Fundamentos de Análise de Sinais

Fundamentos de Probabilidade

Exemplos de Aplicações

Análise de probabilidades em eventos de natureza não determinística.

Análise de falhas e confiabilidade em estruturas. Análise de reações químicas, de transferência de

calor por radiação em superfícies rugosas. Caracterização de erros dimensionais em peças

fabricadas em série. Tratamento de imagens. Algoritmos de otimização pseudoaleatórios

(Simulated Annealing, AG, PSO, etc)

Definições para uma variável aleatória

Conjunto: valores possíveis de serem assumidos por uma variável aleatória (Conj. de números reais, de números naturais, etc)

Espaço amostral: conjunto dos valores observados com uma variável aleatória.

Probabilidade: é definida como a chance de um determinado valor ser observado em uma variável aleatória.• Probabilidade nula: O evento não ocorrerá nunca.• Probabilidade 100%: O evento ocorrerá com certeza.

Função distribuição probabilidade

P a P b a b

0 1P P

Probx k x x k x

Função distribuição probabilidade

0p x

1p x dx

0

Prob x<x klimx

x xp x

x

Para qualquer evento x(k)

x dP x

P x p d p xdx

Função distribuição probabilidade

Jogo de cara ou coroa

X(Caras)=a

X(Coroas)=b

0

12

1

x a

P x a x b

x b

1 1

2 2p x x a x b

Esperança

Função distribuição probabilidade

xE x k xp x dx

E g x k g x p x dx

2 2 2xE x k x p x dx

2 2 2 2 2x x x x xE x k x k p x dx

Função distribuição probabilidadeFunção densidade probabilidade uniforme

0

1

x a

x aP x a x b

b ax b

1

0 outros valores

b a a x bp x

Função distribuição probabilidadeFunção probabilidade uniforme

2

2

12x

b a

2x

a b

Média Variância

Função distribuição probabilidadeMudança de variáveis

Prob Probg g x k g g x x k x x

g g

Prob Probg g x k g g x x k x x x

g x g

0

0

1lim 0x

g

xdggdx

p xdxp g p x

dg dg dx np x

p gdg dx

Função distribuição probabilidadeSeno

0 0sin 2x k x X f t k

k Variável aleatória com distribuição uniforme

12 0 2

0 outros valoresp

2

0p dx

p xdx d d

20 0 0 0

2 2

cos 2 1 sin 2dx

X f t k X f t kddx

X xd

Função distribuição probabilidadeSeno

12 2

0

X x x Xp x

x X

1

0

1sin

2

1

x

X

x X

xP x p d X x X

X

x X

Momentos Estatísticos

sx sxm s E e e p x dx

00m E e p x dx

2

22

sx

sx

dm sm s xe p x dx

ds

d m sm s x e p x dx

ds

2 2

0

0

E x m xp x dx

E x m x p x dx

0nn nE x m x p x dx

Momentos Estatísticos

2 2

2

j fx j fx

j fx

C f E e p x e dx

p x C f e df

2

2

se

1j fx

j fx

p x x

C f e p x dx

x e df

2C f m j f

Desigualdade de Chebyshev

2 2 2 2x x x

x p x dx x p x dx p x dx

2

2Prob x k x

xp x dx

2

2Prob x k x

x

2

2

1Prob x k

1Prob x k 1

x x

x x

cc

cc

Desigualdade de Chebyshev

2

2

1Prob x k

1Prob x k 1

x x

x x

cc

cc

Prob x k 2 0.250

Prob x k 3 0.111

x x

x x

Função probabilidade desconhecida

Prob x k 2 0.050

Prob x k 3 0.003

x x

x x

Função probabilidade normal

95% dos valores possíveis de uma variável aleatória com FDP normal estão dentro do intervalo de +/-2s

Duas Variáveis AleatóriasFunção probabilidade

Prob , Prob &x y x k x y k y

Prob , Prob , 0y x Prob , 1

0

0

Prob x<x k & y<y k, lim

x

y

x x y yp x y

x y

Duas Variáveis AleatóriasFunção densidade probabilidade

,

,

p x p x y dy

p y p x y dx

Variáveis estatisticamente independente

,

,

p x y p x p y

P x y P x P y

Duas Variáveis Aleatórias

Esperança e Coeficiente de Correlação

, , ,E g x y g x y p x y dxdy

,xy x yC x y p x y dxdy

, x y

xy x y

xy

C x y E x k y k

C E x k y k

C E x k y k E x k E y k

Duas Variáveis Aleatórias

Esperança e Coeficiente de Correlação

2xx xC xy

xyx y

C

xy x yC

,E x k y k xyp x y dxdy

E x k y k xp x dx yp y dy E x k E y k

Variáveis estatisticamente independente

0xy Não significa que as variáveis são independentes

Duas Variáveis Aleatórias

Momentos estatísticos e funções características

, ,sx ty sx tym s t E e e p x y dxdy

00,0 , 1m E e p x y dxdy

,, ,

,, ,

sx ty

sx ty

dm s tm s t xe p x y dxdy

ds

dm s tm s t ye p x y dxdy

dt

Duas Variáveis Aleatórias

Momentos estatísticos e funções características

22

2

22

2

,,

,,

sx ty

sx ty

d m s tx e p x y dxdy

ds

d m s ty e p x y dxdy

dt

2 ,

,sx tyd m s txye p x y dxdy

dsdt

,,

r nr n r n sx ty

r n

d m s tE x y x y e p x y dxdy

ds dt

Duas Variáveis Aleatórias

Momentos estatísticos e funções características

2 2

2

, ,

, ,

j fx gy j fx gy

j fx gy

C f g E e e p x y dxdy

p x y e C f g dfdg

, 2 , 2C f g m j f j g

Distribuição Normal (Gaussiana)

A variável aleatória x(k) possui uma distribuição normal se:

2

21

22

desvio padrão

média

x a

bp x b e

b

a

2 2 2 2

0

0

x

x

E x m xp x dx a

E x m x p x dx b

Distribuição Normal (Gaussiana)

1

2

222x

x

x

x

p x e

1

2

222x

x

x

xP x e d

Princípios estatísticos

- Em análise de sistemas físicos em geral se tem variáveis aleatórias observadas através de amostras finitas.

Estimadores Propriedades estatísticas

Erros

Princípios estatísticos

2 22

x

x x x

E x xp x dx

E x x p x dx

1

22 2 2

1

1ˆ

1ˆ

N

x i xi

N

b x i xi

x xN

s x xN

Estimadores

Propriedades estatísticas

Estimador com erro de tendência

Princípios estatísticos

Índices de qualidade dos estimadores

ˆE Sem erro de tendência

2 2

1 2ˆ ˆE E

O estimador 1 é dito melhor que o estimador 2

ˆlim Prob 0N

Consistente

2ˆlim E 0N

Princípios estatísticos

Avaliação do estimador da média

1 1

1 1 1N N

i i x xi i

E x E x E x NN N N

2 22

21 1

22 2 2

2 21

1 1

1 1

N N

x i x i xi i

Nx

x i x xi

E x E x E xN N

E x E x NN N N

Princípios estatísticosAvaliação do estimador da variância

2 22

1 1

1 1N N

b i ii i

E s E x x E x xN N

2

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2

1 1 1

2 2

1

2 2

1

2

2

2

N N N N

i i x xi i i i

A B

N N N

i x x i x xi i i

N

i x x x xi

N

i x xi

x x x x A B A AB B

x x x x

x x N x N x

x N x

Princípios estatísticosAvaliação do estimador da variância

2 2 2

1 1

2 2 2

1

2 2 2 21 1

N N

i i x xi i

N

i x xi

b x x x

E x x E x E N x

E x x N

NE s N

N N

22

1

2 2 2 2 2

1ˆ

1

1 11

1 1

N

ii

x x x x

s x xN

E s N NN N

Funções Densidade Probabilidade Distribuição Normal

1

2

222x

x

x

x

p x e

x

x

xz

2

2

2

ze

p x

Prob 1

1 Prob

z

z

P z p z dz z z

P z p z dz z z

Funções Densidade Probabilidade Distribuição Normal

Unimodal

Pontos de inflexão

Monotônica

Funções Densidade Probabilidade Distribuição Qui-quadrado

2 2 2 2 2 21 2 3 4n nz z z z z

2/ 2 112 / 2 2 / 2 22 / 2 0nn

np n e

N=número de variáveis=número de graus de liberdade

2 2 2 2;2

;

Prob n nn

p d

2

2 2

2

22 2 2

n

n

E n

E n

Funções Densidade Probabilidade Distribuição Qui-quadrado

- Caso geral da função distribuição GAMA

- A raiz quadrada da distribuição qui-quadrada com n=2 (Distribuição de Rayleigh):

- Distribuição bidimensional

- Valores limites da distribuição de um ruído de banda estreita quando a largura de banda tende a zero

- A raiz quadrada da distribuição qui-quadrada com n=3 (Distribuição de Maxwell):

- Distribuição tridimensional

- Se aproxima da distribuição normal quando o número de graus de liberdade aproxima do infinito.

Funções Densidade Probabilidade Distribuição T-Student

n

zt

y n

1 221 / 21

/ 2

nn t

p tnn n

N=número de variáveis=número de graus de liberdade

,;

Prob n nn

p t dt t tt

2 2

0

2

n t

n t t

E t

nE t

n

Funções Densidade Probabilidade Distribuição F

1 21, 2

2 1n n

y nF

y n

1 2

1 / 2 1 / 2 1

1 2 1 2

/ 2

1 2 1 2

/ 2

/ 2 / 2 1

n n

n n

n n n n Fp F

n n n F n

N=número de variáveis=número de graus de liberdade

1, 2 1, 2;

1, 2;

Prob n n n n

n n

p F dF F FF

21, 2 2

2

22 2 1 22

1, 2 22

1 2 2

22

2 24

2 4

n n F

n n F F

nE F n

n

n n nE F n

n n n

Distribuição de amostragens e exemplos

Seja x1, x2, x3,…,xN N amostras observadas da variável aleatória x com probabilidade p(x):• A média estimada é uma variável

aleatória• A variância estimada é uma variável

aleatória• Outros estimadores também serão

variáveis aleatórias

Distribuição de amostragens

Distribuição da média com a variância conhecida

1

1 N

ii

x xN

x x 2

2 xx N

x

x

x Nz

Prob xx

zx

N

Se N é grande p(x) se aproxima da distribuição normal

Teorema do limite central

Intervalos de Confiança

x Estimador de com precisão x d

1 2 2Prob 1x

x

x Nz z

1 2 2

0Prob

1x

x

x Nz z

Antes da amostragem

Após a amostragem

Intervalos de Confiança

x Estimador de com precisão x d

1 2 2Prob 1x xx

z zx x

N N

; 2 ; 2Prob 1 1n nx

st stx x n N

N N

Com variância conhecida

Com variância desconhecida

Intervalos de Confiança

2 2 Estimador de com precisão xs d

2 22

2 2; 2 ;1 2

Prob 1 1xn n

ns nsn N