Exercicios resolvidos

1Professor Mestre Matusalém Vieira Martins

Resolução dos exercícios do Trabalho Efetivo Discente – TED

Lista de exercícios 1.01) Determine os elementos dos conjuntos:a) A = { x | x2= 9 } Solução:x2= 9x=±√9 x=± 3 A = {-3, 3}

b) B = { x | x é letra da palavra "arara"} B = {a, r}

c) C = { x | x ∈ R e x2< 0 } C = ϕ

d) D = { x | x ∈ N e x ¿ 3 } D = {0,1,2,3}

02) Descreva por meio de uma propriedade característica de seus elementos os conjuntos: a) A = { a, e, i, o, u } A = { x | x é vogal}

b) B = { 2, 4, 6, 8, ....} B= { x | x é natural par}

c) C = { r, s, t, u, v, x, z} C = { x | x são as 7 últimas letras do alfabeto}

03) Sejam A= {x, y, z} e B={x}. Escrever com símbolos as seguintes sentenças classificando-as em falsas ou verdadeiras:

a) x é elemento de A x∈A verdadeira

b) y não pertence a By∉B verdadeira

c) B é subconjunto de AB⊂ A verdadeira

d) B pertence a AEstá não é uma relação válida

e) B está contido em AB⊂ A verdadeira

Lista de exercícios 2.04) Se A = {a} , B = {a, b} , C = {c, d} , D = { a, b, c} e E = { b, c, d}, determinar quais das seguintes

sentenças são verdadeiras, justificando as falsas: a) A ⊂ D ( V ) b) B ⊂ E ( F ) pois em a ∉ D

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c) D = E ( F ) pois possuem elementos diferentes d) C ⊃D ( F ) pois a∉D e b ∉De) B ¿ C ( V ) f) B ⊄ D ( F ) pois os elementos de pertencem também a D

05) Dados A= {x ∈ R | 0¿ x¿ 4} e B = {x∈R | 1¿ x¿ 3} determinar A - B. A – B = { x ∈ R |0≤ x¿ 1 e 3¿ x≤4}

06) Numa escola com 517 alunos, 290 estudam Matemática, 210 estudam Física e 112 não estudam nem Matemática nem Física. Pede-se:

quantos alunos estudam Matemática ou Física? 405 quantos alunos estudam Matemática e Física? 95 quantos alunos estudam Matemática e não estudam Física? 195

Como a escola tem 517 e 112 não estudam nem matemática e nem física, temos:517 – 112 = 405Portanto 405 alunos estudam matemática e/ou física.Como 290 estudam matemática e 210 estudam física, temos:290 + 210 = 500Mas como vimos temos apenas 405 alunos, logo a diferença são os alunos que estudam as duas

matérias.500- 405 = 95Veja a representação no diagrama de Venn.

195 115 95

Lista de exercícios 3.07) Dado o conjunto A = {a, c, e, g, i}, indique quais das seguintes sentenças são verdadeiras:a) e ∈A Vb) h∈A F c) i∉A Fd) c∈A Ve) d∉A V

08) Represente, através da enumeração dos elementos, os seguintes conjuntos:a) O conjunto A, dos números primos menores que 10.A = { 2,3,5,7}

b) O conjunto B, dos pólos geográficos.B = {norte, sul, leste, oeste}

c) O conjunto C, dos números múltiplos positivos de 3 menores que 15.C = {3,6,9,12}

d) O conjunto D, dos divisores positivos de 9.D= {1,3,9}

e) O conjunto E, dos números pares maiores que 7.E = {8,10,12,14,...}

09) Determine os elementos dos seguintes conjuntos:a) A = {x | x é número de uma das faces do dado}A = {1,2,3,4,5,6}

b) B = {x | x é dia da semana cujo nome começa por s}B = { segunda-feira, sexta-feira, sábado}

c) C = {x | x é numero ímpar compreendido entre 12 e 18}C = {13,15,17}

d) D = {x | x é consoante da palavra conjunto}D = {c,n,j,t}

10) Represente os seguintes conjuntos através de uma propriedade comum a seus elementos:a) A = {1,3,5}A = { x | x é impar e x<7}

b) B = {1,2,4,8,16,32}B = { x | x é 2x com 1≤x≤ 5}

c) C = {cheia, nova, minguante, quarto crescente}C = { x | x fases da lua}

d) D = {trapézio retângulo, trapézio isósceles, trapézio escaleno}D = { x | x tipos de trapézio }

11) Verifique se cada um dos seguintes conjuntos é unitário ou vazio, JUSTIFICANDO SUA RESPOSTA:a) A = {x | x é número natural e x – 2 = 5} É unitário pois só existe um valor para x, x = 7

b) B = {x | x é número par compreendido entre 6 e 8}É vazio pois não existe par entre 6 e 8

c) C = {x | x é número natural primo e par}É unitário pois só existe o número 2

d) D = {x | x é número natural e x . 0 = 2}É vazio pois todo número multiplicado por 0 dá como resultado 0

Lista de exercícios 4.12) Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6}, B = {0, 4}, C = {4} e D = {0, 2} assinale as sentenças verdadeiras,

JUSTIFICANDO SUA RESPOSTA:a) A ⊃ C Vb) D⊄B Vc) C⊃B F pois em 0∉C d) A ⊃D V

13) Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9}B = {x | x é número natural e x – 5 = 2}C = {x | x é número inteiro compreendido entre 5 e 8}Assinale as sentenças verdadeiras, JUSTIFICANDO SUA RESPOSTA:a) A⊃C F pois 6 ∉C

b) B⊂A V pois todos elementos de B também são de A

14) Determine o número de elementos de P(A) nos seguintes casos:a) A = {x | x é número primo entre 4 e 8}2n onde n é o número de elementos do conjunto,Logo como A tem 2 elementos, temos22=4

b) B = {x | x é numero natural ímpar menor do que 8}2n onde n é o número de elementos do conjunto,Logo como A tem 4 elementos, temos24=16

15) Sabendo que o conjunto das partes de um conjunto tem 32 elementos, determine o número de elementos do conjunto A.

2n=25 n=5

16) Dado A ={4, 6}, temos que P(A) = { ∅ , {4}, {6}, A}. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação, justificando cada afirmação:

a) 4∈A Vb) 4∈ P(A) F, pois 4 é elemento do conjunto A

c) ∅∈ P(A) V

d) ∅⊂A F, pois está contido nas partes de Ae) A⊂P(A) V

Lista de exercícios 5.17) Hachure nos diagramas a região que representa os seguinte conjuntos:

a) A¿ B b) A¿ B¿ C01) Hachure nos diagramas a região que representa os seguinte conjuntos: a) AB b) ABC

18) Dados os conjuntos A = {a, e}, B = {b, c, d, f}, C = {a, c, e, g} e D = {b, d, f}, determine:

a) A¿ B= {a,b,c,d,e,f}

b) A¿ C= {a,c,e,g}

c) B¿ D={b,c,d,f}

d) (A ¿ B) ¿ C = {a,b,c,d,e,f,g}

19) Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {3, 4, 5}, obtenha:a) A – B = {1, 3, 5, 7}b) B – C = {2, 6, 8}c) C – B = {3, 5}d) A – C = {1, 7}

20) Indique se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação:

a) A – B = B – A F

b) (A – B) ⊂ (A¿ B) Vc) (A – B) ⊂ A V21) Numa comunidade são consumidos três produtos A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado sobre o

consumo foram obtidos os resultados da tabela abaixo: Produtos A B C A e B B e C A e C A e B e C Nenhum

No. Consumidor

100 150 200 20 40 30 10 130

Determine quantas pessoas: a) foram consultadas.É só somar todos os valores do diagrama60+10+10+20+100+30+140+130 = 500b) consomem somente dois produtos. É só somar as interseções entre dois conjuntos10+20+30=60c) não consomem o produto B. é só somar os pedaços fora de B60+20+140+130= 350

d) não consomem A ou não consomem B. É só somar as partes fora de A e de B140+ 130 = 270

60 100 10

10 30 20

Lista de exercícios 6:22) Verdadeiro ou falso?

a) ( F ) Vetor é uma grandeza escalar.

b) ( V ) Norma de um vetor é sinônimo de tamanho de um vetor.

c) ( F ) Um vetor é uma flecha.

d)( V ) Duas flechas de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são representantes de um mesmo vetor.

e) ( V ) A norma de um vetor e a de seu oposto são iguais: // - u⃗ // = // u⃗ //

f ) ( V ) Se // u⃗ // = 1 então u⃗ é chamado versor.

g) ( V ) O único vetor de norma zero é o vetor nulo.

h) ( V ) Para todo vetor u⃗ tem-se u ⊥ 0 .

i ) ( V ) Se u⃗ é um vetor qualquer e A um ponto qualquer, tem-se A – A // u⃗ .

j ) ( V ) A⃗B=B−A

Lista de exercícios 7:23) Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações referentes à Figura 01, justificando sua

resposta:

FIGURA 01

a) O – F = C – O ( V )Pois representam o mesmo vetor

b) E – O = B – O ( F )Não pois são vetores opostos

c) B – O = C – O ( F )Não pois são vetores de mesmo tamanho mas sentido e direção diferentes

d) D – O = O – A ( V )Pois representam o mesmo vetor

e) A – O = O – D ( V )Pois representam o mesmo vetor

f) E – O = -(O – E) ( V ) Pois representam o mesmo vetor

g) C – O = -(F – O) ( V )Pois representam o mesmo vetor

h) C – F = D – E ( F )Não pois tem tamanho diferentes

i) C – B = D – O ( V )Pois representam o mesmo vetor

24) Na figura 06 estão representados os vetores paralelos u⃗ e v⃗ e estão indicadas suas normas.

Calcule a norma de u⃗+ v⃗ em cada caso e desenhe uma flecha que representa u⃗+ v⃗ .

FIGURA 06

u + v = 0 u + v = 10 u + v = 4

Lista de exercícios 8:A1) (u + v) + w = u + (v + w)A2) u + v = v + uA3) u + 0 = uA4) u +(-u) = 0

M1) (αβ).u = α (β.u)M2) (α + β).u = α .u + β.uM3) α (u + v) = α .u + α .vM4) 1.u = u

Nos problemas seguintes, apresenta-se, em cada um deles, um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são, citar os axiomas que não se verificam.

25) {(x, 2x, 3x); x ∈ R }: com as operações usuaisu = (x1, 2x1, 3x1), v = (x2, 2x2, 3x2) e w = (x3, 2x3, 3x3),A1) (u + v) + w = u + (v + w)[(x1, 2x1, 3x1)+ (x2, 2x2, 3x2)] + (x3, 2x3, 3x3) = (x1, 2x1, 3x1) + [(x2, 2x2, 3x2) + (x3, 2x3, 3x3)][(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2)] + (x3, 2x3, 3x3) = (x1, 2x1, 3x1) + [(x2+x3, 2x2+2x3, 3x2+3x3)](x1+x2+x3, 2x1+2x2+2x3, 3x1+3x2+3x3) = (x1+x2+x3, 2x1+2x2+2x3, 3x1+3x2+3x3)(x1+x2+x3, 2(x1+x2+x3), 3(x1+x2+x3)) = (x1+x2+x3, 2(x1+x2+x3), 3(x1+x2+x3))Este axioma se verifica

A2) u + v = v + u(x1, 2x1, 3x1)+ (x2, 2x2, 3x2) = (x2, 2x2, 3x2) + (x1, 2x1, 3x1)(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2) = (x2+x1, 2x2+2x1, 3x2+3x1)(x1+x2, 2(x1+x2), 3(x1+x2)) = (x2+x1, 2(x2+2x1), 3(x2+x1))Este axioma se verifica

A3) u + 0 = u(x1, 2x1, 3x1) + (0,0,0) = (x1, 2x1, 3x1)(x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)Este axioma se verifica

A4) u +(-u) = 0(x1, 2x1, 3x1) + (-x1, -2x1, -3x1) = (0,0,0)(0,0,0) = (0,0,0)Este axioma se verifica

M1) (αβ).u = α (β.u)(αβ). (x1, 2x1, 3x1) = α (β. (x1, 2x1, 3x1))(αβ x1, 2αβ x1, 3αβ x1) = α (β x1, 2β x1, 3β x1)(αβ x1, 2αβ x1, 3αβ x1) = (αβ x1, 2αβ x1, 3αβ x1)Este axioma se verifica

M2) (α + β).u = α .u + β.u(α + β). (x1, 2x1, 3x1) = α . (x1, 2x1, 3x1) + β. (x1, 2x1, 3x1)((α + β)x1, (α + β)2x1, (α + β) 3x1) = (α x1, α 2x1, α 3x1) + (β x1, β 2x1, β 3x1)(α x1+ βx1, α 2x1+ β2x1, α 3x1+ β 3x1) = (α x1+β x1, α 2x1+β 2x1, α 3x1+β 3x1)Este axioma se verifica

M3) α (u + v) = α .u + α .vα [(x1, 2x1, 3x1) + (x2, 2x2, 3x2)] = α . (x1, 2x1, 3x1) + α . (x2, 2x2, 3x2)α [(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2)] = (α x1, α 2x1, 3α x1) + (α x2, 2α x2, 3α x2)α [(x1+x2, 2(x1+x2), 3(x1+x2))] = (α x1+α x2, α 2x1+2α x2, 3α x1+3α x2)(α (x1+x2), 2α (x1+x2), 3α (x1+x2)) = (α (x1+x2), 2α (x1+x2), 3α (x1+x2))Este axioma se verifica

M4) 1.u = u1. (x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)(x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)Este axioma se verificaComo todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um espaço vetorial.

26) R 2, com as operações: (a, b) + (c, d) = (a, b) α (a, b) = (α a, α b)u = (a,b), v = (c,d) e w=(e,f)

A1) (u + v) + w = u + (v + w)[(a,b) + (c,d)] + (e,f) = (a,b) + [(c,d) + (e,f)][(a,b))] + (e,f) = (a,b) + [(c,d)](a,b) = (a,b)Este axioma se verifica

A2) u + v = v + u(a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b)(a,b) ≠ (c,d)Este axioma não se verifica

A3) u + 0 = u(a,b) + (0,0) = (a,b)(a,b) = (a,b)Este axioma se verifica

A4) u +(-u) = 0(a,b)+ (-a,-b) = (0,0)(a,b) ≠ (0,0)Este axioma não se verifica

M1) (αβ).u = α (β.u)(αβ).(a,b) = α (β. (a,b))(αβ a,αβ b) = α (β a,β b)(αβ a,αβ b) = (αβ a,α β b)Este axioma se verifica

M2) (α + β).u = α .u + β.u(α + β).(a,b) = α . (a,b) + β. (a,b)((α + β)a, (α + β)b) = (α a,α b) + (β a ,β b)(α a+ βa, αb + βb) = (α a+β a,α b+β b)Este axioma se verifica

M3) α (u + v) = α .u + α .vα ¿(a,b) + (c,d)] = α .(a,b) + α .(c,d)α (a,b) + α (c,d) =. (α a, α b) +( α c,α d)(α a, α b)+(α c,dα ) = (α a+α c , α b+ α d)(α a+α c , α b+ α d) = (α a+α c , α b+ α d)Este axioma se verifica

M4) 1.u = u

1.(a,b) = (a,b)(a,b) = (a,b)Este axioma se verificaComo pelo menos um axioma não foi verificado positivamente, logo este não é um espaço vetorial.

27) A = {(x, y) ∈R 2 | y = 5x}: com as operações usuaisu = (x1,5x1) , v = (x2, 5x2) e w = (x3,5x3)A1) (u + v) + w = u + (v + w)[(x1,5x1) + (x2, 5x2)] + (x3,5x3) = (x1,5x1) + [(x2, 5x2) + (x3,5x3)][(x1+ x2,5x1+5x2)] + (x3,5x3) = (x1,5x1) + [(x2+ x3, 5x2+5x3)](x1+ x2+ x3,5x1+5x2+5x3) = (x1+ x2+ x3,5x1+5x2+5x3)Este axioma se verifica

A2) u + v = v + u(x1,5x1) + (x2, 5x2) = (x2, 5x2) + (x1,5x1)(x1+ x2,5x1+5x2) = [(x2+ x1,5x2+5x1)Este axioma se verifica

A3) u + 0 = u(x1,5x1) + (0,0) = (x1,5x1)(x1,5x1) = (x1,5x1)Este axioma se verifica

A4) u +(-u) = 0(x1,5x1) + (-x1,-5x1) = (0,0)(0,0) = (0,0)Este axioma se verifica

M1) (αβ).u = α (β.u)(αβ). (x1,5x1) = α (β. (x1,5x1))(αβ x1,5αβ x1) = α (β. x1,5β.x1))(αβ x1,5αβ x1) = (αβ x1,5αβ x1)Este axioma se verifica

M2) (α + β).u = α .u + β.u(α + β). (x1,5x1) = α . (x1,5x1) + β. (x1,5x1)((α + β). x1, (α + β). 5x1) = (α .x1,5 α .x1) + (β.x1,5 β.x1)(α x1+ β x1, α 5x1+ β. 5x1) = (α x1+ β x1, α 5x1+ β. 5x1)(α x1+ β x1, 5.(α x1+ β. x1)) = (α x1+ β x1, 5.(α x1+ β. x1))Este axioma se verifica

M3) α (u + v) = α .u + α .vα ((x1,5x1) + (x2, 5x2)) = α .( x1,5x1) + α . (x2, 5x2)α (x1+ x2,5x1+5x2) = (α . x1,5α .x1) + (α .x2, 5α .x2)(α (x1+ x2),α (5x1+5x2)) = (α . x1+α .x2, 5α .x1+5α .x2)(α . x1+α .x2, 5α .x1+5α .x2) = (α . x1+α .x2, 5(α .x1+α .x2))(α . x1+α .x2, 5(α .x1+α .x2)) = (α . x1+α .x2, 5(α .x1+α .x2))Este axioma se verifica

M4) 1.u = u1. (x1,5x1) = (x1,5x1)(x1,5x1) = (x1,5x1)Este axioma se verificaComo todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um espaço vetorial.

28) R 2, com as operações: (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y') α (x, y) = (α x,0)

u =(x, y), v =(x', y') e w =(x”,y”)A1) (u + v) + w = u + (v + w)[(x, y) + (x', y')] + (x”,y”) = (x, y) + [(x', y') + (x”,y”)](x+ x', y+ y') + (x”,y”) = (x, y) + (x'+ x”, y'+ y”)(x+ x'+ x”, y+ y'+ y”) = (x+ x'+ x”, y+ y'+ y”)Este axioma se verifica

A2) u + v = v + u(x, y) + (x', y') = (x', y') + (x, y)(x+ x', y+ y') = (x'+x, y'+y)Este axioma se verifica

A3) u + 0 = u(x, y) + (0,0) = (x,y)(x,y) = (x,y)Este axioma se verifica

A4) u +(-u) = 0(x,y) + (-x,-y) = (0,0)(0,0) = (0,0)Este axioma se verifica

M1) (αβ).u = α (β.u)(αβ).(x,y) = α (β.(x,y))(αβ x,0) = α (β.x,0))(αβ x,0) = (αβ x,0)Este axioma se verifica

M2) (α + β).u = α .u + β.u(α + β).(x,y) = α .(x,y) + β.(x,y)((α + β).x,0) = ( α .x,0) + (β.x,0)(α x+ β.x,0) = (α x+ β.x,0)Este axioma se verifica

M3) α (u + v) = α .u + α .vα [(x, y) + (x', y')] = α .(x,y) + α .( x', y')α (x+ x', y+ y') = (α .x,0) + ¿. x', 0)(α (x+ x'), α (y+ y')) = (α .x+α . x',0)(α x+ α x'), α y+ α y')) ≠ (α .x+α . x',0)Este axioma não se verifica

M4) 1.u = u1. (x, y) = (x, y)(x, 0) ≠ (x, y)Este axioma não se verificaComo pelo menos um axioma não foi verificado positivamente, logo este não é um espaço vetorial.

Lista de exercícios 9:29) Abaixo são apresentados subconjuntos de R². Verifique quais deles são subespaços vetoriais do R

² relativamente as operações de adição e multiplicação por escalar:a) S = {(y ,y ); y ∈R} u = (y1, y1) e v = (y2, y2)u+v =(y1, y1) + (y2, y2)(y1+ y2 , y1+ y2)

α u =α (y1, y1)(α y1, α y1)Logo é um subespaço vetorial

b) b) S = {(x , y) | x=0}u = (0, y1) e v = (0, y2)u+v =(0, y1) + (, y2)(0 , y1+ y2)

α u =α (0, y1)(0, α y1)Logo é um subespaço vetorial

30) Agora são apresentados subconjuntos do R³, verifique quais são subespaços do R³.a) S = {(x, y, z)| x = 4y e z = 0} u = (4y1, y1,0) e v = (4y2, y2,0)u+v =(4y1, y1,0) + (4y2, y2,0) (4y1+4y2, y1+ y2, 0)(4(y1+y2), y1+ y2, 0)

α u =α (4y1, y1,0)(4α y1, α y1,0)Logo é um subespaço vetorial

b) S = {(x, y, z)| z = 2x –y}

u = (x1, y1, 2x1 – y1) e v = (x2, y2, 2x2 – y2)u+v =(x1, y1, 2x1 – y1) + (x2, y2, 2x2 – y2)(x1+ x2, y1+ y2, 2x1 – y1+2x2 – y2)(x1+ x2, y1+ y2, 2x1 +2x2– y1 – y2)(x1+ x2, y1+ y2, 2(x1 + x2)– (y1 + y2))

α u =α (x1, y1, 2x1 – y1)

(α x1, α y1, α (2x1 – y1))(α x1, α y1, 2α x1 – α y1))Logo é um subespaço vetorial

Lista de exercícios 10.31) Escreva o vetor v = (1, -2, 5) como combinação linear dos vetores e1=(1, 1, 1) , e2=(1, 2, 3) e

e3=(2,-1,1).

(1, -2, 5) = a(1, 1, 1) + b(1, 2, 3)+ c(2,-1,1)(1, -2, 5) = (a,a,a) + (b, 2b, 3b)+ (2c,-c,c)(1, -2, 5) = (a+b+2c, a+2b-c, a+3b+c)Agora montamos o sistema:

{ a+b+2c=1a+2b−c=−2a+3b+c=5

por escalonamento temos:

| a+b+2c=1−a−2b+c=2−b+3c=3 | a+b+2c=1

−a−3b−c=−5−2b+c=−4

{ a+b+2c=1−b+3c=3

−2b+c=−4

| −b+3 c=36b−3c=12

{a+b+2c=1−b+3c=3

Com isso temos b = 3, c = 2 e a = -6Então o vetor v pode ser escrito como:

v=−6.e1+3.e2+2.e3

32) Para qual valor de K o vetor u = (1, -2, K) em R ³ é uma combinação linear dos vetores v = (3, 0, -2) e w = (2, -1, -5)?

(1, -2, K) = a. (3, 0, -2) + b. (2, -1, -5)(1, -2, K) = (3a, 0, -2a) + (2b, -b, -5b)(1, -2, K) = (3a+2b, -b, -2a-5b)

{ 3a+2b=1−b=−2

−2a−5b=k

Se b = 23a+2.2=1 3a+4=1 3a=−3 a = -1logo temos:−2a−5b=k 2 – 10 = k

K = -8

33) Mostre que os vetores u = (1, 2, 3), v = (0, 1, 2) e w = (0, 0, 1) geram o R³.

(x,y,z) = a. (1, 2, 3) + b(0, 1, 2) + c. (0, 0, 1)(x,y,z) = (a, 2a, 3a) + (0, b, 2b) + (0, 0, c)(x,y,z) = (a, 2a+b, 3a+2b+c)

{ a=x2a+b= y

3a+2b+c=z

Como a = x, temos:2x + b = yb = -2x + ye para z temos:3x+2(-2x+y) + c = z3x -4x +2y + c = zc = x -2y + z

v=( x ) . u+(−2 x+ y ) . v+ ( x−2 y+z ) .w Logo os vetores geram o R³.

34) Sendo os vetores u = (-3, 2 , 1) e v = (0, 5, 4), escrever o vetor w = (15, 0 ,3) como combinação linear de u e v.

(15, 0 ,3) = a. (-3, 2 , 1) + b (0, 5, 4)(15, 0 ,3) = (-3a, 2a , a) + (0, 5b, 4b)(15, 0 ,3) = (-3a, 2a +5b , a +4b)

{−3 a=152a+5b=0a+4 b=3

Sendo a = -5Temos :-10 + 5b = 05b = 10b =2Substituindo a e b na última equação para verificar igualdade, temos:-5 + 8 = 33 = 3Portanto w é uma combinação linear u e vw=−5u+2v

35) Dados os vetores v1 = (0 ,1 ,2) e v2 = (3 ,-5 ,7), para que valor de K o vetor v = (6 ,K ,8) é combinação linear de v1 e v2?

(6 ,K ,8) = a(0 ,1 ,2) + b(3 ,-5 ,7)(6 ,K ,8) = (0 ,a ,2a) + (3b ,-5b ,7b)(6 ,K ,8) = (3b , a -5b, 2a +7b)

{ 3b=6a−5b=k

2a+7b=8

Sendo b = 2, temos:2a + 14 = 8

2a =6a = 3assim substituindo na segunda equação temos o valor de k:3 – 10 = kK = -7

Lista de exercícios 11.

36) Determine os subespaços do R³ gerados pelos seguintes conjuntos:

a) A = {(2, -1,3)}

(x , y , z)=a¿)

( x , y , z )=(2a ,−a ,3a)

{2a=x (−1)−a= y3a=z

0=−x+ y+ z x− y−z=0

S= {( x , y , z )∈R3|x− y−z=0¿}

b) A = {(-1, 3, 2), (2, -2,1)}

( x , y , z )=a (−1 ,3 ,2 )+b(2 ,−2 ,1)

( x , y , z )=(−a ,3a ,2a )+(2b ,−2b ,b)

( x , y , z )=(−a+2b ,3a−2b ,2a+b)

{−a+2b=x3a−2b= y2a+b=z

¿ a= x+ y2

−x− y2

− y−x+4 b=2 x2

4 b=2x+x+ y

b=3x+ y4

Voltando e substituindo:2a+b=z

2( x+ y2 )+ 3x+ y

x+ y+3 x+ y4

4 x+4 y+3 x+ y=4 z4

7 x+5 y−4 z=0

S= {( x , y , z )∈R3|7 x+5 y−4 z=0}

c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (-1, 1,0)}

( x , y , z )=a (1,0,1 )+b (0,1,1 )+c (−1,1,0)

( x , y , z )=(a ,0 , a )+ (0 ,b ,b )+(−c , c ,0)

( x , y , z )=(a−c ,b+c ,a+b)

{a−c=xb+c= ya+b= z

|a−c= x (−1 )a+b=z+¿

b+c=−x+ z

| b+c= yb+c=−x+z

y=− x+z x+ y+z=0

S= {( x , y , z )∈R3|x+ y−z=0}

37) Verificar se os vetores v = (2 ,2) e u = (-3 ,2) geram o R 2:

a (2,2 )+b (−3 ,2 )=(x , y)

(2a ,2a )+(−3b ,2b )=(x , y )

(2a−3b ,2a+2b )=(x , y )

{2a−3b=x (−1)2a+2b= y

−2a+3b=−x

2a+2b= y5b=− x+ y

b=−x+ y5

2a+2(−x+ y5 )= y

2a−2 x+2 y5

10a−2 x+2 y=5 y5

10a=2x+5 y−2 y

a=2x+3 y10

Logo w=(2 x+3 y10 )v+(−x+ y

5 )uPortanto gera.R2.

38) mostrar que os vetores u = (2, 1) e v = (1, 1) geram o R 2.

a (2,1 )+b (1,1 )=(x , y)

(2a ,a )+(b ,b )=(x , y )

(2a+b ,a+b )=(x , y)

{ 2a+b=xa+b= y (−1)

| +2a+b=x−a−b=− y

a=x− y

x− y+b= y

b=−x+2 y

w=( x− y )u+(−x+2 y ) v Logo gera R 2.

39) Dado o conjunto A = {v1 = (-1,3,-1), v2 = (1,2,4)}⊂ IR3, determinar o subespaço G(A).

( x , y , z )=a (−1,3 ,−1 )+b(1,2,4 )

( x , y , z )=(−a ,3a ,−a )+(b ,2b ,4b)

( x , y , z )=(−a+b ,3a+2b ,−a+4b)

{−a+b=x (3)3a+2b= y−a+4 b=z

|−3a+3b=3 x3a+2b= y5b=3 x+ y

b=3x+ y5

−a+( 3 x+ y5 )=x

−a+ 3 x+ y5

−5a+3 x+ y=5 x

−5a=−5 x−3 x− y (−1)

5a=−5 x+3 x+ y

a=−2x+ y5

Substituindo na 3° equação:

−a+4b=2

−(−2 x+ y5 )+4( 3 x+ y

2x+ y5

+12 x+4 y5

2 x− y+12x+4 y=5 z

14 x+3 y−5 z=0

S= {( x , y , z )∈R3|14 x+13 y−5 z=0}

40) Determinar o subespaço G(A) para A = {(1, -2), (-2, 4)} ⊂R 2 e dizer o que representa geometricamente esse subespaço.

a (1 ,−2 )+b (−2,4 )=(x , y)

(a ,−2a )+(−2b ,4 b )=(x , y )

(a−2b ,−2a+4b )=( x , y )

0=2x+ y

2 x+ y=0

y=−2x (É uma reta).

S= {( x , y )∈R2|y=−2x }

41) Mostrar que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 0,1) geram o R 3.

a (1,1,1 )+b (0,1,1 )+c (0,0,1 )=(x , y , z)

(a ,a ,a )+ (0 , b , b )+(0,0 , c )=( x , y , z )

(a ,a+b ,a+b+c )=( x , y , z )

{ a=xa+b= y

a+b+c=z

x+b= y b= y−x

x+ y−x+c=z

c=z− y

w=x . v1+( y−x ) v2+( z− y ) v3

Logo gera R 3.

42) Classificar os seguintes subconjuntos do R2 e R 3 em LI ou LD, justificando sua resposta:

a) A = {(2 ,3 ,5)}

R:Único vetor e não nulo, logo é LI.

b) B= {(-6 ,4), (9 ,-6)}

Se −69

=−23

−6=−2

3, logo um vetor é múltiplo do outro, então é LD.

c) C = {(1 ,0 ,0), (2 ,3 ,0), (5 ,1 ,1)}

a (1,0,0 )+b (2,3,0 )+c (5,1,1 )=(0,0,0)

(a ,0,0 )+ (2b ,3b ,0 )+(5c , c , c )=(0,0,0)

(a+2b+5c ,3b+c , c )=(0,0,0)

{a+2b+5c=03b+c=0

c=0 3b+c=0 b=0

a+2b+5c=0 a+0+0=0a=0

Logo se a=b=c=0 é LI.

d) D = {(2 ,3) , (5 ,4), (1 ,1)}

Como estamos no R2 e a dimensão é 2 e temos 3 vetores, logo é LD. e) E = {(0 ,1 ,2), (0 ,0 ,0), (2, 3, 5)}

Como é vetor nulo pertence a E, logo é LD.

43) Classificar os seguintes conjuntos em LI ou LD, justificando sua resposta:

a) A={(2, -5, 3)}

LI – Único vetor e não nulo. b) B={(1, -1, -2), (2, 1, 1), (-1, 0, 3)}

a (1 ,−1,2 )+b (2,1,1 )+c (−1,0,3 )=(0,0,0)

(a ,−a ,2a )+(2b ,b ,b )+(−c ,0,3c )=(0,0,0)

(a+2b−c ,−a+b ,−2a+b+3c )=(0,0,0)

{ a+2b−c=0– a+b=0

−2a+b+3c=0 |a+2b−c=0

−a+b=0+¿

¿3b−c=0

|a+2b−c=0 (2 )−2a+b+3c=0

+¿ |3b−c=05b+c=0

¿5b+c=0 ¿5b=0

{a+2b−c=03b−c=0

3 (0 )−c=0 c=0

a+2 (0 )−0=0 a=0Como a=b=c=0 logo é LI.

c) {(2, -1), (3, 5)}

≠−15

, Como temos dois vetores e lês não são múltiplos, logo é LI.

d) {(1, 0), (-1, 1), (3, 5)}

Como são vetores do R2, a dimensão é 2 e temos 3 vetores, logo é LD.

44) Determine k para que

a[1 01 0]+b[1 1

0 0]+c [2 −1k 0 ]=[0 0

0 0] [a 0

a 0]+[b b0 0]+[2c −c

ck 0 ]=[0 00 0 ]

[a+b+2c b−ca+ck 0 ]=[0 0

{a+b+2c=0b+c=0a+ck=0

|a+b+2c=0(−1)a+ck=0

|−b−2c+ck=0

| b+c=0−b−2c+ck=0

+¿ {a+b+2c=0b+c=0

−c+ck=0

Temos: −c+ck=0 c (−1+k )=0

Se k = 1, c será cancelado logo LD

45) Verificar se o conjunto A = {v1=(4, 5), v2=(-2, 3)} forma uma base do R 2:

A={( 4,5 ) , (−2,3 )}

I – verificar se é LI

a ( 4,5 )+b (−2,3 )=(0,0)

(4 a ,5a )+(−2b ,3b )= (0,0 )

(4 a−2b ,5a+3b )=(0,0 )

{4 a−2b=0(3)5a+3b=0(2)

{12a−6b=010a+6b=0

22a=0 a=0

5a+3b=0 0+3b=0 b=0

Se a = b = 0, logo LI

II- Verificar se gera R 2.

a ( 4,5 )+b (−2,3 )=(x , y)

(4 a ,5a )+(−2b ,3b )= (x , y )

(4 a−2b ,5a+3b )=(x , y )

{4 a−2b=x (3)5a+3b= y (2)

{12a−6b=3 x10a+6b=2 y

22a=3x+2 y

a=3x+2 y22

5( 3 x+2 y22 )+3b= y

( 15 x+10 y22 )+3b= y

15x+10 y+66b=22 y22

66b=22 y−15 x−10 y

66b=12 y−15 x (÷ 3) 22b=4 y−5x

b=4 y−5x22

Logo: w=(3 x+2 y22 )v 1+( 4 y−5 x

22 )v2 e gera R 2,

então é uma Base.

46) Verificar quais dos conjuntos formam uma base do R 2:

a) {(1, 2), (-1, 3)}

I – verificar se é LI:

Como são dois vetores e um não é múltiplo do outro logo é LI.

=−1e23

II – Verificar se gera R2:

a (1,2 )+b (−1,3 )=(x , y) (a ,2a )+(−b ,3b )=( x , y ) (a−b ,2a+3b )=(x , y)

{a−b=x (3)2a+3b= y

{3a−3b=3 x2a+3b= y

{5a=3 x+ y

a=3x+ y5

3x+ y5

−b=x

3x+ y−5b=5 x

5b=3x+ y−5x

b=−2x+ y5

w=(3 x+ y5 )v1+(−2 x+ y

5 )v2, logo gera R2

e então é Base.

b) {(0, 0), (2, 3)}I- Verificar se é LI:

Como possui o vetor nulo é LD, Logo não é base.

47) Verificar se o conjunto A = {v1=(1, 4, 5), v2=(0, -2, 3), v3=(0, 0, 1)} forma uma base do R 3:

I- Verificar se é LI:

a (1,4,5 )+b (0 ,−2,3 )+c (0,0,1 )=(0,0,0)(a , 4a ,5a )+(0 ,−2a ,3 a )+(0,0 , c )=(0,0,0 )

{ a=04 a−2b=0

5a+3b+c=0 a=0

4 (0 )−2b=0 b=0

5 (0 )+3 (0 )+c=0 c=0Logo é LI

II- Verificar se gera o espaço:

a (1,4,5 )+b (0 ,−2,3 )+c (0,0,1 )=(x , y , z)(a , 4a ,5a )+(0 ,−2a ,3 a )+(0,0 , c )=( x , y , z )

{ a=x4 a−2b= y

5a+3b+c=z a=x

4 x−2b= y 2b=4 x− y

b=4 x− y2

5 x+3( 4 x− y2 )+c=z

5 x+ 12 x−3 y2

10 x+12x−3 y+2 x=2 z2c=−22 x+3 y+2 z

c=−22+3 y+2 z2

w=( x ) v 1+( 4 x− y2 )v1+(−22+3 y+2 z

2 )v2 , GERA R 3.

Por fim, se é LI e gera R 3 , então é BASE.

48) Verificar quais dos conjuntos formam uma base do R 2:

a) {(1, 2, 3), (0, -1, 3), (1, 1, 1)}I- Ver se é LI

a (1,2,3 )+b (0 ,−1,3 )+c (1,1,1 )=(0,0,0) (a ,2a ,3a )+(0 ,−b ,3b )+(c , c , c )=(0,0,0) (a+c ,2a−b+c ,3a+3b+c )=(0,0,0)

{ a+c=02a−b+c=0

3a+3b+c=0

¿ −b−c=0

| a+c=0 (3)3a+3b+c=0

3b−2c=0

|−b−c=0(3)3b−2c=0

−5c=0

{a+c=0b+c=0−5c=0

c=0 b=0 a=0

Se a=b=c=0 logo é LI

II- Verificar se gera R 3 .a (1,2,3 )+b (0 ,−1,3 )+c (1,1,1 )=(x , y , z) (a ,2a ,3a )+(0 ,−b ,3b )+(c , c , c )=(x , y , z) (a+c ,2a−b+c ,3a+3b+c )=(x , y , z )

{ a+c=x2a−b+c= y3a+3b+c=z

¿¿−b−c=−2 x+ y

| a+c=x (3)3a+3b+c=z

3b−2c=3 x+z

|−b−c=−2x+ y (3)3b−2c=3 x+z

−5c=−9x−2c+z

c=−9 x−2c+z5

a+ 9 x−3 y−z5

5a+9 x−3 y−z=5x5

5a=5x−9 x+3 y+z

a=−4 x+3 y+z5

Logo w=(−4 x+3 y+z5 )v1+( x−2 y+z

5 )v2+( 9 x−3 y−z5 ) v3

Gera o R 3 e portanto é Base.

b) {(1, 3, -1), (2, 3, 2), (3, 6, 1)}a (1,3 ,−1 )+b (2,3,2 )+c (3,6,1 )=(0,0,0)(a ,3a ,−a )+(2b ,3b ,2b )+(3c ,6 c , c )=(0,0,0)(a+2b+3c ,3a+3b+6c ,−a+2b+c )=(0,0,0)

{ a+2b+3c=03a+3b+6 c=0−a+2b+c=0

|a+2b+3c=0 (−3)3a+3b+6 c=0

¿3b−3c=0

|a+2b+3c=0−a+2b+c=0

4 b+4c=0

|3b−3c=0 (4)4b+4c=0 (3)

{a+2b+3c=03b−3c=0

{a+2b=−3c3b=−3c

Como temos uma variável livre é LD, Logo não é Base.

Lista de exercícios 14.Os 3 problemas seguintes se referem às bases do R 2:A = {(2,-1), (-1,1)}, B = {(1,0), (2,1)}, D = {(1,1), (1,-1)} e G = {(-1,-3), (3,5)}

49) Calcular vB sabendo que vA = (4,3)

Va=(4,3) Vb=?

A=| 2 −1−1 1 | B=|1 2

0 1|M=B−1 . A ev B=M .v A

DetB=1−(0) ¿1

B−1=|1 −20 1 |

M=|1 −20 1 |.| 2 −1

−1 1 |=| 4 −3−1 1 |

Vb=| 4 −3−1 1 |.|43| =| 7

−1|Vb=(7 ,−1)

50) Calcular vA sabendo que vB = (7,-1)Vb= (7,1 )Va=?

A=| 2 −1−1 1 | B=|1 2

0 1| M−1=A−1 . B vA=M−1 . vB

Det A=2−¿) Det A=1

A−1=|1 1

1 2| M

−1=|1 11 2|.|1 2

0 1|=|1 31 4|

Va=|1 31 4|.| 7

−1| = | 4−3|

Va=(4,3)

51) Calcular vG sabendo que vD = (2,3)

Vd=(2,3 ) Vg=?

D=|1 11 −1| G=|−1 3

−3 5| M=G−1 . D vG=M .v D

Det G=−5−(−9) ¿4

G−1=| 54¿¿−3

−14¿|

M−1=|5

4−34

|.|1 11 −1|=|2

1|=|12

1| Vg=|1

1|.|23|=|74|

Vg=(7,4)

52) Sabendo que A = {(1,3), (2,-4)} é base do R 2 e que a matriz M de mudança de base de A para B é:

M = [ −7 6−11 8 ]

determinar a base B.

A=|1 23 −4|

M=|−7 6−11 8|

M=B−1 . A A−1 . M=B−1 . A−1 . A

I=A−1 . A A−1 . M=B−1 . I A−1 . M=B−1

Det A=−4−(−6 )=−10

A−1=|−4

−10−2−10

−3−10

1−10

|=| 410

−110

−1=| 410

−110

|.|−7 6−11 8|=|−5 4

−1 1|

B−1=|−5 4−1 1|

Det B−1=−5−(−4) Det B−1=−5+4

Det B−1=−1

B=| 1−1

−4−1

−5−1

|=|−1 4−1 5|

B=|−1 4−1 5|

53) Considerar, no R 3, as bases A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e B = {(1, 0, -1), (0,1,-1), (-1, 1, 1)}.

a) Determinar a matriz M de mudança de base de A para B;

M=B−1 . A como A=I, Temos M=B−1

Det B=(1 )− (−1+1 )=1

1− (−1 )=2 0−(1 )=−1 0−(−1 )=1

0−(−1 )=1 1− (1 )=0 1− (0 )=1

0−(−1 )=1 −1− (0 )=−1 1− (0 )=1

1° Linha 2° Linha 3° Linha

Cof B=|2 −1 11 0 11 −1 1|

Cof Bt=| 2 1 1−1 0 −11 1 1 |

B−1=| 2 1 1−1 0 −11 1 1 |=M

b) Calcular vB sabendo que vA = (1,2,3)

Vb=| 2 1 1−1 0 −11 1 1 |∗|123|=| 7

−46 |

Vb=(7 ,−4,6)

c) Calcular vA sabendo que vB = (7,-4,6)

M=B−1 , temos M−1=B

B=| 1 0 −10 1 1

−1 −1 1 |Logo,

Va=| 1 0 −10 1 1

−1 −1 1 |.| 7−46 |=|123|

Va=(1,2,3)

Lista TED 15:Nos 12 problemas seguintes, dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.

54) T ( x , y )=(2x− y ,3 x+5 y )

I)T (u+v )=T (u )+T (v ) 2

u=¿1, y1¿ v=¿2, y2)

u+v=¿1+x2, y1 + y2)

α .u=¿1,αy1)

T ¿1+x2, y1 + y2) ¿¿1+x2)−¿1 + y2),3¿1+x2¿+5¿1 + y2))

¿¿1+2 x2− y1 − y2),3 x1+3 x2+5 y1 +5 y2)

T ¿1, y1¿ +T ¿2, y2)

¿¿1− y1,3 x1,5 y1¿+¿2 − y2,¿2+5 y2)

¿(2x1+2x2− y1− y2 ,3 x1+3 x2+5 y1+5 y2)

OKII) T ( α .u )=α .T (u)

T ( α . x1 , α . y1 )=(2α x1−α . y1 ,3α x1+5α y1)

α .T (u )=α (2 x1− y1 ,3 x1+5 y1)

É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.

55) T ( x , y )=(x2 , y2)

u=¿1, y1¿ v=¿2, y2)

u+v=¿1+x2, y1 + y2)

α .u=¿1,αy1)

T ( x1+x2 , y1+ y2 )=¿, ( y¿¿1+ y2)2¿

T ¿1, y1¿ +T ¿2, y2) ¿ (x12 , y1

2)+(x22 , y2

2 )=(x12+x2

2 , y22+ y2

NÃO É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.56) T ( x , y )=(x+1 , y)

u=¿1, y1¿ v=¿2, y2)

u+v=¿1+x2, y1 + y2)

α .u=¿1,αy1)

I ¿¿

T ( x1+x2 , y1+ y2 )=(x1+x2+1 , y1+ y2)

T ( x1 , y1)+T ( x2, y2 )=( x1+1 , y1 )+(x2+1 , y2)

T ( x1 , y1)+T ( x2, y2 )=(x1+ x2+2 , y1+ y2)

NÃO É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.

57) T ( x , y )=( y−x ,0 )

u=¿1, y1¿ v=¿2, y2)

u+v=¿1+x2, y1 + y2)

α .u=¿1,αy1)

I) T ¿

¿( y1+ y2−x1−x2 ,0)

T (x1 , y1)+T ( x2 , y2 )=( y1−x1 ,0 )+( y2−x2 ,0) ¿( y1+ y2−x1−x2 ,0)

II) T ( α .u )=α .T (u)

T ( α . x1 , α . y1 )=(α . y1−α .x1 ,0)

α .T ( x1 , y1 )=α ( y1−x1 ,0)

¿(α y1−α x1 ,0)

58) T ( x , y )=(|x|,2 y )

u=¿1, y1¿ v=¿2, y2)

u+v=¿1+x2, y1 + y2)

α .u=¿1,αy1)

I) T (u+v )=T (u )+T (v )

T ( x1+x2 , y1+ y2 )=(|x1+x2|,2 ( y1+ y2 ))

¿(|x1+x2|,2 y1+2 y2) T ( x1 , y1)+T ( x2, y2 )=(|x1|,2 y1 )+(|x2|,2 y2)

¿(|x1|+|x2|,2 y1+2 y2)

COMO (|x1|+|x2|≥|x1+x2|)

59) T ( x , y )=x . y T : R 2 ->R

u=¿1, y1¿ v=¿2, y2)

u+v=¿1+x2, y1 + y2)

α .u=¿1,αy1)

I) T (u+v )=T (u )+T (v )

T ( x1+x2 , y1+ y2 )=( x1+x2 ) .( y1+ y2) ¿ x1 . y1+x1 . y2+ x2 . y1+x2 . y2

T (x1 , y1)+T ( x2 , y2 )=x1 . y1+x2 . y2

60) T ( x , y )=(3 y ,−2x ,0)

u=¿1, y1¿ v=¿2, y2)

u+v=¿1+x2, y1 + y2)

α .u=¿1,αy1)

I) T (u+v )=T (u )+T (v )

T ( x1+x2 , y1+ y2 )=(3 ( y1+ y2 ,−2 x1+x2 ) ,0)

¿(3 y1+3 y2 ,−2 x1−2x2 ,0)

T (x1 , y1)+T ( x2 , y2 )=(3 y1 ,−2 x1 ,0 )+(3 y2 ,−2 x2,0)

¿(3 y1+3 y2 ,−2 x1−2x2 ,0)

II) T ( α .u )=α .T (u)

T ( α . x1 , α . y1 )=(3.α . y1 ,−2.α .x1)

α .T ( x1 , y1 )=α .(3 y1,−2x1 ,0)

¿(3.α . y1 ,−2.α . x1) É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.

61) T (u+v )=T (u )+T (v )

u=¿1, y1¿ v=¿2, y2)

u+v=¿1+x2, y1 + y2)

α .u=¿1,αy1)

I)T (u+v )=T (u )+T (v )

T ( x1+x2 , y1+ y2 )=(( x1+ x2)+( y1+ y2) , ( x1+x2)−( y1+ y2 ) ,−( x1+x2 ))

¿(x1+x2+ y1+ y2 , x1+x2− y1− y2,−x1−x2)

T (x1 , y1)+T ( x2 , y2 )=¿ x1− y1 ,−x1¿+(x2+ y2 , x2− y2 ,−x2)

¿(x1+x2+ y1+ y2 , x1+x2− y1− y2 ,−x1−x2) II) T ( α .u )=α .T (u)

T ( α . x1 , α . y1 )=(α . x1+α . y1 , α . x1−α . y1 ,−α .x1)

α .T ( x1 , y1 )=α . ( x1+ y1 , x1 – y1 ,−x1 ) ¿(α . x1+α . y1 , α . x1−α . y1 ,−α . x1)

62) T ( x , y )=(x ,2)

u=¿1, y1¿ v=¿2, y2)

u+v=¿1+x2, y1 + y2)

α .u=¿1,αy1)

I)T (u+v )=T (u )+T (v )

T ( x1+x2 , y1+ y2 )=(x1+x2 ,2)

=(x1+ x2 ,4)

NÃO É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.63) T ( x , y , z )=3 x−2 y+z

u=¿1, y1¿ v=¿2, y2)

u+v=¿1+x2, y1 + y2)

α .u=¿1,αy1)

I)T (u+v )=T (u )+T (v )

T ( x1+x2 , y1+ y2 , z1+z2 )=3 ( x1+ x2 )−2 ( y1+ y2)+(z1+z2)

¿3 x1+3 x2−2 y1−2 y2+ z1+z2 ¿

T ( x1 , y1 , z1)+T ( x2 , y2 , z2 )=3x1−2 y1+z1+3x2−2 y2+z2¿

¿3 x1+3 x2−2 y1−2 y2+ z1+z2 ¿

II) ) T ( α .u )=α .T (u)

T ( α . x1 , α . y1 ,α . z1 )=3.α .x1−α . y1+α . z1

α .T ( x1 , y1 , z1 )=α . (3 x1−2 y1+z1)

¿3.α . x1−α . y1+α . z1

64) T ( x , y )=x

u=¿1, y1¿ v=¿2, y2)

u+v=¿1+x2, y1 + y2)

α .u=¿1,αy1)

I) T (u+v )=T (u )+T (v )

T ( x1+x2 , y1+ y2 )=x1+x2

T ( x1 , y1 , )+T ( x2 , y2 )=x1+x2

II)T ( α .u )=α .T (u)

T ( α . x1 , α . y1 )=α . x1

α .T ( x1 , y1 )=α . x1

65) T : R 2 ->R 4

T ( x , y )=( y , x , y , x)

u=¿1, y1¿ v=¿2, y2)

u+v=¿1+x2, y1 + y2)

α .u=¿1,αy1)

I) T (u+v )=T (u )+T (v )

T ( x1+x2 , y1+ y2 )=( y1+ y2 , x1+x2 , y1+ y2 x1+x2)

T ( x1 , y1)+T ( x2, y2 )=( y1, x1 , y1 , x1 )+( y2, x2 , y2 , x2) ¿( y1+ y2 , x1+x2 , y1+ y2 x1+x2)

II) T ( α .u )=α .T (u)

T ( α . x1 , α . y1 )=(α . y1 , α . x1 , α . y1, α . x1)

T ( x1 , y1)+T ( x2, y2 )=(α . y1 , α . x1 , α . y1 , α . x1)

É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.Lista TED 16: Nos 6 problemas seguintes, dada a transformação linear f : R 2 →R 2 , definida em cada um deles,

a) fazer um gráfico de um vetor genérico ν = (x, y) e de sua imagem f(ν );

b) dizer que transformação linear plana os gráficos representam.

66) f (x, y ) = (2x, 0)

T : R 2 →R 2 T ( x , y )=(2 x ,0 )

u=(3,4 )

T (3,4 )=(6,0)

67) f (x, y ) = (-2x, 2y)T ( x , y )=(−2 x ,2 y )u=(2,3 )

T (2,3 )=(−4,6 )

68) f (x, y ) = (-y, x)u=(2,1 )T (2,1 )=(−1,2)

69) f (x, y ) = (2x, y)u=(2,3 )

T (2,3 )=(4,3)

70) f (x, y ) = (3x, -2y)u=(1,2 )

T (2,3 )=(3 ,−4 )18) f (x, y ) = -2 (x, y),

u=(2,2 )

T (2,3 )=(4,4)

b) R: Para todos. Uma reta que passa pela origem.

71) Seja f: R 3 →W a projeção ortogonal do R 3 sobre o plano y0z, indicado por W.T : R 3 →R 3 a) Determine a lei que define f;( x , y , z )→(0 , x , y)

T ( x , y , z )=(0 , x , y )

b) Calcular f (3, -4, 5).T (3 ,−4,5 )=(0 ,−4,5 )

72) Dada a transformação linear f: R 3 → R 2 tal que f(1, 0, 0) = (2, 1), f(0, 1, 0) = (-1, 0) e f(0, 0, 1) = (1, -2)

T : R 3 →R 2 f (1,0,0 )=(2 ,1)f (0,1,0 )=(−1 ,0) f (0,0,1 )=(1 ,−2)

a) determinar a matriz canônica de f;B={ (1,0,0 ) , (0,1,0 ) , (0,0,1 ) }

b) calcular f(3, 4, 5);(3,4,5 )=a (1,0,0 )+b (0,1,0 )+c (0,0,1 )(3,4,5 )=(a ,b , c )a=3b=4

T (3,4,5 )=a .T (2,1 )+b .T (0,1,0 )+c .T (0,0,1) ¿3. (2,1 )+4. (−1,0 )+5.(1 ,−2) ¿ (6,3 )+(−4,0 )+(5 ,−10)

¿(7 ,−7) c) calcular f(x, y, z).

( x , y , z )=a (1,0,0 )+b (0,1,0 )+c (0,0,1 ) ( x , y , z )=(a ,b , c)

a=x b= y

T (3,4,5 )=x .T (2,1 )+ y .T (0,1,0 )+z .T (0,0,1) ¿ x . (2,1 )+ y . (−1,0 )+z .(1,−2)

¿ (2 x , x )+ (− y ,0 )+(z ,−2 z) ¿(2x− y+z , x−2 z )

Lista TED 17:

73) Uma transformação linear f: R 2 → R 3 é tal que f(-1, 1) = (3, 2, 1) e f(0, 1) = (1, 1, 0) Determinar:

a) f(2, 3)T (2,3 )=?

(2,3 )=a . (−1,1 )+b (0,1 ) (2,3 )=(−a ,a )+(0 , b)

(2,3 )=(−a ,a+b)

{−a=2a+b=3

a=−2 −2+b=3

T (2,3 )=a .T (−1,1 )+b .T (0,1) ¿−2. (3,2,1 )+5.(1,1,0)

¿ (−6 ,−4 ,−2 )+(5,5,0) ¿(−1,1,−2)b) f(x, y)

( x , y )=a . (−1,1 )+b . (0,1 )( x , y )=(−a ,a )+(0 , b)

( x , y )=(−a ,a+b)

{−a=xa+b= y

a=−x −x+b= y

b= y+x T ( x , y )=a .(T (−1,1 ))+b .(T (0,1 ))

¿ (−x ) . (3,2,1 )+( x+ y ) .(1,1,0) ¿(−3x ,−2x ,−x )+(x+ y , x+ y ,o) T ( x , y )=(−2x+ y ,−x+ y ,−x )

c) ν∈R 2 tal que f (ν ) = (-2, 1, -3)T ( v )=(−2,1 ,−3)T ( x , y )=(−2,1,3 )(2 x+ y ,−x+ y ,−x )=(−2,1,3)

{−2x+ y=−2−x+ y=1−x=−3

x=3−3+ y=1

y=4−6+4=−2

0=0 v=(3,4 )

74) Seja ƒ: R ³ → R ² a transformação linear definida por ƒ (1,1,1) = (1,2), ƒ (1,1,0) = (2,3) e ƒ (1,0,0) = (3,4). Determinar:

a) ƒ (x,y,z);( x , y , z )=a . (1,1,1 )+b . (1,1,0 )+c (1,0,0 )( x , y , z )=(a ,a ,a )+ (b ,b ,0 )+(c ,0,0)

( x , y , z )=(a+b+c ,a+b ,a)

{a+b+c=xa+b= y

a=z a=z b= y−z z+ y−z+c=x c=x− y

T ( x , y , z )=a . (T (1,1,1 ) )+b (T (1,1,0 ))+c (T (1,0 , )) T ( x , y , z )=( z ) . (1,2 )+( y−z ) . (2,3 )+( x− y ) . (3,4 )

¿ ( z ,2 z )+(2 y−2 z ,3 y−3 z )+(3 x−3 y ,4 x−4 y ) T ( x , y , z )=(3 x+2 y−4 z ,4 x+3 y−5 y )

b) υ1 ∈ R ³ tal que ƒ (υ1 ) = (-3,-2);T (u )=(−3 ,−2)T ( x , y , z )=(−3 ,−2)

(3 x+2 y−4 z ,4 x+3 y−5 z )=(−3 ,−2)

{3x+2 y−4 z=−3 .(−4)4 x+3 y−5 z=−2 .(3)

{−12x−8 y+16 z=1212 x+9 y−15 z=−6

{3x+2 y−4 z=−3y+z=6

{3x+2 y=−3+4 zy=6−z

3 x+2 (6−z )=−3+4 z 3 x+12−2 z=−3+4 z

3 x=15+z

x=−15+6 z3

u=(−15+6 z3

,6−z , z)

c) υ2 ∈ R ³ tal que ƒ (υ2 ) = (0,0).

T ( v )=(0,0) T ( x , y , z )=(0,0) (3 x+2 y−4 z ,4 x+3 y−5 z )=(0,0)

{3 x+2 y−4 z=04 x+3 y−5 y=0

{3x+2 y=4 z (−4)4 x+3 y=5 z(3)

−12−8 y−4 z=012 x+3 y−5 z=0

y=−z

{3x+2 y=4 zy=−z

3 x−2 z=4 z 3 x=6 z x=2 z v=(2 z ,−z , z )

75) Dado o operador linear ƒ : R ², ƒ (x,y) = (2x + y, 4x + 2y), dizer quais dos seguintes vetores pertencem a N (ƒ):

T : R2 →R 2 T ( x , y )=(2x+ y ,4 x+2 y)

(2 x+ y ,4 x+2 y )=(0,0)

{ 2 x+ y=04 x+2 y=0

2 x+ y=0 2x=y logo y=-2x

N ( t )={( x ,−2 x )∨c∈R }

a) υ1 = (1,-2)u1= (1 ,−2 ) Sim, pois se x=1 então y=-2.

b) υ2 = (2, -3)u2= (2,−3 ) Não, pois se x=2 então y= -4.

c) υ3 = (-3,6)u3= (−3,6 ) Sim, pois se x=-3 então y= 6.

Lista TED 18:

76) Para o mesmo operador linear do problema anterior, verificar quais dos seguintes vetores pertencem à Im (ƒ):

T ( x , y )=(2x+ y ,4 x+2 y) (2 x+ y ) ,4 x+2 y ¿=(a ,b)

{2x+ y=a .(−2)4 x+2 y=b

{4 x−2 y=−2a4 x+2 y=b

0=−2a+b ℑ (T )={ (a ,b )∈R ²|−2a+b=0 }

a) 1 = (2,4)u1= (2,4 )−2. (2 )+4=0

−4+4=0Ok.

b) 2 = (-

12 , -1)

−2.(−12 )+(−1 )=0

1−1=0Ok.

c) 3 = (-1,3)−2 (−1 )+3=0

2+3≠ 0Não é.

Nos 4 problemas seguintes são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas determinar:

a) o núcleo, uma base desse subespaço e sua dimensão;b) a imagem, uma base desse subespaço e sua dimensão.

Verificar ainda, em cada caso, a propriedade 3, item 3.5, relativa à dimensão.

77) ƒ: R ² → R ², ƒ (x,y) = (3x-y, –3x + y)

a) T:R ² → R ²T ( x , y )=(3 x− y ,−3 x+ y )(3 x− y ,−3 x+ y )=( 0,0 )

{3x− y=0−3 x+¿0

{3 x− y=0 { y=3 x N (T )={( x ,3 x ) x∈R } DimN (T )=1

Bℑ= {(1,3 ) }b)(3 x− y ,−3 x+ y )=(a ,b)

{ 3x− y=a−3 x+ y=b

a=−b0=a+bℑ (T )={ (a ,b )∈ R|a+b=0 }Dim ℑ (T )=1

Bℑ={−1,1¿}

78) ƒ: R ² → R ³, ƒ (x,y) = ( x + y, x, 2y)

a)( x+ y , x ,2 y )=(0,0,0)

{x+ y=ax=b

2 y=c x=0

y=0 N (T )={(0,0 ) }

Dim¿ B= {0,0 }

b) ( x+ y , x ,2 y )=(a ,b , c)

{x+Y =ax=b

b+¿ c2=a

2b+c=2a 2a−2b−c=0

ℑ (T )={a ,b , c }∈R ³ | 2a−2b−c=0 } Dim(ℑ (T ))=2 Bℑ={ (1,1,0 ) , (2,2 , ) }

79) ƒ: R ² → R ², ƒ (x,y) = (x – 2y, x + y)

a)T ( x , y )=( x−2 y , x+ y )

{ x−2 y=0x+ y=0(−1)

{x−2 y=0−x− y=0

−3 y=0 y=0 x=0 N (T )={0,0 , }

Dim N (T )=0 Bn={(0,0 ) }

b)( x−2 y , x+ y )=(a ,b )

{ x−2 y=ax+ y=b(−1)

{ x−2 y=a−x− y=−b−3 y=a−b (−1 )

3 y=−a+b

y=−a+b3

x+(−a+b3 )=b

3 x−a+b=3b 3 x=a+2b

x=a+2b3

ℑ (T )={( a+2b3

,−a+b

3)∈R2}

Dim(ℑ (T ))=2

Bℑ={ (1,0 ) ,( 13

,−13

80) ƒ: R ³ → R2, ƒ (x,y,z) = (x + 2y –z, 2x –y +z)a) ( x+2 y−z ,2 x− y+z )=(0,0)

{ x+2 y−z=02x− y+ z=0(2)

{ x+2 y=z4 x−2 y=2x

{x+2 y=z5 x=−z

x=−z5

+2 y=z

−z+10 y=5 z

y=3 z5

N (T )={(−z5

, z) z∈ R}Dim N (T )=1

Bn={(−15

,1)} b) ( x+2 y−z ,2 x− y+z )=(a ,b) ¿

3 x+ y=a+b E x e y ∈R logo a+b ∈R

ℑ (T )=R Dim¿ (Pela propriedade)

B={ (1,0 ) ,(0,1)}

Lista TED 22:

Conjuntos

103)Numa escola com 557 alunos, 295 estudam Matemática, 205 estudam Física e 120 não estudam nem Matemática nem Física. Pede-se:

a) quantos alunos estudam Matemática ou Física? 437 alunosb) quantos alunos estudam Matemática e Física? 63 alunos

557 120 500 437 205 295 -500 -57 -63 -295 -142 -63 57 63 437 142 63 232

U=557 Mat. Fis.

NEstuda. 120

232 63

104)Numa escola foi feita uma pesquisa com todos os alunos sobre os times de futebol para os quais os eles torcem e tiveram o seguinte resultado:

130 estudantes torcem pelo Flamengo, 105 torcem pelo Corinthians e 50 torcem pelo Atlético Mineiro. Foi verificado também que 50 torcem simultaneamente para Flamengo e Corinthians, 30 torce simultaneamente para Flamengo e Atlético e 25 torcem simultaneamente para Corinthians e Atlético. Lembramos ainda que 20 torcem pelos três times e 80 não torcem para ninguém. Pede-se:

a) Quantos alunos estudam na escola? 200b) Quantos alunos torcem para dois times? 45c) Quantos alunos não torcem pelo Flamengo?70d) Quantos torcem exclusivamente para o Flamengo?70

105)Em uma pesquisa eleitoral, o candidato D deve 350 votos, o candidato S deve 139. Além disso também foram apurados que 200 pessoas não querem votar em nenhum deles. Se ao todo foram entrevistados 650 pessoas, pergunta-se.

a) Quantas pessoas estão indecisas entre os dois candidatos?b) Quantas pessoas só vão votar no candidato D?c) Quantas pessoas só vão votar no candidato S?

T=650N/V=200T-N/V=450D= 350S=139D+S= 489489-450=39D= 450-139= 311S= 450-350= 100A) 39B) 311C) 100

106)Numa comunidade são consumidos três produtos A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo foram obtidos os resultados da tabela abaixo:

Produtos A B C A e B B e C A e C A e B e CNenhu

No. Consumidores10 15 20

20 40 30 10 130

Determine quantas pessoas:

a) foram consultadas. 370 ssoas.

b) consomem somente dois produtos. 60 essoas.

c) não consomem o produto B. 350 ssoas.

d) Não consomem A ou não consomem B. 270 pessoas.107)Uma fabrica pretende produzir motos de três cores (amarela, vermelha e preta).

Desejando saber a preferência dos consumidores encomendou uma pesquisa sobre as cores e obteve o seguinte resultado:

Cores A V P A e V A e P V e P A e V e PNenhu

Votos 20925

178 90 64 77 57 29

a) Quantos gostam só de moto amarela? 112b) Quantos gostam só de moto vermelha? 145c) Quantos gostam só de moto preta? 94d) Quantos foram entrevistados? 497

108)Para determinar em qual veículo de comunicação uma empresa iria investir a propaganda de seu novo produto foi feita uma pesquisa que obteve o seguinte resultado:

VeículoRádi

TVJorn

Rádio e TV

Rádio e Jornal

TV e Jornal

Rádio/Jornal/

Nenhum

Pessoas 38019

120 60 45 30 22 432

Pergunta-se:

LI LF U

407 131 120

a) Quantas pessoas ouvem só rádio? 297b) Quantas pessoas leem só jornal? 67 c) Quantas pessoas foram entrevistadas ao todo? 1009

109)No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. Qual é o número de candidatos que falam as línguas inglesa e francesa?

979−321=658527+251=778778−658=120

R: O número de candidatos que falam a língua inglesa e francesa é 120

Lista TED 23:

Sistemas lineares

110)Resolva o seguinte sistema, pelos três métodos de resolução (escalonamento, cramer da matriz inversa):

Método de Escalonamento

{ x− y+z=0¿ {2 x−4 y+6 z=1¿ ¿¿¿{ x− y+z=0¿ {−2 y+4 z=1¿ ¿¿¿{ x− y+z=0¿ {−2 y+4 z=1¿ ¿¿¿

−2 x+2 y−2 z=0 −2 y+4 z=1 x−(32 )+1=0

2 x−4 y+6 z=1 −2( 32 )+4 = 1

x−3+1=02

0−2 y+4 z=1 −62

+4 z=1 2 x−3+2=0

−3+4 z=1 2 x−1=0 x− y+z=0 4 z=1+3 2 x=1

−x− y−z=−3 z=44

−0−2 y=−3 z=1 −2 y=3

y=32 S=( 1

Método de Cramer

{ x− y+z=0¿ {2 x−4 y+6 z=1¿ ¿¿¿ Det . D=(4−6+2 )−(2+6−4)

¿−8+0

Det . Dx=(0−18+1 ) — (1+0−12 ) Det . Dy= (1+0+6 ) — (0+18−1 ) ¿−17+1 ¿7−19 ¿−4 ¿−12

Det . Dz=(−12−1+0 ) — (−6+1+0 ) ¿−13+5

¿−8 S=( 12

Método de Matriz Inversa

{ x− y+z=0¿ {2 x−4 y+6 z=1¿ ¿¿¿ Det . D=(4−6+2 )−(2+6−4)

¿−8+0

1ª Linha 2ª Linha 3ª Linha−4− (6 )=−10 −1− (1 )=−2 −6−(−4 )=−2

D=|1 −1 12 −4 61 1 1|

1 −12 −41 1

Dx=|0 −1 11 −4 63 1 1|

0 −11 −43 1

Dy=|1 0 12 1 61 3 1|

1 02 11 3

Dx=|0 −1 11 −4 63 1 1|

0 −11 −43 1

D=|1 −1 12 −4 61 1 1|

1 −12 −41 1

2− (6 )=−4 1− (1 )=0 6−(2)=−42− (−4 )=−2 1− (−1 )=2 −4− (−2 )=−2

Cop D=|−10 4 −22 0 −2

−2 −4 −2| C opDT=|−10 2 −24 0 −4

−2 −2 −2| C opD−1=|−10−8

−2−8

−4−8

−2−8

| x , y , z=|

−10−8

−2−8

−4−8

−2−8

|.|013|=|0−14+ 3

0+0+ 32

0+ 14+ 3

243244|=|1232

1|S=( 1

111)Resolva o seguinte sistema, pelos três métodos de resolução (escalonamento, cramer e da matriz inversa):

Cramer:

{ x−2 y=1 ¿ { y+z=3¿ ¿¿¿| 1 −2 0

0 1 1−1 0 2|

1 −20 1

−1 0 = 2+2= 4

|1 −2 03 1 11 0 2|

1 −23 11 0

= 2-2+12=12 DxD

| 1 1 00 3 1

−1 1 2|1 10 3

−1 1 = 6-1-1=4

| 1 −2 10 1 3

−1 0 1|1 −20 1

−1 0 = 1+6+1=8

S= (3,1,2 )

Matriz inversa:

{ x−2 y=1 ¿ { y+z=3¿ ¿¿¿

|1 −2 00 1 1

−1 0 2|1 −20 1

−1 0

det A = (2+2)-0 = 4 Cof A=| 2 −1 1

4 2 2−2 −1 1|

Cof A t=| 2 4 −2−1 2 −11 2 1 | B

−1=|24

| B−1=|12

1−12

| . |131| = |12+3−1

2−14

+ 32−1

| = |312| S = (3,1,2)

Escalonamento:

{ x−2 y=1y+z=3

−x+2 z=1

0 - 2y - 2z = -6-x + 0 +2z = 1 -x – 2y / = -5

{ x−2 y+0=1−x−2 y+0=−5−x+0+2 z=1

−x+2 y+0=−1 −x−2 y+0=−5 −2 x /+0=−6

{−x−2 y=−5−x+2 z=1−2 x=−6

-2x = -6 .(-1)

x = 6/2 = 3

-3 + 2z = 1

2z = 1+3

z = 4/2 = 2

-3 + 2y = -5

-2y = -5+3

-2y = -2 .(-1)

y = 2/2 = 1

S = (3,1,2)

Escalonamento:

{ x+2 y+3 z=0¿ {−x+ y=0¿ ¿¿¿

{ x+2 y+3 z=0¿ { y =0¿ ¿¿¿ X+2.(0)+3.(0)=0 X=0 S=(0,0,0)

Cramer:

Det d=| 1 2 3−1 1 00 1 −1|

1 2−1 10 1

-1+0-3 –(2+0+0) -4-2 -6

Det dx=|0 2 30 1 00 1 −1|

0 20 10 1

0+0+0-(0+0+0) 0

Det dy=| 1 0 3−1 0 00 0 −1|

1 0−1 00 0

0+0+0-(0+0+0) 0

Det dz=| 1 2 0−1 1 00 1 0|

1 2−1 10 1

0+0+0-(0+0+0) 0S=(0,0,0)

Matriz inversa:

Det d=| 1 2 3−1 1 00 1 −1|

1 2−1 10 1

-1+0-3 –(2+0+0) -4-2 -6

1ºlinha 2ºlinha 3ºlinha (-1)-(0)=-1 (-2)-(3)=-5 (3)-(0)=3(0)-(1)=-1 -1(-0)=-1 (-3)-(0)=-30-(-1)=1 0-(1)=-1 (1)-(-2)=2

Cof B=| 1 −1 1−5 1 −13 3 2 | Cof Bt=| 1 −5 3

−1 1 −31 −1 2 |

B−1=|1

−6−5−6

−1−6

−3−6

−1−6

B−1=|−16

|.|000|=|000| S=(0,0,0)

113)Resolva o seguinte sistema, pelos três métodos de resolução (escalonamento, cramer e da matriz inversa).

Solução pelo método do escalonamento:

¿ { 2x− y+ z=12−2x−2 y−2 z=0

= −3 y−z=12

¿ {−2 y+ z=13−3 y−z=12

= y=−5 = y=−5

−3 (−5 )−z=12 2 x+5+3=12 15−z=12 x=2 S= {2,−5,3 } z=3

Solução pelo método de Cramer:

{2x− y+ z=122 y− z=13x+ y+z=0

Det = |2−110 2−11 1 1 |2 −1

0 21 1

= (4 + 1)−¿(2−2¿=5

Dx=| 12 −1 1−13 2 −1

0 1 1 | 12 −1−13 2

0 1=(24−13 )−(13−12 )=11−1=10

Dy=|2 12 10 −13 −11 0 1 | 2 12

−0 −131 0

=(−26−12 )−(−13 )=−38+13=−25

Dz=|2 −1 120 2 −131 1 0 |2 −1

0 21 1

= (13 )−(24−26 )=15

=2 y= DyD

=−255

=−5 z=DzD

S={2 ,−5,3 }

Solução pelo método Matriz Inversa

A=|2 −1 10 2 −11 1 1 |2 −1

0 21 1

det A=¿ (4+1 )−(2−2 )=5¿

Rascunho1ª linha 2ª linha 3ª linha 2− (−1 )=3−1−(1 )=−2 1−(2 )=−10 — 1=1 2−(1 )=1−2−(0 )=−2 0−(2 )=−22 —1=3 4−(0 )=4

Cof A=| 3 −1 −22 1 −3

−1 2 4 |Cof A t=| 3 2 −1−1 1 2−2 −3 4 |A−1=|

|∙| 12−13

0 |=|36−26+0

5−12−13+0

5−24+39+0

−255

|=| 2−53 |

S={2 ,−5,3 }

{ x− y+z=0¿ { x+2 y−2 z=3¿ ¿¿¿Cramer

{ x− y+z=0¿ { x+2 y−2 z=3¿ ¿¿¿|1 −1 11 2 −22 −1 −1

|1 −11 22 −1

=((1×2×-1 )+( -1×-2×2)+(1×1×-1 ))−(( -1×1×-1)+(1×-2×-1 )+(1×2×2))=(-3 )−(3)Δ=-6

=((0×2×-1 )+(-1×-2×-3 )+(1×3×-1))−((-1×3×-1 )+(0×-2×-1 )+(1×2×-3 ))=(-9 )−( -3 )ΔΧ =-6

=((1×3×-1 )+(0×-2×-2 )+(1×1×-3 ))−((0×1×-1 )+(1×-2×-3 )+(1×3×-2 ))=(-6 )−(12)ΔΥ =-18

=((1×2×-3 )+( -1×3×2)+(0×1×-1))−((-1×1×-3 )+(1×3×-1 )+(0×2×2))=(-12 )−(0 )ΔΖ=-12

|0 −1 13 2 −2

−3 −1 −1|

0 −13 2

−3 −1

|1 0 11 3 −22 −3 −1

|1 01 32 −3

|1 −1 01 2 32 −1 −3

|1 −11 22 −1

Χ = ΔΧΔ

Υ = ΔΥΔ

= -18-6

Ζ = ΔΖΔ

= -12-16

s={1,3,2}

Matriz inversa

|1 −1 11 2 −22 −1 −1

|1 −11 22 −1

=((1×2×-1 )+( -1×-2×2)+(1×1×-1 ))−(( -1×1×-1)+(1×-2×-1 )+(1×2×2))=(-3 )−(3)det . Α =-61°ordem 2°ordem 3°ordem-2-(2)=-4 1-(-1)=2 2-(2)=0-1-(-4)=3 -1-(2)=-3 -2-(1)=-3-1-(4)=-5 -1-(-2)=1 2-(-1)=3

cof , Α|−4 −3 −5−2 −3 −10 −3 3

cof , Α−1|−4 −2 0−3 −3 3−5 −1 3

Α−1|−4¿ −6 ¿¿

¿−2−6

−6¿−3¿−6 ¿

¿¿¿

−3−6

−6¿−5−6

¿−1−6

−6¿|=|4¿ 6 ¿

−6¿3¿ 6 ¿

¿¿¿

¿−36

¿|×|

|=|0 +6¿ 6 ¿¿

+ ¿0 ¿0 ¿+9¿ 6 ¿¿

¿+ ¿96

¿0 ¿+36+ ¿

S{1,3,2}

Escalonamento

{x− y+z=0] x+2 y−2 z=3¿

]×2¿ ¿¿¿

2 x−2 y+2 z=0x+2 y−2 z=33 x=3 x=1

{x− y+z=0

2x− y−z=−3]+

x− y+z=02 x− y−z=−33 x−2 y=−3

3 (1 )−2 y=−3 3−2 y=−3 −2 y=−3−3

−2 y=−6 y=−6−2

x− y+z=0 (1 )− (3 )+z=0 −2+z=0 z=2

S{1,3,2}

115)Resolva o seguinte sistema, pelos três métodos de resolução (escalonamento,

cramer e da matriz inversa): { x−3 y+z=3 ¿ {−2x+3 y−z=−8 ¿¿¿¿

Método do Escalonamento:

{ x−2x−x

−3 y+3 y+2 y

+z− z− z

¿3¿−8¿−5

x−3 y+z=3−2x+3 y−z=−8

−x=−5

x−3 y+z=3−x+2 y−z=−5

− y=−2

{ x−x0 x

−3 y0 y− y

+z0 z0 z

¿3¿−5¿−2

y=2 x−3 y+z=3 5−3 (2 )+z=3 5−6+z=3 z=4

S= (5,2,4)

Método de Cramer:

D=[ 1 −3 1−2 3 −1−1 2 −1] [ 1 −3

−2 3−1 2 ]=D=(−3−3−4 )−(−3−2−6 )=1

Dx=[ 3 −3 1−8 3 −1−5 2 −1][ 3 −3

−8 3−5 2 ]=Dx=(−9−15−16 )−(−15−6−24 )=5

Dy=[ 1 3 1−2 −8 −1−1 −5 −1][ 1 3

−2 −8−1 −5 ]=Dy=(8+3+10 )−(8+5+6 )=2

Dz=[ 1 −3 3−2 3 −8−1 2 −5 ][ 1 −3

−2 3−1 2 ]=Dz=(−15−24−12 ) — 9−16−30=4

Y= DyD

=21=2 S= (5,2,4)

Método da Matriz Inversa:

A={ x−x0x

−3 y0 y− y

+z0 z0 z

¿3¿−5¿−2

A=[ 1 −3 1−2 3 −1−1 2 −1]=¿

D=[ 1 −3 1−2 3 −1−1 2 −1] [ 1 −3

−2 3−1 2 ]=D=(−3−3−4 )−(−3−2−6 )=1

−3−(−2)=−12− (1 )=1

−4− (−3 )=−1

CofA=[−1 −1 −1−1 0 10 −1 −3 ]

Cof A t=[−1 −1 0−1 0 −1−1 1 −3]

A−1=[−11

]=[−1 −1 0−1 0 −1−1 1 −3]

S=[−1 −1 0−1 0 −1−1 1 −3] .[ 3

−8−5]=[ −3+8+0

−3+0+5−3−8+15]=[524]

S= (5,2,4)

Lista TED 24:

Espaço vetorial

116)Abaixo é dado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, verificar se ele é ou não espaço vetorial, se acaso não for, citar os axiomas que não se verificam.

(x1 , y1) + (x2 , y2) = (x1 , y1 ) α (x1 , y1) = (α x1 , y1)

u = (x1, y1) v = (x2, y2) w = (x3, y3)

A1) (u + v) + w = u + (v + w)[(x1, y1)+ (x2, y2)] + (x3, y3) = (x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)](x1+y1) + (x3, y3) = (x1, y1) + (x2+x3, y2+y3)

3−(2)=1−1− (−1 )=0

2− (3 )=−1

3−(3)=0−1− (−2 )=1

3−(6 )=−3

+−+¿−+−¿+−+¿

(x1+x3, y1+y3) = (x1+x3, y1+y3)Este axioma se verifica

A2) u + v = v + u(x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) + (x1, y1)(x1, y1) = (x1, y1)Este axioma se verifica

A3) u + 0 = u(x1, y1) + (0,0) = (x1, y1)(x1, y1) = (x1, y1) Este axioma se verifica

A4) u +(-u) = 0(x1, y1) + (-(x1, y1)) = (0,0)(x1, y1) - (x1, y1) = (0,0)(0,0) = (0,0)Este axioma se verifica

M1) (αβ).u = α(β.u)(αβ).(x1, y1) =α(β.(x1, y1))(αβx1,β y1)=α(β x1, β y1)(αβx1, β y1)= (αβ x1, β y1)Este axioma se verifica

M2) (α + β).u = α.u + β.u(α + β).(x1, y1) = α .(x1, y1) + β.(x1, y1)((α+ β)x1, (α + β)yx1= (α x1, y1) + (β x1, βy1)(αx1+ βx1,y 1 , βy1) = (αx1+ βx1, y 1 , βy1)Este axioma se verifica

M3) α(u + v) = α.u + α.vα[(x1, -2x1, -x1) + (x2, -2x2, -x2)] = α .(x1, -2x1, -x1) + α .(x2, -2x2, -x2)α [(x1+x2, -2x1-2x2, -x1-x2)] = (α x1, -α 2x1, -α x1) +(α x2, -2α x2, -α x2)α [(x1+x2, -2(x1+x2), -(x1+x2))] = (α x1+α x2,- α 2x1-2α x2, -α x1-α x2)(α (x1+x2), -2α (x1+x2), -α (x1+x2)) = (α (x1+x2), -2α (x1+x2), -α (x1+x2))Este axioma se verifica

M4) 1.u = u1.(x1, -2x1, -x1) = (x1, -2x1, -x1)(x1, -2x1, -x1) = (x1, -2x1, -x1)Este axioma se verificaComo todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um

espaço vetorial.

117)Abaixo é dado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, verificar se ele é ou não espaço vetorial, se acaso não for, citar os axiomas que não se verificam.

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) α (x1, y1) = (α x1,α y1)

u + v = v + u(x1, y1)+(x2, y2) = (x2, y2)+(x1, y1)(x1+x2, y1+y2) = (x2+x1, y2+y1)Este axioma se verifica logo

u + (v + w) = (u + v) + w (x1, y1)+[(x2, y2) + (x3, y3)]=[(x1, y1)+(x2, y2)]+(x3+y3)(x1, y1)+(x2+x3, y2)=(x1+x2,y1)+(x1+x2,y1)+(x3,y3)(x1+x2+x3,y1+y2+y3) = (x1+x2+x3,y1+y2+y3)Este axioma se verifica

u + 0 = u(x1, y1)+ (0, 0) = (x1, y1)(x1, y1)= (x1, y1)Este axioma se verifica

u+(-u) = 0x1, y1)+ (-x1, -y1) = (0, 0)(0,0) = (0,0)Este axioma se verifica

α (βu)=(αβ )uα(β.(x1,y1) =α β.(x1,y1)α(βx1,βy1) = (α βx1,α βy1)(α βx1,α βy1 =α βx1, α βy1)Este axioma se verifica

(α+β).u = α u + βu(α+β)(x1, y1) = α(x1, y1) + β(x1, y1)(α+βx1,α+βy1 = α+βx1, α+βy1)Este axioma se verifica

α (u+v) = αu + αvα (x1, y1) + (x2, y2) = α(x1, y1) + α(x2, y2)α(x1+x2, y1+y2) = (αx1, αy1) + (αx2, αy2)α(x1+x2), α(y1+y2) = (αx1+αx2, αy1+αy2)(αx1+αx2, αy1+αy2 = αx1+αx2, αy1+αy2)Este axioma se verifica

1. u=u1(x1, y1) = (x1, y1)(x1, y1) = (x1, y1)Este axioma se verifica

Como todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um espaço vetorial.

118)A seguir apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar se é um espaços vetorial. Se não for espaço, citar os axiomas que não se verificam.

{(x, 2x, 3x); x ∈ IR} com as operações usuais

u = (x1, 2x1, 3x1), v = (x2, 2x2, 3x2) e w = (x3, 2x3, 3x3),

A1) (u + v) + w = u + (v + w)[(x1, 2x1, 3x1)+(x2, 2x2, 3x2)]+(x3, 2x3, 3x3) = (x1,2x1,3x1)+[(x2, 2x2, 3x2) + (x3, 2x3,

3x3)][(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2)] + (x3, 2x3, 3x3) = (x1, 2x1, 3x1) + [(x2+x3, 2x2+2x3, 3x2 +

3x3)](x1+x2+x3, 2x1+2x2+2x3, 3x13x2-3x3) = (x1+x2+x3, 2x1+2x2+2x3, 3x1+3x2+3x3)(x1+x2+x3, 2(x1+x2+x3), 3(x1+x2+x3)) = (x1+x2+x3, 2(x1+x2+x3), 3(x1+x2+x3))Este axioma se verifica

A2) u + v = v + u(x1, 2x1, 3x1)+ (x2, 2x2, 3x2) = (x2, 2x2, 3x2) + (x1, 2x1, 3x1)(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2) = (x2+x1, 2x2+2x1, 3x2+3x1)(x1+x2, 2(x1+x2), 3(x1+x2)) = (x2+x1, 2(x2+x1), 3(x2+x1))Este axioma se verifica

A3) u + 0 = u(x1, 2x1, 3x1) + (0,0,0) = (x1, 2x1, 3x1)(x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)Este axioma se verifica

A4) u +(-u) = 0(x1, 2x1, 3x1) + (-x1, -2x1,-3x1) = (0,0,0)(0,0,0) = (0,0,0)Este axioma se verifica

M1) (αβ).u = α(β.u)(αβ). (x1, 2x1, 3x1) = α(β. (x1, 2x1, 3x1))(αβ x1, 2αβ x1, 3αβ x1) = α(β x1, 2β x1, 3β x1)(αβ x1, 2αβ x1, 3αβ x1) = (αβ x1, 2αβ x1, 3αβ x1)Este axioma se verifica

M2) (α + β).u = α.u + β.u(α + β). (x1, 2x1, 3x1) = α . (x1, 2x1, 3x1) + β. (x1, 2x1, 3x1)((α + β)x1, (α + β)2x1, (α + β) 3x1) = (α x1, α 2x1, 3α x1) + (β x1, β 2x1, 3β x1)(α x1+ βx1, α 2x1+ β2x1, 3α x1 + 3 β x1) = (α x1+β x1, α 2x1+β 2x1, 3α x1+3 β x1)Este axioma se verifica

M3) α(u + v) = α.u + α.vα[(x1, 2x1, 3x1) + (x2, 2x2, 3x2)] = α . (x1, 2x1, 3x1) + α . (x2, 2x2, 3x2)α [(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2)] = (α x1, α 2x1, 3α x1) + (α x2, 2α x2,

3α x2)α [(x1+x2, 2(x1+x2), 3(x1+x2))] = (α x1+α x2, α 2x1+2α x2, 3α x1+3α

x2)(α (x1+x2), 2α (x1+x2), 3α (x1+x2)) = (α (x1+x2), 2α (x1+x2), 3α (x1+x2))Este axioma se verifica

M4) 1.u = u

1. (x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)(x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)Este axioma se verifica

com as operações: (a, b) + (c, d) = (a, b) α (a, b) = (α a, α b)

A1) u+v=v+u ( x1 , y1 )+( x2 , y2)=( x2 , y2 )+( x1 , y1)

( x1 , y1 ) ≠ ( x2 , y2 ) NÃO

A2)u+( v+w )=(u+v )+w

( x1 , y1 )+[ ( x2 , y2 )+( x3, y3 ) ]=[ ( x1 , y1 )+( x2 , y2) ]+( x3, y3 ) ( x1 , y1 )+( x2 , y2)=( x1 , y1 )+( x3 , y3 ) ( x1 , y1 )=( x1, y1 ) OK A3)u+0=u ( x1 , y1 )+(0,0 )=( x1 , y1 ) ( x1 , y1 )=( x1, y1 ) OK

A4)u+(−u )=0 ( x1 , y1 )+(−x1 ,− y1 )=(0,0) ( x1 , y1 ) ≠(0,0) NÃO

M1)α (βu )=(αβ )u α [ β ( x1 , y1 ) ]=(αβ) ( x1 , y1 ) α ( βx1 , βy1 )=(αβ x1 , αβ y1 ) (αβ x1 , αβ y1 )=(αβ x1 ,αβ y1 ) OK

M2) (α +β )u=αu+βu (α +β ) ( x1 , y1)=α ( x1 , y1)+ β ( x1 , y1 ) [ (α +β ) x1 , (α +β ) y1 , ]=(α x1 , α y1 )+( β x1 , β y1 ) (α x1+β x1 , α y1+β y1 )=(α x1+β x1 , α y1+ β y1 ) OK

M3) α (u+v )=αu+αv

α [ ( x1 , y1 )+( x2, y2 ) ]=α ( x1 , y1 )+α ( x2, y2 ) α ( x1+x2 , y1+ y2 )=(α x1 , α y1 )+ (α x2 , α y2 ) ¿ (α x1+α x2 , α y1+α y2 )=(α x1+α x2 , α y1+α y2) OK

M4) 1 ∙u=u 1 ∙ ( x1 , y1 )=( x1, y1 )

( x1 , y1 )=( x1, y1 ) OK

NÃO É ESPAÇO VETORIAL, NAO VERIFICANDO NOS AXIOMAS A1 E A4.

com as operações (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y') α (x, y) = (α x,0)u =(x, y), v =(x', y') e w =(x”,y”)

A1) (u + v) + w = u + (v + w)[(x, y) + (x', y')] + (x”,y”) = (x, y) + [(x', y') + (x”,y”)](x+ x', y+ y') + (x”,y”) = (x, y) + (x'+ x”, y'+ y”)(x+ x'+ x”, y+ y'+ y”) = (x+ x'+ x”, y+ y'+ y”)ok

A2) u + v = v + u(x, y) + (x', y') = (x', y') + (x, y)(x+ x', y+ y') = (x'+x, y'+y)ok

A3) u + 0 = u(x, y) + (0,0) = (x,y)(x,y) = (x,y)ok

A4) u +(-u) = 0(x,y) + (-x,-y) = (0,0)(0,0) = (0,0)ok

M1) (αβ).u = α(β.u)(αβ).(x,y) = α(β.(x,y))(αβ x,0) = α(β.x,0))(αβ x,0) = (αβ x,0)ok

M2) (α + β).u = α.u + β.u(α + β).(x,y) = α .(x,y) + β.(x,y)((α + β).x,0) = ( α .x,0) + (β.x,0)(α x+ β.x,0) = (α x+ β.x,0)ok

M3) α(u + v) = α.u + α.vα [(x, y) + (x', y')] = α .(x,y) + α .( x', y')α (x+ x', y+ y') = (α .x,0) + ¿. x', 0)(α (x+ x'), α (y+ y')) = (α .x+α . x',0)(α x+ α x'), α y+ α y'))≠ (α .x+α . x',0)Este não se verifica

M4) 1.u = u1. (x, y) = (x, y)(x, 0) ≠ (x, y)Este não se verifica

Como pelo menos um axioma não foi verificado, logo este não é um espaço vetorial.

A={(x , y )IR2∨ y=5 x }Com as operações usuais u=(x¿¿1 ,5 x1)v=(x¿¿2 ,5x2)¿¿A1) u+v=v+u(x¿¿1 ,5 x1)+(x¿¿2,5 x2)=(x¿¿2 ,5 x2)+(x¿¿1 ,5 x2)¿¿¿¿( x1+x2 ,5 x1+5 x2 )=( x2+x1,5 x2+5 x1 ) ok

A2) u+(v+w)=(u+v )+w( x1 ,5 x1 )+( x2 ,5 x2)+ ( x3,5 x3)=( x1 ,5 x1 )+( x2 ,5 x2)+ ( x3,5 x3 )( x1 ,5 x1 )+( x2+ x3 ,5x2+5 x3 )=( x1+x2 ,5 x1'+5 x2)+(x3 ,5 x3)( x1+x2+x3 ,5 x1+5 x2+5 x3 )=( x1+x2+ x3 ,5 x1+5 x2+5x3 ,5 x1+5 x2+5 x3 ) ok

A3) u+0=u(x¿¿1 ,5 x1)+(0,0 )=(x1 ,5x1)¿(x¿¿1 ,5 x1)=(x¿¿1 ,5 x1)ok ¿¿

A4) u+(−u )=0( x1 ,5 x1 )+(−x1 ,−5 x1 )=(0,0)(0,0 )=(0,0)ok

M1) ∝ (βu )=(∝β)u∝ ¿∝ ( β x1 , β5 x1 )=(∝β x1 ,∝β 5x1)(∝ β x1 ,∝β 5 x1 )=(∝ β x1 ,∝ β5 x1)ok

M2) (∝+β )u=∝u+βu(∝+β ) ( x1 ,5 x1 )=∝ ( x1 ,5 x1)+ β(x1 ,5x1)(∝+β ) x1 , (∝+β )5 x1=(∝ x1 ,∝5x1)(∝ x1+β x1 ,∝5 x1+β 5 x1 )=(∝ x1+β x1 ,∝5 x1+β 5 x1)ok

M3) ∝ (u+v )=∝u+∝ v∝ ( ( x1 ,5 x1)+ ( x2 ,5 x2 ))=∝ ( ( x1 ,5 x1 )+∝ ( x2 ,5 x2 ))∝ ¿(∝ x1+∝ x2 ,∝5 x1+∝ x2)=(∝ x1+∝ x2 ,∝5 x1+∝ x2 ) ok

M4) 1.u=u1¿

A = {(x, y,z) ∈R3 | y = 5x e z = 0} com as operações usuais u=( x ,5 x ,0 ), v=(x2 ,5 x2 ,0) e w=(x3 ,5 x3 ,0) Adição

I) u+v=v+u¿ ( x ,5 x ,0 )+ ( x2 ,5 x2 ,0 )=( x2 ,5 x2 ,0 )+( x ,5x ,0 )¿ ( x+x2 ,5 x+5x2 ,0+0 )=( x2+x ,5x2+5 x ,0+0 )¿ [ x+x2 ,5 ( x+x2) ,0 ]=[ x2+ x ,5 ( x2+x ) ,0] //ok

II) u+( v+w )=(u+v )+w¿ ( x ,5 x ,0 )+ [ ( x2 ,5 x2 ,0 )+( x3 ,5 x3 ,0 ) ]=[ ( x ,5 x ,0 )+ ( x2 ,5 x2 ,0 ) ]+( x3 ,5 x3 ,0 )¿ ( x ,5 x ,0 )+ ( x2+x3 ,5x2+5 x3 ,0+0 )=( x+x2 ,5 x+5 x2 ,0+0 )+ ( x3 ,5 x3 ,0 )¿ ( x+x2+x3 ,5x+5 x2+5x3 ,0+0+0 )=( x+x2+x3,5 x+5 x2+5 x3 ,0+0+0 )¿¿ //ok

III) u+0=u¿ ( x ,5 x ,0 )+ (0,0,0 )= (x ,5x ,0 )¿ ( x ,5 x ,0 )=( x ,5 x ,0) //ok

IV) u+(−u )=0

¿ ( x ,5 x ,0 )−( x ,5 x ,0 )=(0,0,0 )¿ ( x ,5 x ,0 )+ (−x ,−5x ,0 )= (0,0,0 )¿ (0,0,0 )=(0,0,0) //ok

MultiplicaçãoI)(αβ ) . u=α ( β .u )

¿ (αβ ) ( x ,5 x ,0 )=α [ ( β ) ( x ,5 x ,0 ) ]¿ (αβx ,5αβx ,αβ 0 )=α ( βx ,5 βx ,β 0 )¿ (αβx ,5αβx ,0 )=(αβx ,5αβx ,0) //ok

II)(α +β ) . u=α .u+β .u

¿ (α +β ) ( x ,5 x ,0 )=α ( x ,5 x ,0 )+β ( x ,5 x ,0 )¿ (α x+β x ,5α x+5 β x ,α 0+β 0 )=( α x ,5α x ,α 0 )+( β x ,5 β x ,β 0 )

¿ (α x+β x ,5α x+5 β x ,α 0+β 0 )=( α x+β x ,5α x+5 β x ,α 0+β 0 )¿ [α x+β x ,5 (α x+β x ) ,0 ]=[α x+β x ,5 (α x+β x ) ,0 ]//ok

III)α (u+v )=α .u+α . v

¿α [ ( x ,5 x ,0 )+( x2 ,5 x2 ,0 ) ]=α ( x ,5 x ,0 )+α ( x2 ,5 x2 ,0 )¿α ( x+x2 ,5 x+5 x2 ,0+0 )=(α x ,5α x ,α 0 )+(α x2 ,5α x2 , α 0 )¿ (α x+α x2 ,5α x+5α x2 , α 0+α 0 )=( α x+α x2 ,5α x+5α x2 , α 0+α 0 )¿¿ //ok

IV)1.u=u¿1 ( x ,5 x ,0 )=( x ,5 x ,0 )¿ ( x ,5 x ,0 )=( x ,5 x ,0) //ok

Logo A é Espaço Vetorial

Lista TED 25:

Subespaço vetorial

123)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço.S = {(x, y, z)| x = 4y e z = 0}

u = (4y, y, 0) v = (4y1, y1, 0)

u + v=(4y, y, 0) + (4y1, y1, 0) =(4y +4y1, y+y1, 0+0) ok

α(u)=α(4y, y, 0) = (α4y,αy, 0) ok Logo é subespaço vetorial

124)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço.S = {(x, y, z)|x = z²}u = ( z1

2 , y1 , z1) e v = (z22 , y2, z2)

u+v(z²1, y1, z1) + (z²2, y2, z2)(z1

2 + z22 , y1 + y2 , z1 + z2) não pois z1

2 + z22≠( z1+z2)

α .uα(z1

2,y1, z1)(α z1

2, αy1, αz1) não pois α z12 ≠ ( α z1 )2

S não é um subespaço de V

125)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço.S = {(x, y, z)| z= 2x - y}u = (x1,y1, 2x1 – y1)v = ( x2, y2, 2x2 – y2)

u + v = (x1+x2, y1+y2 + 2x1-y1+2x2-y2) (x1+x2 , y1+y2 + 2(x1 + x2 -y1-y2)

α .u=α (x , y ,2x− y ) ¿(αx ,αy ,2αx−αy)

Logo S é um subespaço de R3

126)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço. S =

1) u+v=[ a1 b1

a1+b1 0 ]+[ a2 b2

a2+b2 0 ] u+v=[ a1+a2 b1+b2

a1+a2+b1+b2 0 ]OK

{[a bc d ];c = a + b e d = 0}

2) αu=α [ a1 b1

a1+b1 0 ] [ α a1 α b1

α a1+α b1 0 ]OK

127)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço.S = {(x, 2x ); x ∈R }u=(x, 2x) v=(x’, 2x’)

u+v( x ,2 x )+( x ', 2x ' )( x+x ´,2 x+2x ' )( x+x ', 2 ( x+x ' ) ) ok

α .uα (x ,2x )α (x ,2x )(αx ,2αx )ok

é um subespaço

128)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço.

S = {[a b

0 c ]; a , b , c ∈ R}

S¿ {[a b0 c ]; a ,b cє R }u=[a1 b1

0 c1 ]v=[a2 b20 c2]

u+v=[a1 b10 c 1]+[a2 b2

0 c2]=[a1+a2 b1+b20 c1+c 2]ok

∝ .u=∝ .[a1 b10 c 1]=[∝a1 ∝b1

0 ∝ c1]ok

Logo é um subespaço.

129)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço.S = {(x, y) | x = 0}

u=(0 , y1) v=(0 , y2)u+v=(0 , y1+ y2) //okα .u=α ( 0 , y1 )=(0 , α y1) //ok

Logo S é subespaço

Lista TED 26:

Combinação linear

130)Sejam os vetores u = (2, -3, 2) e v = (-1, 2, 4) em R3.a) Escrever o vetor w = (5, -7, 10) como combinação linear de u e v.

(5, -7, 10) = a . (2, -3, 2) + b . (-1, 2, 4)(5, -7, 10) = (2a, -3a, 2a) + (-b, 2b, 4b)(5, -7, 10) = (2a-b , -3a+2b, 2a+4b)

{ 2a−b=5−3a+2b=−7

2a+4b=10

8a - 4b = 20 2(3) - b = 5 -3a + 2b = -72a + 4b = 10 6 - b = 5 -3(3) + 2(1) = -710a = 30 -b = 5 - 6 -9 + 2= -7

a = 3010

= 3 b = 1 -7 = -7

Logo w=3.u+1 . v

b) Para que valores de k o vetor (-8, k, 12) é uma combinação linear de u e v?

(-8, k, 12) = a .(2, -3, 2) + b . (-1, 2, 4)(-8, k, 12) =(2a, -3a, 2a) + (-b, 2b, 4b)(-8, k, 12) =(2a-b , -3a+2b, 2a+4b)

{ 2a−b=−8−3a+2b=k2a+4 b=12

8a – 4b = –322 (–2) – b = 5 –3a + 2b = k2a + 4b = 12 – 4 – b = 5 –3 (–2) + 2 (–9) = k10a = –20 –b = 5 +4 6 –18 = ka = –20/10 = –2 –b = 9 –12 = k

b = -9 k = –12 k = -12

131)Para qual valor de K o vetor u = (1, k, 2) em R³ é uma combinação linear dos vetores v = (3, 0, -2) e w = (2, -1, -5)?

(1, k, 2) = a(3,0,-2) + b(2,-1,-5)(1, k, 2) = (3a,0,-2a) + (2b,-b,-5b)(1, k, 2) = (3a + 2b, -b, -2a - 5b)

{ 3a+2b=1−b=k .(−1)−2a−5b=2

b = -k

3a + 2.(-k) = 13a = 2k+1

a=¿ 2k+1

-2 .( 2k+13 ) - 5.(-k) = 2

(−4 k−23 ) + 5k = 2

−4 k−2+15k=63

11k = 6+2

k = 811

S = ( 811)

132)Sejam os vetores u = (1, 2, 1) e v = (-1, 0, 2) em R3.Escrever o vetor w = (7, 10, 1) como combinação linear de u e v.Para que valores de k o vetor (4, 6, k) é uma combinação linear de u e v?

W= a.u + b.v

(7, 10, 1) = a . (1, 2, 1) + b . (-1, 0, 2)(7, 10, 1) = (a, 2a, a) + (-b, 0, 2b)(7, 10, 1) = (a – b ,2a,a + 2b)

{ a−b=72a=10

a+2b=1 a=5 b=−2

a−b=7 5−b=7 −b=7−5 b=−2

a+2b=1 5+2. (−2 )=1 5−4=11=1

Logo w=5.u−2 . v

(4, 6, k) = a . (1, 2, 1) + b . (-1, 0, 2)(4, 6, k) = (a, 2a, a) + (-b, 0, 2b)

(4, 6, k) = (a – b ,2a,a + 2b)

(4, 6, k) = (a-b,2a ,a+2b)

{ a−b=42a=6

a+2b=k a=3

a−b=4 3−b=4

−b=4−3 b=−1

3+2.(−1)=k 3+(−2)=k k=1

133)Sendo os vetores u = (0, 1, 2) e v = (3, -5, 7), escrever o vetor w = (6, -13, 8) como combinação linear de u e v.

(6 ,−13,8 )=a (0,1,2 )+b (3 ,−5,7 ) (6 ,−13,8 )=(0 ,a ,2a )+(3b ,−5b ,7b ) (6 ,−13,8 )=(3b ,a−5b ,2a+7b )

{ 3b=6a−5b=−132a+7b=8

b=2 a−5 (2 )=−13 a=−13+10a=−3

w = -3 u + 2 v

134)Os dois problemas a seguir se referem aos vetores u = (2,-3,2) e v = (-1,2,4) do R3.

a) Escrever o vetor a = (7,-11, 2) como combinação linear de u e v.

(7 ,−11 ,2 )=a (7 ,−11 ,2 )+b (−1,2,4 )(7 ,−11 ,2 )=(7a ,−11a ,2a )+(−b ,2b ,4b )

{7a−b=7]−11 a+2b=−11¿

]×2 ¿¿¿¿

14a−2b=14−11a+b=−113a=3a=1

7 (1 )−b=77−b=7−b=7−7b=0

Logo a = 1.u+0.v

b) Para que valor de k o vetor w = (-8, 14, K) é combinação linear de u e v?

(−8 ,14 , k )=a (2 ,−3,2 )+b (−1,2,4 )(−8 ,14 , k )=(2a ,−3a ,2a )+ (−b ,2b ,4b )

−b=−8−2ab=8+2a

−3a+2 (8+2a )=14−3a+16+14a=14a=−16+14a=−2

−3 (−2 )+2b=146+2b=142b=8b=4

2 (−2 )+4 (4 )=k−4+16=k12=kk=12

135)Dados os vetores v1¿(−3 ,2 ,1)e v 2=(0 ,5 ,4 ), para que valor de K o vetor v=(15 ,K ,3 )é combinação linear de v1 e v2?

(15 , k ,3 )=a (−3,2,1 )+b(0,5,4 )(15 , k ,3 )=(−3a ,2a ,a )+(0,5b ,4 b)(15 , k ,3 )=(−3a ,2a+5b ,a+4b)

{−3 a=152a+5b=ka+4 b=3

{2a−b=−8⃗ ¿ {−3a+2b=14 ¿ ¿¿¿

−3a=15

a=−153

a=−5

a+4b=4 2. (−5 )+5( 94 )=k −40+45=k

−5+4b=4 −10+ 454

=k k=5

4 b=4+5

Os dois problemas a seguir se referem aos vetores v1 = (-1,2,1), v2 = (1,0,2) e v3 = (-2,-1, 0) do R3.

136)Expressar o vetor w = (-8,4,1) como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3.

D=[−1 1 −22 0 −11 2 0 ] [−1 1

2 01 2]=D=(0−1−8 )−(0+2+0 )=−11

Dx=[−8 1 −24 0 −11 2 0 ][−8 1

4 01 2]=Dx=( 0−1−16 )−(0+16+0 )=−33

Dy=[−1 −8 −22 4 −11 1 0 ][−1 −8

2 41 1 ]=Dy=(0+8−4 )−(−8+1+0 )=11

Dz=[−1 1 −82 0 41 2 1 ][−1 1

2 01 2]=Dz=(0+4−32 )−(0−8+2 )=−22

=−33−11

Y= DyD

= 11−11

=−22−11

w=3 ( v1)+ (−1 ) ( v2 )+2(v)

137)Expressar o vetor v = (0,2,3) como combinação linear de v1, v2 e v3.Visite o meu site www.professormatusalem.com

D=[−1 1 −22 0 −11 2 0 ] [−1 1

2 01 2]=D=(0−1−8 )−(0+2+0 )=−11

Dx=[0 1 −22 0 −13 2 0 ][0 1

2 03 2]=Dx=(0−3−8 )−(0+0+0 )=−11

Dy=[−1 0 −22 2 −11 3 0 ][−1 0

2 21 3]=Dy=(0+0−12 )−(−4+3+0 )=−11

Dz=[−1 1 02 0 21 2 3 ][−1 1

2 01 2 ]=Dz=(0+2+0 )−(0−4+6 )=0

=−11−11

Y= DyD

=−11−11

= 0−11

v=1 ( v1 )+1 (v2 )+0(v3)

Lista TED 27:

Transformações lineares

138)Verificar se a função (transformação) é linear.f: R² → R², f(x, y) = (x², y²)

Definição: Sejam U e V espaços vetoriais. Diz-se que T: U → V é uma transformação linear se satisfaz às duas seguintes propriedades:1. Para qualquer u e v de R²: T(u+v) = T(u) + T(v).2. Para qualquer k real e qualquer v de V: T(kv)=k.T(v).

Então, você escreve dois vetores u(u1, u2) e v(v1 , v2), por exemplo. Daí verifica se as duas propriedades são satisfeitas.T(u + v) = T((u1, u2) + (v1, v2)) = T(u1+v1, u2, v2) = [(u1 + v1)², (u2 + v2)²]T(u) = T(u1, u2) = (u1², u2²)T(v) = T(v1, v2) = (v1², v2²)T(u) + T(v) = (u1², u2²) + (v1², v2²) = [(u1²+v1²), (u2², v2²)]

Veja que [(u1 + v1)², (u2 + v2)²] não é igual a [(u1²+v1²), (u2², v2²)], logo, a transformação não é linear.

139)Verificar se a função (transformação) é linear.f : R2→R 2 , f(x,y) = (2x – y, 3x + 5y)

f (u+ v )=f ( x1, y1)+ f ( x2, y2 )f (u+ v )=f ( x1+x2 , y1+ y2)f (2( x1+x2)−( y1+ y2) ,3( x1+x2)+5 ( y1+ y2 ))f ((2 x1+2x2− y1− y2), (3 x1+3 x2+5 y1+5 y2))f (u)+ f ( v )= f (2x1 ,− y1 ,3 x1+5 y1)+ f (2 x2 ,− y2 ,3 x2,+5 y2 )f (u)+ f ( v )= f ((2 x1− y1+2x2 ,− y2 ) ,(3x1+5 y1+3x2 ,+5 y2 ))f (u+v )=f (u)+ f ( v )f ((2 x1+2x2− y1− y2 ), (3 x1+3 x2+5 y1+5 y2 ))=f ((2x1− y1+2 x2,− y2) ,(3 x1+5 y1+3 x2 ,+5 y2 ))Logo a função (transformação) é linear.

140)Dada a transformação linear f: R 3→R 2 tal que: f(1, 0, 0) = (2, 1), f(0, 1, 0) = (-1, 0) e f(0, 0, 1) = (1, -2)

i. Determinar a matriz canônica de f;

[1[ 0[ 0

0 0]1 0]0 1

ii. Calcular f(3, 4, 5);

Expressando o vetor (3 , 4 ,5 ) como combinação linear dos vetores da base, vem:(3 ,4 ,5 )=a (1 , 0 ,0)+b (0 , 1 , 0 )+c (0 , 0 , 1 )(3 ,4 ,5 )=( a , 0 ,0 )+(0 , b , 0 )+(0 , 0 , c )(3 ,4 ,5 )=( a , b , c)

{a= 3¿ {b= 4 ¿ ¿¿¿Sistema cuja solução é: a=3 , b=4 e c=5 . Então,

(3 , 4 , 5 )=3υ1+4 υ2+5υ3

Aplicando f , vem:f (3 , 4 , 5 )= 3 f (υ1)+4 f (υ2 )+ 5 f (υ3 ) = 3 (2, 1)+2 (-1, 0 )+ 5 (1, - 2 ) = (6, 3 )+( -2, 0 )+( 5, -10 ) = (9, -7 )

iii. Calcular f(x, y, z).Procedendo do mesmo modo com o vetor genérico (x, y, z) tem-se:

{a= x ¿ {b= y ¿¿¿¿Sistema cuja solução é: a=x , b= y e c=z . Então,

( x , y , z )=xυ1+ yυ2+zυ3

Aplicando f , vem:f ( x , y , z )= x f (υ1)+ y f (υ2 )+ z f (υ3 ) = x (2, 1)+y ( -1, 0 )+ z(1, - 2 ) = (2x, x )+(-y, 0 )+( z, -2z ) = (2x-y+z, x-2z )

141)Uma transformação linear f: R2→R 3 é tal que f(-1, 1) = (3, 2, 1) e f(0, 1) =(1, 1, 0) Determinar:

i. f(2, 3)

Expressando o vetor (2 ,3 ) como combinação linear dos vetores da base, vem:(2 , 3 )=a (−1 , 1)+b (0 , 1 )(2 , 3 )=(−a ,a)+(0 ,b )(2 , 3 )=(−a , a+b )

{−a+0= 2 ¿¿¿¿Sistema cuja solução é: a=−2 , b=5 . Então, (2 , 3 )=−2υ1+5υ2

Aplicando f , vem:f (2 , 3 )= -2 f (υ1 )+5 f (υ2 ) = -2 (3, 2, 1 )+5(1, 1, 0) = (-6, -4, -2)+(5, 5, 0) = (-1, 1, -2)

ii. f(x, y)Procedendo do mesmo modo com o vetor genérico (x, y) tem-se:

{−a+0= x ¿ ¿¿¿Sistema cuja solução é: a=−x , b=x+ y . Então, ( x , y )=−x (υ1 )+( x+ y )(υ2 )

aplicando f , vem:f ( x , y )= x f (υ1 )+( x+ y ) f (υ2 ) = x (3, 2, 1)+( x+ y )(1, 1, 0) = (3x, 2x, x )+( x+y, x+y, 0) = (4x+y, 3x+y, x )

142)Dada a transformação linear T: R³ → R² tal que:T(1, 0, 0) = (2, -1), T(0, 1, 0) = (-1, 1) e T(0, 0, 1) = (1, -2)

a) determinar a matriz canônica de T;b) calcular T(3, 4, 2);c) calcular T(x, y, z).

i. Sabemos que: T(x,y,z) = T[x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)] ( fácil a observação )Mas, foi dito que a transformação é linear, então ela obedece as duas propriedades, ou seja,

T(x, y, z) = T[x(1, 0, 0)] + T[y(0, 1, 0)] + T[z(0, 0, 1)] (primeira propriedade) T(x, y, z) = x.T(1, 0, 0) + y.T(0, 1, 0) + z.T(0, 0, 1) ( segunda propriedade )T(x, y, z) = x(2, -1) + y(-1, 1) + z(1, -2) ----> (substitui os dados do problema )

T(x, y, z) = (2x, -x) + (-y, y) + (z, -2z)T(x, y, z) = (2x-y+z , -x+y-2z) → (Letra c )

T(3,4,2) = (2.3-4+2 , -3+4-2.2) = (4 , -3) → (Letra b)A matriz canônica é:

[ 2 −1 1−1 1 −2]

ii. Uma transformação linear T: R² → R³ é tal que T(-1, 1) = (3, 2, 0) e T(0, 1) = (1, 1, -1) Determinar:a) T(2, 4) T(x, y)T(x, y) = T[x(1, 0) + y(0, 1)]

T(-1, 1) = T[-1(1, 0) + 1(0,1)] = -1.T(1, 0) + 1.T(0, 1)(3, 2, 0) = -1.T(1, 0) + (1, 1, -1)(3, 2, 0) - (1, 1, -1) = -1.T(1, 0)(2, 1, 1) = -1.T(1, 0)T(1, 0) = (-2, -1, -1)

Daí, T(x, y) = T[x(1, 0) + y(0, 1)] = x.T(1, 0) + y.T(0, 1) = x(-2, -1, -1) + y(1, 1, -1)T(x, y) = (-2x, -x, -x) + (y, y, -y)T(x, y) = (-2x+y, -x+y, -x-y) ---> (letra b )T(2, 4) = (-2.2+4, -2+4, -2-4)T(2, 4) = (0, 2, -6) ----> (letra a)

143)Verificar se a função (transformação) é linear.f : R2 →R2 , f(x,y) = (x + 1 , y)Resposta: (x,y) = a.(x+1,y) + b.(x+1,y) (x,y) = (ax+a,ay) + (bx+b,by) (x,y) = (ax+a +bx+b,ay+by)

{ax+a+bx+b=xay+by=x

= 2ax + 2bx = x (y) = 2ayx+2ayx = xy

ay + by = y (2x) -2ayx-2byx = -2xy

4ayx = xy = 4ayx = xy = - 4byx= -3xy (÷xy) -2ayx – 2byx =-2xy (2) - 4axy – 4byx = -4xy - 4b = -3

b=−34

ay + by =y 4ay= 4y+3y ay + ¿.y) = y 4ay = 7y (÷y)

ay - 3 y4

= y 4a=7

4 ay−3 y=4 y4

S= { 74

,−34

Logo a função é linear…

144)Dada a transformação linear f: R3 →R2 tal que: f(1, 0, 0) = (2, 0), f(0, 1, 0) = (0, 1) e f(0, 0, 1) = (2, -2)

i. determinar a matriz canônica de f;

f ( x , y , z )=( x+3 y+z , x−2 y+z )

f (1,0,0)=(1+3(0 )+0,1−2(0 )+0 )f (1,0,0)=(2,0 )

f (0,1,0)=(0+3 (1)+0,0−2(1)+0 )f (0,1,0)=(0,1 )

f (0,0,1)=(0+3 (0)+1,0−2(0 ),1)f (0,0,1)=(−2,2)

¿¿¿

ii. calcular f(1, 4, 2);f (1,4,2)w=(1,4,2 )w=a .v 1+b .v 2+c . v3w=1 .v1+4 .v 2+2. v3(1,4,2)=a(1,0,0 )+b(0,1,0 )+c (0,0,1)(1,4,2)=(a ,0,0 )+(0 , b ,0 )+(0,0 , c )

{a=1¿ {b=4 ¿¿¿¿¿

¿iii. calcular f(x, y, z).

f ( x , y , z )w=( x , y , z )w=a( v1 )+b( v2 )+c (v 3)w=x (v1 )+ y (v 2)+z ( v3 )( x , y , z )=a(1,0,0)+b (0,1,0 )+c( 0,0,1)( x , y , z )=(a ,0,0)+(0 , b ,0)+(0,0 , c ){ x=a ¿ { y=b ¿ ¿¿¿¿

145)Uma transformação linear f: R2 →R3 é tal que f(-1, 1) = (3, 1, 0) e f(0, 1) = (1, -2, -1) Determinar:

i. f(-2, 4) (-2,4) = -2 (-1,1) + [4 (0,1)] f(-2,4) = -2f(-1,1)+ [4f(0,1)] = -2.(3,1,0) + [ 4(1,-2,-1)] = (-6,-2,0) + (4,8,4) = (-2,6,4)

ii. f(x, y) (x,y) = x(-1,1) + y (0,1) F(x,y) = xf(-1,1) + yf(0,1) = x(3,1,0) + y(1,-2,-1) = (3x,x,0) + (y,-2y,-y) = (3xy,-2xy,-y)

146)Verificar se a função (transformação) é linear.f : R2 →R2 , f(x, y) = (x + 1 , y) Resposta: (x, y) = a.(x+1,y) + b.(x+1,y) (x, y) = (ax+a, ay) + (bx+b, by) (x, y) = (ax+a +bx+b, ay+by)

{ax+a+bx+b=xay+by=x

= 2ax + 2bx = x (y) = 2ayx+2ayx = xy

ay + by = y (2x) -2ayx-2byx = -2xy

4ayx = xy = 4ayx = xy = - 4byx= -3xy (÷xy) -2ayx – 2byx =-2xy (2) - 4axy – 4byx = -4xy - 4b = -3

b=−34

ay + by =y 4ay= 4y+3y ay + ¿.y) = y 4ay = 7y (÷y)

ay - 3 y4

= y 4a=7

4 ay−3 y=4 y

S= { 74

,−34

Logo a função é linear…

147)Dada a transformação linear f: R3 →R2 tal que: f(1, 0, 0) = (2, 0), f(0, 1, 0) = (0, 1) e f(0, 0, 1) = (2, -2)

f ( x , y , z )=( x+3 y+z , x−2 y+z )

f (1,0,0)=(1+3(0 )+0,1−2(0 )+0 )f (1,0,0)=(2,0 )

f (0,1,0)=(0+3 (1)+0,0−2(1)+0 )f (0,1,0)=(0,1 )

f (0,0,1)=(0+3 (0)+1,0−2(0 ),1)f (0,0,1)=(−2,2)

¿¿¿

ii. calcular f(1, 4, 2);f (1,4,2)w=(1,4,2 )w=a .v 1+b .v 2+c . v3w=1 .v1+4 .v 2+2. v3(1,4,2)=a(1,0,0 )+b(0,1,0 )+c (0,0,1)(1,4,2)=(a ,0,0 )+(0 , b ,0 )+(0,0 , c )

{a=1¿ {b=4 ¿¿¿¿¿

¿iii. calcular f(x, y, z).

148)Uma transformação linear f: R2 R3 é tal que f(-1, 1) = (3, 1, 0) e f(0, 1) = (1, -2, -1) Determinar:

i. f(-2, 4) (-2,4) = -2 (-1,1) + [4 (0,1)] f(-2,4) = -2f(-1,1)+ [4f(0,1)] = -2.(3,1,0) + [ 4(1,-2,-1)] = (-6,-2,0) + (4,8,4) = (-2,6,4)

ii. f(x, y)

(x,y) = x(-1,1) + y (0,1) F(x,y) = xf(-1,1) + yf(0,1) = x(3,1,0) + y(1,-2,-1) = (3x,x,0) + (y,-2y,-y) = (3xy,-2xy,-y)

149)Verificar se a função (transformação) é linear.f : R 2 →R 2 , f(x,y) = (y – x, 0)

I ¿ f (v+u )=f (x1+x2 , y1+ y2) f ( v+u )=[2 ( x1+x2 )−( y1+ y2 ) ,3 ( x1+x2 )+5 ( y1+ y2 )] f (u+v )=( 2x1+2x2− y1− y2 ,3 x1+3 x2+5 y1+5 y2 )

¿ (2 x1− y1,3 x1+5 y1 )+( 2x2− y2 ,3x2+5 y2 ) ¿ f ( x1+ y2 )+ f ( x1+ y2 )

¿ f (u )+ f (v ) OK

II ¿ f (u )=f (αx1+α y1 ) ¿2α x1−α y1 ,3α x1+5α y1¿

¿α ( 2x1− y1 ,3x1+5 y1 ) ¿αf (u )OK

150)Dada a transformação linear f: R 3 → R 2 tal que: f(1, 0, 0) = (2, 2), f(0, 1, 0) = (3, 1) e f(0, 0, 1) = (2, 0)

i. calcular f(1, 1, 2);

(3,4,5 )=a1 (1,0,0 )+a2 (0,1,0 )+a3 (0,0,1 ) (3,4,5 )=(a1 ,0,0 )+(0 ,a2,0 )+ (0,0 , a3 ) (3,4,5 )=(a1 , a2 , a3)

{a1=¿3a2=¿4a3=¿5

f (3,4,5 )=3 f ( v1 )+4 f (v2 )+5 f ( v3 ) ¿3 (2,1 )+4 (−1,0 )+5 (1,−2 ) ¿ (6,3 )+(−4,0 )+(5 ,−10 ) ¿ (7 ,−7 ) logo f (3,4,5 )=(7 ,−7)

ii. calcular f(x, y, z).

( x , y , z )=a1 (1,0,0 )+a2 (0,1,0 )+a3 (0,0,1 ) ( x , y , z )=(a1 ,0,0 )+ (0 , a2 ,0 )+(0,0 , a3) ( x , y , z )=(a1 , a2 , a3)

{a1=¿3a2=¿4a3=¿5

f ( x , y , z )=xf ( v1 )+ yf (v2 )+zf ( v3 ) ¿ x (2,1 )+ y (−1,0 )+z (1 ,−2 ) ¿ (2 x , x )+ (− y ,0 )+ ( z ,−2 z ) ¿ (2 x− y+z , x−2 z )logo f ( x , y , z , )=(2 x− y+z , x−2 z )

151)Uma transformação linear f: R 2 → R 3 é tal que f(-1, 1) = (-1, 1, 0) e f(0, 1) = (-1, -2, -1) Determinar:

i. f(-2, -1)

f (−2 ,−1 )=−2. f (−1,1 )+(−1 ) f (0,1 ) ¿−2 (−1,1,0 )+ (−1 ) (−1 ,−2 ,−1 ) ¿ (2 ,−2,0 )+ (1,2,1 ) ¿(3,0,1)

ii. f(x, y)

f ( x , y )=x . f (−1,1 )+ y . f (0,1 ) ¿ x (−1,1,0 )+ y (−1 ,−2 ,−1 ) ¿ (−x , x ,0 )+(− y ,−2 y ,− y ) ¿(−x− y , x−2 y ,− y)

152)Verificar se a função (transformação) é linear.

f : R 2 →R 2 , f(x,y) = x y

( x , y )=x ( xy )+ y ( xy )( x , y )=x2 , xy+ yx , y2

{x2+ yx=x ¿¿¿¿

Não é uma transformação linear

153)Dada a transformação linear f: R 3 → R 2 tal que: f(1, 0, 0) = (1, 1), f(0, 1, 0) = (3, -2) e f(0, 0, 1) = (1,1)

f ( x , y , z )=( x+3 y+z , x−2 y+z )

f (1,0,0)=(1+3(0 )+0,1−2(0 )+0 )f (1,0,0)=(1,1)

f (0,1,0)=(0+3 (1)+0,0−2(1)+0 )f (0,1,0)=(3 ,−2)f (0,0,1)=(0+3 (0)+1,0−2(0 ),1)f (00 ,1 )=(1,1)

¿¿f ( x , y , z )=x (2,0)+ y ( 0,1)+z (2 ,−2)f ( x , y , z )=(2 x ,0 )+(0 , y )+(2 z ,−2 z )f ( x , y , z )=(2 x+2 z , y−2 z )

ii. calcular f(1, 1, 0);

f (1,1,0 )w=(1,1,0 )w=a .v 1+b .v2+c .v 3w=1.v 1+1 .v2+0 .v 3

(1,1,0 )=a(1,0,0 )+b(0,1,0 )+c (0,0,1 )(1,1,0 )=(a ,0,0 )+(0 , b ,0 )+(0,0 , c ){a=1 ¿ {b=1¿ {c=0 ¿ ¿¿¿¿

iii. calcular f(x, y, z).

154)Uma transformação linear f: R 2 → R 3 é tal que f(-1, 1) = (0, 1, 0) e f(0, 1) = (-3, 0, -2) Determinar:

i. f(-4, -3)

(-4, -3)=−4(−1,1)+[−3(0,1 )]

f(-4, -3)=−4 f (−1,1 )+[−3 f (0,1) ]

=−4(0,1,0 )+[−3(−3,0 ,−2) ]

=(0 ,−4,0 )+(9,0,6 )

=(9 ,−4,6 )

ii. (x, y)=x (−1,1 )+ y (0,1)

f(x, y)=xf (−1,1)+ yf (0,1)

=x (0,1,0 )+ y (−3,0 ,−2)

=(0 , x ,0 )+(−3 y ,0 ,−2 y )

=(−3 y , x ,−2 y )

155)Verificar se a função (transformação) é linear.f : R 2 →R 2 , f(x,y) = x y

( x , y )=x ( xy )+ y ( xy )( x , y )=x2 , xy+ yx , y2

{x2+ yx=x ¿¿¿¿

Não é uma transformação linear

156)Dada a transformação linear f: R 3 → R 2 tal que: f(1, 0, 0) = (1, 1), f(0, 1, 0) = (3, -2) e f(0, 0, 1) = (1,1)

f ( x , y , z )=( x+3 y+z , x−2 y+z )

f (1,0,0)=(1+3(0 )+0,1−2(0 )+0 )f (1,0,0)=(1,1)

f (0,1,0)=(0+3 (1)+0,0−2(1)+0 )f (0,1,0)=(3 ,−2)

f (0,0,1)=(0+3 (0)+1,0−2(0 ),1)f (0,0,1)=(1,1)

¿¿¿

ii. calcular f(1, 1, 0);

f (1,1,0 )w=(1,1,0 )w=a .v 1+b .v2+c .v 3w=1.v 1+1 .v2+0 .v 3

(1,1,0 )=a(1,0,0 )+b(0,1,0 )+c (0,0,1 )(1,1,0 )=(a ,0,0 )+(0 , b ,0 )+(0,0 , c ){a=1 ¿ {b=1¿ {c=0 ¿ ¿¿¿¿

iii. calcular f(x, y, z).

157)Uma transformação linear f: R 2 → R 3 é tal que f(-1, 1) = (0, 1, 0) e f(0, 1) = (-3, 0, -2) Determinar:a) f(-4, -3)

f(-4, -3)=−4(−1,1)+[−3(0,1 )]

f(-4, -3)=−4 f (−1,1 )+[−3 f (0,1) ]

=−4(0,1,0 )+[−3(−3,0 ,−2) ]

=(0 ,−4,0 )+(9,0,6 )

=(9 ,−4,6 )

b) f(x, y)=x (−1,1 )+ y (0,1)

f(x, y)=xf (−1,1)+ yf (0,1)

=x (0,1,0 )+ y (−3,0 ,−2)

=(0 , x ,0 )+(−3 y ,0 ,−2 y )

=(−3 y , x ,−2 y )

a. Verificar se a função (transformação) é linear.f : R 2 →R 2 , f(x,y) = (3y, -2x, 0)

f (u+v )=f ( y1+ y 2 , x1+x2 ,0 ) ¿ (3 ( y 1+ y2 ) ,−2 ( x 1+ x2 ) ,0 )

¿ (3 y1+3 y 2 ,−2 x1−2x 2 ,0 )¿ (3 y1 ,−2x 1 )+(3 y2 ,−2x 2 )¿ f (u )+ f (v )

f ( αu)=f (∝ y 1 ,∝ x1 ) ¿ (3∝ y 1 ,−2∝ x 1,∝0 )¿∝ f (u )

R: Sim, a função é linear.

158)Dada a transformação linear f: R 3 → R 2 tal que: f(1, 0, 0) = (-5, 4), f(0, 1, 0) = (-3, 2) e f(0, 0, 1) = (0,1)

i. Determinar a matriz canônica de f;

T=[100010

001 ]=[−5

ii. Calcular f(-1, 1, -4); (−1 ,1,−4 )=a (1 ,0 ,0 )+b (0 ,1 ,0 )+c (0 ,0 ,1 )

{a=−1b=1

c=−4

f (−1 ,1 ,−4 )=−1 f (1 ,0 ,0 )+1 f (0 ,10 , )−4 f (0 ,0 ,1 )¿−1 (−5 , 4 )+1 (−3 ,2 )−4 (0 ,1 )¿ (5 ,−4 )+ (−3 ,2 )+(0 ,−4 )f (−1 ,1 ,−4 )= (2,−6 )

iii. Calcular f(x, y, z).( x , y , z )=a (1 ,0 ,0 )+b (0 ,1 ,0 )+c (0 ,0 ,1 )

{a=xb= yc=z

f ( x , y , z )=af (1 ,0 ,0 )+bf (0 ,10 , )+cf (0 ,0 ,1 )¿a (−5 ,4 )+b (−3 ,2 )+c (0 ,1 )¿ (−5a ,4 a )+(−3b ,2b )+(0 , c )f (−1 ,1 ,−4 )= (−5a−3b ,4a+2b+c )

b. Uma transformação linear f: R 2 → R 3 é tal quef(-1, 1) = (0, 1, -2) e f(0, 1) = (-3, 0, 1) Determinar:

i. f(2, -3)(2 ,−3 )=a (−1,1 )+b (0,1 )¿ (−a ,a )+ (0 , b )¿ (−a ,a+b )

{ −a=2a+b=−3

a=−2−2+b=−3b=−1

f (2 ,−3 )=−2 f (−1 ,1 )−1 (0 ,1 )f (2 ,−3 )=−2 (0 ,1 ,−2 )−1 (−3 ,0 ,1 )f (2 ,−3 )=(0 ,−2 ,4 )+(3 ,0 ,−1 )f (2 ,−3 )=(3 ,−2 ,3)

ii. f(x, y)( x , y )=a (−1 ,1 )+b (0 ,1 )¿ (−a ,a )+ (0 , b )¿ (−a ,a+b )

{−a=xa+b= y

a=−x−x+b= yb= y+x

f ( x , y )=−xf (−1 ,1 )+( y+x) (0 ,1 )f ( x , y )=−x (0,1 ,−2 )+( y+ x) (−3,0,1 )f (2 ,−3 )=(0 ,−x ,2 x )+ (−3 y−3 x ,0 , y+x )f (2 ,−3 )=(−3 y−3 x ,−x , y+3 x )

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