DINÂMICA NÃO LINEAR E CAOS

Bifulcações

Edison Fabián Caballero Pérez 24/08/2010

BIFURCAÇÕES

Muitos sistemas dinâmicos se podem modelar por um sistema de equaciones diferenciais da forma:

Onde é o vetor de estado, é o vetor de parâmetros y é um campo vetorial diferençável. Algumas variações nos valores de µ podem ocasionar câmbios importantes no comportamento dinâmico do sistema. Isto câmbios podem ser quantitativos o qualitativos; os últimos têm por nome bifurcações

BIFURCAÇÕES LOCAIS

Uma bifurcação local acontece quando a mudança dum parâmetro gera um troco de comportamento na vizinhança do ponto de equilíbrio, para sistemas contínuos isso acontece quando os autovalores do sistema passam por zero

BIFURCAÇÕES GLOBAIS

São bifurcações que representam mudanças qualitativas nos aspectos globais do sistema, podem ser pelo exemplo mudanças de órbitas estáveis do sistema, para trajetórias instáveis.

BIFURCAÇÃO SELA-NÓ

Sistema do tipo

Com pontos de fixos

Avaliando a estabilidade se tem

Se , , logo e um ponto instável.

Se , , logo e um ponto estável.

O ponto (x, µ)= (0,0) é um ponto de bifurcação e µ=0 o valor da bifurcação. Este tipo de bifurcação tem que para valores de x<0 não existem pontos fixos; em x=0 se cria um ponto fixo e em x>0 se passa a ter dois pontos fixos é por isto que se diz que este tipo de bifurcação gera o destrói pontos fixos

BIFURCAÇÃO TRANSCRÍTICA

Sistema do tipo

Com pontos de fixos

Avaliando a estabilidade se tem

Comportamento do parâmetro

Ponto de equilíbrio

Características do autovalor

Comportamento

𝜇< 0 𝑥ҧ= 0 𝐷ሾ𝑓ሺ𝑥ҧ,𝜇ሻሿ< 0 Estável 𝑥ҧ= 𝜇 𝐷ሾ𝑓ሺ𝑥ҧ,𝜇ሻሿ> 0 Instável 𝜇> 0 𝑥ҧ= 0 𝐷ሾ𝑓ሺ𝑥ҧ,𝜇ሻሿ< 0 Instável 𝑥ҧ= 𝜇 𝐷ሾ𝑓ሺ𝑥ҧ,𝜇ሻሿ> 0 Estável

Na imagem se vê que para μ <0, existem dois pontos fixos nos quais x = 0 é estável e x = μ é instável. Estes dois pontos fixos se unem μ = 0 e para μ> 0, x = 0 é instável e x = μ é estável. Assim, um troco de estabilidade ocorreu em μ = 0.

BIFURCAÇÃO DE FORQUILHA

Sistema do tipo

Com pontos de fixos

Avaliando a estabilidade se tem

Comportamento do parâmetro

Ponto de equilíbrio

Características do autovalor

Comportamento

𝜇< 0 𝑥ҧ= 0 𝐷ሾ𝑓ሺ𝑥ҧ,𝜇ሻሿ< 0 Estável 𝑥ҧ2 = 𝜇 Não existe

𝜇> 0 𝑥ҧ= 0 𝐷ሾ𝑓ሺ𝑥ҧ,𝜇ሻሿ< 0 Instável 𝑥ҧ2 = 𝜇 𝐷ሾ𝑓ሺ𝑥ҧ,𝜇ሻሿ> 0

Estável para os dois pontos

Para μ <0, há um ponto fixo, x = 0, que é estável. Para μ> 0, x = 0 é ainda um ponto fixo, mas dois novos pontos fixos foram criadas em μ = 0 e é dada por μ=x2. No processo, x = 0 tornou-se instável e para μ> 0 os outros dois pontos fixos estáveis

BIFURCAÇÃO ANDRONOV-HOPF

Considerando o sistema

E levando ele a coordenadas polares

Avaliando a estabilidade se tem

Para μ <0, há um ponto fixo, x = 0, que é estável. Para μ> 0, x = 0 é ainda um ponto fixo, mas dois novos pontos fixos foram criadas em μ = 0 e é dada por μ=x2. No processo, x = 0 tornou-se instável e para μ> 0 os outros dois pontos fixos estáveis