Rosa – 2011

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

Aula de hojeVariáveis aleatóriasdiscretas PMF, CDF Exemplos de v. a.:Bernoulli, Binomial,Geométrica

Aula passadaIndependênciaProb. CondicionalTeorema da Probabilidade TotalLei de BayesVariáveis aleatórias

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Função probabilidade de massa (pmf)

Associar probabilidade a valores de uma v.a.

Seja X uma v.a. (discreta)

Qual a probabilidade de X = x?Conjunto de eventos elementares que são mapeados no valor x

notação de pmf (probability mass function)

{s∣X s=x }

pX x =P [X=x ]=P [{s∣X s=x }]= ∑X s=x

P [s]

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Propriedades da função probabilidade de massa

onde xi são todos os valores que a variável aleatória pode assumir 

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Exemplo: 2 dados

Seja X uma v.a. que representa a soma de dois dados

Defina a pmf de X

Qual é o domínio de X (valores que X pode assumir)? 

= 1/36

= 2/36

= 3/36

X=2 : {(1,1)}

X=3 : {(1,2), (2,1)}

X=4 : {(1,3), (2,2), (3,1)}

. . .

pX x =P [X=x ]

pX 2=P [X=2]

pX 3=P [X=3]px 4=P [X=4]

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Exemplo: 2 dadospmf, graficamente

x (valor que X pode assumir)

P [

X =

x]

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Função distribuição cumulativa (cdf)

Probabilidade cumulativa (ao invés de pontual)

Dada v.a. X, temos

notação da cdf (cumulative distribution function)

FX(x) é não decrescente

Limite quando x tende a infinito é 1

F X x =P [Xx ]=P [{s∣X sx }]= ∑X sx

P [ s ]

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Propriedades da função distribuição cumulativa

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Exemplo: 2 dados

Seja X uma v.a. que representa a soma de dois dados

Defina a cdf de X

= 1/36

= 3/36

= 6/36

X=2 : {(1,1)}

X=3 : {(1,1), (1,2), (2,1)}

X=4 : {(1,1), ..., (1,3)}

. . .

F X x =P [Xx ]

F X 2=P [X2 ]F X 3=P [X3]

F X 4=P [X4]

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Exemplo: 2 dadoscdf, graficamente

x (valor que X pode assumir)

P [

X <

= x

]

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Distribuições Importantes

V.A. discretas

Bernoulli

Binomial

Geométrica

Poisson

Usadas para modelar eventos que ocorrem na naturezaRepresentam v.a. que iremos usar

Relativamente fáceis de manipular

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Bernoulli

Somente dois eventos podem ocorrer

cara ou coroa, sucesso ou falha, par ou ímpar, etc.

v.a. binária (evento 0 ou evento 1)

Parâmetro p, ocorrência de um dos eventos)

pmf:pX 0=1− p

pX 1= p

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Bernoulli

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BinomialContagem de eventos de Bernoullieventos independentes 

Número de sucessos dado N experimentos

Dois parâmetros

p: prob. de ocorrência do evento (sucesso)

N: número de experimentos

pmf:

Número de vezes que exatamente k eventos podem ocorrer

Prob. que exatamente k eventos ocorram

pX k =Nk pk1− pN−k

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Condições para uso da Binomial

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Exemplo de uso da Binomial

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Geométrica

Sequência de eventos de Bernoulli até que ocorra um sucesso

Parâmetros

p: prob. de ocorrência do evento (sucesso)

N: número de experimentos

pmf:

Prob. de um evento de sucesso Prob. de exatamente k-1

eventos de falha

pX k = p 1− pk−1

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Geométrica Modificada

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Geométrica: Propriedade memoryless

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Geométrica: Propriedade memoryless

Yn Z

Z – v.a. geométricaY – v.a. que representa o que falta para o primeiro sucessoY=Z-n e Z=n+Y

P[Y=i / Z>n] = ?

pZ i= pqi−1

F Z i =1−qi

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Geométrica: Propriedade memoryless

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Geométrica: Aplicações

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Geométrica: Aplicações