Post on 22-May-2020
Amostragem de Sinais
Prof. Juan Moises Mauricio Villanuevajmauricio@cear.ufpb.br
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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBAPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
Amostragem (Sampling)
• Para um sinal em tempo continuo x(t)
• Considera-se um trem de impulsos p(t), com período Ts
2
Ts
Amostragem (Sampling)
• O sinal amostrado se obtém da multiplicação do sinal x(t)com o trem de impulsos p(t)
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x(t) sinal em tempo continuop(t) função de amostragem (trem de impulsos)xp(t) sinal amostrado no tempo discreto
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Sinal no tempo continuo
Função de amostragem
Sinal amostrado no tempo discreto
2s
sT
Amostragem (Sampling)
1s
s
fT
Ts
Ts
• O sinal amostrado pode ser representado como um trem deimpulsos ponderados com período Ts
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( )p s sn
x t x nT t nT
Amostragem (Sampling)
Ts
• Considerando que o espectro de Fourier do sinal x(t) é:
Com frequência máxima de M
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Análise da Amostragem na Frequência
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Para analisar o que acontece com o produto no tempo e nafrequência, se deve utilizar as propriedades de convolução daTransformada de Fourier
Análise da Amostragem na Frequência
( )* ( ) ( ) ( )
1( ). ( ) ( )* ( )
2
F
F
x t p t X P
x t p t X P
• A transformada de Fourier de uma sequência de impulsos é:
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2( ) ( )F
sks
p t P kT
Análise da Amostragem na Frequência
Ts
2
sT
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Domínio do Tempo
( ) ( ) ( )
( )
( )
p
sn
p s sn
x t x t p t
p t t nT
x t x nT t nT
Domínio da Frequência
1( ) *
22
( )
1 2( ) *
2
1( )
p
sks
p sks
p sks
X X P
P kT
X X kT
X X kT
Sequência periódica
Análise da Amostragem na Frequência
• Ao realizar a amostragem do sinal x(t), o resultado nafrequência é equivalente a replicar o espectro original emmúltiplos da frequência de amostragem s
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Análise da Amostragem na Frequência
1( )
s
XT
1( )s
s
XT
1
( 2 )ss
XT
• O espectro do sinal amostrado xp(t) é representado porXp()
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( )p s sn
x t x nT t nT
Sequência Amostrada no Tempo
Sequência Amostrada na Frequência
Análise da Amostragem na Frequência
1( )p s
ks
X X kT
1( )
s
XT
1( )s
s
XT
1( 2 )s
s
XT
Ts
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Teorema da Amostragem
• Amostragem no dominio da frequência
2M s M
M s
M=Freq. Máxima
s=Freq. Amostragem
Condição para que não haja superposição de espectros
1
sT
2
sT
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Reconstrução do Sinal usando Filtros Analógicos
• Os filtros eletrônicos restringem o passo de alguns componentes de frequência.
( )( ) | ( ) | jH H e
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Reconstrução do Sinal usando Filtros Analógicos
A recuperação do espectro original X() pode serrealizada utilizando um filtro passa-baixa comfrequência de corte:
2S
c
Transf. Inversa de
Fourier
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• Se:
“Efeito Aliasing”
• Neste caso existe superposição entre os espectros repetidos de X()
2s M M
s M
Efeito Aliasing (Superposição de Espectros)
1
sT
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• Define-se o Teorema da Amostragem:
– Se x(t) é um sinal de largura de banda limitada, X()=0para ||>M.
– Então x(t) é unicamente determinada por suas amostras no domínio discreto x(nTs), se:
22 :s M s
s
comT
12 :s M s
s
f f com fT
Teorema da Amostragem
20
• Desta maneira, a partir da amostragem correta, é possívelreconstruir o sinal no tempo continuo a partir das amostrasdiscretas.
Teorema da Amostragem
Ts
2Ts 4Ts 6Ts 8Ts 10Ts 12Ts
nTs
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Teorema da Amostragem
• Desta maneira, a partir da amostragem correta, é possívelreconstruir o sinal no tempo continuo a partir das amostrasdiscretas.
nTs2Ts 4Ts 6Ts 8Ts 10Ts 12Ts
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Reconstrução de Sinais
• A reconstrução de sinais, é o procedimento de recuperaçãodo sinal analogico a partir das amostras do sinal.
• Este procedimento pode fazer uso de um filtro passa-baixo.
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Reconstrução de Sinais
• Primeiramente, o sinal discreto processado x(n) se converteem um trem de impulsos xs(t) cuja amplitude éproporcional à saída discreta x(n).
• Dois impulsos consecutivos são separados com um períodode amostragem Ts
• Finalmente, aplica-se um filtro analógico de reconstruçãopara a recuperação das amostras do sinal xs(t), obtendo-seo sinal recuperado.
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Reconstrução de Sinais
• Para um sinal x(t) com espectro
• A recuperação do sinal depende da frequência deamostragem escogida.
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Reconstrução de Sinais
• Caso 2: fs≥2fmax
A frequência de corte do filtro passa-baixo é definida por
2s
c
fB f
Conversor ADC – Tipo FLASH
• Está composto por uma tensão de referência,comparadores lógicos e uma unidade lógica.
• Por exemplo para um ADC de 2 bits
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Conversor ADC – Tipo FLASH
• Este conversor tem uma alta velocidade de conversão,devido a que todos os bits são aquiridos ao mesmo tempo
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Quantização
• A quantização é o processo de converter um nível de tensãoanalógico com precisão infinita a uma precisão finita.
• Por exemplo, se o processador digital tem 3-bits, asamplitudes podem ser convertidas em oito diferentesníveis.
• Um Quantizador Unipolar, trabalha com sinais de 0 volt auma tensão de referência positivo.
• Um Quantizador Bipolar, tem uma faixa de tensão desdeuma referência negativa a uma positiva.
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Quantización
xmax = valor máximo de tensão do sinal analógico xxmin = valor mínimo de tensão do sinal analógico xL = número de níveis de quantização#Bits = número de bits do conversor ADC = passo de quantização ou resolução do conversor ADCxq = níveis de quantizaçãoi = indica o índice correspondente do código binário
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max min
min
min
2
0,1,..., ( 1)
Bits
q
x xL
Lx x
i round
x x i i L
Erro de Quantização
• Quando o sinal de entrada x, se quantiza a xq, tem-se umerro de quantização definido como o erro de quantização:
• Limites do erro de quantização
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q qe x x
2 2qe
Erro de Quantização
• O erro de quantização tem uma distribuição uniformequando o é muito menor que a faixa dinâmica do sinalamostrado e com um número suficiente de amostras.
• Baseado na teoria de probabilidades e variáveis aleatórias,a potencia do ruído de quantização é dado por:
Em que: E(.) é o operador de média
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2
2
12qE e
Erro de Quantização
• A relação de potência sinal a ruído de quantização (SNR)
• Em decibelios
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2
2q
E xSNR
E e
10
2
10 102
10
10
10 10/12
10.79 20
dB
rmsdB
q
rmsdB
SNR Log SNR
E x xSNR Log Log
E e
xSNR Log
1 12 2
0 01 1
2 2
0 0
1( ) ( )
1( ) ( )
N N
n nN N
q qn n
x n x nN
SNRe n e n
N
Exemplo 2
• Para um ADC de 3-bit com intervalo de entrada de 0 a 5 volt
• Para o nível de tensão do sinal de entrada x=3,2 volt
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max min5 0
3 2 8
5 00,625
8
Bits
x x
Bits L
volt
min
3,2 0(5,12) 5
0,625
0 5 0,625 3,125
q
q
i round round
x x i
x volt
Exemplo 2
• Para a tensão x=3,2 volt o valor da tensão quantizado é
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3,125qx v
3,125 3,2
0,075
q q
q
q
e x x
e
e v
0,075 0,31252qe v
Limite do eq