Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina - CEFET-SC CST em Sistemas de Telecomunicações

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Estudo comparativo entre filtros digitais FIR e IIR

José Paulo de Oliveira Petry petrybr@gmail.com

Resumo: Neste artigo será realizado o projeto de filtros, analógicos e digitais, passa baixa e passa faixa utilizando os métodos IIR e FIR para os filtros digitais. Pretende-se realizar uma comparação entre os dois métodos analisando as respostas em freqüência de magnitude, fase, resposta ao impulso e seus pólos e zeros de modo a encontrar a melhor solução entre os filtros disponíveis. Palavras-chave: filtro digital; FIR; IIR;. 1. Introdução

Um filtro tem como objetivo restringir a passagem de freqüências não desejáveis. Essa restrição é realizada atenuando as freqüências indesejadas. Pode ser definido como:

· Filtro Passa Baixa: Deve permitir apenas a passagem de freqüências abaixo de uma freqüência de corte especificada.

· Filtro Passa Faixa: Deve permitir apenas a passagem de freqüências que estejam entre uma freqüência de corte inferior e uma freqüência de corte superior.

· Filtro Rejeita Faixa: Deve rejeitar a passagem de freqüências que estejam entre uma freqüência de corte inferior e uma freqüência de corte superior

· Filtro Passa Alta: Deve permitir apenas a passagem de freqüências acima de uma freqüência de corte especificada.

Um filtro digital é um sistema temporal discreto e tem como função de transferência um filtro em forma de janela espectral, através da qual somente é permitida a passagem da parte desejada do espectro de entrada. Podem ser classificados em dois grupos:

· Filtros digitais de resposta ao impulso de duração finita (FIR): As saídas do sistema dependem somente da entrada presente e de um número finito de entradas passadas.

· Filtros digitais de resposta ao impulso de duração infinita (IIR): Depende do ssinais de entrada presentes e passados e dos sinais de saída passados. Essa dependência das saídas passadas faz com que a duração da resposta seja infinita.

Este artigo tem como objetivo encontrar o melhor tipo de filtro para as especificações solicitadas. Entende-se como melhor filtro aquele que atende as especificações com a menor ordem. 2. Especificações dos Filtros

Neste ítem serão apresentadas as especificações solicitadas.

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2.1. Filtro Passa Baixa

Tabela 1 – Especificações do filtro passa baixa

2.2. Filtro Passa Faixa

Tabela 2 – Especificações do filtro passa faixa 3. Desenvolvimento

Neste item serão apresentados gráficos onde poderemos comparar as respostas dos filtros.

3.1. Filtro analógico

A título de aprendizado, os filtros especificados anteriormente foram simulados no MatLab como filtros analógicos.

Para o filtro passa baixa, foi realizado testes com diversos tipos e ordens de filtro, sendo que o que obteve melhor resultado foi do tipo Chebyshev 2 de ordem 15. Na figura 1 temos a resposta em magnitude dele.

Figura 1 – Resposta em magnitude do filtro passa baixas tipo Chebyshev 2 de ordem 15

Especificação Valor Ganho na componente contínua(G0) -20 Frequência de corte (rd/s) 200k Banda de transição (bt) 20k Ripple máximo na banda passante (Ap) 0.1 Atenuação mínima na frequência de rejeição (As) (dB) 30

Especificação Valor Ganho na componente contínua(G0) 0 Frequência central (rd/s) 200k Largura de banda(B), banda passante(bt) (rd/s) 20k Ripple máximo na banda passante (Ap) 0.5 Atenuação mínima na frequência de rejeição (As) (dB) 60

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Na Tabela 3 temos o código do Matlab usado para gerar o filtro analógico passa baixas.

Tabela 3 – Código do Matlab para gerar o Filtro Passa Baixas

%% % Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina % Unidade de São José % Curso Superior de Tecnologia em Sistemas de Telecomunicações % Disciplina: Processamento de Sinais Digitais % Aluno: José Paulo de Oliveira Petry % Projeto de Filtros Analógicos %% clc; clear all; syms Hp H p s S = 8; % tamanho da letra nos gráficos H0=-20; % Ganho do filtro em w = 0 G0 = 10^(H0/20); N = 15; % N é a ordem do Filtro Passa baixa e Passa alta % 2N é a ordem do Filtro Passa faixa e Rejeita faixa FILTER = 'Chebyshev 2'; Rp = 0.1; % ripple na faixa de passagem em dB - cheb1 e ellip Rs = 10;% ripple na faixa de rejeição em dB - cheb2 e ellip % Filtro Chebyshev 1 ordem N>2 %cheb1: %[zeros,polos,k]=cheb1ap(N,Rp); pF=poly(polos); zF=poly(zeros); %cheb2 (nao funciona) [zeros,polos,k]=cheb2ap(N,Rs); pF=poly(polos); zF=poly(zeros); % Filtro Butterworth ordem N>2 %[zeros,polos,k]=buttap(N); pF=poly(polos); zF=poly(zeros); % Filtro Elliptico ordem N>2 %[zeros,polos,k]=ellipap(N,Rp,Rs); pF=poly(polos); zF=poly(zeros); sz = size(zF); Nz = sz(2)-1; str = ['(']; for k=1:Nz+1 str = [str '+' num2str(zF(k)) '*p.^' num2str(Nz-k+1)]; end str = [str ')./(']; for k=1:N+1 str = [str '+' num2str(pF(k)) '*p.^' num2str(N-k+1)]; end str = [str ')']; H=inline(str); Hp = G0*eval(str); Hps= simplify(Hp); %pretty(Hps);; Hp0=H(j*0); % Ganho em DC de H(p) P = 1e-2:1e-3:100; %% Convertendo para Passa Baixas com wp = 10 rd/s wp = 220000; w = P*wp; jw = w*j; Hsw = (G0/Hp0)*H(jw./wp); figure(1); semilogx(w,20*log10(abs(Hsw)));grid on; ylabel('|H(jw)| (dB)'); xlabel('w (rd/s)'); title(['Filtro tipo ' FILTER ' de ordem N = ' num2str(N)]); p = s/wp; Hs = eval(Hp);Hss= simplify(Hs); %pretty(Hss);; figure(2); clf; axis off; set(2, 'Position', [2 100 1024 40] ... , 'MenuBar', 'none') text('Interpreter','latex',... 'String',['$$' latex(Hss) '$$'],... 'Position', [-0.15 0 ], .... 'FontSize',S)

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Figura 2 – Resposta em magnitude para o filtro passa faixa do tipo Butterworth de ordem 20

Já para o filtro passa faixa, os testes resultaram no filtro tipo Butterworth de ordem 20

como melhor implementação. A Figura 2 apresenta a resposta em magnitude deste filtro e a Tabela 4 temos o código do Matlab para gerar esse filtro.

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Tabela 4 - Código do Matlab para gerar o filtro passa faixa

%% % Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina % Unidade de São José % Curso Superior de Tecnologia em Sistemas de Telecomunicações % Disciplina: Processamento de Sinais Digitais % Aluno: José Paulo de Oliveira Petry % Projeto de Filtros Analógicos %% clc; clear all; syms Hp H p s S = 8; % tamanho da letra nos gráficos H0=0; % Ganho do filtro em w = 0 G0 = 10^(H0/20); N = 10; % N é a ordem do Filtro Passa baixa e Passa alta % 2N é a ordem do Filtro Passa faixa e Rejeita faixa FILTER = 'Butterworth'; Rp = 0.5; % ripple na faixa de passagem em dB - cheb1 e ellip Rs = 10;% ripple na faixa de rejeição em dB - cheb2 e ellip % Filtro Butterworth [zeros,polos,k]=buttap(N); pF=poly(polos); zF=poly(zeros); sz = size(zF); Nz = sz(2)-1; str = ['(']; for k=1:Nz+1 str = [str '+' num2str(zF(k)) '*p.^' num2str(Nz-k+1)]; end str = [str ')./(']; for k=1:N+1 str = [str '+' num2str(pF(k)) '*p.^' num2str(N-k+1)]; end str = [str ')']; H=inline(str); Hp = G0*eval(str); Hps= simplify(Hp); %pretty(Hps);; Hp0=H(j*0); % Ganho em DC de H(p) P = 1e-2:1e-3:100; %% Convertendo para Passa Faixa com w0 = 200k rd/s e B = 20k w0 = 200000; B = 20000; sw = P*w0; sj = sw*j; Hsw = (G0/Hp0)*H(1/B*(sj.^2+w0^2)./sj); figure(1); semilogx(sw,20*log10(abs(Hsw)));grid on; ylabel('|H(jw)| (dB)'); xlabel('w (rd/s)'); title(['Filtro tipo ' FILTER ' de ordem N = ' num2str(2*N)]); p = 1/B*(s^2+w0^2)/s; Hs = eval(Hp);Hss= simplify(Hs); %pretty(Hss);; figure(2); clf; axis off; set(2, 'Position', [2 100 1024 40] ... , 'MenuBar', 'none') text('Interpreter','latex',... 'String',['$$' latex(Hss) '$$'],... 'Position', [-0.15 0 ], .... 'FontSize',S)

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3.2 Filtros Digitais

Para o desenvolvimento da simulação dos filtros digitais foi utilizado a ferramenta fdatool do aplicativo Matlab. Esta ferramenta não permite acrescentar um ganho em magnitude na banda de passagem. Por isso, o ganho na componente contínua do filtro passa baixas foi setado como zero e a atenução mínima de frequência de rejeição foi modificado para 10dB.

3.2.1 Passa Baixas

Para os filtros digitais passa baixa, após testes com diversos tipos de filtros foi escolhido utilizar o tipo Chebyshev 2 para o IIR, e a janela Kaiser para o FIR. 3.2.1.1 Resposta em magnitude

Na Figura 3 temos a comparação da resposta em magnitude dos filtros IIR e FIR desenvolvidos. Podemos observar a melhor performance do filtro IIR, pois o mesmo apresenta um ripple imperceptível na banda de passagem e permanece com ganho zero numa faixa maior de frequências de passagem.

Figura 3 – Resposta em magnitude dos filtros IIR e FIR

3.2.1.2 Resposta em fase

Na Figura 4 é apresentado a comparação da resposta em fase dos filtros. Observa-se uma maior estabilidade na frequência de passagem do filtro IIR, porém este se apresenta com maior variações próximos a frequência de corte.

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Figura 4 – Resposta em fase dos filtro IIR e FIR

3.2.1.3 Resposta ao impulso

Na Figura 5 temos a comparação da resposta ao impulso dos filtros realizados.

Figura 5 – Resposta ao impulso dos filtros IIR e FIR

3.2.1.4 Diagrama de pólos e zeros

Na Figura 6 é apresentado o diagrama de pólos e zeros dos filtros projetados.

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Figura 6 – Diagrama de pólos e zeros dos filtros IIR e FIR

3.2.2 Passa Faixa

Para os filtros digitais passa faixa, após testes com diversos tipos de filtros foi escolhido utilizar o tipo Butterworth para o IIR e a janela Kaiser para o FIR. 3.2.2.1 Resposta em magnitude

Na figura 7 temos a resposta em magnitude dos filtro IIR e FIR. Podemos observar que o filtro FIR só começa a atenuar nas frequências mais próximas das frequências de corte, o que o torna mais vantajoso comparado ao IIR. Observa-se tambem que o IIR apresenta uma atenuação maior, comparado ao FIR, nas frequências que devem ser rejeitadas.

Figura 7 – Resposta em magnitude para os filtros IIR e FIR

3.2.2.2 Resposta em fase

Na Figura 8 temos a resposta em fase dos filtros. Pode-se observar uma maior linearidade no filtro FIR na banda passante.

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Figura 8 – Resposta em fase para os filtros IIR e FIR

3.2.2.3 Resposta ao impulso

Na Figura 9 temos a comparaçao da resposta ao impulso dos filtros analisados.

Figura 9 – Resposta ao impulso para os filtros IIR e FIR

3.2.2.4 Diagrama de polos e zeros

Na Figura 10 temos o diagrama de polos e zeros. Podemos observar que os polos do filtro FIR estão todos no centro, pois nesse filtro não realimentação de saídas, existindo apenas os zeros.

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Figura 10 – Diagrama de polos e zeros para os filtros IIR e FIR

4. Considerações Finais

Após a conclusão desse trabalho, foi verificado a dificuldade em desenvolver um filtro ideal. Ao melhorar alguma característica sempre se degradava outra. Com isso, conclue-se que o objetivo final do filtro é o fator mais importante para a escolha de qual tipo e ordem será escolhido, já que saberemos em quais características poderemos ter mais ou menos fidelidade as especificações.

A ferramenta fdatool do aplicativo MatLab é bem eficiente para a criação dos filtros,

podendo rapidamente alterar entre um tipo e outro facilitando o trabalho de pesquisa pela melhor opção de filtro. Referências

SHENOI, B.B. Introduction to digital Signal Processing and Filter Design, 2006