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1

Série de Taylor

( )

0

( )2

( )( ) ( ) (́ )( )

!

´́ ( ) ( )( ) ... ( ) ...

2! !

kk

k

nn

f ax a f a f a x a

k

f a f ax a x a

n

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2

Série de Maclaurin

( ) ( )2

0

(0) ´́ (0) (0)(0) (́0) ... ...

! 2! !

k nk n

k

f f fx f f x x x

k n

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3

Polinômio de Taylor de ordem n

2

( ) ( )

´́ ( )( ) ( ) (́ )( ) ( ) ...

2!

( ) ( )( ) ... ( )

! !

n

k nk n

f aP x f a f a x a x a

f a f ax a x a

k n

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4

Resto de um polinômio de Taylor

( ) ( ) ( )n nf x P x R x

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5

Teorema de Taylor

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6

Exemplos

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7

Exemplos

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8

Funções de várias variáveis

Função de duas variáveis

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9

Notação

2:

( , ) ( , )

f D

x y z f x y

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10

Exemplo

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11

Solução

a) b)

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12

Exemplo (sensação térmica)

Obs: ver também UMIDEX

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13

Exemplo: função de produção de Cobb-Douglas

(1 )( , )P L K bL K

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14

Tabela dados Cobb-Douglas

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15

Exemplo

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16

Solução

Imagem é:

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17

Gráficos

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18

Exemplo

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19

Exemplo

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20

Exemplo

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21

Exemplo

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22

Exemplo

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23

Curvas de nível

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24

Topografia

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25

Temperaturas (curvas isotérmicas)

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26

Exemplo

73

56

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27

Exemplo

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28

Solução

ou equivalentemente

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29

Exemplo

2 2( , ) 4h x y x y

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30

Exemplo

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31

Continuação

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32

Exemplo

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33

Continuação

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34

Funções com três variáveis

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35

Exemplo

Determine as curvas de superfície da função: 2 2 2( , , )f x y z x y z

Solução:2 2 2 onde 0.x y z k k

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36

Exemplo

Case as funções com os gráficos:

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37

Continuação

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38

Exemplo

As curvas de nivel abaixo são de um cone e um

paraboloide. Qual é qual?

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39

Exemplo

Case as funções abaixo com os seus gráficos e com os seus

mapas de contorno:

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40

Continuação

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41

Continuação

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42

Limites

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43

Limites

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44

Limites

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45

Exemplo

2 2

2 2( , ) (0,0)

( )lim

x y

sen x y

x y

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46

Exemplo2 2

2 2( , ) (0,0)lim

x y

x y

x y

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47

Observação importante

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48

Exemplo

2 2( , ) (0,0)lim

x y

xy

x y

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49

Exemplo2

2 4( , ) (0,0)lim

x y

xy

x y

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50

Exemplo

2

2 2( , ) (0,0)

3lim 0

x y

x y

x y

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51

Continuidade