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1

Universidade Federal do ABC

Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica

Circuitos Elétricos II

José Azcue, Prof. Dr.

Transformada inversa de Laplace

Definição

Funções racionais

Expansão em frações parciais

Teorema do valor inicial e final

2


1º Método: Tabelas

Linearidade

Teoremas e Propriedades

3


Exemplo – Obter a transformada inversa de Laplace de:

𝐹 𝑠 =1

(𝑠 + 3)2

Tem-se que:

ℒ 𝑡 =1

𝑠2 (Derivada da transformada)

ℒ 𝑒−𝑎𝑡𝑓(𝑡) = 𝐹 𝑠 + 𝑎 (Translação na frequência)

Portanto: ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑡𝑒−3𝑡 , 𝑡 ≥ 0

4


• A transformada inversa de Laplace é dada por:

ℒ−1 𝐹 𝑠 =1

2𝜋𝑗 𝐹 𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑠

𝜎+𝑗∞

𝜎−𝑗∞

= 𝑓 𝑡

• Para 𝑡 > 0

ℒ−1 𝐹 𝑠 =1

2𝜋𝑗 𝐹 𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑠

𝜎+𝑗∞

𝜎−𝑗∞

= 𝑓 𝑡 𝐻 𝑡

H 𝑡 = 0 𝑡 < 01 𝑡 ≥ 0

2º Método: Fórmula de Inversão

Integral sobre a reta s=

5

Transformada inversa de Laplace 3º Método: Anti-transformação de Funções Racionais

(Razão entre dois polinômios em s)

6

Funções racionais

0

( ) 1 ( )( ). . ( )

tv t dv t

v t dt C Idc H tR L dt

Exemplo

Aplicando a lei de Kirchhoff de correntes:

equação íntegro-diferencial em t

7

Funções racionais

( ) 1 ( ) 1[ . ( ) (0 )] .

V s V sC sV s v Idc

R L s s

Observações:

V(s) = variável de interesse

R, L, C e Idc = conhecidos

v(0-) = 0 (tensão inicial no capacitor)

O problema se reduz a uma equação algébrica em s

Aplicando Laplace:

0

( ) 1 ( )( ). . ( )

tv t dv t

v t dt C Idc H tR L dt

8

Funções racionais

( ) 1 ( ) 1( ) .

V s V ssC V s Idc

R L s s

Isolando-se V(s):

1 1( ).

IdcV s sC

R sL s

(x

𝑠

𝐶)

2

/( )

1 1

Idc CV s

s sRC LC

v(t) é a transformada inversa de V(s)

Função racional

9

Funções racionais

11112 jsjss

10

Expansão em frações parciais

Hipóteses

Função racional

11

Expansão em frações parciais • Determinar as raízes de 𝑫(𝒔) e escrever o polinômio

do denominador na forma fatorada.

• Determinar as constantes 𝑨𝒊 (denominadas Resíduos)

• Anti-transformar cada parcela (usando a linearidade)

1 2

( )( )

n

N sF s

s p s p s p

1 2

1 2

( ) n

n

A A AF s

s p s p s p

1 2

1 2( ) np t p t p t

nf t A e A e A e

12

Expansão em frações parciais • Seja:

Para determinar os Resíduos A1 e A2, utilize o Método dos Resíduos.

Multiplicando ambos os lados por 𝑠 − 𝑝1

𝐹 𝑠 =(𝑎 + 𝑏𝑠)

𝑠 − 𝑝1 𝑠 − 𝑝2 =

𝐴1

𝑠 − 𝑝1+

𝐴2

𝑠 − 𝑝2

𝐹 𝑠 =𝑎 + 𝑏𝑠

𝑠 − 𝑝1 𝑠 − 𝑝2 𝑝1 ≠ 𝑝2

𝑎 + 𝑏𝑠

𝑠 − 𝑝2= 𝐴1 +

𝑠 − 𝑝1 𝐴2

𝑠 − 𝑝2

Frações

parciais:

(𝑠 − 𝑝1) (𝑠 − 𝑝1)

13

Expansão em frações parciais • Fazendo 𝑠 = 𝑝1

𝑎 + 𝑏𝑝1

𝑝1 − 𝑝2= 𝐴1 +

𝑝1 − 𝑝1 𝐴2

𝑝1 − 𝑝2

→ 𝐴1 =𝑎+𝑏𝑝1

𝑝1−𝑝2= 𝐹(𝑠) 𝑠 − 𝑝1 𝑠=𝑝1

e 𝐴2 =𝑎+𝑏𝑝2

𝑝2−𝑝1= 𝐹(𝑠) 𝑠 − 𝑝2 𝑠=𝑝2

0

14

Pólos simples

• Generalizando para 𝑛 pólos simples:

• Exemplo:

2 2

3 2

96( 17 60) 96( 17 60) 120 48 72( )

14 48 ( 6)( 8) 6 8

s s s sF s

s s s s s s s s s

1 6 8( ) ( ) 120 48. 72. . ( )t tf t F s e e H t L

𝐴𝑖 = 𝐹(𝑠) 𝑠 − 𝑝𝑖 𝑠=𝑝𝑖

𝐹 𝑠 =96(𝑠2 + 17𝑠 + 60)

𝑠3 + 14𝑠2 + 48𝑠

D(s), polinômio mônico estritamente próprio

=96(𝑠2 + 17𝑠 + 60)

𝑠(𝑠 + 6)(𝑠 + 8)

Fatorar denominador

15

Pólos simples complexos

)256)(6(

)3(100)(

2

sss

ssFExemplo:

• Raízes do termo quadrático: )43).(43()256( 2 jsjsss

)43()43()6()256)(6(

)3(100 321

2 js

K

js

K

s

K

sss

s

• Assim:

12)256(

)3(100

6

21

sss

sK 53

3

3 4

100( 3)10.

( 6)( 3 4)

j

s j

sK e

s s j

1 2,36; 3 4p p j • Pólos:

𝐾2 =100 𝑠 + 3

𝑠 + 6 𝑠 + 3 + 𝑗4 𝑠=−3+𝑗4

= 10∠ − 53° = 10𝑒−𝑗53

16


2

100( 3) 12 10 53º 10 53º( )

( 6)( 6 25) ( 6) ( 3 4) ( 3 4)

sF s

s s s s s j s j

Observações:

Raízes complexas sempre aparecem em pares conjugados

Os resíduos associados a esses pares também são conjugados

→ Para pólos complexos basta calcular um dos resíduos

1 6 53 (3 4) 53 (3 4)

2

100( 3)12. 10. . 10. . . ( )

( 6)( 6 25)

t j j t j j tse e e e e H t

s s s

L

6 3( ) 12. 20. .cos(4 53º ) . ( )t tf t e e t H t

• Lembrando que * 2Rez z z

•E usando a fórmula de Euler, eliminam-se os componentes imaginários:

17


No exemplo, tem-se:

2,3 3 4p j 53

2,3 10ojA e

Contribuição do par de pólos complexos na anti-transformada:

320. .cos(4 53º )te t

53 ( 3 4) 53 ( 3 4) 53 ( 3 4)10 10 2 10o o oj j t j j t j j te e e e e e e

3 (4 53 )2 10ot j te e e

2 3 4p j 53

2 10ojA e

x2

18


Contribuição de Pólos Complexos

** 2k k kp t p t p t

k k kA e A e e A e

1º Caso

kj

k k

k k k

A A e

p j

Resíduo:

Pólo:

2 2 cos( )k kp t t

k k k ke A e A e t

2º Caso

Resíduo:

Pólo:

' ''

k k k

k k k

A A jA

p j

' ''

2

2 cos( ) ( )

k

k

p t

k

t

k k k k

e A e

e A t A sen t

F

19

Pólos simples complexos No Exemplo:

2,3 3 4p j 2,3 6 8A j

Contribuição do par de pólos complexos na anti-transformada:

3 312 cos(4 ) 16 (4 )t te t e sen t

( 3 4) ( 3 4) ( 3 4)(6 8) (6 8) 2 (6 8)j t j t j tj e j e e j e

3 (4 ) 32 6 8) 2 6cos4 8 4t j t te e j e e t sen t

2 3 4p j 2 6 8A j

x2

x(-2)

20

Pólos múltiplos

raízes de Q(s) nqqqq 321

multiplicidade

q1 é n vezes raiz de Q(s)

Cálculo dos resíduos

𝐹 𝑠 =𝑃(𝑠)

𝑄(𝑠)=

𝑃(𝑠)

𝑠 − 𝑞1𝑛

=𝐴1

𝑠 − 𝑞1𝑛

+𝐴2

𝑠 − 𝑞1𝑛−1

+ ⋯ +𝐴𝑛

𝑠 − 𝑞1

𝐴𝑘 =1

𝑘 − 1 !

𝑑𝑘−1 𝐹 𝑠 𝑠 − 𝑞1𝑛

𝑠=𝑞1

𝑑𝑠𝑘−1 𝑘 = 1,2, ⋯ , 𝑛

F

21

Pólos múltiplos

2

2( )

( 1)

sF s

s s

• O denominador tem 2 raízes (ou pólos), sendo 1 distinta: p1 = 0 e uma múltipla, de multiplicidade 2, em p2 = -1.

Exemplo:

𝐴1 = 𝐹 𝑠 . 𝑠 𝑠=0

= 2 𝐵1 = 𝐹 𝑠 . (𝑠 + 1)2 𝑠=−1

= −1

𝐹 𝑠 =𝑠 + 2

𝑠 𝑠 + 1 2=

𝐴1

𝑠+

𝐵1

𝑠 + 1 2+

𝐵2

(𝑠 + 1)

F

22

Pólos múltiplos

Portanto,

𝑠 + 2

𝑠 𝑠 + 1 2=

2

𝑠−

1

𝑠 + 1 2+

𝐵2

(𝑠 + 1)

𝐵2 =1

2 − 1 !

𝑑2−1 𝐹 𝑠 𝑠 + 1 2𝑠=−1

𝑑𝑠2−1

𝐵2 =𝑑 (𝑠 + 2)/𝑠 𝑠=−1

𝑑𝑠=

𝑠 − 𝑠 + 2

𝑠2 𝑠=−1

= −2

𝑠 + 2

𝑠 𝑠 + 1 2=

2

𝑠−

1

𝑠 + 1 2−

2

(𝑠 + 1)

(k=2)

23

Pólos múltiplos

• Para anti-transformar as frações parciais, utilizamos:

𝑠 + 2

𝑠 𝑠 + 1 2=

2

𝑠−

1

𝑠 + 1 2−

2

(𝑠 + 1)

𝑓 𝑡 = [2 − 𝑡. 𝑒−𝑡 −2. 𝑒−𝑡 ]𝐻(𝑡)

24

Pólos múltiplos complexos Exemplo:

22 )256(

768)(

sssF

)43(

*

)43(

*

)43()43()43()43(

768 2

2

12

2

1

22 js

K

js

K

js

K

js

K

jsjs

Somente K1 e K2 são determinados, pois K1*e K2* são os valores conjugados

12)8(

768

)43(

7682

43

21

jjsK

js

3)43(

768

43

22 jjsds

dK

js

25

Pólos múltiplos complexos Agrupando a expansão em termos conjugados

)43(

3

)43(

3

)43(

12

)43(

12)(

22 js

j

js

j

jsjssF

3 3( ) 24. . cos4 6. cos(4 90º ) . ( )t tf t t e t e t H t

Aplicando a transformada inversa, considerando a contribuição de pólos complexos conjugados:

F

26

Funções racionais impróprias Neste caso, deve ser realizada a divisão entre os polinômios, e a

função poderá ser expressa como um polinômio somado a uma

função racional estritamente própria. Exemplo:

Dividindo o numerador pelo denominador, até que o resto seja

uma função racional estritamente própria:

𝑠 + 2 +−4𝑠2 − 𝑠 + 1

𝑠3 + 3𝑠2 + 2𝑠= 𝑠 + 2 +

−4𝑠2 − 𝑠 + 1

𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)

+

Frações parciais

27

Funções racionais impróprias Aplicando o método dos resíduos

- t > 0

função

Doublet (derivada da

função impulso

unitário)

𝐹 𝑠 = 𝑠 + 2 +0,5

𝑠+

2

(𝑠 + 1)−

6,5

(𝑠 + 2)

Portanto,

𝑠 + 2 +−4𝑠2 − 𝑠 + 1

𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)= 𝑠 + 2 +

𝐴1

𝑠+

𝐴2

(𝑠 + 1)+

𝐴3

(𝑠 + 2)

28

Inversão da Transformada de Laplace

29

Relação entre os pólos e a função f(t)

30


31


32


33


34


35

Teoremas de valor inicial e final Os teoremas do valor inicial e do valor final possibilitam determinar a

partir de F(s) o comportamento de f(t) em t = 0 e t = .

Permite verificar os valores inicial e final de f(t) e analisar se estes

correspondem ao comportamento esperado para o circuito, antes de

determinar a transformada inversa de F(s).

st

ssFtf )(lim)(lim0

0)(lim)(lim st ssFtf

Teorema do valor inicial:

Teorema do valor final:

Hipóteses:

• f(t) não contém nenhuma função impulso.

• Existem os limites

36

Teoremas de valor inicial e final Exemplo - Considere a 𝑓(𝑡) cuja transformada de Laplace é dada por:

Calcular 𝑓 0+ e 𝑓 ∞

• Teorema do Valor Inicial (TVI)

𝑓 0+ = lim𝑠→∞

𝑠4𝑠 + 1

(𝑠2 + 2𝑠)=

4𝑠 + 1

(𝑠 + 2)=

4 +1𝑠

(1 +2𝑠)

= 4

𝐹 𝑠 =4𝑠 + 1

(𝑠2 + 2𝑠)

𝑓 0+ =4

37

Teoremas de valor inicial e final

2( ) [0,5 3,5 ]. ( )tf t e H t

(0 ) 4 e ( ) 0,5f f

Como:

Verifica-se que efetivamente:

𝐹 𝑠 =4𝑠 + 1

(𝑠2 + 2𝑠)

𝑓 ∞ = lim𝑠→0

𝑠4𝑠 + 1

(𝑠2 + 2𝑠)=

4𝑠 + 1

(𝑠 + 2)=

1

2

𝑓 ∞ = 0,5

Teorema do Valor Final (TVF)

38

Teoremas de valor inicial e final

y s F ss

( ) lim . ( )0 0

y s F ss

( ) lim . ( ) 0

1

2

4 3 2

: 0 , 0.05 , 20

3 2( ) :

5 3 2

( ) : 1 0,11.exp( 4,4. ) 0,89.exp( 0,29. ).cos(0, 61. )

0,44.exp( 0,29. ). (0,61. )

t

s sY s

s s s s

y t t t t

t sen t

Exemplo:

39

Próxima Aula

Leitura: Cap 16 – livro texto

1. Aplicações da Transformada de Laplace.

40

Referências

1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de

Circuitos Elétricos”, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013.

2. Slides da prof. Denise,

https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-

denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.

3. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol.

1( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo.

4. CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos I”, EPUSP.

5. NILSSON, J.W., RIEDEL, S. A. “Circuitos Elétricos”, 8ª Ed.,

Editora Pearson, 2009.

https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-denise/aulas




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