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FICHA N.º1:Isometrias: Reflexão, rotação e translação
Matemática 8º Ano
Aluno:______________________________________________ Data: ___/___/2013 Nº ___ Ano/Turma: 8º__
ISOMETRIAS
ATIVIDADE 1
Em cada situação apresentada a figura foi transformada na figura mediante certas regras. As figuras e são congruentes em todas as situações.
Na figura I, reflete-se como uma imagem num espelho obtendo-se a figura ____.Trata-se de uma
transformação geométrica do plano a que se dá o nome de ______________.
À reta dá-se o nome de ____________________.
Na figura II, reflete-se como uma imagem num espelho obtendo-se a figura ____ . Depois, desliza ao longo
da seta assinalada, obtendo-se a figura ____. À transformação geométrica do plano que transformou a figura
na figura dá-se o nome de _____________________________.
Na figura III, é possível levar o decalque da figura a coincidir com a figura , rodando em torno de um ponto
O, 90º no sentido dos ponteiros do relógio. À transformação geométrica do plano que transformou a figura na
figura dá-se o nome de _________________. Ao ponto O, em torno do qual a figura roda, chama-se
_____________________________. Ao ângulo orientado (de amplitude 90º) chama-se
_____________________________.
Na figura IV, é possível levar o decalque da figura a coincidir com a figura , fazendo-a deslizar numa
determinada direção ao longo da seta assinalada. À transformação geométrica do plano que transformou a figura
na figura dá-se o nome de _________________.
Uma ISOMETRIA (iso = igual , metria = medição) é uma transformação geométrica que mantém a distância entre
pontos e preserva ângulos, isto é, a figura inicial e a sua transformada são congruentes.
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TRANSLAÇÃO
ATIVIDADE 2
O Ricardo deslizou da posição 1 até à posição 2, executando um movimento de translação ao longo da reta , como mostra a figura. Considera apenas as figuras correspondentes à posição inicial e final. A seta indica a direção e o sentido do deslocamento efetuado, bem como a distância percorrida de uma posição até à outra.
1. 1.1. Como se chama a transformação geométrica que transforma a figura da posição 1 na figura da posição 2?
R: ___________________________________________
1.2. Que relação existe entre as duas figuras? R: ____________________________________________
2. A cada ponto da figura da posição 1 corresponde um e um só ponto na figura da posição 2, que é o seu
transformado.
2.1. Qual é o ponto correspondente ao ponto ? R: ___________________________________________
2.2. Qual é o transformado do ponto ? E do ponto ? R: ______________________________________
3. Nesta transformação geométrica, indica na figura transformada (posição 2 ):
3.1. Um segmento de reta congruente com o segmento de reta . R: _________________________
3.2. Um ângulo congruente com o ângulo . R: ______________________________________
4. Se a distância do ponto ao ponto é 50 metros, qual é a distância entre quaisquer dois pontos correspondentes das duas figuras? R: ______________________________________
ATIVIDADE 3:
De entre os seguintes movimentos identifica os que são movimentos de translação: O movimento de…
Uma TRANSLAÇÃO é uma isometria em que todos os pontos da figura original sofrem o mesmo deslocamento (em
direção, sentido e comprimento), desde a posição inicial até à posição final.
PROPRIEDADES DA TRANSLAÇÃO
Um segmento de reta é transformado num segmento de reta paralelo e com o mesmo comprimento.
Uma reta ou uma semirreta são transformados numa reta ou semirreta paralelas, respetivamente.
Um ângulo é transformado num ângulo geometricamente igual e com o mesmo sentido.
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TRANSLAÇÃO ASSOCIADA A UM VETOR
NOÇÃO DE VETOR
DIRECÇÃO E SENTIDO
Como pudeste verificar no exercício anterior, nas situações em que identificaste um movimento de translação, pudeste observar que um elemento se desloca numa determinada direção e sempre paralelo a si próprio.
ATIVIDADE 4
Observa a figura ao lado. Os automóveis deslocam-se num troço retilíneo de uma estrada que liga duas cidades.
Circulam na mesma ___________________, a direção da
reta ___, mas em sentidos ___________________.
1. Dá um exemplo de um automóvel
1.1. que circule no sentido Porto Lisboa. R: _______
1.2. que circule no sentido Lisboa Porto. R: _______ 2. Na figura estão representadas as retas: , e .
2.1. quantas direcções definem as três retas? R: _______
2.2. numa direção quantos sentidos podes considerar? R: _______
Quando duas ou mais retas são paralelas, diz-se que têm a mesma _____________.
Numa reta podemos considerar sempre dois sentidos:
O sentido de para _____ e o sentido de para _____.
Um segmento de reta onde se escolheu um sentido, diz-se um segmento de reta _____________.
Designa-se por [A,B] o segmento de reta orientado com sentido de _____ para _____; o ponto _____ é a
origem e o ponto _____é a extremidade.
Designa-se por [B,A] o segmento de reta orientado com sentido de _____ para _____; o ponto _____ é a
origem e o ponto _____é a extremidade.
Um segmento de reta orientado fica identificado desde que se conheça a sua ____________, o seu
____________, o seu ____________ e a sua ____________.
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P
Q
A
B
A
C
B
VETOR
ATIVIDADE 5
Observa o movimento de translação do automóvel quando se desloca da posição 1 para a posição 2.
Todos os pontos da figura original percorrem a mesma ________________, na mesma ________________ e ______________. Cada ponto do automóvel descreveu um __________________________, como mostra a figura.
Os segmentos de reta orientados ; e , embora com origens ________________, têm mesma
________________, o mesmo ________________ e o mesmo __________________.
TRANSLAÇÃO ASSOCIADA A UM VETOR
ATIVIDADE 6
1. Determina:
1.1. Determina , de tal modo que .
1.2. Determina , de tal modo que .
2. Considera o triângulo [ABC] e o vetor .
Constrói o triângulo [A’B’C’] de tal modo que:
.
Na alínea 1.1. construíste a imagem do ponto de tal modo que o ponto é o _______________ do
ponto pela _______________ associada ao vetor . De um modo geral:
Dado um segmento de reta orientado [A,B], ao conjunto de segmentos de reta orientados do plano com a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento que [A,B], chama-se vetor livre ou apenas vetor e
representa-se por .
Um vetor fica caraterizado por: Uma direção Um sentido Um comprimento
Nota:
Um vetor pode ainda ser designado por uma letra minúscula com uma seta por cima, como por exemplo por .
Translação associada a um vetor é a transformação geométrica que transforma cada ponto do plano no
ponto , tal que . Esta transformação geométrica representa-se por e significa que é o transformado (ou imagem)
do ponto (objeto) definida pelo vetor .
Posição 1 Posição 2 Posição 2 Posição 1 Posição 2
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ATIVIDADE 7:
Observa a figura onde estão representados alguns vetores e pontos sobre uma base quadriculada.
1.Dá um exemplo de dois vetores que tenham:
1.1. A mesma direção e o mesmo sentido.
1.2. O mesmo comprimento.
1.3. A mesma direção e sentidos contrários.
2. Dos pontos assinalados na figura, indica aquele que é imagem de A pela translação:
2.1. Associada ao vetor .
2.2.
2.3. Associada ao vetor .
3. Dos vetores representados na figura, identifica o que define a translação que aplica:
3.1. em
3.2. em
3.3. em
COMPOSIÇÃO DE TRANSLAÇÕES E ADIÇÃO DE VETORES
COMPOSIÇÃO DE TRANSLAÇÕES
ATIVIDADE 8 Na figura está representado um empilhador. O mecanismo do empilhador permite-lhe fazer movimentos apenas em duas direções:
na ________________ e na ________________. O movimento feito por um caixote ao ser arrumado por um empilhador está representado no esquema em baixo. No esquema estão representados dois vetores e e três posições do caixote no movimento efetuado.
A - posição inicial
B - posição intermédia
C - posição final
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O caixote passa da posição A para a posição B através da ________________ e da posição B para a posição
C através da ________________ .
A aplicação sucessiva destas translações equivale a aplicar uma só
translação associada a um vetor que passe diretamente o caixote da
posição ____ para a posição ____.
Recorrendo a linguagem simbólica tem-se:
____ ; ____ e ____
À translação dá-se o nome de translação composta das translações e ( a translação após a
translação ) e represente-se por:
ATIVIDADE 9:
Na figura estão representados 15 pralelogramos geometriacamente iguais.
Indica as imagens de [HION] pelas translações:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ATIVIDADE 10:
Na figura estão representados quatro paralelogramos congruentes.
1. com base na figura, indica:
1.1. um vetor igual a .
1.2. um vetor simétrico de .
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ADIÇÃO DE VETORES
ATIVIDADE 11 Sejam e dois vetores .
COMO OBTER O VETOR SOMA DESTES DOIS VETORES?
Repara que:
Os vetores e têm direções diferentes.
1. Considera um ponto qualquer e determina o ponto , sendo .
2. Determina o ponto , sendo .
3. é um representante do vetor , vetor soma dos vetores e e escreve-se:
ATIVIDADE 12 Sejam e dois vetores .
COMO OBTER O VETOR SOMA DESTES DOIS VETORES?
Repara que:
Os vetores e têm a mesma direção e o mesmo sentido.
Aplica o procedimento da atividade 11, para obteres o vetor soma.
ATIVIDADE 13 Sejam e dois vetores .
COMO OBTER O VETOR SOMA DESTES DOIS VETORES?
Repara que:
Os vetores e têm a mesma direção e sentidos opostos.
Aplica o procedimento da atividade 11, para obteres o vetor soma.
ATIVIDADE 14 Sejam e dois vetores .
COMO OBTER O VETOR SOMA DESTES DOIS VETORES?
Repara que:
Os vetores e têm a mesma direção , o mesmo comprimento e sentidos opostos.
Aplica o procedimento da atividade 11, para obteres o vetor soma.
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Aplica…
ATIVIDADE 15:
Na figura estão representados quatro paralelogramos congruentes.
1. Determina:
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
ATIVIDADE 16: Observa o referencial cartesiano da figura.
1.1. Indica as coordenadas dos pontos assinalados
na figura.
1.2. Determina a imagem da figura na translação
associada ao vetor u
.
1.3. Quais são as coordenadas das imagens dos
pontos assinalados.
Ao vetor soma chama-se vetor nulo e escreve-se:
Os vetores e dizem-se simétricos porque têm a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos.
A representação de dois vetores simétricos, e , pode ser feita por: