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1 Primitivação 21.1 Noção de primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Algumas primitivas imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Propriedades das primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Técnicas de Primitivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.1 Primitivação por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.2 Primitivação por mudança de variável (ou substituição) 51.4.3 Primitivação por decomposição . . . . . . . . . . . . . 9
2 O Integral de Riemann 122.1 Partições de intervalos e somas de Riemann . . . . . . . . . . 122.2 Integrabilidade à Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Propriedades do Integral de Riemman 153.1 Propriedades elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Teorema Fundamental do Cálculo Integral . . . . . . . . . . . 183.3 Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Integração por mudança de variável . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Algumas aplicações do integral de�nido 234.1 Cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Cálculo de volumes de sólidos de revolução . . . . . . . . . . . 244.3 Cálculo do comprimento de linha . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Integrais Impróprios 265.1 Limites de integração in�nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Funções integrandas não limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3 Critérios de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1 08/Dezembro/2009
1 Primitivação
1.1 Noção de primitiva
De�nição 1 Se f e F são funções de�nidas no intervalo [a; b], F é diferen-ciável em todos os pontos de [a; b] e se para todo o x 2 [a; b],
F 0 (x) = f (x) ;
diz-se que F é uma primitiva de f em [a; b].
Observação 1 Nestas circunstâncias diz-se que f é primitivável em [a; b] :
Exemplo 1 As funções F (x) = sinx e G(x) = sinx + 3 são primitivas decosx em R pois (sinx)0 = (sin x+ 3)0 = cos x.
Como se pode veri�car, se F for uma primitiva de f , também F + C(em que C é uma constante) é uma primitiva de f . Mas será que todasas primitivas de uma dada função diferem entre si de uma constante? Oseguinte teorema responde a�rmativamente a esta questão (mas só se F foruma primitiva de f num intervalo).
Proposição 1 Sejam F e G duas primitivas de f no intervalo [a; b]. Então,F (x)�G (x) = C (em que C é uma constante), isto é, F e G diferem entresi de uma constante.Dem. Reparando que,
(F (x)�G (x))0 = F 0 (x)�G0 (x)= f (x)� f (x)= 0;
deduz-se que F � G é constante no intervalo [a; b], em resultado de umcorolário do teorema de Lagrange. .
De�nição 2 Seja F a primitiva de uma função f no intervalo I; se nada fordito em contrário, denotamos por Pf (x) ; Pxf (x) ou
Rf (x) dx o conjunto
das primitivas de f no intervalo I. Nestas circustâncias (e tendo em conta oresultado anterior)
Pf (x) = fF (x) + C : C 2 Rg ;
ou simpli�cadamentePf (x) = F (x) + C:
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Função Primitivasin x � cosx+ Ccosx sin x+ C
x�; (� 6= �1; x > 0) x�+1
�+1+ C
1x
ln jxj+ C1
1+x2arctanx+ C
1p1�x2 arcsinx+ C
Tabela 1: Tabela de primitivas elementares
Função Primitiva'0 (x) sin' (x) � cos' (x) + C'0 (x) cos' (x) sin' (x) + C
'0 (x)' (x)� ; (� 6= �1; ' (x) > 0) ['(x)]�+1
�+1+ C
'0(x)'(x)
ln j' (x)j+ C'0(x)
1+['(x)]2arctan' (x) + C
'0(x)p1�['(x)]2
arcsin' (x) + C
Tabela 2: Tabela de primitivas imediatas
1.2 Algumas primitivas imediatas
Na tabela 1 apresentamos algumas primitivas imediatas.Reparando que
(F (' (x)))0 = '0 (x)F 0 (' (x))
atendendo à regra de derivação da função composta concluí-se facilmente queF (' (x)) é uma primitiva de '0 (x)F 0 (' (x)).Na tabela 2 apresentamos a versão mais geral da tabela 1.
1.3 Propriedades das primitivas
Proposição 2 Sejam f e g funções primitiváveis no intervalo [a; b] e � 2 R.Então, no intervalo [a; b]:
1. P (f (x) + g (x)) = Pf (x) + Pg (x) ;
2. P (�f (x)) = �Pf (x) ;
Proposição 3 Seja f uma função diferenciável no intervalo [a; b]. Então,no intervalo [a; b],
Pxf0 (x) = f (x) + C:
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Dem. (f (x) + C)0 = f 0 (x).
Proposição 4 Toda a função contínua num intervalo é primitivável nesseintervalo.Dem. Ver a parte 1 do teorema fundamental do cálculo integral (pro-
posição 21).
1.4 Técnicas de Primitivação
1.4.1 Primitivação por partes
Proposição 5 Sejam f e g são funções com derivada contínua no intervalo[a; b]. Então, neste mesmo intervalo
P (f 0 (x) g (x)) = f (x) g (x)� P (f (x) g0 (x)) :
Dem. Da fórmula de derivação do produto,
(f (x) g (x))0 = f 0 (x) g (x) + f (x) g0 (x) ;
resultaf 0 (x) g (x) = (f (x) g (x))0 � f (x) g0 (x) .
Notando que estas funções são todas primitiváveis pois são contínuas (pro-posição 4), deduz-se
P (f 0 (x) g (x)) = P�(f (x) g (x))0
�� P (f (x) g0 (x))
= f (x) g (x)� P (f (x) g0 (x)) ;
tendo em conta algumas das propriedades, já assinaladas, da primitivação.
Exemplo 2 Calcule P sin2 x.Fazendo f 0 (x) = sinx e g (x) = sinx, resulta f (x) = � cosx e g0 (x) =
cosx. Aplicando a fórmula de primitivação por partes,
P (sinx sin x) = � cosx sin x� P�� cos2 x
�= � cosx sin x+ P
�1� sin2 x
�= � cosx sin x+ x� P sin2 x:
Então,
P sin2 x =� cosx sin x+ x
2+ C:
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Exemplo 3 Calcule P lnx.Fazendo f 0 (x) = 1 e g (x) = lnx resulta f (x) = x e g0 (x) = 1
x. Assim,
P lnx = x lnx� Px1x= x (lnx� 1) + C:
Exemplo 4 Calcule Pxex.Fazendo f 0 (x) = ex e g (x) = x resulta f (x) = ex e g0 (x) = 1. Assim,
Pxex = xex � P1ex = ex (x� 1) + C:
1.4.2 Primitivação por mudança de variável (ou substituição)
Comecemos por apresentar a seguinte notação para representar f (g (t)):
f (g (t)) = f (x)jx=g(t) :
Proposição 6 Seja f uma função contínua no intervalo [a; b] e x = ' (t)uma aplicação com derivada contínua e que não se anula. Então,
Pxf (x) = Ptf (' (t))'0 (t)jt='�1(x) :
Dem. Claramente y = f (x) e z = f (' (t))'0 (t) são funções primi-tiváveis no intervalo [a; b] relativamente às variáveis x e t; respectivamente.Seja, H (t) uma primitiva de f (' (t))'0 (t) e
H�'�1 (x)
�= Ptf (' (t))'
0 (t)jt='�1(x) ;
mostremos qued(H('�1(x)))
dx= f (x). Da regra de derivação da função com-
posta e da função inversa deduz-se sucessivamente,
d (H ('�1 (x)))
dx=
d (H (t))
dt
����t='�1(x)
d ('�1 (x))
dx
= f (' (t))'0 (t)jt='�1(x)1
'0 (t)
����t='�1(x)
= f (x)'0�'�1 (x)
� 1
'0 ('�1 (x))
= f (x) :
Observação 2 Seguidamente apresentamos uma demonstração alternativada proposição anterior.
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Dem. Seja F uma primitiva de f e H (t) = F (' (t)). Então
H 0 (t) = F 0x (' (t))'0 (t)
= f (' (t))'0 (t) ;
o que mostra que H (t) = F (' (t)) é uma primitiva de f (' (t))'0 (t). Assim,se em H substituirmos ' (t) por x (ou seja �zermos t = '�1 (x)) obteremosF (x).
Observação 3 Utilizando outra notação para representar o conceito de prim-itiva a fórmula de primitivação por substituição pode ser apresentada daforma seguinte: Z
f (x) dx =
Zf (' (t))'0 (t) dt
����t='�1(x)
=
Zf (' (t))
d'
dtdt
����t='�1(x)
:
Exemplo 5 Calcule P 1(2x+1)2
.
Seja t = 2x + 1; isto é, façamos x = ' (t) = t�12. Da fórmula de primiti-
vação por substituição,
Px1
(2x+ 1)2= Pt
'0 (t)
(2' (t) + 1)2
����t=2x+1
= Pt
12
t2
����t=2x+1
= �12t�1��2x+1
= � 1
2 (2x+1)+ C:
Exemplo 6 Calcule Pep2�x.
Façamosp2� x = t, isto é, x = ' (t) = 2� t2. Assim, '0 (t) = �2t e
Pxep2�x = Pt'
0 (t) ep2�'(t)
���t='�1(x)
= Pt (�2t) et��t='�1(x)
= �2Ptet��t='�1(x)
= �2�et (t� 1)
���t='�1(x)
= �2�ep2�x �p2� x� 1��+ C:6 08/Dezembro/2009
Exemplo 7 Calcule Pp4� x2.
Seja x = ' (t) = 2 sin t. Então, '0 (t) = 2 cos t e
Pxp4� x2 = Pt'
0 (t)
q4� ' (t)2
����t='�1(x)
= Pt2 cos t
q4� (2 sin t)2
����t='�1(x)
= 4Pt cos2 t��t=arcsin x
2
:
Mas,
Pt cos2 t = Pt
�1� sin2 t
�=
= t� � cos t sin t+ t2
=t+ cos t sin t
2:
Então,
Pxp4� x2 = 4
t+ cos t sin t
2
����t=arcsin x
2
= 2�arcsin
x
2+ cos arcsin
x
2sin arcsin
x
2
�= 2
arcsin
x
2+x
2
r1� x
2
4
!+ C
Uma das principais di�culdades na primitivação por substituição residena escolha da mudança de variável adequada. Em numerosas situaçõesencontram-se estudadas substituições aconselhadas, tais como as que se ap-resentam na tabela 3, na qual f é uma função racional dos argumentos in-dicados. A utilização destas substituições permite transformar a função aprimitivar numa função racional que pode ser primitivada por decomposição.
Exemplo 8 Calcule P 1px2+c
.Notemos que a > 0 em x2 + c. Utilizemos por isso a primeira das substi-
tuições recomendada na tabela 3,px2 + c = t+ x:
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Primitiva SubstituiçãoPf�x;pax2 + bx+ c
�; a > 0
pax2 + bx+ c = t+ x
pa
Pf�x;pax2 + bx+ c
�; c > 0
pax2 + bx+ c = tx+
pc
Pf�x;pax2 + bx+ c
�;
pax2 + bx+ c = (x� �) t;
b2 � 4ac > 0 � raíz de ax2 + bx+ cPf (ex) x = ln t
Tabela 3: Primitivação por substituição
Assim, x = ' (t) = c�t22te '0 (t) = � t2+c
2t2e
Px1px2 + c
= � Pt1
t+ c�t22t
t2 + c
2t2
�����t=px2+c�x
= � Pt1
t
����t=px2+c�x
= � ln���px2 + c� x���+ C:
Exemplo 9 Calcule P ex+2e�x
e2x.
Notemos queex + 2e�x
e2x=e2x + 2
e3x
e façamos x = ' (t) = ln t. Assim, '0 (t) = 1te
Pxex + 2e�x
e2x= Pt
t2 + 2
t31
t
����t=ex
Exemplo 10 Calcule P 1+px2�3x�2x�1 .
Notemos que a > 0 e que x2 � 3x � 2 tem duas raízes reais distintaspois b2 � 4ac > 0. Podemos recorrer à primeira ou última das substituiçõesassinaladas na tabela 3. Utilizando a primeira das substituições, façamos
px2 � 3x� 2 = t+ x:
Assim,
x = ' (t) = �2 + t2
3 + 2te
'0 (t) = �2t2 + 6t� 4(3 + 2t)2
:
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Resultando,
Px1 +
px2 � 3x� 2x� 1 = Pt
1 + t� 2+t2
3+2t
�2+t2
3+2t� 1
��2t
2 + 6t� 4(3 + 2t)2
������t='�1(x)
No próximo ponto iremos ver como primitivar funções racionais.
1.4.3 Primitivação por decomposição
A decomposição é uma técnica de primitivação de funções racionais que con-siste em decompor em fracções elementares de primitivação imediata ou quaseimediata a função racional que se pretende primitivar.
Proposição 7 Seja F (x) uma função racional. É possível escrever F naforma
F (x) = H (x) +P (x)
Q (x)
em que H; P e Q representam polinómios tais que o grau de P é inferior aograu do polinómio mónico1 Q.Dem. Omitida.
Exemplo 11 Escreva na forma anteriormente indicada a função racionalF (x) = x4�3x2+x
3x3+x.
Apliquemos o algoritmo da divisão ao quociente F . Facilmente se veri�caque
F (x) =x
3+�10
3x+ 1
3x2 + 1
=x
3+�10
9x+ 1
3
x2 + 13
:
Assim, o cálculo da primitiva de F �ca reduzido ao cálculo da primitivaelementar do polinómio H e da primitiva da fracção racional P=Q com ascaracterísticas atrás indicadas:Z
F (x) dx =
ZH (x) dx+
ZP (x)
Q (x)dx.
Proposição 8 Sejam P e Q polinómios tais que o grau de P é inferior aograu do polinómio mónico Q. Então P=Q pode decompor-se numa soma determos elementares dos tipos seguintes:
1um polinómio é mónico se o coe�ciente do termo de maior grau é 1.
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função Primitiva
a
(x�r)k ; k � 1; k 2 N(a ln j(x� k)j+ C; se k = 1a(x�r)�k+1
�k+1 ; se k > 1bx+d
[(x��)2+�2]b ln((x��)2+�2)
2+ (b�+d)
�arctan
�x���
�+ C
bx+d
[(x��)2+�2]k ; k > 1; k 2 N b(1+t2)
�k+1
2�2k�2(1�k) +b�+d�2k�1
R1
(1+t2)kdt; t =
x���
1
(1+t2)k; k > 1; k 2 N
por partes fazendo,1
(1+t2)k= 1
(1+t2)k�1� t
22t
(1+t2)k
Tabela 4: Primitivação por decomposição
1. a
(x�r)k ; a; r 2 R; k 2 N e k � 1
2. bx+d
[(x��)2+�2]k ; �; �; b, d 2 R; k 2 N e k � 1.
Dem. Omitida.
Desta forma conhecendo as primitivas dos termos elementares a
(x�r)k ebx+d
[(x��)2+�2]k o problema do cálculo de
R P (x)Q(x)
dx �ca resolvido. Na tabela 4
apresentamos as primitivas indicadas.Seguidamente vamos veri�car como podemos decompor P=Q.
Proposição 9 Consideremos o polinómio mónico Q e todas as suas raízesreais rk (1 � k � s) e complexas cl = �l + �li (1 � l � t) assim comoas respectivas multiplicidades �k (1 � k � s) das raízes reais e da raízescomplexas �l (1 � l � t).
Raízes: Multiplicidade:r1 �1...
...rs �s
c1 = �1 � �1i �1...
...ct = �t � �ti �tEntão o polinómio Q pode ser escrito da seguinte forma,
Q (x) = (x� r1)�1 : : : (x� rs)�s�(x� �1)2 + �21
��1: : :�(x� �t)2 + �2t
��tDem. Omitida.
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Exemplo 12 Decomponha na forma indicada o polinómio Q (x) = x3�x2+x� 1.Comecemos por observar que as raízes de Q são r = 1 e c = �i, qualquer
delas de multiplicidade um. Então,
Q (x) = (x� 1)�x2 + 1
�:
Proposição 10 Consideremos a função racional P=Q tal que o grau de Pé menor do que o grau do polinómio mónico Q e todas as raízes reais rk(1 � k � s) e complexas cl = �l+�li (1 � l � t), deste último polinómio,assim como as respectivas multiplicidades �k (1 � k � s) das raízes reais eda raízes complexas �l (1 � l � t). Então,
P (x)
Q (x)=
sXk=1
�kXn=1
a(n)k
(x� rk)n+
tXl=1
�lXm=1
b(m)l x+ d
(m)l�
(x� �l)2 + �2l�m
Dem. Omitida.
De referir que os coe�cientes desconhecidos na decomposição anterior po-dem ser calculados pelo método dos coe�cientes indeterminados.
Exemplo 13 Decomponha da maneira indicada as funções racionais
1. F1 (x) = x2+2x�1(x+1)3(x�1)
x2 + 2x� 1(x+ 1)3 (x� 1)
=a1
(x+ 1)+
a2
(x+ 1)2+
a3
(x+ 1)3+
a4(x� 1) :
2. F2 (x) = x3�1x(x2+1)2
x3 � 1x (x2 + 1)2
=a1x+b1x+ d1(x2 + 1)
+b2x+ d2
(x2 + 1)2:
3. F3 (x) = x+2(x2�1)(x2+1)2
x+ 2
(x2 � 1) (x2 + 1)2=
x+ 2
(x� 1) (x+ 1) (x2 + 1)2
=a1
(x� 1) +a2
(x+ 1)+b1x+ d1(x2 + 1)
+b2x+ d2
(x2 + 1)2:
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4. F4 (x) = x2+2x�1x3�x2+x�1
x2 + 2x� 1x3 � x2 + x� 1 =
x2 + 2x� 1(x� 1) (x2 + 1)
=a1
(x� 1) +b1x+ d1(x2 + 1)
:
Exemplo 14 Decomponha em fracções elementares a função racional
F (x) =x2 + 2x� 1
x3 � x2 + x� 1
e calcule os coe�cientes indeterminados.Do exemplo anterior,
x2 + 2x� 1x3 � x2 + x� 1 =
a1(x� 1) +
b1x+ d1(x2 + 1)
=a1 (x
2 + 1) + (x� 1) (b1x+ d1)(x� 1) (x2 + 1)
=(a1 + b1)x
2 + (d1 � b1)x+ (a1 � d1)(x� 1) (x2 + 1) :
Então, 8<:a1 + b1 = 1d1 � b1 = 2a1 � d1 = �1
)
8<:a1 = 1b1 = 0d1 = 2
) x2 + 2x� 1x3 � x2 + x� 1 =
1
(x� 1) +2
(x2 + 1)
2 O Integral de Riemann
2.1 Partições de intervalos e somas de Riemann
De�nição 3 Seja [a; b] um intervalo com b > a.
1. Uma partição2 de [a; b] é um conjunto de pontos P = fx0; x1; : : : ; xngtal que
a = x0 < x1 < x2 < : : : < xn = b:
2ou decomposição de vértices P:
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2. A norma da partição P = fx0; x1; : : : ; xng é o número (que é sempremaior ou igual a zero),
kPk = max1�j�n
jxj � xj�1j :
3. Um re�namento da partição P = fx0; x1; : : : ; xng é uma partição Qde [a; b] tal que P � Q. Nesta situação diz-se que Q é mais �na doque P:
Exemplo 15 Sejam I = [0; 1], P = f0; 0:1; 0:3; 0:5; 1g e Q = P [ f0:7g.P e Q são duas partições de I tais que kPk = 0:5 e kQk = 0:3. Q é umre�namento da partição P pois P � Q. Naturalmente Q é mais �na do queP:
De�nição 4 Seja [a; b] um intervalo fechado limitado, P = fx0; x1; : : : ; xnguma partição de [a; b] e f : [a; b]! R uma função limitada. Chama-se somade Riemann de f relativamente à partição P ao número
S (f; P ) =nXj=1
f (tj) (xj � xj�1)
comtj 2 [xj�1; xj] com 1 � j � n:
Exemplo 16 Represente e interprete geometricamente uma soma de Rie-mann de f (x) = x2 em [0; 1] e P = f0; 0:25; 0:5; 0:75; 1g :
Proposição 11 Sejam P e Q partições de [a; b] tal que P � Q então kPk �kQk :Dem. Omitida.
De�nição 5 (Convergência de uma soma de Riemann) Seja P = fx0; x1; : : : ; xnguma partição de [a; b] e f : [a; b] ! R uma função limitada. Diz-se que asoma de Riemann de f converge para o número I (f) quando kPk ! 0 separa todo � > 0 existe uma partição P� de [a; b] tal que
P� � P )�����nXj=1
f (tj) (xj � xj�1)� I (f)����� < �
para todas as escolhas de tj 2 [xj�1; xj] ; 1 � j � n. Nestas circunstâncias
I (f) = limkPk!0
nXj=1
f (tj) (xj � xj�1)
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2.2 Integrabilidade à Riemann
De�nição 6 Seja [a; b] um intervalo com b > a. Diz-se que f : [a; b]! R éintegrável à Riemann em [a; b] se f é limitada em [a; b] e se o limite
I (f) = limkPk!0
nXj=1
f (tj) (xj � xj�1) ;
existe. Nestas circunstâncias escreve-se
I (f) =
Z b
a
f (x) dx;
e diz-se queR baf (x) dx é o integral de�nido de f entre a e b.
Na de�nição anterior f representa a chamada função integranda, x avariável de integração, dx o acréscimo in�nitésimal associado a
limkPk!0
(xj � xj�1)
e a e b os limites de integração.
Observação 4 No presente contexto e se nada for dito em contrário a ex-pressão �função integrável� deverá entender-se �função integrável à Rie-mann�.
Exemplo 17 As funções constantes f (x) = k; são integráveis à Riemannpois são limitadas, e f (tj) = k para todas as escolhas de tj 2 [xj�1; xj] ;j = 1; 2; : : : ; n para toda a partição P de [a; b],
nXj=1
k (xj � xj�1) = k
nXj=1
(xj � xj�1)
= k (b� a) :
O seguinte resultado mostra que todas as funções contínuas são integráveisà Riemann.
Proposição 12 As funções contínuas em intervalos fechados e limitados[a; b], são integráveis à Riemann.
Dem. Omitida.O integral de Riemann de uma função positiva entre a e b pode interpretar-
se geometricamente como a área da região do plano limitada superiormentepelo grá�co de f , inferiormente pelo eixo dos xx e lateralmente pelas rectasx = a e x = b.
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Exemplo 18 Consideremos a função f (x) = x e o intervalo [0; 1]. Calcule-mos
R 10f (x) dx.
Consideremos a partição diádica do intervalo indicado,
Pn = fj=2n : j = 0; 1; 2; 3; : : : ; 2ng
e a soma de Riemann,
S (f; P ) =
j=2nXj=1
f
�j
2n
��j
2n� j � 1
2n
�=
j=2nXj=1
j
2n1
2n
=
j=2nXj=1
j
4n
=1 + 2 + 4 + : : :+ 2n
4n
=(1 + 2n) 2n
2� 4n
=
�12n+ 1�
2:
Então, Z 1
0
f (x) dx = limn!1
�12n+ 1�
2
=1
2.
3 Propriedades do Integral de Riemman
3.1 Propriedades elementares
Vamos ver agora algumas propriedades importantes do integral de Riemann.
Proposição 13 (Linearidade do Integral) Sejam f e g integráveis em[a; b] e � 2 R, então f + g e �f são integráveis em [a; b] eZ b
a
(f (x) + g (x)) dx =
Z b
a
f (x) dx+
Z b
a
g (x) dx
e Z b
a
(�f (x)) dx = �
Z b
a
f (x) dx:
15 08/Dezembro/2009
Dem. Deixemos a demonstração da segunda igualdade como exercício edemonstremos a primeira. Comecemos por observar que f + g é limitada em[a; b]. Seja � > 0 e �1 � �
2: Existem partições P�1 e R�1 tais que
P�1 � P )�����nXj=1
f (tj) (xj � xj�1)� I (f)����� < �1 = �
2
e
R�1 � P )�����nXj=1
g (tj) (xj � xj�1)� I (g)����� < �1 = �
2
para todas as escolhas de tj 2 [xj�1; xj] ; j = 1; 2; : : : ; n (porquê?). Conside-remos a partição de [a; b], Q� = P�1 [R�1. Então,�����
nXj=1
(f (tj) + g (tj)) (xj � xj�1)� (I (f) + I (g))����� =�����
nXj=1
f (tj) (xj � xj�1)� I (f) +nXj=1
g (tj) (xj � xj�1)� I (g)����� ������
nXj=1
f (tj) (xj � xj�1)� I (f)�����+�����nXj=1
g (tj) (xj � xj�1)� I (g)����� <
�
2+�
2= �
se Q� � P , para todas as escolhas de tj 2 [xj�1; xj] ; j = 1; 2; : : : ; n (porquê?).O que mostra que,Z b
a
(f (x) + g (x)) dx =
Z b
a
f (x) dx+
Z b
a
g (x) dx
Proposição 14 Se f é integrável em [a; b] então f é integrável em todo osubintervalo [c; d] de [a; b] eZ b
a
f (x) dx =
Z c
a
f (x) dx+
Z b
c
f (x) dx;
para todo o c 2 ]a; b[.Dem. Omitida.
Proposição 15 (Comparação de Integrais) Sejam f e g integráveis em[a; b] e f (x) � g (x) para todo x 2 [a; b] ; entãoZ b
a
f (x) dx �Z b
a
g (x) dx: (1)
16 08/Dezembro/2009
Em particular se m � f (x) �M;
m (b� a) �Z b
a
f (x) dx �M (b� a) : (2)
Dem. Seja h (x) = f (x) � g (x). Então, h (x) � 0 para todo x 2 [a; b],com h e a função constante 0 integráveis à Riemann (porquê?). Por outrolado,
S (h; P ) � S (0; P ) = 0para toda a partição de P de [a; b]. Então,
limkPk!0
nXj=1
h (tj) (xj � xj�1) � 0:
Da linearidade do integral (proposição 15), conclui-seZ b
a
h (x) dx =
Z b
a
(f (x)� g (x)) dx
=
Z b
a
f (x) dx�Z b
a
g (x) dx � 0;
o que mostra que Z b
a
f (x) dx �Z b
a
g (x) dx
como se pretendia.
Proposição 16 Seja f integrável em [a; b] ; então jf j é integrável em [a; b] ;e����Z b
a
f (x) dx
���� � Z b
a
jf (x)j dx:
Dem. Omitida.
Proposição 17 Seja f e g integráveis em [a; b] ; então fg é integrável em[a; b].Dem. Omitida.
Proposição 18 Se f é integrável em [a; b] entãoZ c
c
f (x) dx = 0
17 08/Dezembro/2009
para todo o c 2 [a; b].Dem. Seja c 2 [a; b[, h > 0 tal que c+ h 2 [a; b[ e M o máximo de f em
[a; b]. Então, das proposições 16 e 15,����Z c+h
c
f (x) dx
���� �Z c+h
c
jf (x)j dx
� M (c+ h� c)� Mh:
Fazendo h ! 0 resulta���R c+hc
f (x) dx��� ! 0. Deste facto resulta a tese.
Análogamente se demonstra a situação c = b.
De�nição 7 Seja f integrável em [a; b], entãoZ a
b
f (x) dx = �Z b
a
f (x) dx:
Esta de�nição pode justi�car-se recorrendo à noção de Integral de Rie-mann e permite generalizar algumas das propriedades já estudadas.
Proposição 19 (Teorema da média) Seja f contínua em [a; b] ; então ex-iste c 2 [a; b] tal que Z b
a
f (x) dx = f (c) (b� a) : (3)
Dem. Naturalmente f é integrável (porquê?). Seja m e M o mínimo e omáximo de f em [a; b], respectivamente. Do teorema de Bolzano (porquef é contínua) para todo � entre m e M existe c 2 [a; b] tal que f (c) = �. Daequação (2) como,
m �R baf (x) dx
b� a �M ,
fazendo � =R ba f(x)dx
b�a resulta a tese.
3.2 Teorema Fundamental do Cálculo Integral
Comecemos por de�nir o que se entende por integral inde�nido.
De�nição 8 Seja f integrável em [a; b]. Então a função
F (x) =
Z x
a
f (t) dt
com x 2 [a; b] diz-se integral inde�nido de f .
18 08/Dezembro/2009
Proposição 20 Seja f integrável em [a; b] ; então
F (x) =
Z x
a
f (t) dt
existe e é contínua em [a; b] :Dem. Seja � > 0, x0 2 [a; b], M = supx2[a;b] f (x) e " =
�M. Então,
recorrendo às propriedades atrás indicadas,
jF (x)� F (x0)j =����Z x
a
f (t) dt�Z x0
a
f (t) dt
����=
( ���R xx0 f (t) dt��� , se x0 � x��R x0xf (t) dt
�� , se x0 > x�
� R xx0jf (t)j dt, se x0 � xR x0
xjf (t)j dt, se x0 > x
� M jx� x0j :
Este facto mostra, como se pretendia, que
jx� x0j < ")xjF (x)� F (x0)j < �.
Proposição 21 (Teorema fundamental do Cálculo Integral) Seja [a; b]um intervalo com b > a e f : [a; b]! R.
1. Se f é contínua em [a; b] então F (x) =R xaf (t) dt tem derivada con-
tínua em [a; b] e
d�R xaf (t) dt
�dx
= F 0 (x) = f (x) : (4)
2. (Fórmula de Barrow) Se f é contínua em [a; b] e G uma primitiva def em [a; b]. Então Z b
a
f (t) dt = G (x)jba= G (b)�G (a) : (5)
Dem.
19 08/Dezembro/2009
1. Seja F (x) =R xaf (t) dt. Calculemos a razão incremental de F em
x0 2 ]a; b[:
F (x0 + h)� F (x0)h
=
R x0+ha
f (t) dt�R x0af (t) dt
h
=
R x0+hx0
f (t) dt
h;
das propriedades elementares do integral. Por outro lado, como f écontínua em [a; b], da proposição 19 (teorema da média) existe �h entrex0 e x0 + h tal queZ x0+h
x0
f (t) dt = f (�h) (x0 + h� x0)
= f (�h)h.
Assim, notando que � ! x0 quando h! 0, (porquê?),
limh!0
F (x0 + h)� F (x0)h
= limh!0
R x0+hx0
f (t) dt
h
= limh!0
f (�h)h
h= f (x0) .
Este facto demonstra que F 0 (x) = f (x) e que F 0 é contínua em ]a; b[.A demonstração de que F 0 (a) = f (a) (derivada de F à direita de a) eF 0 (b) = f (b) (derivada de F à esquerda de b) poderia ser realizada deforma idêntica recorrendo à noção de derivada lateral direita e esquerdarespectivamente.
2. Seja G (x) uma primitiva de f em [a; b]. Então, da proposição 1, jáque
R xaf (t) dt também é uma primitiva de f em [a; b],
G (x)�Z x
a
f (t) dt = k.
Fazendo x = a resulta G (a) = k. Assim,
G (b)�Z b
a
f (t) dt = G (a) ,
o que demonstra a validade da equação (5).
20 08/Dezembro/2009
Observação 5 É possível enfraquecer ligeiramente as hipóteses do número2 da proposição 21:(Fórmula de Barrow) Se F 0 é integrável em [a; b] entãoZ b
a
F 0 (t) dt = F (x)jba= F (b)� F (a) :
A demonstração deste caso pode encontrar-se em [6].
Observação 6 A equação (5) fornece-nos um método de cálculo do integralde�nido e é conhecida por fórmula de Barrow ou fórmula de Newton-Leibniz.
Exemplo 19 Seja f é contínua em [a; b], F (y) =R yaf (t) dt e y = g (x) uma
função diferenciável em ]a; b[. Calcule, a derivada de
H (x) =
Z g(x)
a
f (t) dt;
em ]a; b[.
1. Comecemos por observar que (H (x))0 = (F (g (x)))0. Pela regra dederivação da função composta
(H (x))0 = F 0y (g (x)) g0 (x) :
2. Mas, do número 1 da proposição 21, F 0y (y) = f (y), então
(H (x))0 = f (g (x)) g0 (x) :
Exemplo 20 CalculeR �0sinxdx. Seja � cosx uma primitiva de sin x. En-
tão, do número 2 da proposição 21,Z �
0
sin xdx = � cosxj�0= � cos � � (� cos 0)= � (�1)� (�1) = 2:
21 08/Dezembro/2009
3.3 Integração por partes
Proposição 22 (Fórmula de integração por partes) Sejam f e g difer-enciáveis em [a; b] com f 0 e g0 integráveis em [a; b]. Então,Z b
a
f 0 (x) g (x) dx = f (x) g (x)jba �Z b
a
f (x) g0 (x) dx:
Dem. Da regra de derivação do produto,
f 0 (x) g (x) = (f (x) g (x))0 � f (x) g0 (x) : (6)
Tendo presente a fórmula de Barrow, notando que f (x) g (x) é uma primitivade (f (x) g (x))0 e que os restantes termos da equação anterior são integráveisem [a; b], deduz-se o resultado pretendido, integrando membro a membro aequação (6).
Exemplo 21 CalculeR �=20
x sin xdx.Seja g (x) = x e f 0 (x) = sinx. Nestas circunstâncias g0 (x) = 1 e f (x) =
� cosx. Assim,Z �=2
0
x sin xdx = �x cosxj�=20 �Z �=2
0
1 (� cosx) dx
= 0 +
Z �=2
0
cosxdx
= sin xj�=20 = 1:
3.4 Integração por mudança de variável
Proposição 23 (Mudança de variável) Seja x = ' (t) uma função comderivada contínua em [a; b], intervalo fechado e limitado, tal que ' (a) �' (b). Se,
1. f for contínua em ' ([a; b]) ; ou se,
2. ' for estritamente crescente em [a; b] e f for integrável em [' (a) ; ' (b)],então,
Z '(b)
'(a)
f (x) dx =
Z b
a
f (' (t))'0 (t) dt.
Dem. Demonstremos apenas o primeiro resultado (a demonstração donúmero 2 pode encontrar-se em [6]). Suponha-se f contínua em ' ([a; b]) =
22 08/Dezembro/2009
[' (a) ; ' (b)]. Seja, F (x) =R x'(a)
f (�) d� uma primitiva de f . Note-se que Fé uma primitiva de f em resultado do número 1 da proposição 21. Por outrolado H (t) = F (' (t)) é uma primitiva da função contínua f (' (t))'0 (t).Assim pela fórmula de Barrow resulta sucessivamente,Z b
a
f (' (t))'0 (t) dt = H (b)�H (a)
= F (' (b))� F (' (a))
=
Z '(b)
'(a)
f (x) dx
Exemplo 22 CalculeR 10
1p1�x2dx.
Seja x = ' (t) = sin t e '0 (t) = cos t. Assim, quando x = 1 e x = 0;t = arcsin 1 = �
2e t = 0: Então,Z 1
0
1p1� x2
dx =
Z �2
0
cos tq1� (sin t)2
dt
=
Z �2
0
1dt
=�
2.
4 Algumas aplicações do integral de�nido
4.1 Cálculo de áreas
A área A; limitada pelas curvas (correspondentes a funções integráveis) y =f (x) e y = g (x) e pelas rectas verticais x = a e x = b (a � b), podecalcular-se recorrendo à seguinte expressão:
A =
Z b
a
jf (x)� g (x)j dx
Note-se queZ b
a
jf (x)� g (x)j dx = limkPk!0
nXj=1
jf (tj)� g (tj)j (xj � xj�1)
facto que interpretado geometricamente justi�ca a a�rmação.
23 08/Dezembro/2009
Exemplo 23 Cálcule a área limitada pelas curvas y = sinx e o eixo dos xxentre x = 0 e x = �.Seja então
A =
Z �
0
jsin x� 0j dx =Z �
0
sin xdx
= � cos � + cos 0 = 2:
Exemplo 24 Cálcule a área limitada pelas curvas y = x e y = x2 entrex = 0 e x = 1.Seja então
A =
Z 1
0
��x� x2�� dx = Z 1
0
�x� x2
�dx
=x2
2� x
3
3
����10
=1
6:
4.2 Cálculo de volumes de sólidos de revolução
O volume V de um sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixodos xx da área limitada pelas curvas (correspondentes a funções integráveisnão negativas) y = f (x) e y = g (x) e as rectas x = a e x = b (a � b), podeser calculado pela seguinte expressão:
V =
Z b
a
���f 2 (x)� g2 (x)�� dx
Note-se queZ b
a
���f 2 (x)� g2 (x)�� dx = lim
kPk!0
nXj=1
���f 2 (tj)� g2 (tj)�� (xj � xj�1)
facto que interpretado geometricamente justi�ca a a�rmação.
Exemplo 25 Cálcule o volume de uma esfera de raio igual a um.Seja então y =
p1� x2;
V =
Z 1
�1�
�����p1� x2�2 � 02���� dx= �
Z 1
�1
�1� x2
�dx
= �
�x� x
3
3
�����1�1
= �4
3:
24 08/Dezembro/2009
Exemplo 26 Cálcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotaçãoda superfície limitada pelas curvas y = kx e o eixo dos xx entre x = 0 ex = h (k > 0 e h > 0).Seja então
V =
Z h
0
���(kx)2 � 02�� dx
= �k2Z h
0
x2dx
=�k2h3
3:
4.3 Cálculo do comprimento de linha
O comprimento l da linha associada ao grá�co da função y = f (x) (comderivada contínua) entre x = a e x = b (isto é entre os pontos (a; f (a)) eb; f (b)), pode calcular-se recorrendo ao seguinte integral de�nido por
l =
Z b
a
s1 +
�df
dx(x)
�2dx
Note-se queZ b
a
s1 +
�df
dx(x)
�2dx = lim
kPk!0
nXj=1
s1 +
�df
dx(tj)
�2(xj � xj�1)
facto que interpretado geometricamente justi�ca a a�rmação.
Exemplo 27 Calcule o perímetro de uma circunferência de raio igual a um.Seja f (x) =
p1� x2 e f 0 (x) = � xp
1�x2 . Então,
l = 8
Z p22
0
s1 +
�� xp
1� x2
�2dx
= 8
Z p22
0
r1
1� x2dx
= 8
Z �4
0
r1
1� sin2 tcos tdt
= 8�
4= 2�;
fazendo a mudança de variável x = sin t.
25 08/Dezembro/2009
5 Integrais Impróprios
A operação de integração pode ser extendida a intervalos não limitados e/oufunções não limitadas recorrendo à noção de integral impróprio que podem,assim, ocorrer em duas situações diferentes:
1. quando os limites de integração são in�nitos, isto é, quando o intervalode integração não é limitado (Integrais impróprios de 1a espécie);
2. quando a função integranda é não limitada no intervalo de integração.(In-tegrais impróprios de 2a espécie)
5.1 Limites de integração in�nitos
De�nição 9 Seja f uma função integrável para todo o � sempre que [a; �] �[a;+1[ : O integral impróprio, da função f em [a;+1] ; é o limiteZ +1
a
f (x) dx = lim�!+1
Z �
a
f (x) dx
caso exista e seja �nito. Nesta situação diz-se queR +1a
f (x) dx existe ouconverge.
Se lim�!+1R �af (x) dx não existir nem for �nito diz-se que
R +1a
f (x) dxnão existe ou diverge.De�ne-se de maneira análoga,Z a
�1f (x) dx = lim
�!�1
Z a
�
f (x) dx;Z +1
�1f (x) dx = lim
�!�1
Z a
�
f (x) dx+ lim�!+1
Z �
a
f (x) dx:
Exemplo 28 CalculemosR +10
11+x2
dx:Z +1
0
1
1 + x2dx = lim
�!+1
Z �
0
1
1 + x2dx
= lim�!+1
arctanxj�0= lim
�!+1arctan�
=�
2:
26 08/Dezembro/2009
Exemplo 29 CalculemosR +11
1x2dx:Z +1
1
1
x2dx = lim
�!+1
Z �
1
1
x2dx
= lim�!+1
�x�1���1
= lim�!+1
����1 � (�1)
�= 1:
Exemplo 30 CalculemosR +1�1
11+x2
dx:Z +1
�1
1
1 + x2dx = lim
�!�1
Z 0
�
1
1 + x2dx+ lim
�!+1
Z �
0
1
1 + x2dx
= lim�!�1
arctanxj0� +�
2
= � lim�!�1
arctan�+�
2= �:
Exemplo 31 Mostre queR +11
1xdx diverge.Z +1
1
1
xdx = lim
�!+1
Z �
1
1
xdx
= lim�!+1
ln jxjj�1= lim
�!+1ln (�)
= +1:
Exemplo 32 Estude quanto à convergência o integral impróprioR +11
1xkdx.
Seja k = 1, do exemplo anterior veri�ca-se que o integral impróprio referidonão converge. Suponha-se k 6= 1. EntãoZ +1
1
1
xkdx = lim
�!+1
�x�k+1
�k + 1
������1
=1
(1� k) lim�!+1
�1
�k�1
�� 1
(1� k) :
O que mostra queR +11
1xkdx converge, quando k > 1; pois lim�!+1
�1
�k�1
�=
0 e diverge quando 0 � k < 1 pois lim�!+1�
1�k�1
�= +1. Em resumo,
k � 1)Z +1
1
1
xkdx diverge e
k > 1)Z +1
1
1
xkdx converge. (7)
27 08/Dezembro/2009
5.2 Funções integrandas não limitadas
De�nição 10 Seja f uma função integrável para todo o � sempre que [a; �] �[a; c[ e não limitada em � = c. O integral impróprio, da função f em [a; c] ;é o limite Z c
a
f (x) dx = lim�!c�
Z �
a
f (x) dx
caso exista e seja �nito. Nesta situação diz-se queR caf (x) dx existe ou con-
verge.
Se lim�!c�R �af (x) dx não existir nem for �nito diz-se que
R caf (x) dx não
existe ou diverge.De�ne-se de maneira análoga,
R baf (x) dx quando a não limitação de f
se veri�ca em x = a, limite inferior de integração, ou x = c; pertencente aointerior do intervalo [a; b]:Z b
a
f (x) dx = lim�!a+
Z b
�
f (x) dx;Z b
a
f (x) dx = lim�!c�
Z �
a
f (x) dx+ lim�!c+
Z b
�
f (x) dx:
Exemplo 33 CalculemosR 10
1p1�xdx:Z 1
0
1p1� x
dx = lim�!1�
Z �
�
1p1� x
dx
= lim�!1�
� (1� x)1=2
1=2
������
0
= �2 lim�!1�
(1� x)1=2����0
= �2�lim�!1�
(1� x)1=2 � 1�
= 2:
Exemplo 34 Calcule o perímetro de uma circunferência de raio igual a um.
28 08/Dezembro/2009
Seja f (x) =p1� x2 e f 0 (x) = � xp
1�x2 . Então,
l = 4
Z 1
0
s1 +
�� xp
1� x2
�2dx
= 4 lim�!1�
Z �
0
r1
1� x2dx
= 4 lim�!�
2�
Z �
0
r1
1� sin2 tcos tdt
= 4 lim�!�
2��
= 4�
2= 2�;
fazendo a mudança de variável x = sin t.
Exemplo 35 CalculemosR 10
1x2dx:
Z 1
0
1
x2dx = lim
�!0+
Z 1
0
1
x2dx
= lim�!0+
�x�1��1�
= +1Exemplo 36 Estude quanto à convergência o integral impróprio
R 10
1xkdx.
Seja k = 1, então Z 1
0
1
xdx = lim
�!0+ln jxjj1� = +1
O que mostra queR 10
1xkdx não converge, quando k = 1: Suponha-se que
k 6= 1. Então Z 1
0
1
xkdx = lim
�!0+
�x�k+1
�k + 1
�����1�
=1
(1� k) �1
(1� k) lim�!0+
�1
�k�1
�:
o que mostra queR 10
1xkdx diverge se k > 1 (pois lim�!0+
�1
�k�1
�= +1) e
converge se 0 � k < 1. Em resumo,
k < 1)Z 1
0
1
xkdx converge e
k � 1)Z 1
0
1
xkdx diverge. (8)
29 08/Dezembro/2009
Exemplo 37 Seja f (x) = x�3=4. Mostre queR 10f (x) dx converge e queR 1
0� (f (x))2 dx não converge. Interprete o resultado geometricamente.Antendendo ao resultado (8) concluí-se imediatamente que
R 10
1x3=4dx é
convergente e Z 1
0
��x�3=4
�2dx = �
Z 1
0
1
x3=2dx
é divergente. Este facto mostra que a área limitada superiormente pela curvaf e inferiormente pelo eixo dos xx; entre x = 0 e x = 1; é �nita enquantoque o volume do sólido de revolução, gerado pela mesma, é in�nito.
5.3 Critérios de convergência
Antes de apresentarmos alguns importantes critérios de convergência iremosreferir a de�nição de convergência absoluta de um integral impróprio.
De�nição 11 Seja Z b
a
f (x) dx
um integral impróprio de 1a ou de 2a espécie. Este integral diz-se absoluta-mente convergente se o integral impróprioZ b
a
jf (x)j dx
convergir.
O seguinte resultado relaciona a convergência absoluta de um integralimpróprio com a sua convergência, dita, simples.
Proposição 24 SejaR baf (x) dx um integral impróprio de 1a ou de 2a es-
pécie. SeR bajf (x)j dx é um integral impróprio convergente então
R baf (x) dx
também é convergente.Dem. Omitida.
Proposição 25 (Primeiro critério de comparação) SejamR baf (x) dx eR b
ag (x) dx dois integrais impróprios, ambos da mesma espécie e relativamente
ao mesmo limite de integração, tais que 0 � f (x) � g (x) ;8x 2 ]a; b[. Então
1.R baf (x) dx divergente )
R bag (x) dx divergente.
2.R bag (x) dx convergente )
R baf (x) dx convergente.
30 08/Dezembro/2009
Dem. Omitida.
Proposição 26 (Segundo critério de comparação) SejamR baf (x) dx eR b
ag (x) dx dois integrais impróprios de 1a ou de 2a espécie relativamente
ao limite superior x = b (respectivamente, limite inferior x = a) tais quelimx!b�
f(x)g(x)
= � 2 R+ (respectivamente, limx!a+f(x)g(x)
= � 2 R+. Então,Z b
a
f (x) dx eZ b
a
g (x) dx
são da mesma natureza, isto é, são ambos convergentes ou ambos divergentes.Dem. Omitida.
Na utilização dos critérios de convergência atrás enunciados os resultadosde convergência (7) e (8) são frequentemente utilizados.
Exemplo 38 Estude quanto à convergência o seguinte integralZ +1
1
1
x2 (1 + ex)dx:
Comecemos por observar que 0 � 1x2(1+ex)
� 1x2;8x 2 [1;+1[. e queR +1
11x2dx converge como vimos anteriormente. Então do primeiro critério
de comparação resulta a convergência deR +11
1x2(1+ex)
dx.
Exemplo 39 Estude quanto à convergência o seguinte integralZ 1
0
1px+ 4x3
dx:
Comecemos por observar que 0 � 1px+4x3
� 1px;8x 2 ]0; 1]. Tendo em conta
queR 10
1pxdx converge, concluí-se que
R 10
1px+4x3
dx também converge, peloprimeiro critério de comparação.
Exemplo 40 Estude quanto à convergência o seguinte integralZ +1
1
sin x
x3dx:
Comecemos por observar que 0 ��� sinxx3
�� � 1x3;8x 2 [1;+1[. Tendo em conta
queR +11
1x3dx converge, concluí-se que
R +11
�� sinxx3
�� dx também converge peloprimeiro critério de comparação. Da proposição 24 concluí-se a convergênciadeR +11
sinxx3dx.
31 08/Dezembro/2009
Exemplo 41 Mostre queR +12
1xpx2�1dx converge.
Seja f (x) = 1x2e g (x) = 1
xpx2�1 , reparando que
limx!+1
1xpx2�11x2
= limx!+1
x2
xpx2 � 1
= 1 2 R+;
deduz-se pelo segundo critério de comparação a convergência deR +12
1xpx2�1dx,
já queR +12
1x2dx também converge.
Exemplo 42 Mostre queR 31
1xpx2�1dx converge.
Seja f (x) = 1px�1 e g (x) =
1xpx2�1 , reparando que
limx!1+
1xpx2�11px�1
= limx!1+
px� 1
xpx2 � 1
= limx!1+
1
x
sx� 1
(x� 1) (x+ 1)
=1p22 R+;
deduz-se pelo segundo critério de comparação a convergência deR 31
1xpx2�1dx,
já queR 31
1px�1dx também converge. Note que (8) permite concluír queR 3
11px�1dx converge já que
1px� 1
=1
(x� 1)1=2:
Referências
[1] Apostol, T. M., Calculus, Reverté, 1977;
[2] Azenha, Acilina e Jerónimo, M. A., Cálculo Diferencial Integral em R eRn, McGraw-Hill, 1995;
[3] Lima, Elon Lages, Curso de Análise (Vol 1 e 2), IMPA, Projecto Euclides,1995;
[4] Piskounov, N., Calcul Di¤érentiel et Intégral, MIR, 1976;
32 08/Dezembro/2009
[5] Taylor, A. E., Advanced Calculus, Xerox College Publishing, Massa-chusetts, 1972;
[6] Wade, W. R., An Introduction to Analysis, Prentice Hall, 1995;
33 08/Dezembro/2009
Exercícios Propostos
Exercício 1 Calcule as primitivas das seguintes funções, utilizando o métodode primitivação por partes:
1. x2 lnx.
2. x2 sin x.
3. ex cosx.
4. x2
x2+1arctanx .
5. 3x sin 2x.
6. x arctanx.
Exercício 2 Calcule as primitivas das seguintes funções, utilizando o métodode primitivação por decomposição:
1. sin3 x.
2. tan4 x.
3. 2x�1(x�2)(x+3) .
4. x3+1x3�x2 .
5. x2
1�x4 .
6. cos 2x cos 3x.
7. x4
x3+1.
Exercício 3 Calcule as primitivas das seguintes funções, utilizando o métodode primitivação por substituição:
1.pa2 � x2.
2. ex�e3x1+e2x
.
3. x+px
x(1+px):
4.p2x+x2
x2:
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5. 3x+4(x�5)2+3 .
6. sin4 xcos2 x
.
7. 2(2�x)2
3
q2�x2+x.
Exercício 4 Calcule as primitivas das seguintes funções, utilizando o métodoque achar mais conveniente:
1.px2�9x.
2.px�1�lnx(x�1)2 .
3. ex ln (e2x � 4ex + 3).
4. lnx(1�x)2 .
5. sin3 x cos5 x.
6. x arcsin 1x.
7. x+(arccos 3x)2p1�9x2 .
8. x (arctanx)2.
9. 3
(2x+3)p2�2 ln2(2x+3)
.
Exercício 5 Determine a expressão geral das primitivas das seguintes funções:
1. ex
9+25e2x.
2. (px+ 1) (x�
px+ 1).
3. 1x+5
px+4.
4. 2x(x2+1)2
+ arcsinx.
5. arctan2 x+3xx2
.
6. 12+tgx
.
7. x sin x cosx.
8. 2ex�e�x .
35 08/Dezembro/2009
9. P 212x2+7
.
10. Pq
x�1x+2.
11. 14p5�x+
p5�x .
12. 1ex+1
.
13. x35p1+x2 .
14. 1x+x ln2 x
.
15. sin (lnx).
16. lnx(x+1)2
.
17. x arcsinx2.
18. ex
2ex+1.
19. x�3x2+25
.
20. 3 arctan x3
9+x2.
21. x+1px.
22. 1
x(1+ln2 x).
23. x3px2�1 .
24. x2+1(x+1)3
.
Exercício 6 Determine a expressão geral das primitivas das seguintes funções:
1. x arcsin 1x.
2. tan3 x.
3. ex
e2x+1.
4. sinx cosx1+sin2 x
.
5. xx2+3x+2
.
36 08/Dezembro/2009
6. 1
x(16+4 ln2 x).
7. tanpxp
x.
Exercício 7 Considere a função f (x) = 3x2+7(x2+4)(x2�1) de�nida em Rn f�1; 1g.
Obtenha a primitiva de f que satisfaz as condições seguintes :
1. limx!+1
F (x) = �2.
2. limx!�1
F (x) = 0.
3. F (0) = 1.
Exercício 8 Considere a função f 00 (x) de�nida por f 00 (x) = sin(lnx)x
:
1. Determine a expressão geral das funções f (x) que admitem f00(x) como
2a derivada.
2. De entre as funções da alinea anterior determine aquela que veri�caf 0 (1) = f (1) = 0.
Exercício 9 Determine f (x) de modo que f 0 (x) = ln (4x2 � 1) e f (1) =32ln 3.
Exercício 10 Determine a função f : R+ ! R tal que f0(x) = ln2 x e
f (1) = 4.
Exercício 11 Determine a primitiva da função de�nida por f (x) = cospxp
x,
que toma o valor zero para x = �2.
Exercício 12 Determine uma função f (x) tal que, com f 0 (1) = �1 elim
x!+1f (x) = 1 se tem f 00 (x) = 8
(x+1)3(R: f (x) = 4
x+1+ 1).
Exercício 13 Determine a primitiva da função f (x) = x2ex, que toma ovalor 1 para x = 0:
Exercício 14 Determine um intervalo I e uma função f : I ! R tal quef 0 (x) = lnx
(x+1)2e f (1) = 4.
Exercício 15 Seja F (x) uma primitiva de f (x) e g (x) uma função derivávelnum intervalo I � R. Mostre que:
P [f (x) g (x)] = F (x) g (x)� P [F (x) g0 (x)]
37 08/Dezembro/2009
Exercício 16 Calcule os integrais:
1.R 21(x2 � 2x+ 3) dx.
2.R 80
�p2x+ 3
px�dx.
3.R 62
px� 2dx.
4.R 31j2� xj dx.
5.R 20f (x) dx com f (x) =
�x2 + 1 se 0 � x � 1x+32
se 1 � x � 2 .
6.R 0�2
x�13x2�6x+5dx.
7.R �
2
0sinx�cosxsinx+cosx
dx.
8.R �
2
0(x sin x) dx.
9.R 10
pexp
ex+e�xdx.
10.R 1�1
1x2�5x+6dx.
11.R 21lnxx2dx.
Exercício 17 Calcule os seguintes integrais de�nidos:
1.R 10
1p(2�x2)3
dx.
2.R 21
1x+5
px+4dx.
3.R 10
1(4+2x)(1+x2)
dx.
4.R 259
px�3
x(px�2)
dx.
5.R �
6
01+tanx1�tanxdx.
6.R 32
1(x2+1)(x+1)
dx.
7.R ln 20
pex � 1dx.
8.R 411+px
x2dx.
38 08/Dezembro/2009
9.R �2�3
1(x2�1)(x2+1)dx.
10.R 2p32
1p16�x2dx.
11.R 53
x�3x2�2xdx.
12.R 1�p3
13+x2
dx.
13.R 10tan2
��4x�dx.
14.R 41
1px(px+1)
3dx.
15.R �
4
0[sin (2x)]3 dx.
16.R 5�1 j2x� 3j dx.
17.R 1
2
03x�5p1�x2dx.
18.R 10
�ln (x+ 1)�
p1� x2
�dx.
19.R 3�1
11+px+1dx.
20.R 3
2
0(9� x2)�
32 dx.
21.R 10
ex
e2x+3ex+2dx.
Exercício 18 Sabendo que uma função f diz-se uma função par se f (�x) =f (x), e diz-se uma função ímpar se f (�x) = �f (x) :
1. Utilize a fórmula de integração por substituição para mostrar que:Z a
�af (x) dx = 2
Z a
0
f (x) dx, se fé par eZ a
�af (x) dx = 0 se fé impar.
2. Aplique a alínea anterior para calcular:
(a)R 1�1 jxj dx.
(b)R 1
2
� 12
cosx ln�1+x1�x�dx.
(c)R 2�2
sinx1+x8
dx.
39 08/Dezembro/2009
Exercício 19 Prove que são iguais os integraisZ �4
0
ln cos (x) dx eZ �
4
0
ln cos��4x�dx.
Exercício 20 Seja f uma função ímpar. Demonstre que a função h de�nidapor h (x) =
R x0f (t) dt é par.
Exercício 21 O integralR baf (x) dx é transformado, pela mudança de va-
riável x = sin t no integralR �
2
0cos2 t1+cos t
dt. Determine a, b e f (x).
Exercício 22 Demonstre queR baf (x) dx =
R baf (a+ b� x) dx.
Exercício 23 Sem calcular os integrais, justi�que que as seguintes desigual-dades são válidas.
1.R 10
pxdx �
R 10x3dx:
2. e �R e1ex
2lnx dx � ee2 :
Exercício 24 Determine a expressão analítica da função F (x) =R t0f (t) dt,
em que f (x) =
8<:1� x ; 0 � x � 10 ; 1 � x � 2(2� x)2 ; 2 � x � 3
.
Exercício 25 Calcule a derivada, em ordem a x, das funções:
1. � (x) =R x31ln t dt, x > 0.
2. � (x) =R x1xcos t2 dt, x 6= 0.
Exercício 26 Sendo f (x) =R k lnx0
e�t2dt , determine o valor da constante
k, de modo que f 0 (1) = 0.
Exercício 27 Seja f uma função positiva, de�nida e contínua em R, e g afunção de�nida por: g (x) =
R lnx0
f (t) dt: Determine:
1. Domínio de g.
2. Derivada de g.
3. Monotonia de g.
40 08/Dezembro/2009
Exercício 28 Determine, sem calcular o integral,
1. limx!0
x
1�ex2R x0et2dt.
2. limx!0
R x0 sin t
3 dt
x4.
Exercício 29 Determine os extremos das funções:
1.R x0t (1� t2) dt , x 2 R.
2.R x12t2 ln t dt , x � 1
2.
Exercício 30 Seja g : [1;+1[! R tal que g (x) =R x2+x2
ln tpt+2dt. Prove que
23g0(1) = ln 2:
Exercício 31 Seja f uma função de�nida em R, com derivada contínua,tal que 8x � 0
R 3x0f 0 (t) dt = x4 + 3x2 e f (0) = 2: Determine a expressão
analítica de f .
Exercício 32 Seja g : [1;+1[! R tal que g (x) =R x3+12
sin tpt+1dt. Prove que
1p3g0 (1) = sin 2:
Exercício 33 Determine os extremos da função de�nida por
f (x) =
Z x
12
�t2 ln t
�dt; t 2
�1
2; e
�:
Exercício 34 Compare, justi�cando, os seguintes integrais:R 10e�xdx e
R 10exdx:
Exercício 35 Determine, sem o calcular, mas justi�cando convenientementea resposta, o sinal do integral
R �2
��3(x sin x) dx.
Exercício 36 Determine uma função f contínua, tal que: arctan [f (x)] =R x1
1+t1+f2(t)
dt.
Exercício 37 Determine f : R+ ! R+, continua, tal que ln [f (x)] =R x1
1(1+t2)f(t)
dt e f (0) = 1.
Exercício 38 Mostre queR 1x
11+t2
dt =R 1
x
11
1+t2dt:
41 08/Dezembro/2009
Exercício 39 Determine, justi�cando os cálculos efectuados, limx!0
R x0 sin t
5dtR x20 sin t2dt
.
Exercício 40 Seja f uma função contínua em R tal queR xcf (t) dt = cos x�
12. Determine f e c, justi�cando os cálculos efectuados.
Exercício 41 Determine o valor da constante a, sendo f (x) =R a lnxx
et2dt e
f0(1) = 0.
Exercício 42 Calcule, se existir, o seguinte limite: limx!0
R x20 sin
ptdt
x3.
Exercício 43 Seja f uma função de�nida em R com derivada de 2a ordemcontínua tal que,
R x0f00(t) dt = x3 + x ^ f 0 (0) = f (0) = 1: Determine f ,
justi�cando cuidadosamente os cálculos efectuados.
Exercício 44 Seja f uma função contínua em R+ que veri�ca a condição:R x20f (t) dt = x2 (1 + x) : Determine f , justi�cando cuidadosamente os cálcu-
los efectuados.
Exercício 45 Calcule o seguinte limite: limx!0
R x0 sin t
3dt
x4.
Exercício 46 Sejam g (x) = x2e2x e f (x) =R x0e2t (3t2 + 1) dt. Calcule (sem
calcular o integral) o seguinte limite: limx!+1
g0(x)f 0(x) .
Exercício 47 1. Enuncie o teorema da Média para o Cálculo Integral.
2. Determine, utilizando o teorema da Média, um ponto do intervalo [0; 4]onde a função f de�nida por f (x) = x� 2
px tem o seu valor médio.
Exercício 48 Seja F (x) =R x31xf (t) dt um integral inde�nido em que a
função integranda f está de�nida em R+. Mostre que: x2F 0 (x) = f�1x
�+
3x4f (x3) :
Exercício 49 Utilizando a de�nição de integral segundo Riemann, mostreque:
R badx = b� a:
Exercício 50 Determine:
1. a área da região plana limitada pelas parábolas x = y2 e x2 = �8y.
2. o volume do sólido obtido pela rotação da região referida em a) emtorno:
42 08/Dezembro/2009
(a) do eixo dos xx.
(b) do eixo dos yy.
Exercício 51 Calcule a área limitada pelas curvas:
1. y = x2 , y = x+ 6 , y = 0.
2. y2 + x2 = 2x , y = 1p3x , y = 0.
3. y = ln x , y = ln2 x.
4. y2 = 2px , x2 = 2py (p 2 R).
5. y = x3 � 6x2 + 8x e o eixo dos xx.
6. y = x2 , y =px.
Exercício 52 Calcule o valor positivo de m, para que a área da região doprimeiro quadrante limitada por y = 2x3 e a recta y = mx seja 32.
Exercício 53 Considere o segmento de curva y = sinx, 0 � x � �.
1. Determine a área limitada por este segmento de curva e o eixo dos xx.
2. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela região de�nidaem a) numa rotação em tono do eixo dos xx.
Exercício 54 Calcule o comprimento do arco de curva y = ln (2 cosx)desdex = ��
3até x = �
3.
Exercício 55 Determine o comprimento do arco da curva de equação x =14y2 � 1
2ln y entre os pontos A
�14; 1�e B
�1� ln
p2; 2�.
Exercício 56 Determine o volume do toro, gerado pela rotação da regiãolimitada pela circunferência de equação (x� 2)2 + y2 = 1 em torno do eixodos yy.
Exercício 57 Calcule o volume do sólido, gerado pela rotação em torno doeixo dos xx, da região limitada pelas curvas y = ex , y = e�x e x = ln 2.
Exercício 58 Seja A a região do plano de�nida por:�(x; y) 2 R2 : y � 1
4^ y � (x� 1)2 ^ y � lnx
�
43 08/Dezembro/2009
1. Calcule a área de A.
2. Calcule o comprimento da linha dada pela equação y = ln (ex+�), � 2 Re �2 � x � 2.
Exercício 59 Seja A a região do plano de�nida por:�(x; y) 2 R2 : y � 2x ^ y � 0 ^ y � (x+ 1)2 � 4
1. Calcule a área de A.
2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixodos xx da parte de A que se encontra no 3o quadrante.
Exercício 60 Seja A a região do plano de�nida por:�(x; y) 2 R2 : x2 � 1 � y � (x+ 1)2 ^ jx+ yj � 1
1. Determine a área de A.
2. Seja A0 a parte de A que se encontra nos 1o e 4o quadrantes. Determineo volume do sólido obtido pela rotação de A0 em torno do eixo dos yy.
Exercício 61 Calcule a área da região do plano de�nida por:�(x; y) 2 R2 : y � x ^ y � 2x ^ x2 + y2 � 1
:
Exercício 62 Calcule o comprimento da linha dada pela equação y = 23
px3,
com 0 � x � 1.
Exercício 63 Determine a área da região do plano de�nida por:�(x; y) 2 R2 : x2 + (y � 3)2 � 1 ^ y � x+ 4
:
Exercício 64 Calcule o comprimento da linha dada pela equação y =q(x+ 3)3,
com 0 � x � 2.
Exercício 65 Considere a região D do plano de�nida por:�(x; y) 2 R2 : y � ex ^ y � �x2 ^ �1 � x � 1
1. Determine a área de D.
2. Seja D1 a parte da região D que se encontra no 1o quadrante. Calculeo volume do sólido obtido pela rotação de D1 em torno do eixo dos yy.
44 08/Dezembro/2009
4321
4
3
2
1
0
y
1=y4/1=y
2/1 xy=
Exercício 66 Considere a �gura seguinte:
1. Calcule a área da região sombreada.
2. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação daregião acima referida, em torno do eixo dos yy.
Exercício 67 Determine a área do interior da elipse de�nida pela equaçãox2
a2+ y2
b2= 1, com a; b 2 R+.
Exercício 68 Considere a região do plano de�nida por:
A =
�(x; y) 2 R2 : y � 4 ^ y � x2 ^ xy � 1
x
�e calcule a sua área.
Exercício 69 Determine o valor de a, de modo que o sólido de revoluçãoobtido pela rotação em torno do eixo dos xx da região:
A =
�(x; y) 2 R2 : y � x2
a^ y � 0 ^ 0 � x � a
�;
tenha volume igual a 15.
45 08/Dezembro/2009
Exercício 70 Determine o valor de b, de modo que o comprimento de arcode curva, de equação y = ln
�ex+b
�, com 0 � x � 4, seja
p2b.
Exercício 71 Calcule a área do conjunto limitado pelos arcos das curvas deequações y = x2 e y = x2 cosx, compreendido entre a origem e o ponto demenor abcissa positiva, em que as duas curvas se intersectam.
Exercício 72 Considere a região do plano:
A =n(x; y) 2 R2 : x2 + y2 � 4 ^ y �
p3x2o:
1. Calcule a área de A.
2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação de A em torno doeixo dos xx.
Exercício 73 Considere a região do plano limitada pelas curvas de equaçãoy = sinx, y = cos x, x = 0, x = �
2e y = 0.
1. Calcule a área da região considerada.
2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região acimareferida, em torno do eixo dos xx.
Exercício 74 Determine o volume do sólido de revolução gerado pela ro-tação da região A, de�nida por:
A =�(x; y) 2 R2 : y � x2 ^ x � 1 ^ y � 0
;
em torno do eixo dos yy.
Exercício 75 Seja A a região do plano limitada pelas curvas y2 = x e y =x� 2:
1. Calcule a área de A.
2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da parte de A quese encontra no 1o quadrante, em torno do eixo dos yy.
Exercício 76 Seja A a região do plano limitada pelas curvas de equaçõesy = (x� 1)2 e x2 + y2 = 1:
1. Calcule a área de A.
46 08/Dezembro/2009
4321
3
2
1
0
xy =
x
y3/4 xy =
2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região A em tornodo eixo dos yy.
Exercício 77 Seja A a região do plano limitada pela curva y = (x+ 3)2� 4e pelas rectas x = �3, x = 2 e y = 0:
1. Calcule a área de A.
2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da parte de A quese encontra no 1o quadrante, em torno do eixo dos xx.
Exercício 78 Determine a área do subconjunto de R2 constituído pelos pon-tos que veri�cam as condições: y � 3
x^ y � x+ 2 ^ y � 1.
Exercício 79 Considere a �gura abaixo:
1. Determine a área da região sombreada.
2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da referida regiãoem torno do eixo dos xx.
Exercício 80 Seja D a região do plano limitada pelas curvas de equaçõesy = x2, y = �x+ 2 e y = 2:
47 08/Dezembro/2009
1. Calcule a área de D.
2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixodos xx, da parte da região D pertencente ao 1o quadrante (R: 32
15�).
Exercício 81 Seja A a região do plano limitada pelas curvas de equaçõesy = ln x, y = 0 e x = 2.
1. Calcule a área de A.
2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região A em tornodo eixo dos yy.
Exercício 82 Calcule os seguintes integrais impróprios:
1.R11xe�x
2dx.
2.R �
2
01
cosxdx.
3.R 62
dx3p(4�x)2
.
Exercício 83 Calcule os seguintes integrais:
1.R +15
1x2�6x+8dx.
2.R +1e
1x lnx
dx.
3.R +11
1(1+x2) arctanx
dx.
4.R �3�1
x
(x2�4)65dx.
5.R 0�2
xp4�x2dx.
6.R +10
1x2+4
dx.
7.R 42
1p(4�x)3
dx.
8.R 10
1p1�xdx.
9.R +1�1
11+x2
dx.
10.R +11
1px3dx.
48 08/Dezembro/2009
11.R 0�1 e
2xdx.
Exercício 84 calcule o seguinte integral impróprioZ 2
0
ap16� 4x2
dx; a 2 R;
e indique a sua natureza.
Exercício 85 Estude a natureza dos seguintes integrais:
1.R11
ln(x2+1)x
dx.
2.R11
sin( 1x)pxdx.
3.R 101+sin2 x
xdx.
4.R10
11+2x2+3x4
dx.
5.R10
1p1+x3
dx.
6.R10
dx
(1+x3)13.
7.R 10
1
(1+x3)13dx.
Exercício 86 Estude a natureza dos seguintes integrais:
1.R +10
2x+6x2+x+6
dx.
2.R 10
sinxp1�xdx.
3.R +10
cosx+sinxpx3+1
dx.
4.R +10
cosx1+x2
dx.
5.R +11
1xpx+1dx.
6.R +11
1(1+x)
pxdx.
7.R +10
x2�x+2x4+10x2+9
dx.
8.R +10
x+18x2+x+12
dx.
49 08/Dezembro/2009
9.R +10
cos2 xx2+4
dx.
10.R 42
sinxp(4�x)3
dx.
11.R 10
sinxp1�xdx.
12.R +11
cosx3
x2dx.
13.R +11
1px(1+x)
dx.
14.R +11
x5
2+x6+4x8dx.
15.R 10
x+1p1�xdx.
Exercício 87 Determine a área da região in�nita limitada pela curva y =1
1+x2, pela parábola y = x2
2e pelo eixo dos xx.
Exercício 88 Prove queR10
2t+34t3+3
sin t dt é absolutamente convergente.
50 08/Dezembro/2009
Exercícios Complementares
Exercício 89 Calcule
1. P arctanx+x1+x2
:
2. P x(x�1)(x2+1) :
3. Pearcsinx:
4. P 436+x2
:
5. P (sinx� cosx)2
Exercício 90 Calcule os seguintes integrais
1.R e1ln2 xdx:
2.R 3
p3
2
32
xp9�x2xdx:
3. ??R e1
2x lnx(1+x2)2dx:
4.R 21
x16
x12+2x
13dx:
Exercício 91 Seja f uma função contínua em R tal que f(0)=1, � uma difer-enciável em R que se anula no ponto a, e h a função de�nida por
h(x) =
Z �(x)
0
f (t) dt:
1. Calcule h0 (x) :
2. Calcule limx!ah(x)�(x):
3. Supondo que f e � são funções ímpares, mostre que h é uma função par.
Exercício 92 Calcule a área da região do plano limitada pelas linhas deequação y = ex, y = ln x, x2 + y2 = 1 e x = e, no 1o quadrante.
Exercício 93 Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotaçãodo domínio plano ilimitado de�nido pelo grá�co da função y = 1
x; (x � 1),
em torno do eixo dos xx.
51 08/Dezembro/2009
Exercício 94 Estude a natureza dos seguintes integrais impróprios:
1.R +1�1
11+x2
dx:
2.R 10e�xpxdx:
Exercício 95 Considere a região plana limitada pelas parábolas y = 2x2+3e y = �x2 + 1 e pelas rectas x = 0 e x = 1.1. Represente gra�camente a referida região.
2. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação daquela região, em tornodo eixo dos yy.
Exercício 96 Calcule a área limitada pelas curvas y = sin x e y = � cosx,no intervalo 0 � x � �:Exercício 97 Seja f uma função de�nida por
F (x) =
Z x
�2tf(t) =
8<:0 se t � 0
t se 0 � t � 1ln t se t � 1
:
1. Calcule F (3) :
2. Resolva a equação F�(x) = x2.
Exercício 98 Calcule por de�nição os seguintes integrais impróprios
1.R 0�1 x5
�x2dx:
2.R +10
xeaxdx, com a 6= 0:Exercício 99 Indique a natureza dos seguintes integrais impróprios
1.R +10
1p1+x3
dx:
2.R +10
x2+13x4�x+2dx:
3.R +11
px4�1x3
dx:
4.R +11
sinx cosxpx3+1
dx:
Exercício 100 Determine o valor de k (k 2 R) e a função f (f : R! R),tais que 8x2R : Z x
1
f (t) dt = 3x2 � kx+ 1:
Exercício 101 Seja f uma função contínua tal queR x0f(t)dt = x cos(�x):
Calcule f (4).
52 08/Dezembro/2009
Soluções
1.1:x3
3
�lnx� 1
3
�+ C; 1.2:�x2 cosx+ 2x sin x+ 2 cosx+ C;
1.3:12ex (cosx+ sinx)+C; 1 4:x arctanx� 1
2(arctanx)2� 1
2ln (x2 + 1)+C;
1.5: ln 34+ln2 3
3x sin 2x� 24+ln2 3
3x cos 2x+C; 1.6:x2
2arctanx� 1
2(x� arctanx)+C
2.1:� cosx+13cos3 x+C;2.2:x�tan x+1
3tan3 x+C;2.3:3
5ln jx� 2j+7
5ln jx+ 3j
+C;2 4:x + 1x� ln jxj + 2 ln jx� 1j + C;2 5:�1
4ln jx� 1j + 1
4ln jx+ 1j �
12arctanx+ C;2 6: 1
10sin 5x+ 1
2sin x+ C;
2 7:x2
2+ 1
3ln jx+ 1j �
p33arctan
h2p33
�x� 1
2
�i� 1
6ln jx2 � x+ 1j+ C;
3.1:a2
2
�arcsin x
a+ x
a
q1� x2
a2
�+ C;3.2:�ex + 2arctan ex + C;
3.3:6�14
3px2 � 1
23px+ 6
px� 1
2ln j1 + 3
pxj � arctan 6
px�+C;3 4: 4
x�px2+2x
�
ln��1�px2 + 2x+ x��+C;3 5:3
2ln (x�5)
2+33
+193
p3 arctan
�x�5p3
�+C;3 6:tan x+
12
tanxtan2 x+1
� 32x+ C;3 7:3
4
�2+x2�x� 23 + C;
4 1:px2 � 9 � 3 arcsec x
3+ C;4 2:�2 (x� 1)�
12 + lnjxj
x�1 + ln jxj � ln jx� 1j +C;4 3:ex ln (e2x � 4ex + 3) � 2ex � 3 ln jex � 3j � ln jex � 1j +C;4 4: lnx
1�x �ln jxj + ln j1� xj + C;4 5:� cos6 x
6+ cos8 x
8+ C;4 6:x
2
2arcsin 1
x+ 1
2
px2 � 1 +
C;4 7:�19
p1� 9x2 � 1
9arccos3 (3x) + C;4 8:x
2+12arctan2 x + �x arctanx +
12ln (1 + x2) + C;4 9:3
p24arcsin [ln (2x+ 3)] + C;
5 1: 115arctan
�53ex�+C;5 2:2
5
px5+x+C;5 3:�2
3ln jpx+ 1j+ 8
3ln jpx+ 4j+
C;5 4:� 1x2+1
+ x arcsinx+p1� x2 + C;
55:arctan3 x
3+ 32ln (1 + x2)+C;5 6:1
5ln j2 + tgxj� 1
10ln (1 + tan2 x)+ 2
5x+C;5
7:12
�x sin2 x� x�sinx cosx
2
�+C;5 8:ln
�� ex�1ex+1
��+C;5 9:3p142arctan
�p147x�+C;5
10:�12
hln���px�1�px+2p
x�1+px+2
���� px+2p
x�1�px+2
�px+2p
x�1�px+2
i+C;5 11:�2
p5� x+4 4
p5� x�
4 ln��1 + 4
p5� x
��+C;5 12:ln �� ex
ex+1
��+C;5 13:58x2 5
q(1 + x2)4� 25
725
q(1 + x2)9+
C;5 14:arctan (ln x)+C;5 15:x2[sin (lnx)� cos (ln x)]+C;5 16:� lnx
x+1+ln jxj�
ln jx+ 1j + C;5 17:x2
2arcsinx2 + 1
2
p1� x4 + C;5 18:1
2ln j2ex + 1j + C;5
19:12ln (x2 + 25)� 3
5arctan x
5+C;5 20:
arctan2(x3 )2
+C;5 21:2px�x3+ 1�+C;5
22:arctan (ln x) + C;5 23:px2�1(x2+2)
3+ C;5 24:ln (jx+ 1j) + 2x+1
(x+1)2+ C;
6 1:;6 2:ln (jcosxj) + tan2 x2
+ C;6 3:arctan (ex) + C;6 4:ln(sin2 x+1)
2+ C;6
5:12ln
����� (x+3)2(x2+3x+2)(x+1)3
�����+C;6 6:18 arctan � lnx2 �+C;6 7:�2 ln jcospxj+C;7 1:F (x) = ln
��x�1x+1
��+ 12arctan x
2+ �
4;7 2:F (x) = ln
��x�1x+1
��+ 12arctan x
2+ �
4;7
53 08/Dezembro/2009
3:F (x) = ln��x�1x+1
��+ 12arctan x
2+ 1;
8 1:f (x) = �x2[cos (ln x) + sin (ln x)]+C1x+C2;8 2:f (x) = �x
2[cos (ln x) + sin (ln x)]+
x� 12;
9:x ln (4x2 � 1)� 2x� 12ln��2x�12x+1
��;10:f (x) = x ln2 x� 2x lnx+ 2x+ 2;11:2 sin
px;
12:f (x) = 4x+1
+ 1;13:x2ex � 2xex + 2ex � 1;14:;15:-;16 1:7
3;16 2:100
3;16 3:16
3;16 4:1;16 5:43
12;16 6:1
6ln 5
29;16 7:0;16 8:1;16 9:ln
���pe2+1+ep2+1
���;1610:ln 3
2;16 11:1
2(1� ln 2);
17 1:12;17 2:�2
3ln
p2+12+ 8
3ln
p2+45;17 3: 1
10ln 3
2� 1
20ln 2 + �
20;17 4:3 ln 5
3�
ln 3;17 5:� ln�p
3�12
�;17 6:�1
2
hln 3
p24� arctan 3 + arctan 2
i;17 7:4��
2;17 8:3
4;17
9:14ln 3
2�12[arctan (�2)� arctan (�3)];17 10:�
6;17 11:3
2ln 5�2 ln 3;17 12:�7
p3
36�;17
13:4���;17 14: 5
36;17 15:1
3;17 16:37
2;17 17:6�3
p3
2� 5�
6;17 18:2 ln 2�1� �
4;17
19:4� 2 ln 3;17 20:3� 52 ;17 21:ln
�3(e+1)2(e+2)
�;
18 1:-;18 2a:1;18 2b:0;18 2c:1;19:-;20:-;21:a = 0; b = 1; f (x) =
p1�x2
1+p1�x2 ;
22:-;23 1:-;23 1:-;
24:F (x) =
8<:x� x2
2; 0 � x � 1
12
; 1 � x � 212� (2�x)3
3; 2 � x � 3
;
25 1:3x2 lnx3;25 2: 1x2cos 1
x2+ cosx2;
26:k = 2e�1;27 1:]0;+1[;27 2:f (lnx) 1
x;27 3:Crescente em ]0;+1[;
28 1:�1;28 2:14;
29 1:f (0) é mínimo; f (�1) e f (1) são máximos;29 2:f (1) é mínimo;30:-;31: f (x) = x4
81+ x2
3+ 2;
32:-;33:mínimo= � 1
24
�ln 1
2+ 7
3
�; máximo= 2e3
9+ 1
24
�1� ln 1
2
�;
34:-;35:Positivo;36:f (x) = x+ x2
2+ C;
54 08/Dezembro/2009
37:f (x) = arctanx+ 1;38:-;39:1
2;
40:f (x) = � sinx ; c = �3;
41:a = e;42:2
3;
43:;44:f (x) = 1 + 3
2
px;
45:;46:;47 1:-;47 2:;48:-;49:-;50 1:8
3;50 2 2a:24
5�;50 2 2b:48
5�;
51 1:323;51 2:
p34+ �
6;51 3:3� e;51 4:4
3p2;51 5:8;51 6:1
3;
52: m = 16;53 1:2;53 2:�
2
2;
54:ln�7 + 4
p3�;
55:34+ ln
p2;
56:4�2;57:9
8�;
58 1:43� e 14 ;58 2:4
p2;
59 1: 2p3 + 5
3;59 2:24
p3+455
�;60 1:2;60 2:5�
6;
61:�8� 1
2arcsin
p55;
62:23
�2p2� 1
�;
63:�4� 1
2;
64:34327� 31
27
p31;
65 1:e2�1e+ 2
3;65 2:2�;
66 1:1;66 2:� ln 4;67:2ab+ ab sin 2;68:14�3 ln 4
3;
69:a = 13p� ;
70:b = 4;71:8�
3
3� 4�;
72 1:2�+p3
3;72 2:92
15�;
73 1:2�p2;73 2:�
2�2�4;
74:�2;
75 1:276;75 2:184
15�;
55 08/Dezembro/2009
76 ??:�4� 1
3;76 2:�
2;
77 1:973;77 2:5206
15�;
78:3 ln 3;79 1:1;79 2:103
30� � 2
3
p2�;
80 1:4p23+ 7
6;80 2:32
15�;
81 1:2 ln 2� 1;81 2:4� ln 2� 3�2;
82 1:12;82 2:+1;82 3:6 3
p2;
83 1:lnp3;83 2:+1;83 3:ln 2;83 4:� 5
2 5p5;83 5:�2;83 6:�
4;83 7:� 2p
2;83
8:2;83 9:�;83 10:2;83 11:12;
84:�4a /conv.;
85 1:div:;85 2: conv:;85 3:div:;85 4: conv:;85 5: conv:;85 6: div:;857:conv:;86 1:div.;86 2:conv:;86 3:absoluta/conv:;86 4:absoluta/conv.;86 5:conv:;866:conv.;86 7:conv.;86 8:div.;86 9:conv.;86 10:conv:;86 11:conv.;86 12:conv.;8613:conv.;86 14:conv.;86 15:conv.;87:1
3+ �
2;
88:-;89 1:;89 2:;89 3:;89 4:;89 5:;90 1:;90 2:;90 ??:;90 4:;91 1:;91 2:;91 3:;92:;93:;94 1:;94 2:;95 1:;95 2:;96:;97 1:;97 2:;98 1:;98 2:;99 1:;99 2:;99 3:;99 4:;100:;101:;
56 08/Dezembro/2009