Post on 14-Jan-2016
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DETERMINANTES
Leibniz , 1693Mclaurin, 1729Cramer, 1750Vandermonde, 1772Lagrange, 1775Laplace,Jacobi,Cauchy, 1812
bcaddc
baAA
)(teDeterminan
A
A
columna vectoreslospor dado amoparalelogr del orientada Área
fila vectoreslospor dado amoparalelogr del orientada Área
bcaddc
baAA
)(teDeterminan
A
A
columna vectoreslospor dado amoparalelogr del orientada Área
fila vectoreslospor dado amoparalelogr del orientada Área
signo de |A|: Es positivo si el giro al ir de F1 a F2 en sentido antihorario es menor de 180ºEn caso contrario es negativo
322311332112312213322113312312332211
333231
232221
131211
)(teDeterminan
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
AA
A
A
columna vectoreslospor dado orientado pedoparalelepíVolumen
fila vectoreslospor dado orientado pedoparalelepíVolumen
(Lagrange 1775)
signo del |A|: si al girar un tornillo, con la dirección de F3, en el sentido rotatorio de F1 a F2, éste avanza en el sentido deF3
F3 F2F1
F3 F3
PROPIEDADES
0
000
023
122
Si una fila es NULA el determinante es 0
0
366
023
122
Si dos filas son PROPORCIONALES el determinante es 0
Si intercambiamos dos filas el determinante cambiará su signo
122
023
112
122
112
023
112
122
023
112
023
122
Si una fila es NULA salvo en un elemento
911
12)·3()3()·3(
91)·2)·(3(1·1·3
112
003
122
Adjunto
112
003
122
Adjunto de un elemento es
el valor del determinante que queda al eliminar la fila y la columna, precedido del signo + ó –, según la posición del elemento.
Si una fila es NULA salvo en un elemento
El valor que tienen no afecta al valor del determinante puessiempre se multiplicarán por algún 0 de la fila del (-3)
Si multiplicamos a una fila por k, el valor del determinante queda multiplicado por k
112
023
122
112
023
122
k
kkk
112
023
122
112
023
122
112
023
122
· 3
k
kkk
kkk
kkk
k¡Ojo!
Si una fila es suma de dos filas su determinante es la suma de dos determinantes, uno con cada fila
327
023
122
112
023
122
)3()1()2()1()7()2(
023
122
9)7·(13)·2(2*2
12
23·1
12
03)·2(
11
02·2
112
023
100
112
023
020
112
023
002
112
023
100020002
112
023
122
¿Cómo calcular un determinante de orden 3 ?+Desarrollar por filas (o columnas)
Si a una fila se le suma una proporcional a otra fila, el determinante no varía
)1·(43·2
13
42
13
kk
930
23·1
030
023
122
)(
112
023
122
9064304
2·1·01)·3)·(2(2·2·11)·3·(12·0)·2(1·2·2
112
023
122
13
FF
¿ Cómo calcular un determinante de orden 3 ? +Método de Sarrus+Conseguir filas de CEROS y desarrollar
45712
23)·1(
001
71210
2322
121
3810
412
·1
0121
03810
1123
0412
)2(
2125
03810
1123
0412
)3(
2125
3021
1123
0412
13
12
2423
CC
CC
FFFF
¿ Cómo calcular un determinante de orden >3 ? +Conseguir filas de CEROS y desarrollar
¡Ojo! La operación siempre será: FILA CAMBIANTE – MÚLTIPLO DE OTRA FILA
Otras propiedades de los determinantes
AkAk
AA
BABA
AA
I
n
T
n
·
1
··
1
1