Seção 2Versão 2009-1

Elaborado por

Matemática I

Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D.Prof. Rodrigo Leone, D.Sc.

ColaboraçãoProf. Walter Paulette

Seção 22

ADM 01004 Matemática I

Prof. da DisciplinaLuiz Gonzaga Damasceno, M. Sc.

Seção 23

Conteúdo da Seção

Números– Propriedades– Desigualdades

Potenciação e Radiciação Polinômios

– Produtos Notáveis e Fatoração.– Conjuntos Numéricos

Seção 24

Conteúdo da Seção

Equações Polinomiais do 1º grau Inequações Valor Absoluto ou Módulo Inequações Modulares Equações Polinomiais do 2º grau Fatoração de Equações do 2º grau

Seção 25

NúmerosConjuntos Numéricos

Números Naturais

Números Inteiros

}...,5,4,3,2,1{}...,4,3,2,1,0{

* ==

NN

}...,4,3,2,1,1,2,3{...}...,3,2,1,0,1,2,3{...

* −−−=−−−=

ZZ

Seção 26

NúmerosConjuntos Numéricos

Números Fracionários

}0{

}|{

}|{

*

***

*

−=

∈∈=

∈∈=

QQ

ZqeZpqpQ

ZqeZpqpQ

Seção 27

NúmerosConjuntos Numéricos

Números Irracionais (I)

Números Reais é o conjunto união dos conjuntos racionais e irracionais

Números Complexos

3.141593 ,5 ,3 ,2 =π

IQR =

}1 e ,/{C −=∈+= iRbabia

Seção 28

NúmerosOperações no Conjunto dos

Reais Adição

Multiplicação

Subtração

Divisão (se b≠0)

ba + )]([ baouba −+−

baouba ⋅×b

aouba

ouba1

/ ×

Seção 29

NúmerosPropriedades

Propriedade Comutativa

Propriedade Associativa

abbaabba ×=×+=+

cbacbacbacba ××=××++=++ )()()()(

Seção 210

NúmerosPropriedades

Propriedade Distributiva

Elemento neutro

– na Adição:

– na Multiplicação:

)()()( cabacba ×+×=+×

aa =+ 0

aa =× 1

Seção 211

NúmerosPropriedades

Existência de Simétrico ou Oposto

Todo número real tem oposto

Existência de Inverso ou Recíproco

0)( =−+ aa

11

0se =×⇒≠a

a a

Seção 212

NúmerosDesigualdades

Expressões do tipo

são chamadas desigualdades.

baba

baba

≤≥><

Seção 213

NúmerosPropriedades das Desigualdades

Se a < b e b < c , então a < c.

Ex.: 2 < 7 e 7 < 15, então 2 < 15Ex.: – 7 < – 4 e – 4 < – 1, então – 7 < – 1

Se a > b e b > c , então a > c.

Ex.: 7 > 3 e 3 > 1, então 7 > 1Ex.: – 1 > – 3 e – 3 > – 7, então – 1 > – 7

Seção 214

NúmerosPropriedades das Desigualdades

Se a > b , então a + c > b + c.

Ex.: 3 > –2, então 3 + (–3) > –2 + (–3), logo 0 >–5Ex.: –3 > –5, então –3 + (–3) > –5 + (–3), logo –6 >–8

Se a < b , então a + c < b + c.

Ex.: –2 < 1, então –2 + (–3) < 1 + (–3), logo –5 < –2Ex.: –5 < –3, então –5 + 3 < –3 + 3, logo –2 < 0

Seção 215

Se a < b e c < d, então a + c < b + d.

Ex.: 3 < 7 e –5 < –2, então 3 + (–5) < 7 + (–2), logo –2 < 5Ex.: –7 < –3 e –5 < –2, então (–7) + (–5) < (–3) + (–2),

logo – 12 < – 5

Se a > b e c > d então a + c > b + d.

Ex.: 9 > 4 e –1 > –5, então 9 + (–1) > 4 + (–5), logo 8 > –1Ex.: – 9 > – 4 e –1 > –5, então (– 9) + (–1) > (– 4) + (–5),

logo – 10 > –9

Números Propriedades das Desigualdades

Seção 216

Se a < b e c é um número positivo, então ac < bc.

Ex.: – 4 < – 2, então – 4 x 2 < –2 x 2, logo – 8 < – 4 Ex.: – 4 < 3, então – 4 x 5 < 3 x 5, logo – 20 < 15

Se a > b e c é um número positivo, então ac > bc.

Ex.: – 2 > – 4, então – 2 x 3 > – 4 x 3, logo – 6 > – 12Ex.: 2 > – 4, então 2 x 3 > – 4 x 3, logo 6 > – 12

NúmerosPropriedades das Desigualdades

Seção 217

Se a < b e c é um número negativo, então ac > bc.

Ex.: –3 < 2, então –3 x (–2) > 2 x (–2), logo 6 > – 4Ex.: –3 < –2, então –3 x (–2) > –2 x (–2), logo 6 > 4

Se a > b e c é um número negativo, então ac < bc.

Ex.: 2 > – 6, então 2 x (–2) < – 6 x (–2), logo – 4 < 12Ex.: – 2 > – 6, então – 2 x (–2) < – 6 x (–2), logo 4 < 12

NúmerosPropriedades das Desigualdades

Seção 218

Se 0 < a < b e 0 < c < d, então ac < bd.

Ex.: 0 < 3 < 8 e 0 < 7 < 9, então 3 x 7 < 8 x 9, logo 21 < 72

Se a > b > 0 e c > d > 0 , então ac > bd.

Ex.: 8 > 3 > 0 e 8 > 7 > 0, então 8 x 8 > 3 x 7, logo 64 > 21

NúmerosPropriedades das Desigualdades

Seção 219

O Conjunto de todos os números reais é denotado por R1 e pode ser representado por uma reta horizontal, chamada eixo orientado.

-2 -1 0 1 2

NúmerosIntervalos Numéricos

Seção 220

Intervalo fechado de a a b, denotado por [a,b], é o conjunto de todos os números reais tais que a ≤ x ≤ b.

Intervalo aberto de a a b, denotado por (a,b) ou ]a,b[ , é o conjunto de todos os números reais tais que a < x < b.

a b

a b

NúmerosIntervalos Numéricos

Seção 221

Intervalo semi-aberto à esquerda de a a b, denotado por (a,b] ou ]a,b] , é o conjunto de todos os números reais tais que a < x ≤ b.

a b

a b

NúmerosIntervalos Numéricos

Intervalo semi-aberto à direita de a a b, denotado por [a,b) ou [a,b[, é o conjunto de todos os números reais tais que a ≤ x < b.

Seção 222

Intervalo infinito à esquerda de – ∞ a b, denotado por (– ∞, b] ou ] – ∞, b] , é o conjunto de todos os números reais tais que – ∞ < x ≤ b.

NúmerosIntervalos Numéricos

Intervalo infinito à direita de a a ∞, denotado por [a, ∞) ou [a, ∞[, é o conjunto de todos os números reais tais que a ≤ x < ∞.

– ∞ b

∞a

Seção 223

Potenciação

Elevar um número real X à potência n (pertencente a N* e n≥ 2) significa multiplicar X por ele mesmo n vezes:

Exemplos:

vezesn

n xxxxx ⋅⋅⋅⋅=

32222222

81333335

4

=××××=

=×××=

Seção 224

PotenciaçãoPropriedades

Seja x um número real diferente de zero, a e b inteiros, então:

Exemplo

53737

52323

2222

4444

==×

==×−−

+

baba xxx +=×

Seção 225

PotenciaçãoPropriedades

Seja x um número real diferente de zero, a e b inteiros, então:

Exemplo

baba xx ⋅=)(

25622

256)16()2(824

224

==

==×

Seção 226

PotenciaçãoPropriedades

Seja x,y.z um número real diferente de zero, a inteiro, então:

Exemplo

aaaa zyxzyx ⋅⋅=⋅⋅ )(

360025169543

360060)543(222

22

=⋅⋅=⋅⋅

==⋅⋅

Seção 227

PotenciaçãoPropriedades

Sejam x e y números reais, com y diferente de zero, então:

Exemplo

a

aa

y

xyx =

6427

1728

3

12e644

312

3

33

3

====

Seção 228

PotenciaçãoPropriedades

Seja x um número real diferente de zero, então:

Exemplos

abba

b

a

aa

xx

x

xx

x

−−

−

==

=

1

1

3223

2

3

44

5

15

5

5

3

13

−−

−

==

=

Seção 229

PotenciaçãoPropriedades

Por definição:

Exemplos

x x xe x x =≠=≠ 10 então 01então 0

11

1)3(

16

0

0

0

=

=−

=

Seção 230

Radiciação

Generalização da Potenciação (expoente racional) Seja x um número real positivo e n é um número inteiro

positivo, então:

Exemplo:

nn xx =1

331

22/1

44

555

=

==

Seção 231

Radiciação

Seja x um número real positivo, a e b são números inteiros (b>0), então:

Exemplo:

( )abb aba xxx ==

( )533 535 333 ==

Seção 232

Raiz Quadrada

A raiz quadrada de um número a, tal que , define-se como um único número não-negativo tal que x2 = a.

Atenção: embora (–3)2 = 9, pois denota unicamente a raiz quadrada positiva de 9, isto é, 3.

Exemplos:

,39 −≠ 9

0≥a

981;864;749;636

525;416;39;24

====

====

Seção 233

Potenciação e Radiciação Exercícios

Determine os valores das potências abaixo:

431 222 ) −− ⋅⋅a

32

31

31

532 ) ⋅⋅b

( )31 )

2

−−

d

42 ) −−c

4)2( ) −−e

−− 3

2 2

)xxf

Seção 234

Potenciação e Radiciação Exercícios

Determine os valores das potências abaixo:

33

33

33 j) 4

5

4

4

5

4

−

−××

22 i) 3

2

−

−

( ) ( )51

51 )

2 2 −

×−k

( ) 03 ) −g ( )10011 ) −h

( )5021 ) −h

Seção 235

Caso LCL Cartonagem S.A.

A LCL Cartonagem S.A. fabrica uma embalagem especial, utilizada na indústria eletrônica. Devido ao peso das peças que são acondicionadas nesta embalagem, o fundo é preparado com uma base metálica e as laterais e a tampa são feitas de papelão. A matéria-prima utilizada no fundo tem um custo de R$ 200,00 por m2, a das laterais e da tampa R$ 80,00 por m2. Sabendo-se que a embalagem deve ser um cubo de 50 cm de lado, calcule o custo da matéria-prima utilizada nessa embalagem.

Seção 236

Caso LCL Cartonagem S.A.

50cm

50cm

50cm

( )( )[ ]

( )150208050

5080

50480

50200

2

2

2

=++=×=

××=

×=

Total Custo,Tampa da Custo

,Lateraisdas Custo

,Fundo do Custo

Seção 237

Divisão entre Polinômios

Somente se efetua a divisão entre dois polinômios quando o grau do dividendo for maior ou igual ao grau do divisor.

Exemplo: Dividir

532 por 103310 223 +−++− xxxxx

Seção 238

Divisão entre Polinômios

204 :Resto65 :Quociente

−−+

xx

10 3 310 23 ++− xxx 532 2 +− xx

x5 6+ 251510 23 xxx −+−xx 2212 2 − 10+

30 1812 2 −+− xx20 4 −− x

Seção 2

Divisão entre Polinômios

Então a seguinte igualdade pode ser escrita:

ou

39

3 2

2 210 3 3 10 4 205 6

2 3 5 2 3 5x x x xx

x x x x− + + − −= + +

− + − +

204)532)(65(

10 3 310 2

23

−−+−+=

=++−

xxxx

xxx

Seção 2

Já que:

Divisão entre Polinômios

40

( ) ( )2

2 2

3 2 2

2

3 2

2

5 6 2 3 5 4 204 205 62 3 5 2 3 5

10 15 25 12 18 30 4 202 3 5

10 3 3 102 3 5

x x x xxxx x x x

x x x x x xx x

x x xx x

+ − + − −− −+ + =− + − +

− + + − + − −=− +

− + +=− +

Seção 241

Divisão entre Polinômios Exercício

Dividir 3 por 423 2 −+− xxx

25 :Resto73 :Quociente

++x

423 2 +− xx 3−xx3 7+ 93 2 xx +−

x7 4+21 7 +− x25

Seção 242

Produtos Notáveis

Vocês se lembram...222 b 2ab a b) (a ++=+

222 b 2ab a b) (a +−=−

22 b a b)b)(a (a −=−+

Seção 243

Produtos Notáveis

Vocês se lembram...

322323 b 3ab ba3 ab) b)(a (a b) (a +++=++=+

322323 b 3ab ba3 ab) b)(a (a b) (a −+−=−−=−

3322 b a)b ab b)(a (a −=++−