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8/18/2019 Equação do movimento de uma viga sobre base elástica
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2Formulação do Problema
2.1.Dedução da Equação de Movimento de uma Viga sobre FundaçãoElástica.
Seja a porção de viga infinita de seção transversal constante mostrada na
Figura 2.1, apoiada sobre uma base elástica e submetida à ação de uma carga
transversal q(x,t), variando arbitrariamente no tempo e no espaço, e a uma força
axial de magnitude constante P.
Figura 2.1 – Porção de viga prismática, apoiada sobre fundação elástica com
amortecimento viscoso, submetida a carregamento transversal e força axial.
Figura 2.2 – Diagrama de corpo livre de um elemento diferencial de viga
sobre base elástica.
w(x,t)
q(x,t).dx
M(x,t)+ dx x
t x M
∂
∂ ),(
V(x,t)+ dx x
t xV
∂
∂ ),(
M(x,t)
θ (x,t)
P
P
Fi(x,t)
Fa(x,t)
Rf(x,t)
V(x,t)
dx
w(x,t)+ dx x
t xw
∂
∂ ),(
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Considere-se o elemento diferencial de viga mostrado na Figura 2.2
submetido a um deslocamento transversal w(x,t) e uma rotação θ (x,t). As cargas
transversais atuantes são: q(x,t).dx, que representa o carregamento transversal
arbitrário; Fi(x,t), que representa a força de inércia oposta ao deslocamento;
Fa(x,t), a força de amortecimento; V(x,t), o esforço de corte e Rf(x,t), a reação dafundação. Atuam também no elemento a força axial P e o momento fletor M(x,t).
Do equilíbrio de momentos, e desprezando os termos diferenciais de ordem
superior, tem-se que:
),(),(),(
t xV x
t xwP
x
t x M =
∂
∂−
∂
∂ (2.1)
As forças de inércia e de amortecimento são definidas como:
2
2 ),(
t
t xwmFi
∂
∂= (2.2)
t
t xwC Fa
∂
∂=
),( (2.3)
onde m é a massa da viga por unidade de comprimento e C é o coeficiente de
amortecimento.
Fazendo o equilíbrio de forças transversais no elemento da Figura 2.2, e
usando as equações (2.2) e (2.3), obtém-se:
),(),(),(),(),(),(
2
2
2
2
2
2
t xqt x Rf t
t xwC
t
t xwm
x
t xwP
x
t x M =+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂ (2.4)
Da teoria de vigas de Euler-Bernoulli têm-se as seguintes relações:
2
2 ),(),(
x
t xw EI t x M
∂
∂= (2.5)
x
t xwt x ∂
∂
=
),(),(θ (2.6)
sendo E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia da seção
transversal. Se considerada também a inércia rotacional da seção da viga, um
momento dependente da rotação da seção da viga e do raio de giração da seção, r ,
surge e atua no sentido oposto à rotação. Neste caso, deve ser acrescentado o
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termo22
42 ),(
t x
t xwmr
∂∂
∂− ao lado esquerdo da equação (2.4). Substituindo a equação
(2.5) na equação (2.4) e somando os termos devidos à força axial e à inércia
rotacional no lado esquerdo da equação (2.4), obtém-se finalmente a equação de
movimento que governa o problema e que é dada pela seguinte expressão:
),(),(),(),(),(),(),(
22
42
2
2
2
2
4
4
t xqt x Rf t x
t xwmr
t
t xwC
t
t xwm
x
t xwP
x
t xw EI =+
∂∂
∂−
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂ (2.7)
2.2.Consideração da Fundação Elástica
Estruturas apoiadas sobre fundação elástica são comuns na engenharia. A
obtenção de modelos que representem adequadamente a fundação elástica e ao
mesmo tempo sejam simples quanto à sua manipulação matemática são de
fundamental importância neste tipo de problema. A seguir são apresentados
alguns dos modelos de fundação elástica mais usados na literatura (Selvadurai,
1979; Aristizábal-Ochoa, 2003).
2.2.1.Modelo de Winkler
Winkler propôs que a reação da fundação elástica em qualquer ponto da
superfície da fundação em contato com a estrutura seja linearmente proporcionalao deslocamento da estrutura neste ponto e independente dos deslocamentos em
outros pontos de contato. Isto corresponde a um sistema de molas lineares
independentes, tal como mostrado na Figura 2.3.
Figura 2.3 – Modelo de fundação elástica de Winklxer.
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Na Figura 2.3 observa-se que no modelo de Winkler os deslocamentos de
uma região carregada uniformemente são constantes quando a estrutura é
infinitamente flexível ou infinitamente rígida.
Usando a teoria de Winkler, a reação da fundação Rf(x,t) num ponto de
contato, pode ser expresso pela seguinte relação:),(.),( t xwk t x Rf = (2.8)
onde k é o coeficiente de rigidez linear da fundação ou simplesmente a rigidez da
fundação.
2.2.2.Modelos de dois parâmetros
Os modelos de dois parâmetros são chamados assim porque consideram que
a reação da fundação Rf(x,t) depende de dois parâmetros elásticos, sendo o
primeiro a constante elástica linear de mola proposto por Winkler e o parâmetro
adicional corresponde a características mecânicas da fundação.
2.2.2.1.Modelo de Filonenko-Borodich
O modelo de Filonenko-Borodich supõe que a fundação é composta de
molas lineares conectadas a uma membrana fina e submetida a uma tração T .Neste caso a reação Rf(x,t) é dada pela seguinte equação:
2
2 ),(),(.),(
x
t xwT t xwk t x Rf
∂
∂−= (2.9)
A Figura 2.4 ilustra o modelo de Filonenko-Borodich.
Figura 2.4 – Modelo de fundação elástica de Filonenko-Borodich.
Viga flexível submetidaa carregamento uniforme
Viga rígida submetidaa caga concentrada
Membrana finaMembrana fina
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2.2.2.2.Modelo de Hetenyi
Hetenyi (1946) propôs que a fundação seja composta por molas lineares
interligadas a uma viga elástica, no caso de problemas unidimensionais, ou molas
interligadas a uma placa elástica para problemas bidimensionais. Neste caso aforça Rf(x,t) pode ser definida da seguinte forma:
4
4 ),(),(.),(
x
t xw Dt xwk t x Rf
∂
∂−= (2.10)
onde D é a rigidez a flexão da viga elástica ligada ao sistema de molas.
2.2.2.3.Modelo de Pasternak
Pasternak em 1954 propôs que a fundação seja composta por molas lineares
com iteração de cisalhamento entre elas. Para tal consideração, adota-se que a
fundação é composta de molas conectadas a uma camada incompressível de
espessura unitária que só se deforma por cisalhamento, tal como mostrado na
Figura 2.5.
Figura 2.5 – Modelo de fundação elástica de Pasternak.
No caso do modelo de Pasternak, a reação da fundação elástica é dada por:
2
2 ),(),(.),(
x
t xwGt xwk t x Rf
∂
∂−= (2.11)
onde G é a rigidez a cisalhamento da fundação elástica.
Camada incompressívelDeformável só por cisalhamento
q
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2.2.3.Escolha do modelo de fundação elástica
Na presente dissertação a fundação é considerada segundo a hipótese de
Winkler, dado que, apesar de não considerar interação entre as molas, é factível a
determinação de valores de k mediante ensaios simples que são de grandeutilidade e fornecem resultados de boa qualidade em muitos casos práticos. Já a
determinação dos parâmetros considerados pelos modelos de duas constantes
elásticas demanda procedimentos experimentais de maior complexidade. Além
disso, do ponto de vista matemático, a utilização de modelos de dois parâmetros
suporia apenas mudança do coeficiente que multiplica o termo diferencial de
segunda ordem2
2 ),(
x
t xw
∂
∂ na equação de movimento, que, no caso, é dada pelo
valor negativo da força axial P.Adotada a teoria de Winkler, substitui-se a equação (2.8) na equação (2.7),
obtendo-se assim a equação:
),(),(),(),(),(),(),(
22
42
2
2
2
2
4
4
t xqt xkwt x
t xwmr
t
t xwC
t
t xwm
x
t xwP
x
t xw EI =+
∂∂
∂−
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂ (2.12)
2.3.Mudança de Coordenada do Espaço para Consideração de CargasMóveis
A carga móvel pode ser definida como um carregamento que se desloca no
espaço com velocidade de translação V(x,t). Sua consideração é de suma
importância em problemas onde a mudança da posição da carga tem grande
influência no comportamento dos sistemas estruturais, como é o caso das pontes,
trilhos, estruturas de pavimentos, entre outros. Frýba (1972) realizou uma série de
estudos detalhados de sistemas estruturais unidimensionais e bidimensionais
submetidos a cargas móveis.
Para o tratamento do carregamento móvel, faz-se muito útil uma mudançade coordenadas de um espaço fixo para um espaço móvel, i.e., uma mudança de
variável de uma coordenada fixa no espaço para uma coordenada móvel, com o
objetivo de transformar a função de carregamento móvel em uma função de
carregamento com posição fixa na coordenada móvel. Para o caso de uma
velocidade de valor constante V pode-se definir a coordenada móvel η como:
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Vt x −=η (2.13)
Definida a coordenada móvel η, o campo de deslocamento w(x,t) que
depende da coordenada fixa do espaço x pode ser redefinido pelo campo de
deslocamentos w(η ,t ) e a função de carregamento q(x,t) transformada para afunção q(n,t) (Frýba, 1972); Kim, 2005). Usando a equação (2.13), a equação
(2.9) pode ser reescrita da seguinte forma:
∂
∂+
∂∂
∂−
∂∂
∂−
∂
∂+
∂∂
∂−
∂
∂
2
22
3
4
22
42
2
22
2
2
2 ),(),(2
),(),(),(2
),(
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η η t wV
t
t wV
t
t wmr
t wV
t
t wV
t
t wm
),(),(),(),(),(),(
2
2
4
42
t qt kwt w
Pt w
EI t w
V t
t wC η η
η
η
η
η
η
η η =+
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂+ (2.14)
Dada a presença de termos diferenciais cruzados na equação (2.14), não é
possível resolvê-la pelo método tradicional da separação das variáveis. Aresolução desta equação dependerá da complexidade da função de carregamento
q(n,t). Dependendo do caso, podem-se obter soluções analíticas exatas por meio
de transformações integrais ou expansões em série de potências, dentre outros. É
possível também obter soluções aproximadas mediante métodos que permitam
trabalhar diretamente com a equação diferencial, como é o caso do método dos
resíduos ponderados ou pelos métodos das diferencias finitas e dos elementos
finitos. Na presente dissertação trabalha-se com o método dos resíduos ponde-
rados de Galerkin.
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