Isometrias No Espaço

7/25/2019 Isometrias No Espao

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Isometrias no

Espao

Jessica de Abreu, Leonardo Lisita e Francisca Priscila


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Definio:

Uma funo T:E E c!ama"seisometria#uando preser$a a

dist%ncia entre pontos de E, isto &,#uando d'T'(), T'*))+ d'(,*) para

#uais#uer (, * E


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- A ima.em de uma reta por meio de uma

isometria T:E E & tamb&m uma reta

/e0a T:E E uma isometria Dados A,1,2 E, com A31 /e0am A4+ T'A), 14+ T'1) e 24+ T'2)

/e o ponto 2 pertence ao se.mento A1, ento d'A,1)+ d'A,2) 5d'2,1), lo.o d'A4,14)+ d'A4,24) 5 d'24,14), portanto 24 A414

2!amando de r a reta #ue cont&m os pontos A,1 e r4 a #ue cont&mA4,14, tem"se #ue T'r) r4

/e.ue #ue T'r) + r4


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6 A ima.em de um plano 7E por uma

isometria T:EE & um plano 74

E


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8 /e0a T:E E uma isometria /e a reta r &perpendicular ao plano 7, ento sua ima.em

r4+T'r) & perpendicular ao plano 7 +T'7) /e s e t so retas distintas em

7, passando pelo ponto A, ainterseo de r com 7, ento

t4+T't) e s4+T's) so retasdistintas no plano 74,passando por A4+T'A)

2omo r e 7 soperpendiculares, se.ue"se #ue

s e t so perpendiculares a r,lo.o s4e t4 so perpendicularesa r4

Portanto r4 & perpendicular aoplano 74


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Al.uns e(emplos de isometrias no

espao Simetria em torno de um ponto: Fi(ado um ponto A no espao E,a

simetria em torno de A & a funo /A:E E #ue fa9 corresponder a cadaponto E o ponto 4+/A ') tal #ue A & o ponto m&dio do se.mento 4Para $er #ue /A & uma isometria, obser$a"se #ue dados ,; E, se ,; e

A so no"colineares eles determinam um plano 7, restrito ao #ual /A&ainda a simetria em torno de A, lo.o d'/A'), /A';)+ d',;) /e ,; e Aforem colineares, tamb&m & isometria, como $imos anteriormente


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Reflexo em torno de um plano: /e0a 7 E um planoA refle(o em torno de 7 & a funo


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Rotao em torno de uma reta:Define"se a rotao de um %n.ulo >em torno da reta r como a funo

#ue fa9 corresponder a cada ponto o ponto = + ?') determinadopelas condi@es:

'i) = pertence ao plano 7 com r e & perpendicular a r 'ii) se B & o ponto de interseo do plano com r, tem"se

'iii) o %n.ulo orientado C= & i.ual a >


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Translao: /e0am A,1 pontos distintos do espao A translao TA1: E E & a

funo #ue fa9 corresponder a cada ponto E o ponto = tal #ue , ou se0a, tal #ue = & paralelo a A1 e o sentido de

percurso = coincide com o sentido A 1


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Isometria helicoidal:

Uma isometria !elicoidal T:E E & a composta

de uma reta com uma translao TA1,onde o se.mento A1 & paralelo reta r ou est contidonela


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Reflexo com deslizamento:

uma isometria do tipo


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Rotao Refletida:

a composta T+ , onde & a

rotao do %n.ulo > em torno de r, perpendicular a H


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Funo Identidade:

A funo identidade & uma isometria do espao #ue dei(a pontos fi(os


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Seja X um ponto no espao tal que X no pertence nem a nem a ', passe

por X uma reta no paralela a nenhum desses planos.

A reta encontra no ponto P e ' em Q. Ento TP!= P e TQ! = Q. "e #!,

se$ue%se que T restr&ta a essa reta a &dent&dade, ento TX!=X.

Demonstrao:


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.

Sejam S,T(E)E, &sometr&as, Se e*&stem + pontos no coplanares A,,-,"

SA!=TA! ,S!=T! S-!=T-! e S"!=T"!, ento SX!=TX! para X

Demonstrao:


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Identidade ou


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Isometrias #ue coincidem em 8pontos no colineares

/e as isometrias /,T: EE coincidem nos 8 pontos nocolineares A,1 e 2, ento /+T ou /+

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