2 2 ,z x y

Exemplo 4

(ou 2cos )r

Exemplo 4

Exemplo 4