Disciplina:Mecânica Geral - Estática

Prof. Dr. Eng. Fernando Porto

IV. Propriedades Mecânicas de Figuras Planas

Parte 1: Momento de Primeira Ordem ou Estático

Momentos de Primeira Ordem

• O momento de primeira ordem (ou momento estático) de uma superfície plana em relação a um “eixo” de seu plano é o somatório dos produtos de seus elementos de área pelas distâncias desses elementos ao eixo considerado:

Onde

dA = dx.dy

x; y: coordenadas do elemento de área dA

: coordenadas do centroide da figura plana

Atenção: O momento estático pode ser positivo ou negativo ou nulo.

Unidade: [L]3 onde L é a unidade de comprimento

Exemplo 1

• Determinar o momento de primeira ordem (momento estático) do retângulo em relação ao eixo x :

Da definição de momento de primeira ordem:

Sabe-se que

dA = dx.dy

Þ

Exemplo 2

• Determinar o momento de primeira ordem (momento estático) do retângulo em relação ao eixo x1 :

dA = dx.dy

Þ

Exemplo 3

• Determinar o momento de primeira ordem (momento estático) do retângulo em relação ao eixo (eixo x do centroide):

dA = dx.dy

Þ

Exemplo 4• Determinar o momento estático

do triângulo em relação ao eixo x :

dA = a.dy

OBS.: Se eixo passar pelo CG da figura o momento estático da área referente à figura em relação a este eixo será nulo.

Exemplo 5

• Determinar os momentos de primeira ordem da superfície plana mostrada, em relação aos eixos x e y.

RetânguloTriânguloSemicírculoCírculo

Componente

Componente

RetânguloTriânguloSemicírculoCírculo

Mx = +506,2 x 103 My = +757,7 x 103

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IV. Propriedades Mecânicas de Figuras Planas

Parte 2: Série de Exercícios - Momento Estático

Exercício 1

• Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.

Exercício 2

• Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.

30 mm

300 mm

240 mm

30 mm

Exercício 3

• Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.

6 m 6 m

6 m6 m

3 m

Exercício 4

• Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.

6 m 8 m

8 m

12 mr = 4 m

Exercício 5• Determine os

momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.

Exercício 6• Determine os

momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.

20 m

16 m

r = 38 m

Exercício 7

• Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.

Exercício 8• Determine os

momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.

r1 = 8 mr2 = 12 m

Exercício 9

• Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.

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IV. Propriedades Mecânicas de Figuras Planas

Parte 3: Momento de Inércia de Área e Momento Polar

Momento de Inércia de Área

• O momento de inércia de área é uma propriedade geométrica da seção transversal de elementos estruturais.

• Fisicamente está relacionado com as tensões e deformações que aparecem por flexão em um elemento estrutural e, portanto, junto com as propriedades do material determina a resistência de um elemento estrutural sob flexão.

Momento de Inércia de Área

• Momento de inércia de uma superfície plana (por isto o nome Momento de Inércia de Área) em relação a um “eixo” de seu plano é o somatório dos produtos de seus elementos de área pelo quadrado das distâncias desses elementos ao eixo considerado.

Atenção: O momento de inércia de área é sempre positivo.

Unidade: [L]4 onde L é a unidade de comprimento

Exemplo 1

• Determinar o momento de inércia de área do retângulo em relação ao eixo x.

Da definição de momento de inércia de área:

Sabe-se que

dA = dx.dy

Þ

Analogamente:

Exemplo 2

• Determinar o momento de inércia de área do retângulo em relação ao eixo (eixo x do centroide):

Da definição de momento de inércia de área:

Sabe-se que

dA = dx.dy

Þ

Analogamente:

Exemplo 3• Determinar o momento de

inércia de área do triângulo em relação ao eixo x :

dA = a.dy

Momento Polar de Inércia

• Momento polar de inércia de uma superfície plana em relação a um “ponto” de seu plano é o somatório dos produtos de seus elementos da área pelo quadrado de suas distâncias ao ponto considerado.

Exemplo 4

• Calcular o momento polar de inércia do retângulo em relação ao vértice 3.

Calculando-se Jp em relação ao vértice 3 tem-se

Momento Centrífugo

• Momento centrífugo de uma superfície plana em relação a um “sistema de eixos cartesianos” de seu plano é o somatório dos produtos dos seus elementos de área pelas distâncias desses elementos aos eixos considerados.

O momento centrífugo ou produto de inércia pode ser positivo, negativo ou nulo.

unidade: [L]4 onde L é a unidade de comprimento

Exemplo 5

• Calcular o momento centrífugo do retângulo em relação aos eixos x e y.

Sabe-se que

dA = dx.dy

Exemplo 6

• Calcular o momento centrífugo do retângulo em relação aos eixos x e y1.

Sabe-se que

dA = dx.dy

Exemplo 7

• Calcular o momento centrífugo do retângulo em relação aos eixos e y.

Sabe-se que

dA = dx.dy

Exemplo 8

• Calcular o momento centrífugo do triângulo em relação ao eixo x.

dA = a.dy

Atenção: para a área dA, a coordenada xassume o valor do centroide da área dA.

Atenção!!!

• Se um dos eixos de referência for de simetria o momento centrífugo é nulo.

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IV. Propriedades Mecânicas de Figuras Planas

Parte 4: Raio de Giração e Translação de Eixos

Raio de Giração

• Considere uma superfície A com momento de inércia Jx em relação ao eixo x.

Raio de Giração

• Imaginemos que concentramos essa superfície em uma faixa estreita paralela ao eixo x.

ix

Raio de Giração

• Para que a superfície de área A concentrada desse modo tenha o mesmo momento de inércia em relação ao eixo x, a faixa deverá ser colocada a uma distância ix do eixo x.

ix

Jx

Jx

Raio de Giração

• A distância ix é definida pela relação

ix

Jx

Jx

de onde...

Raio de Giração

• A distância ix é denominada de raio de giração da superfície em relação ao eixo x.

• O raio de giração é sempre positivo.

• Unidade [L] L ® unidade de comprimento

ix

Jx

Translação de Eixos

• Considere o momento de inércia J de uma superfície A em relação a um eixo AA’.

ou Teorema dos Eixos Paralelos

Translação de Eixos

• Representando por y a distância entre um elemento de superfície de área dA e AA’, escrevemos:

ou Teorema dos Eixos Paralelos

Translação de Eixos

• Vamos traçar agora um eixo BB’ paralelo a AA’, passando pelo centroide C, representando por y’ a distância entre o eixo BB’ e dA. Escrevemos que:

ou Teorema dos Eixos Paralelos

Observe que d é a distância entre os eixos AA’ e BB’.

• Assim, temos

• Substituindo:

• A primeira integral representa o momento de inércia J em relação ao eixo BB’.

• A segunda integral representa o momento de primeira ordem (momento estático) da superfície em relação ao eixo BB’. Como este eixo passa pelo centroide, esta integral tem valor nulo.

• A terceira integral é igual à área A.

Para evitar confusões, esta distância d será chamada daqui por diante de dy.

• Analogamente também tem-se

• Generalizando para n figuras geométricas:

Exemplo 1• Calcular o momento de inércia

de um círculo em relação a um eixo diametral (eixo x).

D = 2.RdA = r.dq.dr y = r.senq

D = 2.RdA = r.dq.dry = r.senq

ou

analogamente

Exemplo 2• Calcular o momento de inércia

polar do círculo em relação ao ponto “0” (centro geométrico).

Lembrando que:

Jp = Jx + Jy

ou

Retângulo

Triângulo

��

���

���

���

��

��

����� �

����

�

�̅ ��

�

Círculo

Semicírculo

����

�

� �

�

R

R

R

Quarto de círculo

Elipse

� �

�

����

�

��

��

����� �

Exemplo 3• Calcular o momento de inércia

da figura plana em relação ao eixo x.

R = 6 cm

Figura geométrica 1

Figura geométrica 2

Atenção: para as duas figuras o valor de dy é nulo em relação ao eixo x !

Exemplo 4• Calcular o momento de inércia

da figura plana em relação ao eixo x.

Figura geométrica 1 Figura geométrica 2

Atenção: também neste caso, para as duas figuras o valor de dyé nulo em relação ao eixo x.

Figura geométrica 1 Figura geométrica 2

4

Exemplo 5

• Calcular o momento de inércia e raio de giração da figura plana em relação ao eixo x.

�

ƒ

‚

Área total: A = A1 + A2 + A3

A = 6´24+48´8+6´48 = 816 mm2

Momento de inércia:

Raio de giração:

��� � 4

� �̅� ���

�

�

���

��� � 4

��� � 4

�4

��

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IV. Propriedades Mecânicas de Figuras Planas

Parte 5: Aplicação e Exercícios

Determine os momentos de inércia (a) Jx e (b) Jy da área em azul com respeito em relação aos eixos centroidaisparalelos e perpendiculares ao lado AB, respectivamente.

Exemplo 1

eixos centroidais: eixos que passam pelo centroide.

1,0 mm

3,8 mm

0,5 mm

0,5 mm

3,6 mm

1,3 mm

• Localizar o centroide:

A, mm2 mm mm mm3 mm3

Fig 3: ¨ 1,3 x 1

Fig 2: ¨ 0,5 x 3,8

Fig 1: ¨ 3,5 x 0,5

S S � �

S S � �

• Calcular o momento de inércia Jx :

• Calcular o momento de inércia Jy :

Determine o momento polar da área cinzenta mostrada na figura em relação (a) ao ponto O e (b) ao centroide da superfície.

Exemplo 2

• Determinação do centroide da seção:

= -Fig.1

Fig.2

D 160 x 80 D 80 x 60

Obs.: Não há necessidade de cálculo para encontrar a posição do centroide no eixo x, pois a figura é simétrica em relação ao eixo y.

• Momento polar:

Jp = Jx + Jy

• Figura 1:

y

x

• Momento polar:

Jp = Jx + Jy

• Figura 2:

y

x

• Figura completa:

(a) JpO = 11,573 x 106 mm4

• Agora esta resposta é usada para estimar JpC .

= -Fig.1

Fig.2

D 160 x 80 D 80 x 60

Atenção: este é o momento polar em relação ao ponto O.

• Figura completa:

A = 4000 mm2

(b)

d = 30,667mm

·C

Dois perfis L 6 x 4 x ½ (ou L152 x 102 x 12,7) são unidos por solda para formar a seção mostrada. Determine os momentos de inércia e o raio de giração da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y.

Exemplo 3

Perfil L152 x 102 x 12,7

Atenção: As propriedades geométricas dos perfis comerciais são tabeladas.

152,4 mm

101,6 mm12,7 mm

Propriedades geométricas do perfil L152 x 102 x 12,7:

Área: 3060 mm2

Jx : 7,2 x 106 mm4 Jy : 2,59 x 106 mm4

kx : 48,5 mm ky : 29,0 mm

Centroide:

C152 x 102 x 12,7:Área: 3060 mm2

Jx : 7,2 x 106 mm4

Jy : 2,59 x 106 mm4

y

76,2 mm

76,2 mm

25,9 mm

50,3 mm

·

57,15 mm57,15 mm

Valores tabelados

yO

xO

C152 x 102 x 12,7:Área: 3060 mm2

Jx : 7,2 x 106 mm4

Jy : 2,59 x 106 mm4

yO

xO

C152 x 102 x 12,7:Área: 3060 mm2

Jx : 7,2 x 106 mm4

Jy : 2,59 x 106 mm4

yO

xO

C152 x 102 x 12,7:Área: 3060 mm2

Jx : 7,2 x 106 mm4

Jy : 2,59 x 106 mm4

Dois perfis C e duas chapas de aço são usadas para formar a seção de coluna mostrada abaixo. Para b = 200mm, determine os momentos de inércia e o raio de giração da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y.

Exemplo 4

Perfil C250 x 22,8

Propriedades geométricas do perfil C250 x 22,8:

Área: 2890 mm2

Altura: 254 mmLargura: 66,0 mm

Jx : 28,0 x 106 mm4 Jy : 0,945 x 106 mm4

kx : 98,3 mm ky : 18,1 mm

Centroide: 16,1 mm

C250 x 22,8:Área: 2.890 mm2

Jx : 28,0 x 106 mm4

Jy : 0,945 x 106 mm4

Área total:

C250 x 22,8:Área: 2.890 mm2

Jx : 28,0 x 106 mm4

Jy : 0,945 x 106 mm4

Dado que b = 200mm :

Perfis C250x22,8

Chapas

16,1 mm

b

Propriedades de perfis laminados comerciais – padrão EUA

Propriedades de perfis laminados comerciais – padrão EUA

† Altura nominal em mm e massa em quilogramas.‡ Altura, largura e espessura de chapa em mm.

Exercício 1

Determine o momento de inércia da área em azul com respeito (a) ao eixo x e (b) ao eixo y quando a = 20mm.

Ex.9-35 9th Ed. Resp.: (a) 1,268 x 106 mm4 (b) 339 x 103 mm4

Determine os momentos de inércia (a) Jx e (b) Jy da área em azul com respeito em relação aos eixos centroidais paralelos e perpendiculares ao lado AB, respectivamente.

Exercício 2

Ex.9-41 9th Ed. Resp.: (a) 1,874 x 106 mm4 (b) 5,82 x 106 mm4

Determine os momentos de inércia (a) Jx e (b) Jy da área em azul com respeito em relação aos eixos centroidaisparalelos e perpendiculares ao lado AB, respectivamente.

Exercício 3

Ex.9-43 9th Ed. Resp.: (a) 191,3 mm4 (b) 75,2 mm4

1,2 mm

5,0 mm

1,8 mm

0,9 mm2,0 mm 2,1 mm

Dois perfis C200 x 17,1 são unidos por solda à um perfil W200 x 46,1 para formar a seção mostrada. Determine os momentos de inércia e o raio de giração da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y.

Exercício 4

Resp.:JxC = 105,72 x 106 mm4

JyC = 42,50 x 106 mm4

kx = 101,6 mmky = 64,52 mm

C200 x 17,1

W200 x 46,1

Ex.9-50 9th Ed.

A resistência do perfil W é aumentada através da soldagem de um perfil C na sua flange superior. Determine os momentos de inércia da seção combinada com respeito aos eixos centroidais xe y.

Exercício 5

Resp.:JxC = 745 x 106 mm4

JyC = 91,3 x 106 mm4Ex.9-51 9th Ed.

Dois perfis L76 x 76 x 6,4 são soldados a um perfil C250 x 22,8. Determine os momentos de inércia da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y respectivamente paralelo e perpendicular à linha pontilhada faceando o perfil C.

Exercício 6

Resp.:JxC = 3,55 x 106 mm4

JyC = 49,8 x 106 mm4Ex.9-55 9th Ed.

Bibliografia

BEER, FERDINAND P.; JOHNSTON, E. RUSSELL; EISENBERG, ELLIOT R.

Mecânica Vetorial Para Engenheiros - Estática

Editora: MCGRAW HILL – BOOKMAN; 2010

ISBN: 8580550467

• Resistência dos Materiais• Beer, Ferdinand P.; Johhston Jr.,

E. Russell; Editora Pearson Nakron Books, 3a. Ed., 2010

Fonte Bibliográfica

Bibliografia

MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA.

In: WIKIPÉDIA, a enciclopédia livre. Flórida: WikimediaFoundation, 2015. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Momento_de_in%C3%A9rcia_de_%C3%A1rea&oldid=41583402>. Acesso em: 15 abr. 2016.