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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Aula de Física II - Potencial Elétrico
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes
(lafernandes@iprj.uerj.br)
Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto Politécnico - IPRJ/UERJ
Departamento de Engenharia Mecânica e EnergiaGraduação em Engenharia Mecânica/Computação
17 de novembro de 2010
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br) Aula de Física II - Potencial Elétrico
Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Campos Conservativos
Seja um caminho qualquer C entre dois pontos P e Q, orientado de
P para Q. Logo, o trabalho exercido por uma força ~F ao longo
deste caminho é denido por:
W(C)P→Q =
Q∫P
~F ∗ ~dl (1)
onde o elemento de linha ~dl tem a orientação de C. Em particular,
se C é a trajetória descrita por uma partícula de massa m, com
velocidade ~v sob a ação de ~F , temos:
W(C)P→Q = T2 − T1 =
1
2m(~v22 − ~v21 ) (2)
Se ~F é uma força central, então (1) ca:
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Campos Conservativos
Seja um caminho qualquer C entre dois pontos P e Q, orientado de
P para Q. Logo, o trabalho exercido por uma força ~F ao longo
deste caminho é denido por:
W(C)P→Q =
Q∫P
~F ∗ ~dl (1)
onde o elemento de linha ~dl tem a orientação de C. Em particular,
se C é a trajetória descrita por uma partícula de massa m, com
velocidade ~v sob a ação de ~F , temos:
W(C)P→Q = T2 − T1 =
1
2m(~v22 − ~v21 ) (2)
Se ~F é uma força central, então (1) ca:
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Campos Conservativos
Seja um caminho qualquer C entre dois pontos P e Q, orientado de
P para Q. Logo, o trabalho exercido por uma força ~F ao longo
deste caminho é denido por:
W(C)P→Q =
Q∫P
~F ∗ ~dl (1)
onde o elemento de linha ~dl tem a orientação de C. Em particular,
se C é a trajetória descrita por uma partícula de massa m, com
velocidade ~v sob a ação de ~F , temos:
W(C)P→Q = T2 − T1 =
1
2m(~v22 − ~v21 ) (2)
Se ~F é uma força central, então (1) ca:
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br) Aula de Física II - Potencial Elétrico
Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Campos Conservativos
Seja um caminho qualquer C entre dois pontos P e Q, orientado de
P para Q. Logo, o trabalho exercido por uma força ~F ao longo
deste caminho é denido por:
W(C)P→Q =
Q∫P
~F ∗ ~dl (1)
onde o elemento de linha ~dl tem a orientação de C. Em particular,
se C é a trajetória descrita por uma partícula de massa m, com
velocidade ~v sob a ação de ~F , temos:
W(C)P→Q = T2 − T1 =
1
2m(~v22 − ~v21 ) (2)
Se ~F é uma força central, então (1) ca:
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Campos Conservativos
Seja um caminho qualquer C entre dois pontos P e Q, orientado de
P para Q. Logo, o trabalho exercido por uma força ~F ao longo
deste caminho é denido por:
W(C)P→Q =
Q∫P
~F ∗ ~dl (1)
onde o elemento de linha ~dl tem a orientação de C. Em particular,
se C é a trajetória descrita por uma partícula de massa m, com
velocidade ~v sob a ação de ~F , temos:
W(C)P→Q = T2 − T1 =
1
2m(~v22 − ~v21 ) (2)
Se ~F é uma força central, então (1) ca:
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ExemplosDipolos Elétricos
Campos Conservativos
Seja um caminho qualquer C entre dois pontos P e Q, orientado de
P para Q. Logo, o trabalho exercido por uma força ~F ao longo
deste caminho é denido por:
W(C)P→Q =
Q∫P
~F ∗ ~dl (1)
onde o elemento de linha ~dl tem a orientação de C. Em particular,
se C é a trajetória descrita por uma partícula de massa m, com
velocidade ~v sob a ação de ~F , temos:
W(C)P→Q = T2 − T1 =
1
2m(~v22 − ~v21 ) (2)
Se ~F é uma força central, então (1) ca:Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br) Aula de Física II - Potencial Elétrico
Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
W(C)P→Q =
Q∫P
F (r)r ∗ ~dl =
r2∫r1
F (r)dr (3)
onde r é o versor da direção radial, com origem no centro de forças,
o que não depende do caminho C, e sim, dos pontos inicial e nal.
Podemos escrever:
r2∫r1
F (r)dr = −[U(r2)− U(r1)] (4)
onde U(r) ≡ −r∫r0
F (r ′)dr ′, com r0 arbitrariamente escolhido tal que
U = 0. Assim, (2) e (4) resultam em T1 + U1 = T2 + U2 = E , que
exprimem a conservação de energia do movimento, e a força dada
em (3) é dita conservativa.
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ExemplosDipolos Elétricos
W(C)P→Q =
Q∫P
F (r)r ∗ ~dl =
r2∫r1
F (r)dr (3)
onde r é o versor da direção radial, com origem no centro de forças,
o que não depende do caminho C, e sim, dos pontos inicial e nal.
Podemos escrever:
r2∫r1
F (r)dr = −[U(r2)− U(r1)] (4)
onde U(r) ≡ −r∫r0
F (r ′)dr ′, com r0 arbitrariamente escolhido tal que
U = 0. Assim, (2) e (4) resultam em T1 + U1 = T2 + U2 = E , que
exprimem a conservação de energia do movimento, e a força dada
em (3) é dita conservativa.
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ExemplosDipolos Elétricos
W(C)P→Q =
Q∫P
F (r)r ∗ ~dl =
r2∫r1
F (r)dr (3)
onde r é o versor da direção radial, com origem no centro de forças,
o que não depende do caminho C, e sim, dos pontos inicial e nal.
Podemos escrever:
r2∫r1
F (r)dr = −[U(r2)− U(r1)] (4)
onde U(r) ≡ −r∫r0
F (r ′)dr ′, com r0 arbitrariamente escolhido tal que
U = 0. Assim, (2) e (4) resultam em T1 + U1 = T2 + U2 = E , que
exprimem a conservação de energia do movimento, e a força dada
em (3) é dita conservativa.
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W(C)P→Q =
Q∫P
F (r)r ∗ ~dl =
r2∫r1
F (r)dr (3)
onde r é o versor da direção radial, com origem no centro de forças,
o que não depende do caminho C, e sim, dos pontos inicial e nal.
Podemos escrever:
r2∫r1
F (r)dr = −[U(r2)− U(r1)] (4)
onde U(r) ≡ −r∫r0
F (r ′)dr ′, com r0 arbitrariamente escolhido tal que
U = 0. Assim, (2) e (4) resultam em T1 + U1 = T2 + U2 = E , que
exprimem a conservação de energia do movimento, e a força dada
em (3) é dita conservativa.Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br) Aula de Física II - Potencial Elétrico
Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Por (1) e (4), podemos escrever:
~F ∗ ~dl = −dU = −(∂U
∂xdx +
∂U
∂ydy +
∂U
∂zdz
)(5)
o que também pode ser escrito como:
~F = −~∇U = −(∂U
∂xi +
∂U
∂yj +
∂U
∂zk
)(6)
O gradiente funciona como uma "derivada tridimensional"de uma
função escalar. Projetando-a sobre uma direção de versor s,
obtemos a derivada direcional na direção s:
∂U
∂s= s ∗ ~∇U (7)
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ExemplosDipolos Elétricos
Por (1) e (4), podemos escrever:
~F ∗ ~dl = −dU = −(∂U
∂xdx +
∂U
∂ydy +
∂U
∂zdz
)(5)
o que também pode ser escrito como:
~F = −~∇U = −(∂U
∂xi +
∂U
∂yj +
∂U
∂zk
)(6)
O gradiente funciona como uma "derivada tridimensional"de uma
função escalar. Projetando-a sobre uma direção de versor s,
obtemos a derivada direcional na direção s:
∂U
∂s= s ∗ ~∇U (7)
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ExemplosDipolos Elétricos
Por (1) e (4), podemos escrever:
~F ∗ ~dl = −dU = −(∂U
∂xdx +
∂U
∂ydy +
∂U
∂zdz
)(5)
o que também pode ser escrito como:
~F = −~∇U = −(∂U
∂xi +
∂U
∂yj +
∂U
∂zk
)(6)
O gradiente funciona como uma "derivada tridimensional"de uma
função escalar. Projetando-a sobre uma direção de versor s,
obtemos a derivada direcional na direção s:
∂U
∂s= s ∗ ~∇U (7)
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Por (1) e (4), podemos escrever:
~F ∗ ~dl = −dU = −(∂U
∂xdx +
∂U
∂ydy +
∂U
∂zdz
)(5)
o que também pode ser escrito como:
~F = −~∇U = −(∂U
∂xi +
∂U
∂yj +
∂U
∂zk
)(6)
O gradiente funciona como uma "derivada tridimensional"de uma
função escalar. Projetando-a sobre uma direção de versor s,
obtemos a derivada direcional na direção s:
∂U
∂s= s ∗ ~∇U (7)
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Por (1) e (4), podemos escrever:
~F ∗ ~dl = −dU = −(∂U
∂xdx +
∂U
∂ydy +
∂U
∂zdz
)(5)
o que também pode ser escrito como:
~F = −~∇U = −(∂U
∂xi +
∂U
∂yj +
∂U
∂zk
)(6)
O gradiente funciona como uma "derivada tridimensional"de uma
função escalar. Projetando-a sobre uma direção de versor s,
obtemos a derivada direcional na direção s:
∂U
∂s= s ∗ ~∇U (7)
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Por (1) e (4), podemos escrever:
~F ∗ ~dl = −dU = −(∂U
∂xdx +
∂U
∂ydy +
∂U
∂zdz
)(5)
o que também pode ser escrito como:
~F = −~∇U = −(∂U
∂xi +
∂U
∂yj +
∂U
∂zk
)(6)
O gradiente funciona como uma "derivada tridimensional"de uma
função escalar. Projetando-a sobre uma direção de versor s,
obtemos a derivada direcional na direção s:
∂U
∂s= s ∗ ~∇U (7)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Uma superfície em que U é constante é dita superfície
equipotencial. Se ~dl é um deslocamento sobre uma superfície
equipotencial, então:
dU = ~∇U ∗ ~dl = 0 (8)
Logo, as linhas de força de um campo conservativo são trajetórias
ortogonais das superfícies equipotenciais deste campo. Por
exemplo, para qualquer função que só dependa de r, f(r), a equação
(7) dá:
~∇ f (r) =df
drr (9)
Em particular, ~∇ r = r , que aponta na direção em que r cresce o
mais rapidamente possível (direção radial).
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ExemplosDipolos Elétricos
Uma superfície em que U é constante é dita superfície
equipotencial. Se ~dl é um deslocamento sobre uma superfície
equipotencial, então:
dU = ~∇U ∗ ~dl = 0 (8)
Logo, as linhas de força de um campo conservativo são trajetórias
ortogonais das superfícies equipotenciais deste campo. Por
exemplo, para qualquer função que só dependa de r, f(r), a equação
(7) dá:
~∇ f (r) =df
drr (9)
Em particular, ~∇ r = r , que aponta na direção em que r cresce o
mais rapidamente possível (direção radial).
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ExemplosDipolos Elétricos
Uma superfície em que U é constante é dita superfície
equipotencial. Se ~dl é um deslocamento sobre uma superfície
equipotencial, então:
dU = ~∇U ∗ ~dl = 0 (8)
Logo, as linhas de força de um campo conservativo são trajetórias
ortogonais das superfícies equipotenciais deste campo. Por
exemplo, para qualquer função que só dependa de r, f(r), a equação
(7) dá:
~∇ f (r) =df
drr (9)
Em particular, ~∇ r = r , que aponta na direção em que r cresce o
mais rapidamente possível (direção radial).
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ExemplosDipolos Elétricos
Uma superfície em que U é constante é dita superfície
equipotencial. Se ~dl é um deslocamento sobre uma superfície
equipotencial, então:
dU = ~∇U ∗ ~dl = 0 (8)
Logo, as linhas de força de um campo conservativo são trajetórias
ortogonais das superfícies equipotenciais deste campo. Por
exemplo, para qualquer função que só dependa de r, f(r), a equação
(7) dá:
~∇ f (r) =df
drr (9)
Em particular, ~∇ r = r , que aponta na direção em que r cresce o
mais rapidamente possível (direção radial).
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ExemplosDipolos Elétricos
Uma superfície em que U é constante é dita superfície
equipotencial. Se ~dl é um deslocamento sobre uma superfície
equipotencial, então:
dU = ~∇U ∗ ~dl = 0 (8)
Logo, as linhas de força de um campo conservativo são trajetórias
ortogonais das superfícies equipotenciais deste campo. Por
exemplo, para qualquer função que só dependa de r, f(r), a equação
(7) dá:
~∇ f (r) =df
drr (9)
Em particular, ~∇ r = r , que aponta na direção em que r cresce o
mais rapidamente possível (direção radial).
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
O Potencial Coulombiano
O campo devido a uma carga puntiforme q na origem é:
~E (~x) =1
4πε0
q
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (10)
O trabalho correspondente sobre a carga de prova, de P a Q, é
independente do caminho, e a equação (4) ca:
−Q∫
P
~E ∗ ~dl = V (Q)− V (P) (11)
o que dene, de forma geral, a diferença de potencial entre P e Q.
A unidade de medida do S.I. é o volt (1∨ ≡ 1J1C ).
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
O Potencial Coulombiano
O campo devido a uma carga puntiforme q na origem é:
~E (~x) =1
4πε0
q
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (10)
O trabalho correspondente sobre a carga de prova, de P a Q, é
independente do caminho, e a equação (4) ca:
−Q∫
P
~E ∗ ~dl = V (Q)− V (P) (11)
o que dene, de forma geral, a diferença de potencial entre P e Q.
A unidade de medida do S.I. é o volt (1∨ ≡ 1J1C ).
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ExemplosDipolos Elétricos
O Potencial Coulombiano
O campo devido a uma carga puntiforme q na origem é:
~E (~x) =1
4πε0
q
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (10)
O trabalho correspondente sobre a carga de prova, de P a Q, é
independente do caminho, e a equação (4) ca:
−Q∫
P
~E ∗ ~dl = V (Q)− V (P) (11)
o que dene, de forma geral, a diferença de potencial entre P e Q.
A unidade de medida do S.I. é o volt (1∨ ≡ 1J1C ).
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ExemplosDipolos Elétricos
O Potencial Coulombiano
O campo devido a uma carga puntiforme q na origem é:
~E (~x) =1
4πε0
q
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (10)
O trabalho correspondente sobre a carga de prova, de P a Q, é
independente do caminho, e a equação (4) ca:
−Q∫
P
~E ∗ ~dl = V (Q)− V (P) (11)
o que dene, de forma geral, a diferença de potencial entre P e Q.
A unidade de medida do S.I. é o volt (1∨ ≡ 1J1C ).
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ExemplosDipolos Elétricos
O Potencial Coulombiano
O campo devido a uma carga puntiforme q na origem é:
~E (~x) =1
4πε0
q
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (10)
O trabalho correspondente sobre a carga de prova, de P a Q, é
independente do caminho, e a equação (4) ca:
−Q∫
P
~E ∗ ~dl = V (Q)− V (P) (11)
o que dene, de forma geral, a diferença de potencial entre P e Q.
A unidade de medida do S.I. é o volt (1∨ ≡ 1J1C ).
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ExemplosDipolos Elétricos
O Potencial Coulombiano
O campo devido a uma carga puntiforme q na origem é:
~E (~x) =1
4πε0
q
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (10)
O trabalho correspondente sobre a carga de prova, de P a Q, é
independente do caminho, e a equação (4) ca:
−Q∫
P
~E ∗ ~dl = V (Q)− V (P) (11)
o que dene, de forma geral, a diferença de potencial entre P e Q.
A unidade de medida do S.I. é o volt (1∨ ≡ 1J1C ).
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ExemplosDipolos Elétricos
A equação (10) para uma carga puntiforme q na origem dá:
V (r2)− V (r1) = −r2∫
r1
E (r)dr = − q
4πε0
r2∫r1
dr
r2=
q
4πε0
(1
r2− 1
r1
)(12)
Convencionando V (∞) = 0, obtemos:
V (r) = −r∫∞
~E ∗ ~dl =q
4πε0r(13)
para o potencial coulombiano de uma carga puntiforme q na
origem. O análogo de (6) para uma carga de prova é:
~E = −~∇V =⇒ ~E (r) = −dV
drr (14)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
A equação (10) para uma carga puntiforme q na origem dá:
V (r2)− V (r1) = −r2∫
r1
E (r)dr = − q
4πε0
r2∫r1
dr
r2=
q
4πε0
(1
r2− 1
r1
)(12)
Convencionando V (∞) = 0, obtemos:
V (r) = −r∫∞
~E ∗ ~dl =q
4πε0r(13)
para o potencial coulombiano de uma carga puntiforme q na
origem. O análogo de (6) para uma carga de prova é:
~E = −~∇V =⇒ ~E (r) = −dV
drr (14)
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ExemplosDipolos Elétricos
A equação (10) para uma carga puntiforme q na origem dá:
V (r2)− V (r1) = −r2∫
r1
E (r)dr = − q
4πε0
r2∫r1
dr
r2=
q
4πε0
(1
r2− 1
r1
)(12)
Convencionando V (∞) = 0, obtemos:
V (r) = −r∫∞
~E ∗ ~dl =q
4πε0r(13)
para o potencial coulombiano de uma carga puntiforme q na
origem. O análogo de (6) para uma carga de prova é:
~E = −~∇V =⇒ ~E (r) = −dV
drr (14)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
A equação (10) para uma carga puntiforme q na origem dá:
V (r2)− V (r1) = −r2∫
r1
E (r)dr = − q
4πε0
r2∫r1
dr
r2=
q
4πε0
(1
r2− 1
r1
)(12)
Convencionando V (∞) = 0, obtemos:
V (r) = −r∫∞
~E ∗ ~dl =q
4πε0r(13)
para o potencial coulombiano de uma carga puntiforme q na
origem. O análogo de (6) para uma carga de prova é:
~E = −~∇V =⇒ ~E (r) = −dV
drr (14)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
A equação (10) para uma carga puntiforme q na origem dá:
V (r2)− V (r1) = −r2∫
r1
E (r)dr = − q
4πε0
r2∫r1
dr
r2=
q
4πε0
(1
r2− 1
r1
)(12)
Convencionando V (∞) = 0, obtemos:
V (r) = −r∫∞
~E ∗ ~dl =q
4πε0r(13)
para o potencial coulombiano de uma carga puntiforme q na
origem. O análogo de (6) para uma carga de prova é:
~E = −~∇V =⇒ ~E (r) = −dV
drr (14)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
A equação (10) para uma carga puntiforme q na origem dá:
V (r2)− V (r1) = −r2∫
r1
E (r)dr = − q
4πε0
r2∫r1
dr
r2=
q
4πε0
(1
r2− 1
r1
)(12)
Convencionando V (∞) = 0, obtemos:
V (r) = −r∫∞
~E ∗ ~dl =q
4πε0r(13)
para o potencial coulombiano de uma carga puntiforme q na
origem. O análogo de (6) para uma carga de prova é:
~E = −~∇V
=⇒ ~E (r) = −dV
drr (14)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
A equação (10) para uma carga puntiforme q na origem dá:
V (r2)− V (r1) = −r2∫
r1
E (r)dr = − q
4πε0
r2∫r1
dr
r2=
q
4πε0
(1
r2− 1
r1
)(12)
Convencionando V (∞) = 0, obtemos:
V (r) = −r∫∞
~E ∗ ~dl =q
4πε0r(13)
para o potencial coulombiano de uma carga puntiforme q na
origem. O análogo de (6) para uma carga de prova é:
~E = −~∇V =⇒
~E (r) = −dV
drr (14)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
A equação (10) para uma carga puntiforme q na origem dá:
V (r2)− V (r1) = −r2∫
r1
E (r)dr = − q
4πε0
r2∫r1
dr
r2=
q
4πε0
(1
r2− 1
r1
)(12)
Convencionando V (∞) = 0, obtemos:
V (r) = −r∫∞
~E ∗ ~dl =q
4πε0r(13)
para o potencial coulombiano de uma carga puntiforme q na
origem. O análogo de (6) para uma carga de prova é:
~E = −~∇V =⇒ ~E (r) = −dV
drr (14)
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ExemplosDipolos Elétricos
o que recupera o campo coulombiano de (13):
~E = − q
4πε0
d
dr
(1
r
)r =
q
4πε0r2r (15)
Pelo Princípio da Superposição, para um sistema de cargas
puntiformes, podemos escrever:
V (P) =∑j
qj
4πε0rj(16)
e para distribuições contínuas de cargas, este resultado se
generaliza para:
V (P) =1
4πε0
∫dq
r(17)
onde dq = λdl = σdS = ϕdV .
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ExemplosDipolos Elétricos
o que recupera o campo coulombiano de (13):
~E = − q
4πε0
d
dr
(1
r
)r =
q
4πε0r2r (15)
Pelo Princípio da Superposição, para um sistema de cargas
puntiformes, podemos escrever:
V (P) =∑j
qj
4πε0rj(16)
e para distribuições contínuas de cargas, este resultado se
generaliza para:
V (P) =1
4πε0
∫dq
r(17)
onde dq = λdl = σdS = ϕdV .
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ExemplosDipolos Elétricos
o que recupera o campo coulombiano de (13):
~E = − q
4πε0
d
dr
(1
r
)r =
q
4πε0r2r (15)
Pelo Princípio da Superposição, para um sistema de cargas
puntiformes, podemos escrever:
V (P) =∑j
qj
4πε0rj(16)
e para distribuições contínuas de cargas, este resultado se
generaliza para:
V (P) =1
4πε0
∫dq
r(17)
onde dq = λdl = σdS = ϕdV .
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ExemplosDipolos Elétricos
o que recupera o campo coulombiano de (13):
~E = − q
4πε0
d
dr
(1
r
)r =
q
4πε0r2r (15)
Pelo Princípio da Superposição, para um sistema de cargas
puntiformes, podemos escrever:
V (P) =∑j
qj
4πε0rj(16)
e para distribuições contínuas de cargas, este resultado se
generaliza para:
V (P) =1
4πε0
∫dq
r(17)
onde dq = λdl = σdS = ϕdV .
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ExemplosDipolos Elétricos
o que recupera o campo coulombiano de (13):
~E = − q
4πε0
d
dr
(1
r
)r =
q
4πε0r2r (15)
Pelo Princípio da Superposição, para um sistema de cargas
puntiformes, podemos escrever:
V (P) =∑j
qj
4πε0rj(16)
e para distribuições contínuas de cargas, este resultado se
generaliza para:
V (P) =1
4πε0
∫dq
r(17)
onde dq = λdl = σdS = ϕdV .
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ExemplosDipolos Elétricos
o que recupera o campo coulombiano de (13):
~E = − q
4πε0
d
dr
(1
r
)r =
q
4πε0r2r (15)
Pelo Princípio da Superposição, para um sistema de cargas
puntiformes, podemos escrever:
V (P) =∑j
qj
4πε0rj(16)
e para distribuições contínuas de cargas, este resultado se
generaliza para:
V (P) =1
4πε0
∫dq
r(17)
onde dq = λdl = σdS = ϕdV .
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ExemplosDipolos Elétricos
o que recupera o campo coulombiano de (13):
~E = − q
4πε0
d
dr
(1
r
)r =
q
4πε0r2r (15)
Pelo Princípio da Superposição, para um sistema de cargas
puntiformes, podemos escrever:
V (P) =∑j
qj
4πε0rj(16)
e para distribuições contínuas de cargas, este resultado se
generaliza para:
V (P) =1
4πε0
∫dq
r(17)
onde dq = λdl = σdS = ϕdV .
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Anel Uniformemente Carregado
Se Q é a carga total do anel, então:
V (P) =Q
4πε0r=
Q
4πε0(ρ2 + z2)12
(18)
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Anel Uniformemente Carregado
Se Q é a carga total do anel, então:
V (P) =Q
4πε0r=
Q
4πε0(ρ2 + z2)12
(18)
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Anel Uniformemente Carregado
Se Q é a carga total do anel, então:
V (P) =Q
4πε0r=
Q
4πε0(ρ2 + z2)12
(18)
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Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Anel Uniformemente Carregado
Se Q é a carga total do anel, então:
V (P) =Q
4πε0r=
Q
4πε0(ρ2 + z2)12
(18)
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Como:
~E = −~∇V = −dV
dzz (19)
obtemos, assim:
~E =Q
4πε0
z
(ρ2 + z2)32
z (20)
que é obtido de forma bem mais simples do que seria o cálculo
direto do campo. Observe que, para pontos muitos distantes do
anel, temos:
z >> ρ =⇒ ~E =Q
4πε0z2z (21)
resultado já obtido anteriormente.
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Como:~E = −~∇V = −dV
dzz (19)
obtemos, assim:
~E =Q
4πε0
z
(ρ2 + z2)32
z (20)
que é obtido de forma bem mais simples do que seria o cálculo
direto do campo. Observe que, para pontos muitos distantes do
anel, temos:
z >> ρ =⇒ ~E =Q
4πε0z2z (21)
resultado já obtido anteriormente.
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Como:~E = −~∇V = −dV
dzz (19)
obtemos, assim:
~E =Q
4πε0
z
(ρ2 + z2)32
z (20)
que é obtido de forma bem mais simples do que seria o cálculo
direto do campo. Observe que, para pontos muitos distantes do
anel, temos:
z >> ρ =⇒ ~E =Q
4πε0z2z (21)
resultado já obtido anteriormente.
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Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Como:~E = −~∇V = −dV
dzz (19)
obtemos, assim:
~E =Q
4πε0
z
(ρ2 + z2)32
z (20)
que é obtido de forma bem mais simples do que seria o cálculo
direto do campo. Observe que, para pontos muitos distantes do
anel, temos:
z >> ρ =⇒ ~E =Q
4πε0z2z (21)
resultado já obtido anteriormente.
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Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Como:~E = −~∇V = −dV
dzz (19)
obtemos, assim:
~E =Q
4πε0
z
(ρ2 + z2)32
z (20)
que é obtido de forma bem mais simples do que seria o cálculo
direto do campo. Observe que, para pontos muitos distantes do
anel, temos:
z >> ρ =⇒ ~E =Q
4πε0z2z (21)
resultado já obtido anteriormente.
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Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Como:~E = −~∇V = −dV
dzz (19)
obtemos, assim:
~E =Q
4πε0
z
(ρ2 + z2)32
z (20)
que é obtido de forma bem mais simples do que seria o cálculo
direto do campo. Observe que, para pontos muitos distantes do
anel, temos:
z >> ρ
=⇒ ~E =Q
4πε0z2z (21)
resultado já obtido anteriormente.
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Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Como:~E = −~∇V = −dV
dzz (19)
obtemos, assim:
~E =Q
4πε0
z
(ρ2 + z2)32
z (20)
que é obtido de forma bem mais simples do que seria o cálculo
direto do campo. Observe que, para pontos muitos distantes do
anel, temos:
z >> ρ =⇒
~E =Q
4πε0z2z (21)
resultado já obtido anteriormente.
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Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Como:~E = −~∇V = −dV
dzz (19)
obtemos, assim:
~E =Q
4πε0
z
(ρ2 + z2)32
z (20)
que é obtido de forma bem mais simples do que seria o cálculo
direto do campo. Observe que, para pontos muitos distantes do
anel, temos:
z >> ρ =⇒ ~E =Q
4πε0z2z (21)
resultado já obtido anteriormente.
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Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Como:~E = −~∇V = −dV
dzz (19)
obtemos, assim:
~E =Q
4πε0
z
(ρ2 + z2)32
z (20)
que é obtido de forma bem mais simples do que seria o cálculo
direto do campo. Observe que, para pontos muitos distantes do
anel, temos:
z >> ρ =⇒ ~E =Q
4πε0z2z (21)
resultado já obtido anteriormente.
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Disco Circular Uniformemente Carregado
Seja a o raio do disco e σ a densidade supercial de carga.
Podemos decompor o disco em anéis concêntricos de raio variável
ρ, largura innitesimal dρ e carga dQ = 2πσρ dρ. Assim:
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Disco Circular Uniformemente Carregado
Seja a o raio do disco e σ a densidade supercial de carga.
Podemos decompor o disco em anéis concêntricos de raio variável
ρ, largura innitesimal dρ e carga dQ = 2πσρ dρ. Assim:
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Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Disco Circular Uniformemente Carregado
Seja a o raio do disco e σ a densidade supercial de carga.
Podemos decompor o disco em anéis concêntricos de raio variável
ρ, largura innitesimal dρ e carga dQ = 2πσρ dρ. Assim:
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
V (z) =
∫dQ
4πε0(ρ2 + z2)12
=σ
2ε0
a∫0
ρ dρ
(ρ2 + z2)12
(22)
o que dá:
V (z) =σ
2ε0[(ρ2 + z2)
12 ]
∣∣∣∣∣a
0
=σ
2ε0[(a2 + z2)
12 − |z |] (23)
Agora, sabendo que:
d
dz|z | =
z
|z |=
+1 se z > 0
−1 se z < 0(24)
então:~E = −dV
dzz =
σ
2ε0
z
(a2 + z2)12
− z
|z |k (25)
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
V (z) =
∫dQ
4πε0(ρ2 + z2)12
=σ
2ε0
a∫0
ρ dρ
(ρ2 + z2)12
(22)
o que dá:
V (z) =σ
2ε0[(ρ2 + z2)
12 ]
∣∣∣∣∣a
0
=σ
2ε0[(a2 + z2)
12 − |z |] (23)
Agora, sabendo que:
d
dz|z | =
z
|z |=
+1 se z > 0
−1 se z < 0(24)
então:~E = −dV
dzz =
σ
2ε0
z
(a2 + z2)12
− z
|z |k (25)
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
V (z) =
∫dQ
4πε0(ρ2 + z2)12
=σ
2ε0
a∫0
ρ dρ
(ρ2 + z2)12
(22)
o que dá:
V (z) =σ
2ε0[(ρ2 + z2)
12 ]
∣∣∣∣∣a
0
=σ
2ε0[(a2 + z2)
12 − |z |] (23)
Agora, sabendo que:
d
dz|z | =
z
|z |=
+1 se z > 0
−1 se z < 0(24)
então:~E = −dV
dzz =
σ
2ε0
z
(a2 + z2)12
− z
|z |k (25)
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Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
V (z) =
∫dQ
4πε0(ρ2 + z2)12
=σ
2ε0
a∫0
ρ dρ
(ρ2 + z2)12
(22)
o que dá:
V (z) =σ
2ε0[(ρ2 + z2)
12 ]
∣∣∣∣∣a
0
=σ
2ε0[(a2 + z2)
12 − |z |] (23)
Agora, sabendo que:
d
dz|z | =
z
|z |=
+1 se z > 0
−1 se z < 0(24)
então:~E = −dV
dzz =
σ
2ε0
z
(a2 + z2)12
− z
|z |k (25)
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V (z) =
∫dQ
4πε0(ρ2 + z2)12
=σ
2ε0
a∫0
ρ dρ
(ρ2 + z2)12
(22)
o que dá:
V (z) =σ
2ε0[(ρ2 + z2)
12 ]
∣∣∣∣∣a
0
=σ
2ε0[(a2 + z2)
12 − |z |] (23)
Agora, sabendo que:
d
dz|z | =
z
|z |=
+1 se z > 0
−1 se z < 0(24)
então:~E = −dV
dzz =
σ
2ε0
z
(a2 + z2)12
− z
|z |k (25)
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Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
V (z) =
∫dQ
4πε0(ρ2 + z2)12
=σ
2ε0
a∫0
ρ dρ
(ρ2 + z2)12
(22)
o que dá:
V (z) =σ
2ε0[(ρ2 + z2)
12 ]
∣∣∣∣∣a
0
=σ
2ε0[(a2 + z2)
12 − |z |] (23)
Agora, sabendo que:
d
dz|z | =
z
|z |=
+1 se z > 0
−1 se z < 0(24)
então:~E = −dV
dzz =
σ
2ε0
z
(a2 + z2)12
− z
|z |k (25)
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
V (z) =
∫dQ
4πε0(ρ2 + z2)12
=σ
2ε0
a∫0
ρ dρ
(ρ2 + z2)12
(22)
o que dá:
V (z) =σ
2ε0[(ρ2 + z2)
12 ]
∣∣∣∣∣a
0
=σ
2ε0[(a2 + z2)
12 − |z |] (23)
Agora, sabendo que:
d
dz|z | =
z
|z |
=
+1 se z > 0
−1 se z < 0(24)
então:~E = −dV
dzz =
σ
2ε0
z
(a2 + z2)12
− z
|z |k (25)
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V (z) =
∫dQ
4πε0(ρ2 + z2)12
=σ
2ε0
a∫0
ρ dρ
(ρ2 + z2)12
(22)
o que dá:
V (z) =σ
2ε0[(ρ2 + z2)
12 ]
∣∣∣∣∣a
0
=σ
2ε0[(a2 + z2)
12 − |z |] (23)
Agora, sabendo que:
d
dz|z | =
z
|z |=
+1 se z > 0
−1 se z < 0(24)
então:~E = −dV
dzz =
σ
2ε0
z
(a2 + z2)12
− z
|z |k (25)
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V (z) =
∫dQ
4πε0(ρ2 + z2)12
=σ
2ε0
a∫0
ρ dρ
(ρ2 + z2)12
(22)
o que dá:
V (z) =σ
2ε0[(ρ2 + z2)
12 ]
∣∣∣∣∣a
0
=σ
2ε0[(a2 + z2)
12 − |z |] (23)
Agora, sabendo que:
d
dz|z | =
z
|z |=
+1 se z > 0
−1 se z < 0(24)
então:
~E = −dV
dzz =
σ
2ε0
z
(a2 + z2)12
− z
|z |k (25)
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
V (z) =
∫dQ
4πε0(ρ2 + z2)12
=σ
2ε0
a∫0
ρ dρ
(ρ2 + z2)12
(22)
o que dá:
V (z) =σ
2ε0[(ρ2 + z2)
12 ]
∣∣∣∣∣a
0
=σ
2ε0[(a2 + z2)
12 − |z |] (23)
Agora, sabendo que:
d
dz|z | =
z
|z |=
+1 se z > 0
−1 se z < 0(24)
então:~E = −dV
dzz =
σ
2ε0
z
(a2 + z2)12
− z
|z |k (25)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Cilindro Condutor Carregado
Vimos que nesse caso o campo é radial e vale:
~E =λ
2πε0ρr (26)
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Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Cilindro Condutor Carregado
Vimos que nesse caso o campo é radial e vale:
~E =λ
2πε0ρr (26)
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Cilindro Condutor Carregado
Vimos que nesse caso o campo é radial e vale:
~E =λ
2πε0ρr (26)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Cilindro Condutor Carregado
Vimos que nesse caso o campo é radial e vale:
~E =λ
2πε0ρr (26)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Logo:
V2 − V1 = −2∫
1
~E ∗ ~dl = − λ
2πε0
2∫1
dρ
ρ(27)
o que dá:
V2 − V1 =λ
2πε0[ln ρ]
∣∣∣∣∣2
1
=λ
2πε0ln
(ρ2ρ1
)(28)
Convencionando o nível zero do potencial em ρ = a, ou seja, V(a)
= 0, então:
V (ρ) = − λ
2πε0ln(ρa
)(29)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Logo:
V2 − V1 = −2∫
1
~E ∗ ~dl
= − λ
2πε0
2∫1
dρ
ρ(27)
o que dá:
V2 − V1 =λ
2πε0[ln ρ]
∣∣∣∣∣2
1
=λ
2πε0ln
(ρ2ρ1
)(28)
Convencionando o nível zero do potencial em ρ = a, ou seja, V(a)
= 0, então:
V (ρ) = − λ
2πε0ln(ρa
)(29)
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Logo:
V2 − V1 = −2∫
1
~E ∗ ~dl = − λ
2πε0
2∫1
dρ
ρ(27)
o que dá:
V2 − V1 =λ
2πε0[ln ρ]
∣∣∣∣∣2
1
=λ
2πε0ln
(ρ2ρ1
)(28)
Convencionando o nível zero do potencial em ρ = a, ou seja, V(a)
= 0, então:
V (ρ) = − λ
2πε0ln(ρa
)(29)
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Logo:
V2 − V1 = −2∫
1
~E ∗ ~dl = − λ
2πε0
2∫1
dρ
ρ(27)
o que dá:
V2 − V1 =λ
2πε0[ln ρ]
∣∣∣∣∣2
1
=λ
2πε0ln
(ρ2ρ1
)(28)
Convencionando o nível zero do potencial em ρ = a, ou seja, V(a)
= 0, então:
V (ρ) = − λ
2πε0ln(ρa
)(29)
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Logo:
V2 − V1 = −2∫
1
~E ∗ ~dl = − λ
2πε0
2∫1
dρ
ρ(27)
o que dá:
V2 − V1 =λ
2πε0[ln ρ]
∣∣∣∣∣2
1
=λ
2πε0ln
(ρ2ρ1
)(28)
Convencionando o nível zero do potencial em ρ = a, ou seja, V(a)
= 0, então:
V (ρ) = − λ
2πε0ln(ρa
)(29)
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Logo:
V2 − V1 = −2∫
1
~E ∗ ~dl = − λ
2πε0
2∫1
dρ
ρ(27)
o que dá:
V2 − V1 =λ
2πε0[ln ρ]
∣∣∣∣∣2
1
=λ
2πε0ln
(ρ2ρ1
)(28)
Convencionando o nível zero do potencial em ρ = a, ou seja, V(a)
= 0, então:
V (ρ) = − λ
2πε0ln(ρa
)(29)
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Logo:
V2 − V1 = −2∫
1
~E ∗ ~dl = − λ
2πε0
2∫1
dρ
ρ(27)
o que dá:
V2 − V1 =λ
2πε0[ln ρ]
∣∣∣∣∣2
1
=λ
2πε0ln
(ρ2ρ1
)(28)
Convencionando o nível zero do potencial em ρ = a, ou seja, V(a)
= 0, então:
V (ρ) = − λ
2πε0ln(ρa
)(29)
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Casca Esférica
A carga total da camada é dada por:
∆Q = 4πR2∆Rϕ = 4πR2σ (30)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Casca Esférica
A carga total da camada é dada por:
∆Q = 4πR2∆Rϕ = 4πR2σ (30)
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Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Casca Esférica
A carga total da camada é dada por:
∆Q = 4πR2∆Rϕ = 4πR2σ (30)
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Casca Esférica
A carga total da camada é dada por:
∆Q = 4πR2∆Rϕ = 4πR2σ (30)
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Novamente é mais simples calcular V a partir de ~E , já calculado
usando a Lei de Gauss:
~E =
∆Q4πε0r2
r se r > R
0 se r < R(31)
e podemos tomar o nível zero no innito, o que dá:
V (r) = −r∫∞
E (r ′)dr ′ =∆Q
4πε0r(r ≥ R) (32)
ou seja, fora da casca, como para o campo, o potencial é o mesmo
que se toda a carga estivesse concentrada no centro.
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Novamente é mais simples calcular V a partir de ~E , já calculado
usando a Lei de Gauss:
~E =
∆Q4πε0r2
r se r > R
0 se r < R(31)
e podemos tomar o nível zero no innito, o que dá:
V (r) = −r∫∞
E (r ′)dr ′ =∆Q
4πε0r(r ≥ R) (32)
ou seja, fora da casca, como para o campo, o potencial é o mesmo
que se toda a carga estivesse concentrada no centro.
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Novamente é mais simples calcular V a partir de ~E , já calculado
usando a Lei de Gauss:
~E =
∆Q4πε0r2
r se r > R
0 se r < R(31)
e podemos tomar o nível zero no innito, o que dá:
V (r) = −r∫∞
E (r ′)dr ′ =∆Q
4πε0r(r ≥ R) (32)
ou seja, fora da casca, como para o campo, o potencial é o mesmo
que se toda a carga estivesse concentrada no centro.
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Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Novamente é mais simples calcular V a partir de ~E , já calculado
usando a Lei de Gauss:
~E =
∆Q4πε0r2
r se r > R
0 se r < R(31)
e podemos tomar o nível zero no innito, o que dá:
V (r) = −r∫∞
E (r ′)dr ′ =∆Q
4πε0r(r ≥ R) (32)
ou seja, fora da casca, como para o campo, o potencial é o mesmo
que se toda a carga estivesse concentrada no centro.
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Novamente é mais simples calcular V a partir de ~E , já calculado
usando a Lei de Gauss:
~E =
∆Q4πε0r2
r se r > R
0 se r < R(31)
e podemos tomar o nível zero no innito, o que dá:
V (r) = −r∫∞
E (r ′)dr ′ =∆Q
4πε0r(r ≥ R) (32)
ou seja, fora da casca, como para o campo, o potencial é o mesmo
que se toda a carga estivesse concentrada no centro.
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ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Já para r < R , temos, como ~E = 0 dentro da casca:
V (~r) = −R∫∞
E (r ′)dr ′ =∆Q
4πε0R= V (R) (r ≤ R) (33)
ou seja, o potencial dentro da casca é constante e igual ao seu
valor na superfície dela. Gracamente, temos:
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Já para r < R , temos, como ~E = 0 dentro da casca:
V (~r) = −R∫∞
E (r ′)dr ′ =∆Q
4πε0R= V (R) (r ≤ R) (33)
ou seja, o potencial dentro da casca é constante e igual ao seu
valor na superfície dela. Gracamente, temos:
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Já para r < R , temos, como ~E = 0 dentro da casca:
V (~r) = −R∫∞
E (r ′)dr ′ =∆Q
4πε0R= V (R) (r ≤ R) (33)
ou seja, o potencial dentro da casca é constante e igual ao seu
valor na superfície dela. Gracamente, temos:
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Anel Uniformemente CarregadoDisco Circular Uniformemente CarregadoCilindro Condutor CarregadoCasca Esférica
Já para r < R , temos, como ~E = 0 dentro da casca:
V (~r) = −R∫∞
E (r ′)dr ′ =∆Q
4πε0R= V (R) (r ≤ R) (33)
ou seja, o potencial dentro da casca é constante e igual ao seu
valor na superfície dela. Gracamente, temos:
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Dipolos Elétricos
Um dipolo elétrico é um par de cargas de mesma magnitude e
sinais opostos, situadas em pontos diferentes.
Assim, temos que a garga total do dipolo é nula. Se ~l é o vetor de
posição da carga positiva em relação à negativa, então o vetor~p = q~l é dito momento de dipolo elétrico.
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Dipolos Elétricos
Um dipolo elétrico é um par de cargas de mesma magnitude e
sinais opostos, situadas em pontos diferentes.
Assim, temos que a garga total do dipolo é nula. Se ~l é o vetor de
posição da carga positiva em relação à negativa, então o vetor~p = q~l é dito momento de dipolo elétrico.
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br) Aula de Física II - Potencial Elétrico
Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Dipolos Elétricos
Um dipolo elétrico é um par de cargas de mesma magnitude e
sinais opostos, situadas em pontos diferentes.
Assim, temos que a garga total do dipolo é nula. Se ~l é o vetor de
posição da carga positiva em relação à negativa, então o vetor~p = q~l é dito momento de dipolo elétrico.
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Dipolos Elétricos
Um dipolo elétrico é um par de cargas de mesma magnitude e
sinais opostos, situadas em pontos diferentes.
Assim, temos que a garga total do dipolo é nula. Se ~l é o vetor de
posição da carga positiva em relação à negativa, então o vetor~p = q~l é dito momento de dipolo elétrico.
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br) Aula de Física II - Potencial Elétrico
Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
O potencial do dipolo num ponto P, então, é dado por:
V (~r) =q
4πε0
(1
r ′− 1
r
)(34)
Fazendo a aproximação:
r ′ = r−lcosθ =⇒ 1
r ′≈ 1
r(1− l
rcosθ
) ≈ 1
r
(1 +
l
rcosθ
)=
1
r+lcosθ
r2
(35)
Substituindo em (34), obtemos:
V (~r) =ql ∗ cosθ4πε0r2
=p ∗ cosθ4πε0r2
=~p ∗ r4πε0r2
=~p ∗~r4πε0r3
(36)
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br) Aula de Física II - Potencial Elétrico
Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
O potencial do dipolo num ponto P, então, é dado por:
V (~r) =q
4πε0
(1
r ′− 1
r
)(34)
Fazendo a aproximação:
r ′ = r−lcosθ =⇒ 1
r ′≈ 1
r(1− l
rcosθ
) ≈ 1
r
(1 +
l
rcosθ
)=
1
r+lcosθ
r2
(35)
Substituindo em (34), obtemos:
V (~r) =ql ∗ cosθ4πε0r2
=p ∗ cosθ4πε0r2
=~p ∗ r4πε0r2
=~p ∗~r4πε0r3
(36)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
O potencial do dipolo num ponto P, então, é dado por:
V (~r) =q
4πε0
(1
r ′− 1
r
)(34)
Fazendo a aproximação:
r ′ = r−lcosθ =⇒ 1
r ′≈ 1
r(1− l
rcosθ
) ≈ 1
r
(1 +
l
rcosθ
)=
1
r+lcosθ
r2
(35)
Substituindo em (34), obtemos:
V (~r) =ql ∗ cosθ4πε0r2
=p ∗ cosθ4πε0r2
=~p ∗ r4πε0r2
=~p ∗~r4πε0r3
(36)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
O potencial do dipolo num ponto P, então, é dado por:
V (~r) =q
4πε0
(1
r ′− 1
r
)(34)
Fazendo a aproximação:
r ′ = r−lcosθ
=⇒ 1
r ′≈ 1
r(1− l
rcosθ
) ≈ 1
r
(1 +
l
rcosθ
)=
1
r+lcosθ
r2
(35)
Substituindo em (34), obtemos:
V (~r) =ql ∗ cosθ4πε0r2
=p ∗ cosθ4πε0r2
=~p ∗ r4πε0r2
=~p ∗~r4πε0r3
(36)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
O potencial do dipolo num ponto P, então, é dado por:
V (~r) =q
4πε0
(1
r ′− 1
r
)(34)
Fazendo a aproximação:
r ′ = r−lcosθ =⇒
1
r ′≈ 1
r(1− l
rcosθ
) ≈ 1
r
(1 +
l
rcosθ
)=
1
r+lcosθ
r2
(35)
Substituindo em (34), obtemos:
V (~r) =ql ∗ cosθ4πε0r2
=p ∗ cosθ4πε0r2
=~p ∗ r4πε0r2
=~p ∗~r4πε0r3
(36)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
O potencial do dipolo num ponto P, então, é dado por:
V (~r) =q
4πε0
(1
r ′− 1
r
)(34)
Fazendo a aproximação:
r ′ = r−lcosθ =⇒ 1
r ′≈ 1
r(1− l
rcosθ
) ≈ 1
r
(1 +
l
rcosθ
)=
1
r+lcosθ
r2
(35)
Substituindo em (34), obtemos:
V (~r) =ql ∗ cosθ4πε0r2
=p ∗ cosθ4πε0r2
=~p ∗ r4πε0r2
=~p ∗~r4πε0r3
(36)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
O potencial do dipolo num ponto P, então, é dado por:
V (~r) =q
4πε0
(1
r ′− 1
r
)(34)
Fazendo a aproximação:
r ′ = r−lcosθ =⇒ 1
r ′≈ 1
r(1− l
rcosθ
) ≈ 1
r
(1 +
l
rcosθ
)=
1
r+lcosθ
r2
(35)
Substituindo em (34), obtemos:
V (~r) =ql ∗ cosθ4πε0r2
=p ∗ cosθ4πε0r2
=~p ∗ r4πε0r2
=~p ∗~r4πε0r3
(36)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
O potencial do dipolo num ponto P, então, é dado por:
V (~r) =q
4πε0
(1
r ′− 1
r
)(34)
Fazendo a aproximação:
r ′ = r−lcosθ =⇒ 1
r ′≈ 1
r(1− l
rcosθ
) ≈ 1
r
(1 +
l
rcosθ
)=
1
r+lcosθ
r2
(35)
Substituindo em (34), obtemos:
V (~r) =ql ∗ cosθ4πε0r2
=p ∗ cosθ4πε0r2
=~p ∗ r4πε0r2
=~p ∗~r4πε0r3
(36)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Cálculo do Campo
Como r = r(x , y , z), então (36) equivale a:
V (~r) =pz
4πε0r3(37)
E com isso, podemos calcular o campo em P:
~E = −~∇V =⇒ ~∇( z
r3
)=
1
r3~∇ z + z ~∇
(1
r3
)
=k
r3− 3z
r4r =
k
r3− 3k ∗ r
r3r
E como ~p = p k , obtemos, por m:
~E =1
4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Cálculo do Campo
Como r = r(x , y , z), então (36) equivale a:
V (~r) =pz
4πε0r3(37)
E com isso, podemos calcular o campo em P:
~E = −~∇V =⇒ ~∇( z
r3
)=
1
r3~∇ z + z ~∇
(1
r3
)
=k
r3− 3z
r4r =
k
r3− 3k ∗ r
r3r
E como ~p = p k , obtemos, por m:
~E =1
4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)
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ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Cálculo do Campo
Como r = r(x , y , z), então (36) equivale a:
V (~r) =pz
4πε0r3(37)
E com isso, podemos calcular o campo em P:
~E = −~∇V =⇒ ~∇( z
r3
)=
1
r3~∇ z + z ~∇
(1
r3
)
=k
r3− 3z
r4r =
k
r3− 3k ∗ r
r3r
E como ~p = p k , obtemos, por m:
~E =1
4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Cálculo do Campo
Como r = r(x , y , z), então (36) equivale a:
V (~r) =pz
4πε0r3(37)
E com isso, podemos calcular o campo em P:
~E = −~∇V =⇒ ~∇( z
r3
)=
1
r3~∇ z + z ~∇
(1
r3
)
=k
r3− 3z
r4r =
k
r3− 3k ∗ r
r3r
E como ~p = p k , obtemos, por m:
~E =1
4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Cálculo do Campo
Como r = r(x , y , z), então (36) equivale a:
V (~r) =pz
4πε0r3(37)
E com isso, podemos calcular o campo em P:
~E = −~∇V
=⇒ ~∇( z
r3
)=
1
r3~∇ z + z ~∇
(1
r3
)
=k
r3− 3z
r4r =
k
r3− 3k ∗ r
r3r
E como ~p = p k , obtemos, por m:
~E =1
4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Cálculo do Campo
Como r = r(x , y , z), então (36) equivale a:
V (~r) =pz
4πε0r3(37)
E com isso, podemos calcular o campo em P:
~E = −~∇V =⇒
~∇( z
r3
)=
1
r3~∇ z + z ~∇
(1
r3
)
=k
r3− 3z
r4r =
k
r3− 3k ∗ r
r3r
E como ~p = p k , obtemos, por m:
~E =1
4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)
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Cálculo do Campo
Como r = r(x , y , z), então (36) equivale a:
V (~r) =pz
4πε0r3(37)
E com isso, podemos calcular o campo em P:
~E = −~∇V =⇒ ~∇( z
r3
)=
1
r3~∇ z + z ~∇
(1
r3
)
=k
r3− 3z
r4r =
k
r3− 3k ∗ r
r3r
E como ~p = p k , obtemos, por m:
~E =1
4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)
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Cálculo do Campo
Como r = r(x , y , z), então (36) equivale a:
V (~r) =pz
4πε0r3(37)
E com isso, podemos calcular o campo em P:
~E = −~∇V =⇒ ~∇( z
r3
)=
1
r3~∇ z + z ~∇
(1
r3
)
=k
r3− 3z
r4r =
k
r3− 3k ∗ r
r3r
E como ~p = p k , obtemos, por m:
~E =1
4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Cálculo do Campo
Como r = r(x , y , z), então (36) equivale a:
V (~r) =pz
4πε0r3(37)
E com isso, podemos calcular o campo em P:
~E = −~∇V =⇒ ~∇( z
r3
)=
1
r3~∇ z + z ~∇
(1
r3
)
=k
r3− 3z
r4r =
k
r3− 3k ∗ r
r3r
E como ~p = p k , obtemos, por m:
~E =1
4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Cálculo do Campo
Como r = r(x , y , z), então (36) equivale a:
V (~r) =pz
4πε0r3(37)
E com isso, podemos calcular o campo em P:
~E = −~∇V =⇒ ~∇( z
r3
)=
1
r3~∇ z + z ~∇
(1
r3
)
=k
r3− 3z
r4r =
k
r3− 3k ∗ r
r3r
E como ~p = p k , obtemos, por m:
~E =1
4πε0r3[−~p + 3(~p ∗ r)r ] (38)
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ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Em particular, para pontos do plano (x,y), temos ~p ∗ r = 0, e a
(38) ca:
~E (x , y , 0) =−~p
4πε0r3(39)
Por outro lado, para pontos ao longo de z, temos que r = k , e
assim:~E (0, 0, z) =
~p
2πε0r3(40)
que tem sentido oposto à (39) e magnitude dupla.
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Em particular, para pontos do plano (x,y), temos ~p ∗ r = 0, e a
(38) ca:
~E (x , y , 0) =−~p
4πε0r3(39)
Por outro lado, para pontos ao longo de z, temos que r = k , e
assim:~E (0, 0, z) =
~p
2πε0r3(40)
que tem sentido oposto à (39) e magnitude dupla.
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ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Em particular, para pontos do plano (x,y), temos ~p ∗ r = 0, e a
(38) ca:
~E (x , y , 0) =−~p
4πε0r3(39)
Por outro lado, para pontos ao longo de z, temos que r = k , e
assim:
~E (0, 0, z) =~p
2πε0r3(40)
que tem sentido oposto à (39) e magnitude dupla.
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Em particular, para pontos do plano (x,y), temos ~p ∗ r = 0, e a
(38) ca:
~E (x , y , 0) =−~p
4πε0r3(39)
Por outro lado, para pontos ao longo de z, temos que r = k , e
assim:~E (0, 0, z) =
~p
2πε0r3(40)
que tem sentido oposto à (39) e magnitude dupla.
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Em particular, para pontos do plano (x,y), temos ~p ∗ r = 0, e a
(38) ca:
~E (x , y , 0) =−~p
4πε0r3(39)
Por outro lado, para pontos ao longo de z, temos que r = k , e
assim:~E (0, 0, z) =
~p
2πε0r3(40)
que tem sentido oposto à (39) e magnitude dupla.
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Em particular, para pontos do plano (x,y), temos ~p ∗ r = 0, e a
(38) ca:
~E (x , y , 0) =−~p
4πε0r3(39)
Por outro lado, para pontos ao longo de z, temos que r = k , e
assim:~E (0, 0, z) =
~p
2πε0r3(40)
que tem sentido oposto à (39) e magnitude dupla.
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ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Potencial de Dupla Camada
Numa dupla camada, o momento de dipolo de um elemento de
superfície orientado ~dS é dado por:
~dp = δ ~dS = δ ∗ ndS ≡ ~δdS (41)
o que dene as densidades supercial escalar e vetorial de momento
de dipolo elétrico.
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Potencial de Dupla Camada
Numa dupla camada, o momento de dipolo de um elemento de
superfície orientado ~dS é dado por:
~dp = δ ~dS = δ ∗ ndS ≡ ~δdS (41)
o que dene as densidades supercial escalar e vetorial de momento
de dipolo elétrico.
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Potencial de Dupla Camada
Numa dupla camada, o momento de dipolo de um elemento de
superfície orientado ~dS é dado por:
~dp = δ ~dS = δ ∗ ndS ≡ ~δdS (41)
o que dene as densidades supercial escalar e vetorial de momento
de dipolo elétrico.
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Potencial de Dupla Camada
Numa dupla camada, o momento de dipolo de um elemento de
superfície orientado ~dS é dado por:
~dp = δ ~dS = δ ∗ ndS ≡ ~δdS (41)
o que dene as densidades supercial escalar e vetorial de momento
de dipolo elétrico.
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Potencial de Dupla Camada
Numa dupla camada, o momento de dipolo de um elemento de
superfície orientado ~dS é dado por:
~dp = δ ~dS = δ ∗ ndS ≡ ~δdS (41)
o que dene as densidades supercial escalar e vetorial de momento
de dipolo elétrico.
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Potencial de Dupla Camada
Numa dupla camada, o momento de dipolo de um elemento de
superfície orientado ~dS é dado por:
~dp = δ ~dS = δ ∗ ndS ≡ ~δdS (41)
o que dene as densidades supercial escalar e vetorial de momento
de dipolo elétrico.
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ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Por (36) e (41), um elemento de superfície dS da dupla camada
contribui para o potencial num ponto P com:
dV =~dp ∗ r4πε0r2
=δ
4πε0
~dS ∗ rr2
(42)
onde ~r é o vetor posição de P com origem em dS. Lembrando que:
~dS ∗ rr2
=dS ∗ cosθ
r2= dΩ (43)
é o elemento de ângulo sólido subtendido por dS em P, então , para
uma distribuição com densidade supercial δ constante sobre uma
superfície S, o potencial é dado por:
V (P) =δ
4πε0Ω =⇒
V (P+) = δ
2ε0V (P−) = − δ
2ε0
=⇒ V (P+)−V (P−) =δ
ε0
(44)
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ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Por (36) e (41), um elemento de superfície dS da dupla camada
contribui para o potencial num ponto P com:
dV =~dp ∗ r4πε0r2
=δ
4πε0
~dS ∗ rr2
(42)
onde ~r é o vetor posição de P com origem em dS. Lembrando que:
~dS ∗ rr2
=dS ∗ cosθ
r2= dΩ (43)
é o elemento de ângulo sólido subtendido por dS em P, então , para
uma distribuição com densidade supercial δ constante sobre uma
superfície S, o potencial é dado por:
V (P) =δ
4πε0Ω =⇒
V (P+) = δ
2ε0V (P−) = − δ
2ε0
=⇒ V (P+)−V (P−) =δ
ε0
(44)
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Por (36) e (41), um elemento de superfície dS da dupla camada
contribui para o potencial num ponto P com:
dV =~dp ∗ r4πε0r2
=δ
4πε0
~dS ∗ rr2
(42)
onde ~r é o vetor posição de P com origem em dS. Lembrando que:
~dS ∗ rr2
=dS ∗ cosθ
r2= dΩ (43)
é o elemento de ângulo sólido subtendido por dS em P, então , para
uma distribuição com densidade supercial δ constante sobre uma
superfície S, o potencial é dado por:
V (P) =δ
4πε0Ω =⇒
V (P+) = δ
2ε0V (P−) = − δ
2ε0
=⇒ V (P+)−V (P−) =δ
ε0
(44)
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ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Por (36) e (41), um elemento de superfície dS da dupla camada
contribui para o potencial num ponto P com:
dV =~dp ∗ r4πε0r2
=δ
4πε0
~dS ∗ rr2
(42)
onde ~r é o vetor posição de P com origem em dS. Lembrando que:
~dS ∗ rr2
=dS ∗ cosθ
r2= dΩ (43)
é o elemento de ângulo sólido subtendido por dS em P, então , para
uma distribuição com densidade supercial δ constante sobre uma
superfície S, o potencial é dado por:
V (P) =δ
4πε0Ω =⇒
V (P+) = δ
2ε0V (P−) = − δ
2ε0
=⇒ V (P+)−V (P−) =δ
ε0
(44)
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ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Por (36) e (41), um elemento de superfície dS da dupla camada
contribui para o potencial num ponto P com:
dV =~dp ∗ r4πε0r2
=δ
4πε0
~dS ∗ rr2
(42)
onde ~r é o vetor posição de P com origem em dS. Lembrando que:
~dS ∗ rr2
=dS ∗ cosθ
r2= dΩ (43)
é o elemento de ângulo sólido subtendido por dS em P, então , para
uma distribuição com densidade supercial δ constante sobre uma
superfície S, o potencial é dado por:
V (P) =δ
4πε0Ω =⇒
V (P+) = δ
2ε0V (P−) = − δ
2ε0
=⇒ V (P+)−V (P−) =δ
ε0
(44)
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ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Por (36) e (41), um elemento de superfície dS da dupla camada
contribui para o potencial num ponto P com:
dV =~dp ∗ r4πε0r2
=δ
4πε0
~dS ∗ rr2
(42)
onde ~r é o vetor posição de P com origem em dS. Lembrando que:
~dS ∗ rr2
=dS ∗ cosθ
r2= dΩ (43)
é o elemento de ângulo sólido subtendido por dS em P, então , para
uma distribuição com densidade supercial δ constante sobre uma
superfície S, o potencial é dado por:
V (P) =δ
4πε0Ω
=⇒
V (P+) = δ
2ε0V (P−) = − δ
2ε0
=⇒ V (P+)−V (P−) =δ
ε0
(44)
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Por (36) e (41), um elemento de superfície dS da dupla camada
contribui para o potencial num ponto P com:
dV =~dp ∗ r4πε0r2
=δ
4πε0
~dS ∗ rr2
(42)
onde ~r é o vetor posição de P com origem em dS. Lembrando que:
~dS ∗ rr2
=dS ∗ cosθ
r2= dΩ (43)
é o elemento de ângulo sólido subtendido por dS em P, então , para
uma distribuição com densidade supercial δ constante sobre uma
superfície S, o potencial é dado por:
V (P) =δ
4πε0Ω =⇒
V (P+) = δ
2ε0V (P−) = − δ
2ε0
=⇒ V (P+)−V (P−) =δ
ε0
(44)
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Por (36) e (41), um elemento de superfície dS da dupla camada
contribui para o potencial num ponto P com:
dV =~dp ∗ r4πε0r2
=δ
4πε0
~dS ∗ rr2
(42)
onde ~r é o vetor posição de P com origem em dS. Lembrando que:
~dS ∗ rr2
=dS ∗ cosθ
r2= dΩ (43)
é o elemento de ângulo sólido subtendido por dS em P, então , para
uma distribuição com densidade supercial δ constante sobre uma
superfície S, o potencial é dado por:
V (P) =δ
4πε0Ω =⇒
V (P+) = δ
2ε0V (P−) = − δ
2ε0
=⇒ V (P+)−V (P−) =δ
ε0
(44)
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Por (36) e (41), um elemento de superfície dS da dupla camada
contribui para o potencial num ponto P com:
dV =~dp ∗ r4πε0r2
=δ
4πε0
~dS ∗ rr2
(42)
onde ~r é o vetor posição de P com origem em dS. Lembrando que:
~dS ∗ rr2
=dS ∗ cosθ
r2= dΩ (43)
é o elemento de ângulo sólido subtendido por dS em P, então , para
uma distribuição com densidade supercial δ constante sobre uma
superfície S, o potencial é dado por:
V (P) =δ
4πε0Ω =⇒
V (P+) = δ
2ε0V (P−) = − δ
2ε0
=⇒
V (P+)−V (P−) =δ
ε0
(44)
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Por (36) e (41), um elemento de superfície dS da dupla camada
contribui para o potencial num ponto P com:
dV =~dp ∗ r4πε0r2
=δ
4πε0
~dS ∗ rr2
(42)
onde ~r é o vetor posição de P com origem em dS. Lembrando que:
~dS ∗ rr2
=dS ∗ cosθ
r2= dΩ (43)
é o elemento de ângulo sólido subtendido por dS em P, então , para
uma distribuição com densidade supercial δ constante sobre uma
superfície S, o potencial é dado por:
V (P) =δ
4πε0Ω =⇒
V (P+) = δ
2ε0V (P−) = − δ
2ε0
=⇒ V (P+)−V (P−) =δ
ε0
(44)
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ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Forças e Torques Sobre Dipolos
O par de forças que atuam sobre as cargas do dipolo forma um
binário, cujo torque é dado por:
τ =~l X ~F = q~l X E = ~p X ~E (45)
que tende a fazer o dipolo girar até alinhar-se paralelamente ao
campo. Denindo como Ψ(~r) o potencial associado a ~E , então a
energia potencial do dipolo no campo ~E é:
U(~r) = q[Ψ(~r +~l)−Ψ(~r)] (46)
Supondo desprezíveis as dimensões do dipolo, podemos tratar ~lcomo um innitésimo e usar Ψ(~r +~l)−Ψ(~r) =~l ∗ ~∇Ψ. Logo:
U(~r) = q~l ∗ ~∇Ψ = −~p ∗ ~E (~r) (47)
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Forças e Torques Sobre Dipolos
O par de forças que atuam sobre as cargas do dipolo forma um
binário, cujo torque é dado por:
τ =~l X ~F = q~l X E = ~p X ~E (45)
que tende a fazer o dipolo girar até alinhar-se paralelamente ao
campo. Denindo como Ψ(~r) o potencial associado a ~E , então a
energia potencial do dipolo no campo ~E é:
U(~r) = q[Ψ(~r +~l)−Ψ(~r)] (46)
Supondo desprezíveis as dimensões do dipolo, podemos tratar ~lcomo um innitésimo e usar Ψ(~r +~l)−Ψ(~r) =~l ∗ ~∇Ψ. Logo:
U(~r) = q~l ∗ ~∇Ψ = −~p ∗ ~E (~r) (47)
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Forças e Torques Sobre Dipolos
O par de forças que atuam sobre as cargas do dipolo forma um
binário, cujo torque é dado por:
τ =~l X ~F = q~l X E = ~p X ~E (45)
que tende a fazer o dipolo girar até alinhar-se paralelamente ao
campo. Denindo como Ψ(~r) o potencial associado a ~E , então a
energia potencial do dipolo no campo ~E é:
U(~r) = q[Ψ(~r +~l)−Ψ(~r)] (46)
Supondo desprezíveis as dimensões do dipolo, podemos tratar ~lcomo um innitésimo e usar Ψ(~r +~l)−Ψ(~r) =~l ∗ ~∇Ψ. Logo:
U(~r) = q~l ∗ ~∇Ψ = −~p ∗ ~E (~r) (47)
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Forças e Torques Sobre Dipolos
O par de forças que atuam sobre as cargas do dipolo forma um
binário, cujo torque é dado por:
τ =~l X ~F = q~l X E = ~p X ~E (45)
que tende a fazer o dipolo girar até alinhar-se paralelamente ao
campo. Denindo como Ψ(~r) o potencial associado a ~E , então a
energia potencial do dipolo no campo ~E é:
U(~r) = q[Ψ(~r +~l)−Ψ(~r)] (46)
Supondo desprezíveis as dimensões do dipolo, podemos tratar ~lcomo um innitésimo e usar Ψ(~r +~l)−Ψ(~r) =~l ∗ ~∇Ψ. Logo:
U(~r) = q~l ∗ ~∇Ψ = −~p ∗ ~E (~r) (47)
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Forças e Torques Sobre Dipolos
O par de forças que atuam sobre as cargas do dipolo forma um
binário, cujo torque é dado por:
τ =~l X ~F = q~l X E = ~p X ~E (45)
que tende a fazer o dipolo girar até alinhar-se paralelamente ao
campo. Denindo como Ψ(~r) o potencial associado a ~E , então a
energia potencial do dipolo no campo ~E é:
U(~r) = q[Ψ(~r +~l)−Ψ(~r)] (46)
Supondo desprezíveis as dimensões do dipolo, podemos tratar ~lcomo um innitésimo e usar Ψ(~r +~l)−Ψ(~r) =~l ∗ ~∇Ψ. Logo:
U(~r) = q~l ∗ ~∇Ψ = −~p ∗ ~E (~r) (47)
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br) Aula de Física II - Potencial Elétrico
Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Forças e Torques Sobre Dipolos
O par de forças que atuam sobre as cargas do dipolo forma um
binário, cujo torque é dado por:
τ =~l X ~F = q~l X E = ~p X ~E (45)
que tende a fazer o dipolo girar até alinhar-se paralelamente ao
campo. Denindo como Ψ(~r) o potencial associado a ~E , então a
energia potencial do dipolo no campo ~E é:
U(~r) = q[Ψ(~r +~l)−Ψ(~r)] (46)
Supondo desprezíveis as dimensões do dipolo, podemos tratar ~lcomo um innitésimo e usar Ψ(~r +~l)−Ψ(~r) =~l ∗ ~∇Ψ. Logo:
U(~r) = q~l ∗ ~∇Ψ = −~p ∗ ~E (~r) (47)
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
Forças e Torques Sobre Dipolos
O par de forças que atuam sobre as cargas do dipolo forma um
binário, cujo torque é dado por:
τ =~l X ~F = q~l X E = ~p X ~E (45)
que tende a fazer o dipolo girar até alinhar-se paralelamente ao
campo. Denindo como Ψ(~r) o potencial associado a ~E , então a
energia potencial do dipolo no campo ~E é:
U(~r) = q[Ψ(~r +~l)−Ψ(~r)] (46)
Supondo desprezíveis as dimensões do dipolo, podemos tratar ~lcomo um innitésimo e usar Ψ(~r +~l)−Ψ(~r) =~l ∗ ~∇Ψ. Logo:
U(~r) = q~l ∗ ~∇Ψ = −~p ∗ ~E (~r) (47)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
ExemplosDipolos Elétricos
Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
A força resultante sobre o dipolo é ~F = −~∇U, e como num campo
uniforme ~E e ~p não dependem de ~r , então ~F = 0.
Por outro lado, se
o campo não é uniforme, temos:
U = −px Ex(~r)− py Ey (~r)− pz Ez(~r) (48)
que dá uma força não-nula sobre o dipolo:
~F = px ~∇Ex(~r) + py ~∇Ey (~r) + pz ~∇Ez(~r) (49)
ou seja:~F = ~∇(~p ∗ ~E ) (50)
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Campos ConservativosO Potencial Coulombiano
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
A força resultante sobre o dipolo é ~F = −~∇U, e como num campo
uniforme ~E e ~p não dependem de ~r , então ~F = 0.Por outro lado, se
o campo não é uniforme, temos:
U = −px Ex(~r)− py Ey (~r)− pz Ez(~r) (48)
que dá uma força não-nula sobre o dipolo:
~F = px ~∇Ex(~r) + py ~∇Ey (~r) + pz ~∇Ez(~r) (49)
ou seja:~F = ~∇(~p ∗ ~E ) (50)
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Cálculo do CampoPotencial de Dupla CamadaForças e Torques Sobre Dipolos
A força resultante sobre o dipolo é ~F = −~∇U, e como num campo
uniforme ~E e ~p não dependem de ~r , então ~F = 0.Por outro lado, se
o campo não é uniforme, temos:
U = −px Ex(~r)− py Ey (~r)− pz Ez(~r) (48)
que dá uma força não-nula sobre o dipolo:
~F = px ~∇Ex(~r) + py ~∇Ey (~r) + pz ~∇Ez(~r) (49)
ou seja:~F = ~∇(~p ∗ ~E ) (50)
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A força resultante sobre o dipolo é ~F = −~∇U, e como num campo
uniforme ~E e ~p não dependem de ~r , então ~F = 0.Por outro lado, se
o campo não é uniforme, temos:
U = −px Ex(~r)− py Ey (~r)− pz Ez(~r) (48)
que dá uma força não-nula sobre o dipolo:
~F = px ~∇Ex(~r) + py ~∇Ey (~r) + pz ~∇Ez(~r) (49)
ou seja:~F = ~∇(~p ∗ ~E ) (50)
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A força resultante sobre o dipolo é ~F = −~∇U, e como num campo
uniforme ~E e ~p não dependem de ~r , então ~F = 0.Por outro lado, se
o campo não é uniforme, temos:
U = −px Ex(~r)− py Ey (~r)− pz Ez(~r) (48)
que dá uma força não-nula sobre o dipolo:
~F = px ~∇Ex(~r) + py ~∇Ey (~r) + pz ~∇Ez(~r) (49)
ou seja:~F = ~∇(~p ∗ ~E ) (50)
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A força resultante sobre o dipolo é ~F = −~∇U, e como num campo
uniforme ~E e ~p não dependem de ~r , então ~F = 0.Por outro lado, se
o campo não é uniforme, temos:
U = −px Ex(~r)− py Ey (~r)− pz Ez(~r) (48)
que dá uma força não-nula sobre o dipolo:
~F = px ~∇Ex(~r) + py ~∇Ey (~r) + pz ~∇Ez(~r) (49)
ou seja:
~F = ~∇(~p ∗ ~E ) (50)
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A força resultante sobre o dipolo é ~F = −~∇U, e como num campo
uniforme ~E e ~p não dependem de ~r , então ~F = 0.Por outro lado, se
o campo não é uniforme, temos:
U = −px Ex(~r)− py Ey (~r)− pz Ez(~r) (48)
que dá uma força não-nula sobre o dipolo:
~F = px ~∇Ex(~r) + py ~∇Ey (~r) + pz ~∇Ez(~r) (49)
ou seja:~F = ~∇(~p ∗ ~E ) (50)
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A força resultante sobre o dipolo é ~F = −~∇U, e como num campo
uniforme ~E e ~p não dependem de ~r , então ~F = 0.Por outro lado, se
o campo não é uniforme, temos:
U = −px Ex(~r)− py Ey (~r)− pz Ez(~r) (48)
que dá uma força não-nula sobre o dipolo:
~F = px ~∇Ex(~r) + py ~∇Ey (~r) + pz ~∇Ez(~r) (49)
ou seja:~F = ~∇(~p ∗ ~E ) (50)
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