1

20. Estima-se que 1350 m2 de terra sejam necessários para fornecer alimento para

uma pessoa. Admite-se, também, que há 30 x 1350 bilhões de m2 de terra arável no

mundo e que, portanto, uma população máxima de 30 bilhões de pessoas pode ser

sustentada, se não forem exploradas outras fontes de alimento. A população mundial,

no início de 1987, foi estimada em 5 bilhões de habitantes. Considerando que a

população continua a crescer, a uma taxa de 2% ao ano, e usando as aproximações

ln 1,02 = 0,02; ln 2 = 0,70 e ln 3 = 1,10, determine em quantos anos, a partir de 1987,

a Terra teria a máxima população que poderia ser sustentada.

Resposta: 90 Fazendo 5 bilhões = 5 e 30 bilhões = 30 f(x) = 5.(1,02)x 30 = 5.(1,02)x 6 = 1,02x ln 6 = ln 1,02x ln (2.3) = x.ln 1,02 ln 2 + ln 3 = x.ln 1,02 0,70 + 1,10 = x.0,02 x = 1,80/0,02 = 90 anos

21. Um professor propôs aos seus alunos o seguinte exercício: "Dada a função

RRf →+*: determine a imagem de x = 1024" e f(x) = log2 64x3. Qual não foi sua

surpresa quando, em menos de um minuto, um aluno respondeu corretamente que a

imagem era:

a) 30

b) 32

c) 33

d) 35

e) 36

Resposta: E f(x) = log2 64x3 f(1024) = log2 64(1024)3 f(1024) = log2 2

6(210)3 f(1024) = log2 2

6.230 f(1024) = log2 2

36 f(1024) = 36.log2 2 = 36.1 = 36

22. Dada a expressão S = log 0,001 + log 100, o valor de S é:

2

a) -3

b) -2

c) -1

d) 0

e) 1

Resposta: C S = log 0,001 + log 100 S = log 10-3 + log 102 S = -3.log 10 + 2.log 10 S = - 3 + 2 = - 1

23. Observe a figura.

Nessa figura, está representado o gráfico de f(x) = logn x.

O valor de f(128) é:

a) 5/2

b) 3

c) 7/2

d) 7

Resposta: C f(x) = logn x 2 = logn 16 n2 = 16 n = 4 f(x) = log4 x f(128) = log4 128 = y 4y = 128 22y = 27 2y = 7 y = 7/2

3

24. Se log3 n = 6, então )(32 3 nn + é igual a:

a) 36

b) 45

c) 54

d) 81

Resposta: D log3 n = 6 n = 36

812754

9.327.2

3.33.2

3.332

)(32

23

3 66

3

=+=+=+

=+

=+ nn

25. Se log (2x - 5) = 0, então x vale:

a) 5.

b) 4.

c) 3.

d) 7/3.

e) 5/2.

Resposta: C log (2x - 5) = 0 2x – 5 = 100 2x - 5 = 1 2x = 6 x = 3

26. Em que base o logaritmo de um número natural n, n>1, coincide com o próprio

número n?

a) nn.

b) 1/n.

c) n2.

d) n.

4

e) n n .

Resposta: E

n

n

x

nx

nx

nn

=

=

=log

27. Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é

a) o número ao qual se eleva a para se obter b.

b) o número ao qual se eleva b para se obter a.

c) a potência de base b e expoente a.

d) a potência de base a e expoente b.

e) a potência de base 10 e expoente a.

Resposta: B logb a = x bx = a x é o número ao qual se eleva b para se obter a.

28. Em 2002, um banco teve lucro de um bilhão de reais e, em 2003, teve lucro de

um bilhão e duzentos milhões de reais. Admitindo o mesmo crescimento anual para

os anos futuros, em quantos anos, contados a partir de 2002, o lucro do banco

ultrapassará, pela primeira vez, um trilhão de reais?

(Obs.: use as aproximações ln 1000 = 6,907, ln 1,2 = 0,182.)

Resposta: 38 1 bilhão = 109 1 trilhão = 1012 f(x) = 109.(1,20)x 1012 = 109.(1,20)x 103 = 1,20x ln 103 = ln 1,20x ln 1000 = x.ln 1,2 6,907 = x.0,182 x = 6,907/0,182 = 37,9 = 38 anos

29. Em uma cidade, a população que vive nos subúrbios é dez vezes a que vive nas

favelas. A primeira, porém, cresce 2% ao ano, enquanto a segunda cresce 15% ao

ano.

5

Admita que essas taxas de crescimento permaneçam constantes nos próximos anos.

a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a 12,1 milhões

de habitantes, calcule o número de habitantes das favelas daqui a um ano.

b) Essas duas populações serão iguais após um determinado tempo t, medido em

anos. Se t = 1/logx, determine o valor de x.

Resposta: f(s) = p0.(1,02)s f(f) = p0.(1,15)f a) s + f = 12,1 10f + f = 12,1 11f = 12,1 f = 1,1 milhões f(1) = 1,1.(1,15)1 f(1) = 1.265.000 b) 10.p0.1,02t = p0.1,15t 10 = 1,15t/1,02t 10 = (115/102)t log 10 = t.log(115/102) 1 = t.log(115/102) t = 1/[log115/102)]

102

115102

115loglog

log

1

102

115log

1

log

1

=

=

=

=

x

x

x

xt

30. Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6000 unidades de certo produto e,

desde então, sua produção tem crescido à taxa de 20% ao ano. Nessas condições,

em que ano a produção foi igual ao triplo da de 1996?

(Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48)

a) 1998

b) 1999

c) 2000

6

d) 2001

e) 2002

Resposta: E f(x) = 6.000.(1,20)x 18.000 = 6.000.1,2x 3 = 1,2x log 3 = log 1,2x 0,48 = x.log 1,2 0,48 = x. (log12 – log 10) 0,48 = x(log 22.3 – 1) 0,48 = x(2.log 2 + log 3 – 1) 0,48 = x(2.0,30 + 0,48 – 1) 0,48 = x.0,08 x = 0,48/0,08 x = 6 anos 1196 + 6 = 2002

31. A figura a seguir mostra parte do gráfico da função:

a) sen x

b) 2 sen (x/2)

c) 2 sen x

d) 2 sen 2x

e) sen 2x

Sendo y = a + b.sen (m.x + n); a = 0 b = 2 P = 2π/m ⇒ 4π = 2π/m⇒ m = ½ n = 0, logo a função é y = 2.sen x/2

7

32. Observe o gráfico.

Sabendo-se que ele representa uma função trigonométrica, a função y(x) é

a) -2 cos (3x).

b) -2 sen (3x).

c) 2 cos (3x).

d) 3 sen (2x).

e) 3 cos (2x).

3

2

3

2

2

=

=

=

mm

mP

ππ

π

A função apresentada é uma senóide com imagem entre -2 e 2 e como está invertida em relação à função original deve ser multiplicada por (-2). f(x) = -2.sen(3x)

33. Observe o gráfico da função trigonométrica y = 1 + 2 sen x, a seguir.

8

Pode-se afirmar que o seu conjunto imagem é o intervalo

a) [-2, 1]

b) [-2, 2]

c) [-1, 2]

d) [-1, 3]

e) [-1, 4]

y = 1 + 2 sen x P/ -1: y = 1 + 2(-1) = -1 P/ +1: y = 1 + 2(1) = 3 Im = [-1, 3]

34. Na figura a seguir tem-se o gráfico função f, de R em R, definida por f(x) =

k.sen(mx), em que k e m são reais, e cujo período é 8π/3.

Qual o valor de f(π/3)?

4

3

8

6

68

2

3

8

2

==

=

=

=

m

mm

mP

ππ

ππ

π

k = 2

9

22

2.2

4.2

43

.3.2

3

4

3.2)(

==

=

=

=

ππ

πsensenf

xsenxf

35. (UFAL) Se a medida de um arco, em graus, é igual a 128, sua medida em

radianos é igual a

a) (π/4) - 17

b) (64/15) π

c) (64/45) π

d) (16/25) π

e) (32/45) π

Resposta: E 180o π 128o x 180o x = 128o π x = 128o π/180o x = 32π/45 rad.

36. Dentre os desenhos abaixo, aquele que representa o ângulo que tem medida

mais próxima de 1 radiano é

Resposta: B 180o π

10

xo 1 180o = x.π x = 180o/π x = 180o/3,14 x = 57,3º

37. Dos números a seguir, o mais próximo de sen 5 é

a) 1

b) 1/2

c) 0

d) -1/2

e) -1

Resposta: E 180o π xo 5 5.180o = x.π x = 900o/π x = 900o/3,14 x = 286,6º Dentro os números dados o 286,6º está mais próximo de 270º, cujo seno vale -1. 38. Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular de raio 1 cm,

como mostra a figura.

A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 1

radiano. O perímetro do "monstro", em cm, é:

a) π - 1.

b) π + 1.

c) 2π - 1.

d) 2π.

11

e) 2π + 1.

Resposta: E C = circunferência – arco + r + r C = 2πR – 1 + 1 + 1 C = 2π + 1

39. O subir e descer das marés é regulado por vários fatores, sendo o principal deles

a atração gravitacional entre Terra e Lua. Se desprezássemos os demais fatores,

teríamos sempre o intervalo de 12,4 horas entre duas marés altas consecutivas, e

também sempre a mesma altura máxima de maré, por exemplo, 1,5 metros. Nessa

situação, o gráfico da função que relacionaria tempo (t) e altura de maré (A) seria

semelhante a este:

O fenômeno das marés pode ser descrito por uma função da forma f(t) = a.sen (b.t),

em que a é medido em metros e t em horas. Se o intervalo entre duas marés altas

sucessivas é 12,4 horas, tendo sempre a mesma altura máxima de 1,5 metros, então

a) b = (5π)/31

b) a + b = 13,9

c) a - b = π/1,5

d) a . b = 0,12

e) b = (4π)/3

Resposta: A

31

5

124

10.2

10

1242

4,12

2

24,12

2

ππππ

π

π

====

=

=

m

m

mP

12

40. No processo de respiração do ser humano, o fluxo de ar através da traquéia,

durante a inspiração ou expiração, pode ser modelado pela função F, definida, em

cada instante t, por F(t) = M sen wt. A pressão interpleural (pressão existente na

caixa torácica), também durante o processo de respiração, pode ser modelada pela

função P, definida, em cada instante t, por P(t) = L - F(t + a). As constantes a, L, M e

w são reais, positivas e dependentes das condições fisiológicas de cada indivíduo.

(AGUIAR, A.F.A., XAVIER, A.F.S. e RODRIGUES, J.E.M. Cálculo para Ciências

Médicas e Biológicas, ed. HARBRA Ltda. 1988.(Adaptado)

Um possível gráfico de P, em função de t, é:

Resposta: D A função P(t) = L - F(t + a) fica sendo: P(t) = L - M sen w(t + a), que é uma senóide.

41. Um supermercado, que fica aberto 24 horas por dia, faz a contagem do número

de clientes na loja a cada 3 horas. Com base nos dados observados, estima-se que o

número de clientes possa ser calculado pela função trigonométrica f(x) = 900 - 800

sen [(x.π)/12], onde f(x) é o número de clientes e x, a hora da observação (x é um

inteiro tal que 0 ≤ x ≤ 24).

Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número máximo e o número

mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia completo, é igual a

a) 600.

13

b) 800.

c) 900.

d) 1.500.

e) 1.600.

Resposta: E f(x) = 900 - 800 sen [(x.π)/12] Mínimo = 900 – 800 = 100 Máximo = 900 – 800(-1) = 900 + 800 = 1700 1700 – 100 = 1600

42. (PUC-RIO) O valor de (cos60° + tg45°)/sen90° é:

a) 2

3

b) 2 c) 2

d) 2

12 +

e) 0

Resposta: A (cos60° + tg45°)/sen90° =

2

3

1

12

1

=+

43. O conjunto-imagem da função f definida por f(x) = sen (x) + h é [-2; 0]. O valor de

h é

a) π

b) -2

c) -1

d) 0

e) 1

Resposta: C f(x) = sen (x) + h P/ -1: -1 + h = -2 h = -1

14

44. O período e a imagem da função

−−=π

2cos35)(

xxf , x ∈ R, são,

respectivamente,

a) 2π e [-1, 1]

b) 2π e [2, 8]

c) 2π2 e [2, 8]

d) 2π e [-3, 3]

e) 2π2 e [-3, 3]

Resposta: C 22

1.2

122 πππ

π

ππ ====m

P

Imagem: P/ -1: 5 – 3(-1) = 8 P/ 1: 5 – 3.(1) = 2 Im = [2, 8]

45. Carlos propõe o seguinte exercício para seus alunos: Calcule o período da função

f(x) = 2 + sen(6πx + 1/2). A resposta correta é

a) 6π

b) 1/3

c) π/3

d) π

e) 2π

Resposta: B

3

1

6

22 ===πππ

mP

46. Seja RRf →: , onde R denota o conjunto dos números reais, uma função definida

por 1cos4

3)( +

+=

xxf . O menor e o maior valor de f(x), respectivamente, são:

a) 1,6 e 2

b) 1,4 e 3

15

c) 1,6 e 3

d) 1,4 e 1,6

e) 2 e 3

Resposta: A P/ -1:

213

31

)1(4

3 =+=+−+

P/ 1:

6,15

81

5

31

)1(4

3 ==+=++