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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Aula 5
Cristiano Quevedo Andrea1
1UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do ParanáDAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica
Curitiba, Março de 2011.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Resumo
1 Função de TransferênciaFunção de Transferência para Circuitos ElétricosFunção de Transferência em Circuitos com Amp. OperacionaisFunção de Transferência de Sist. Mecânicos em TranslaçãoFunção de Transferência de Sistema Mecânico em RotaçãoFunção de Transferência de Sistemas com EngrenagensFunção de Transferência de Sistema Eletromecânico
2 Não-Linearidade e Linearidade
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Função de TransferênciaÉ uma função que relaciona algebricamente a saída de umdado sistema à sua entrada.Considere a equação diferencial de ordem n abaixo:
an∂nc(t)∂tn + an−1
∂n−1c(t)∂tn−1 + · · ·+ a0c(t)
= bm∂mr(t)∂tm + bm−1
∂m−1r(t)∂tm + · · ·+ b0r(t)
sendo c(t) a saída e r(t) a entrada. Os coeficientes ai e bi
formam a equação diferencial.Aplicando-se a transformada de Laplace em ambos os ladosda equação anterior, temos:
ansnC(s) + an−1sn−1C(s) + · · ·+ a0C(s) + C. I.
= bmsmR(s) + bm−1sm−1R(s) + · · ·+ b0R(s) + C. I. (1)
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Reorganizando a expressão (1), obtém-se:
(ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a0)C(s) = (bmsm + bm−1sm−1 + · · ·+ b0)R(s)
Assim, podemos obter a função de transferênciamanipulando-se a equação anterior:
C(s)R(s)
=(bmsm + bm−1sm−1 + · · ·+ b0)
(ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a0)(2)
sendo n ≥ m. Neste caso, foram consideradas as condiçõesiniciais nulas para simplificação da expressão.Podemos ainda chamar C(s)/R(s) = G(s), então,
C(s) = R(s)G(s)
R(s) (bmsm + bm−1sm−1 + · · ·+ b0)
(ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a0)
C(s)
G(s)
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Exemplo
Obter a função de transferência da equação diferencialrepresentada por:
c(t) + 2c(t) = r(t). (3)
Aplicando-se a transformada de Laplace em (3), temos:
sC(s) + 2C(s) = R(s),
G(s) =C(s)R(s)
=1
s + 2,
neste caso foi suposto condições iniciais nulas.
Para obter a resposta degrau da função de transferência G(s),fazemos,
C(s) =1s
1s + 2
, sendo R(s) = 1/s. (4)
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Expandindo em frações parciais a equação (4), obtém-se:
C(s) =1/2s
−1/2
s + 2. (5)
Aplicando a transformada de Laplace inversa em (5),
c(t) =12−
12
e−2t .
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Resumo
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2 Não-Linearidade e Linearidade
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Os circuitos elétricos trabalham basicamente com 3componentes: resistor, capacitor e indutor.
Componente Tensão Corrente Tensão Carga Z (s) = V (s)/R(s)
v(t) =∫
τ
0 i(τ)∂τ i(t) = C∂v(t)∂t
v(t) = 1C q(t) 1
Cs
v(t) = Ri(t) i(t) = 1R v(t) v(t) = R ∂q(t)
∂tR
v(t) = L ∂i(t)∂t
i(t) = 1L
∫ t0 v(τ)∂τ v(t) = L ∂
2q(t)∂t2
Ls
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Exemplo 1 : Considere o circuito elétrico simples ilustrado aseguir:
+
-
+
-
v(t)
L R
vC(t)
i(t)C
Aplicando-se a lei de somatório de tensão de malha do circuitoilustrado acima, temos:
v(t) = L∂i(t)∂t
+ Ri(t) + vC(t). (6)
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Aplicando-se a transformada de Laplace em (6),considerando-se as condições iniciais nulas, tem-se:
V (s) = LsI(s) + RI(s) + VC(s), (7)
mas I(s) = VC(s)/1
Cs , assim temos,
V (s) = LsVC(s)
1Cs
+ RVC(s)
1Cs
+ VC(s). (8)
Portanto, de (8), a função de transferência entre a entrada esaída do circuito elétrico abordado é:
VC(s)V (s)
=1
LCs2 + RCs + 1.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Agora, considere um circuito elétrico mais complexo,
+
-
+
-
v(t)
R1 R2
vC(t)CLi1(t) i2(t)
sendo i1(t) e i2(t) correntes de malha.As equações diferenciais do somatório de tensão de malha docircuito elétrico ilustrado anteriormente são:
Ri i1(t) + L∂(i1(t)− i2(t))
∂t= v(t), (9)
L∂i2(t)∂t
+ R2i2(t) +1C
∫ t
0i2(τ)∂τ − L
∂i1(t)∂t
= 0. (10)
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Aplicando-se a transformada de Laplace em (9) e (10),considerando-se as condições iniciais nulas, obtém-se:
R1I1(s) + LsI1(s)− LsI2(s) = V (s), (11)
LsI2(s) + R2I2(s) +1
CsI2(s)− LsI1(s) = 0. (12)
Organizando (11) e (12) na forma matricial,[
R1 + Ls −Ls−Ls Ls + R2 +
1Cs
] [I1(s)I2(s)
]
=
[V (s)
0
]
.
Neste exemplo podemos encontrar várias funções detransferência, tais como: VC(s)/I2(s), VC(s)/I1(s) eVC(s)/V (s). Neste caso abordaremos a função detransferência entre a entrada de tensão e a tensão nocapacitor.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Inicialmente obteremos I2(s).
I2(s) =
det[
R1 + Ls V (s)−Ls 0
]
det[
R1 + Ls −Ls−Ls Ls + R2 +
1Cs
]
,
I2(s) =LCs2
(R1 + R2)LCs2 + (R1R2C + L)s + R1V (s), (13)
mas I2(s) =VC(s)
1Cs
, então,
I2(s) = CsVc(s). (14)
Portanto, substituindo-se (14) em (13), obtém-se:
VC(s)V (s)
=Ls
(R1 + R2)LCs2 + (R1R2C + L)s + R1.
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Amplificador Operacional (AOP)
O AOP é um amplificador CC multiestágio com entradadiferencial cujas características se aproximam das de umamplificador ideal.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Características do AOP ideal:
Resistência de entrada infinita
Resistência de saída nula
Ganho de tensão infinito
Resposta em frequência infinita
insensibilidade à temperatura
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Considere o seguinte circuito:
A função de transferência da tensão de entrada Vi(s) para atensão de saída Vo(s) é dada por:
Vo(s)Vi(s)
= −Z2
Z1. (15)
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Então, considere outro circuito eletrônico, conforme ilustrado aseguir,
Inicialmente, calcula-se a impedância Z1(s),
Z1(s) =R1
R1C1s + 1=
360 × 103
2,016s + 1.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
O próximo passo é determinar o valor de Z2(s),
Z2(s) = R2 +1
C2s= 220 × 103 +
107
s.
Portanto, temos que:
Vo(s)Vi(s)
= −Z2(s)Z1(s)
= −1,232s2 + 45,95s + 22,55
s. (16)
Calcule Vo(s)Vi (s)
:
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Resposta
Vo(s)Vi(s)
=C2C1R2R1s2 + (C2R2 + C1R2 + C1R1)s + 1
C2C1R2R1s2 + (C2R2 + C1R1)s + 1
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Considere o circuito ilustrado abaixo:
Neste caso objetiva-se determinar a função de transferênciaX (s)/F (s), assim tem-se,
∑
FM = 0.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
A figura seguinte ilustra a ação das forças no objeto de massa M, tanto no
domínio do tempo quanto no domínio da frequência,
Então, podemos escrever,Ms2X (s) + fv sX (s) + KX (s) = F (s),
X (s)(Ms2 + fv s + K ) = F (s),
logo,
X (s)F (s)
=1
Ms2 + fv s + K.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Considere agora outro sistema mecânico, conforme ilustradoabaixo:
Atuação das forças em M1:
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Atuação das forças em M2
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Da análise das forças em M1 e M2 temos:
[M1s2 + (fv1 + fv3)s + (K1 + K 2)]X1(s)− (fv3s + K2)X2(s) = F (s),
−(fv3s + K2)X1(s) + [M2s2 + (fv2 + fv3)s + (K2 + K3)]X2(s) = 0.
Organizando matricialmente as expressões acima,[
[M1s2 + (fv1 + fv2)s + (K1 + K 2)] −(fv3s + K2)
−(fv3s + K2) [M2s2 + (fv2 + fv3)s + (K2 + K3)]
]
[
X1(s)X2(s)
]
=
[
F (s)0
]
. (17)
De (17) podemos, por exemplo, encontrar a função detransferência X2(s)/F (s) da seguinte maneira:
X2(s) =det
[
[M1s2 + (fv1 + fv2)s + (K1 + K 2)] F (s)−(fv3s + K2) 0
]
det[
[M1s2 + (fv1 + fv2)s + (K1 + K 2)] −(fv3s + K2)−(fv3s + K2) [M2s2 + (fv2 + fv3)s + (K2 + K3)]
] .
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Portanto,
X2(s)F (s)
=(fv3s + K2)
Φ, (18)
sendo
Φ = det[
[M1s2 + (fv1 + fv2)s + (K1 + K 2)] −(fv3s + K2)
−(fv3s + K2) [M2s2 + (fv2 + fv3)s + (K2 + K3)]
]
.
Em sistemas mecânicos, a sugestão é analisar separadamenteos blocos. Por exemplo, considere M2 parado e movimente M1
para direita, e depois realize a análise inversa.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Considere o seguinte exemplo: Obter a função de transferência, θ2(s)/T (s),
para o sistema de rotação ilustrado abaixo:
Observando-se a figura acima, nota-se que o eixo elástico ésuspenso por meio de mancais em cada uma dasextremidades e é submetido à torção. Um torque é aplicado àesquerda e o deslocamento angular é medido à direita.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Outro modo de verificar a operação dos sistemas rotativos éilustrado a seguir:
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Então, se submetemos um objeto na forma cilíndrica a umtorque, o mesmo tende a ter deslocamento angular.Adicionalmente se existir uma força de resistência ao movimentoangular causado pela aplicação do torque, consideramos que oobjeto é submetido à torção (movimentos angulares em umcorpo cilíndrico com sentidos opostos nas extremidades).
Para obter a função de transferência desejada, primeiramentedevemos obter um diagrama esquemático do sistema físicoilustrado anteriormente.
Embora a torção ocorra ao longo do eixo, consideramos que elaocorre como uma mola concentrada em um ponto particular doeixo.A mola que representa a torção no corpo cilíndrico apresentauma inércia J1 a esquerda e uma inércia J2 a direita.Admite-se que o amortecimento no interior do eixo elástico éinsignificante.
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Diagrama esquemático do sistema girante analisado,
Análise em J1
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Análise em J2
O somatório de torques em J1 e J2 pode ser descrito como,
(J1s2 + D1s + K )θ1(s)− Kθ2(s) = T (s), (19)
−Kθ1(s) + (J2s2 + D2s + K )θ2(s) = 0.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Reorganizando (19) na forma matricial, obtém-se:[
(J1s2 + D1s + K ) −K−K (J2s2 + D2s + K )
] [
θ1(s)θ2(s)
]
=
[
T (s)0
]
. (20)
Logo,
θ2(s) =det
[
(J1s2 + D1s + K ) T (s)−K 0
]
det[
(J1s2 + D1s + K ) −K−K (J2s2 + D2s + K )
] . (21)
Então,
θ2(s)T (s)
=KΨ,
sendo,
Ψ = det[(J1s2 + D1s + K ) −K
−K (J2s2 + D2s + K )
]
.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Determinem G(s) = θ2(s)/T (s) para o seguinte sistemailustrado a seguir:
Resposta:
G(s) =1
2s2 + s + 1.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Determinem G(s) = θ2(s)/T (s) para o seguinte sistemailustrado a seguir:
Resposta:
G(s) =1
2s2 + s + 1.
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Considere o sistema com engrenagens ilustrado a seguir:
Para o sistema ilustrado acima temos:
r1θ1 = r2θ2,
ouθ2
θ1=
r1
r2=
N1
N2.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Observações
Sistemas acionados por motores raramente são vistos semtrens de engrenagens acionando a carga.
As engrenagens proporcionam vantagens mecânicas aosistema de rotação. Ex: A bicicleta de macha, ladeira a cima,por meio de uma troca de macha, fornece mais torque e menosvelocidade. Em linha reta pode-se obter menos torque e maisvelocidade.
Em muitas aplicações, as engrenagens apresentam folgas(backlash), que ocorrem devido a um ajustamento inadequadoentre os dentes da engrenagem.
Se admitirmos que as engrenagens não absorvam nem armazenam energia,podemos escrever,
T1θ1 = T2θ2, ou,T2
T1=
θ1
θ2=
N2
N1.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Exemplo: Considere o sistema girante baseado emengrenagens ilustrado a seguir:
Será possível refletir as impedâncias da entrada do eixo nasaída?
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Em sistemas girantes baseados em engrenagens temos assituações ilustradas abaixo:
Assim, considerando-se o caso (b) da figura anterior, podemos refletir T1na
saída multiplicando-se por N2/N1. O resultado é ilustrado a seguir:
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
O sistema anterior é conhecido (já discutido anteriormente) eas equações de movimento são,
(Js2 + Ds + K )θ2(s) = T1(s)N2
N1. (22)
Mas podemos descrever θ2(s) = N1N2θ1(s), deste modo (22)
torna-se,
(Js2 + Ds + K )N1
N2θ1(s) = T1(s)
N2
N1. (23)
Simplificando-se (23), obtém-se;[
J(
N1
N2
)2
s2 + D(
N1
N2
)2
s + K(
N1
N2
)2]
θ1(s) = T1(s). (24)
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
A equação de movimento mostrada em (24) pode serrepresentada pela seguinte figura.
Observação
As impedâncias mecânicas em rotação podem ser refletidaspor meio de trens de engrenagens multiplicando-se aimpedância mecânica pela relação,
(Número de dentes da engrenagem do eixo de destinoNúmero de dentes da engrenagem do eixo de origem
)2
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Exemplo: Obter a função de transferência, θ2(s)/T1(s), para o sistema
ilustrado abaixo:
Reflitamos primeiramente as impedâncias J1 e D1 e o torque T1 do eixo de
entrada para a saída conforme mostrado a seguir:
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Portanto, para este exemplo, a equação de torques pode serdescrita como,
(Jes2 + D2s + Ke)θ2(s) = T1(s)N2
N1. (25)
sendo,
Je = J1
(N2
N1
)2
+ J2; De = D1
(N2
N1
)2
+ D2; K = Ke.
De (25), obtemos a função de transferência θ2(s)T1(s)
,
G(s) =θ2(s)T1(s)
=N2/N1
Jes2 + Des + Ke.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Estes sistemas podem ser utilizado para controle de posição deuma antena em azimute, por exemplo.
Outras aplicações: controle de robôs, rastreadores de sol erastreadores estelares, etc.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Motor EletromecânicoUm motor é um componente eletromecânico que fornece um deslocamentode saída para uma tensão de entrada, isto é, uma saída mecânica geradapor uma entrada elétrica. No curso iremos abordar um particular sistemaeletromecânico, o servomotor de corrente contínua controlada pelaarmadura.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
O campo magnético é produzido por ímãs permanentesestacionários ou por meio de um eletroímã estacionáriochamado de campo fixo.
um circuito rotativo denominado armadura, através do qualcircula a corrente ia(t), corta o campo magnético segundo umângulo reto e experimenta uma força, F = Blia(t), sendo B aintensidade do campo magnético e l o comprimento docondutor.
O torque resultante aciona o rotor, o qual é o elemento girantedo motor.
Para o motor CC temos,
vb(t) = Kb∂θm(t)∂t
, (26)
sendo vb(t) a força contra-eletromotriz (fcem), Kb a constante de fcem e
∂θm(t)/∂t = ωm(t) é a velocidade angular.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Aplicando-se a transformada de Laplace em (26),considerando-se as condições iniciais nulas, tem-se
Vb(s) = Kbsθm(s). (27)
A descrição da transformada de Laplace, considerando-se ascondições iniciais nulas, da equação de malha do circuito dearmadura é:
RaIa(s) + LasIa(s) + Vb(s) = Ea(s). (28)
Neste contexto, o torque produzido pelo motor é proporcional àcorrente de armadura, assim,
Tm(s) = Kt Ia(s). (29)
sendo Kt uma constante de torque do motor.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Assim, podemos escrever a corrente de armadura como,
Ia(s) =Tm(s)
Kt. (30)
Substituindo-se (27) e (30) em (28), obtemos,
(Ra + Las)Tm(s)Kt
+ Kbsθm(s) = Ea(s). (31)
A figura a seguir mostra um carregamento típico de um motor
sendo Jm é o momento de inércia equivalente na armadura eDm o amortecimento viscoso equivalente na armadura.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Como já discutidos anteriormente, a equação de movimento dosistema típico de um motor ilustrado anteriormente é,
Tm(s) = (Jms2 + Dms)θm(s). (32)
Substituindo-se (32) em (31),
(Ra + Las)(Jms2 + Dms)Kt
θm(s) + Kbsθm(s) = Ea(s). (33)
considerando-se Ra >> La
[Ra
Kt(Jms + Dm) + Kb
]
sθm(s) = Ea(s). (34)
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Depois das simplificações, determina-se a função detransferência desejada, θm(s)/Ea(s),
θm(s)Ea(s)
=Kt/(RaJm)
s[
s + 1Jm
(
Dm + Kt KbRa
)] . (35)
A equação (35) pode ser simplificada por:
θm(s)Ea(s)
=K
s(s + α).
Considere o caso,
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Na figura anterior é ilustrado um motor de inércia Ja e deamortecimento Da na armadura acionando uma carga deinércia JL e amortecimento DL.Refletindo-se as impedâncias da carga para a entrada temos,
Jm = Ja + JL
(N1
N2
)2
;Dm = Da + DL
(N1
N2
)2
. (36)
Considere novamente a expressão (31), com Ra >> La:
Ra
KtTm(s) + Kbsθm(s) = Ea(s). (37)
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace em (37)obtemos,
Ra
KtTm(t) + Kbωm(t) = ea(t). (38)
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Isolando-se Tm(t) em (38),
Tm(t) = −KbKt
Raωm +
Kt
Raea(t). (39)
De (39) podemos ter,
Tbloq =Kt
Raea(t) ⇒ torque de partida ou torque de rotor bloqueado
ωvazio =ea(t)
Kb⇒ velocidade sem carga ou velocidade a vazio
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
As constantes elétricas da função de transferência do motorpodem ser determinadas a partir de,
Kt
Ra=
Tbloq
ea(t).
e
Kb =ea(t)ωvazio
.
As constantes elétricas, Kt/Ra e Kb, podem ser determinadascomo um teste dinamométrico do motor CC, o qual forneceriaTbloq e ωvazio para um dado valor de ea(t).
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Exemplo: Considere o sistema abaixo,
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Para o sistema ilustrado anteriormente, obter a função detransferência θL(s)/Ea(s).Inicialmente iremos referir as impedâncias da carga aarmadura do motor, assim,
Jm = Ja + JL
(N1
N2
)2
= 5 + 700(
1700
)2
= 12.
Dm = Da + DL
(N1
N2
)2
= 2 + 800(
110
)2
= 10.
Do gráfico de torque versus velocidade,
Tbloq = 500,
ωvazio = 50,
ea(t) = 100.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Portanto, as constantes elétricas são:
Kt
Ra=
Tbloq
ea(t)=
500100
= 5.
e
Kb =ea(t)ωvazio
=10050
= 2.
Assim, a função de transferência θm(s)/Ea(s) resulta,
θm(s)Ea(s)
=5/12
s[s + 1
12 (10 + (5)(2))] . (40)
Objetivando-se determinar θL(s)Ea(s)
, usamos a relação N1N2
= 1/10,e encontramos,
θL(s)Ea(s)
=0,0417
s(s + 1,667).
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Para um sistema linear, temos as seguintes propriedades,Aditividade: f (a + b) = f (a) + f (b)Homogeneidade: f (α1a + α2b) = α1f (a) + α2f (b)
Abaixo apresentamos exemplos: (a) linear, (b) não-linear
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Exemplos de Sistemas Não-lineares
Pergunta: Este sistema é linear?
0 2 4 6 8 10−4
−2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Linearização
x0 é um ponto de equilíbrio.
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Procedimento de linearização
No processo de linearização supõe que o sistema próximo a umponto de um ponto de operação, também denominado de pontode equilíbrio (P.I.). (y(x) = 0).
A idéia é expandir y = f (x) em uma série de Taylor deste ponto,assim teremos:
y = f (x) = f (x) |P.I. +∂f (x)∂x
|P.I. (x − xi) +∂2f (x)∂x22!
|P.I. (x − xi)2 + · · · (41)
sendo P.I. = (xi , yi)
Como x ficará próximo a xi , então (x − xi) será pequeno, equando elevado a 2, 3, 4, . . ., será menor ainda.
Logo a equação (41) torna-se,
y = f (x) = f (x) |P.I. +∂f (x)∂x
|P.I. (x − xi) (42)
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Procedimento de linearizaçãoPodemos escrever a expressão (42) da seguinte maneira,
y = f (x) = f (x)︸︷︷︸
yi
|P.I. +∂f (x)∂x
|P.I.︸ ︷︷ ︸
m
(x − xi)︸ ︷︷ ︸
∆x
(43)
logo temos,
y = yi + m∆x
y − yi = m∆x
∆y = m ∆x (44)
sendo ∆y = y − yi
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
Análise Gráfica do Procedimento de Linearização
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Função de Transferência Não-Linearidade e Linearidade
ExercíciosLinearize as seguintes funções abaixo em torno do ponto deoperação xi = 1
y(x) = 5x + 2
y(x) = 3√
x + 1
y(x) = 2x3
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