DIVISIBILIDADE No Reino dos Números Primos Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade...

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DIVISIBILIDADENo Reino dos

Números Primos

Carlos TenreiroDepartamento de Matemática

Universidade de Coimbra18 de Março de 2006

Divisores de um número

Divisores de um número são os números que dividem o número exactamente com resto zero:

3 é divisor de 15

15 é divisível por 3

15 é múltiplo de 3

Divisores de um número

Quais são os divisores de 3? 1 e 3

Quais são os divisores de 5? 1 e 5

Quais são os divisores de 6? 1, 2, 3 e 6

Quais são os divisores de 28? 1, 2, 4, 7,...

Número primo

Um número é primo se só tem dois divisores:

a unidade e ele próprio

Caso contrário, o número é composto

Primo ou Indecomponível

•15 é composto. Pode decompor-se:

15 = 3 x 5

• 7 é primo. Não se pode decompor:

7 = 7

Alguns números primos

Alguns números primos

Mais números primos

Primo = Importante = Primeiro

Os números primos são muito importantes. Qualquer número inteiro pode ser escrito como produto de números primos:

220 = 2 x 110

= 2 x 2 x 55

= 2 x 2 x 5 x 11

Decomposição em factores primos

220 = 2 x 2 x 5 x 11

11

55

21102220

5

111

Decomposição em factores primos

220 = 2 x 2 x 5 x 11

1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220

Quais são os divisores de 220?

Divisores de um número

Quais são os divisores de 3? 1 e 3

Quais são os divisores de 5? 1 e 5

Quais são os divisores de 6? 1, 2, 3 e 6

Quais são os divisores de 28? 1, 2, 4, 7,...

Número perfeito

Um número é perfeito se só é igual à soma dos seus

divisores próprios

Divisores de 6 : 1, 2, 3, 6

1 + 2 + 3 = 6

Decomposição em factores primos de 28

28 = 2 x 2 x 7

17

214228

7

Divisores de 28:

1, 2, 4, 7, 14, 281+2+4+7+14=28

Desde quando se conhecem e estudam os números primos?

O osso de Ishango

O osso de Ishango

O osso de Ishango

Babilónios, Egípcios e Gregos

2006D.C.A.C.20000 6000

BabilóniosEgípciosConheciam o Teorema de Pitágoras

GregosPitágoras (569 – 475)Platão (427– 347)Aristóteles (384 – 322)Euclides (325 – 265)

Euclides de Alexandria

(325 A.C. – 265 A.C.)

• Mais importante matemático da antiguidade.

• Escreveu “Os Elementos”, mais importante obra matemática da antiguidade.

Os Elementos

Uma página de“Os Elementos” numa tradução latinapublicada em1482.

Os Elementos

O que diz Euclides:

Um número é primo se só pode ser medido pela unidade

e por ele próprio

Caso contrário, o número é composto

Os Elementos

15 =

5 =

O número 15 pode ser medido pelo 5 mas não pelo 4:

4 =

Os Elementos

15 =

5 =

O número 15 pode ser medido pelo 5 e pelo 3 (além do 1 e do 15):

3 =

Os Elementos

Euclides dizia:

3 e 5 medem 15

Nós dizemos:

3 e 5 dividem 15

Os Elementos

Existe um número infinito de números primos, ou seja, há sempre novos números primos.

Há sempre novos primos

2 3 5 ...

Há sempre novos primos

2, 3, 5, 7, 11, 13

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30031

Como nenhum dos primos anteriores divide30031 terá de existir um novo primo

Crivo de Eratóstenes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Primos enormes

Primo com 39 algarismos obtido em 1876 e queaté 1951 foi o maior primo conhecido:

2127-1 = 170141183460469231731687303715884105727

Primo com 44 algarismos obtido em 1951 com a ajuda de uma calculadora mecânica:

(2148+1)/17 = 20988936657440586486151264256610222593863921

Primos enormes

909 526algarismos

Primo de Mersenne (1588-1648).

Números de Mersenne

2

Primo Número de Mersenne

22 – 1 = 2 x 2 – 1 = 3

5 25 – 1 = 31

11 211 – 1 = 2047

2047 = 89 x 23

Primos de Mersenne

Os primeiros primos de Mersenne eramconhecidos desde a antiguidade:

Nº p Mpano

1 2 3

2 3 7

3 5 31

4 7 127

5 13 8191 1461

6 17 131071 1588

7 19 524287 1588

Primos de Mersenne

Em 1644 Mersenne afirma que são primos os números gerados a partir de:

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67,127, 257

Faltavam:

p = 61, 89, 107

Primos de Mersenne

Nº p Algarismos de Mp

Ano

37 3021377 909526 Jan. 1998

38 6972593 2098960 Jun. 1999

39 13466917 4053946 Nov. 2001

40? 20996011 6320430 Nov. 2003

... ... ... ...

43? 30402457 9152052 Dez. 2005

Primos de Mersenne e números perfeitos

Euclides sabia como obter números perfeitos a partir dos primos de Mersenne:

p MpNúmero perfeito

2 22-1= 3 21x3= 6

3 23-1= 7 22x7= 28

5 25-1= 31 24x31= 496

7 27-1= 127 26x127= 8128

Primos de Mersenne e números perfeitos

Mais alguns números perfeitos:

p Número perfeito

13 33550336

17 8589869056

19 137438691328

31 2305843008139952128

Queres ficar famoso?

“Basta” saber responder a uma destas questões:

• Haverá um número infinito de primos de Mersenne?

• Haverá um número infinito de números compostos de Mersenne?

• Haverá números perfeitos ímpares?

Um problema perfeito

Mostra que um número perfeito par termina em 6 ou 8.

Números perfeitos

6

28

496

8128

33550336

8589869056

137438691328

2305843008139952128

BOM TRABALHODIVIRTAM-SE