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FUNDAMENTOS DE COMBUSTAOPME-5228
Prof. Dr. Guenther Carlos Krieger Filho
19 de marco de 2007
1 INTRODUCAO
Combustao: Rapida oxidacao gerando CALOR e LUZ; tambem oxidacaolenta acompanhada de relativamente baixa liberacao de calor e nen-huma luz (Webster’s Dictionary)
−→ Transforma a ENERGIA contida nas ligacoes quımicas em energiainterna
1.1 Motivacao
• Consumo de energia mundial
• Poluentes
1.2 Tipos
- Solidos
- Lıquidos
- Gasosos
- Pre-misturada
- Nao pre-misturada
Ex: Carvao, MCI, c/carburacao /coletor admissao, queimadores, aoleo, gas, motor diesel.
2 COMBUSTAO E TERMODINAMICA
2.1 Revisao de Relacoes de Propriedades
- Propriedades Extensivas x Intensivas
V = vm ou vN (1)
- Equacao de Estado
- Relacao entre P, T e v
- Gas Ideal −→ Forcas intermoleculares negligenciadas
1
PV = NRuT↓
Const. Univ. dos GasesRu = 8315J/[Kmol.K]
(2)
PV = mRT↓
Const. do Gas R= Ru/WW→peso molecular [Kg/Kmol]
(3)
Pv= RT ou P= ρRT (4)
−→ Em processos de combustao a hipotese de gas ideal e valida devidoas altas temperaturas⇔ baixa densidade.
- Equacao Calorıfica de Estado
u = u(T,P) (5)
h = h(T, p) (6)
du=
(∂u∂T
)
v︸ ︷︷ ︸
≡cv
dT +
(∂u∂v
)
Tdv (7)
dh=
(∂h∂T
)
p︸ ︷︷ ︸
≡cp
dT +
(∂h∂p
)
Tdp (8)
para gas ideal u = u(T)⇒(
∂u∂v
)
T= 0
e
h≡ u+ pv= u+RT︸ ︷︷ ︸
h=h(T)
e
(∂h∂p
)
T= 0
entao:
u(T)−ure f =
Z T
Tre f
cvdT (9)
h(T)−hre f =
Z T
Tre f
cpdT (10)
2
cp depende de T
Obs.: (9) e (10) sao u e h sensıvel. Nao estao incluidos mudanca de fase eligacoes quımicas
2.2 Misturas de Gases Ideais
N1moles da especie 1N2moles da especie 2, etc.
• Fracao molar da especie ”i”
Xi ≡Ni
N1+N2 + ...+Ni + ...+Nn=
Ni
Ntot(11)
Analogamente,
• Fracao massica da especie ”i”
Yi ≡mi
m1+m2 + ...+mi + ...+mn=
mi
mtot(12)
Ainda:
∑i
Xi =∑i Ni
Ntot=
Ntot
Ntot= 1 (13)
∑i
Yi =∑i mi
mtot=
mtot
mtot= 1 (14)
e mais
Yi =mi
mtot=
NiMWi
NtotMWmist= xi
MWi
MWmist(15)
Xi =Ni
Ntot=
Kmoli︷ ︸︸ ︷
mi/MWi
mtot/MWmist︸ ︷︷ ︸
Kmolmist
= yiMWmist
MWi(16)
• Peso molecular da mistura
3
MWmist =N1
NtotMW1 +
N2
NtotMW2+ ...
Ni
NtotMWi + ... = ∑i xiMWi
↓ ↓[
KgmistKmolmist
]Ponderacao de cada
peso molecular com fracaomolecular correspondente
(17)ou
MWmist =
m1
mtot.
1MW1
︸ ︷︷ ︸KgiKg .
KmoliKgi
+m2
mtot.
1MW2
+ ...
−1
=1
∑iyi
MWi
(18)
• Pressao parcial da especie ”i”−→ e como se a especie ”i”estivesse sozinha a mesma T e mesmo V. Para
gases ideais (nao interagem) a pressao total (moleculas chocam-secom paredes):
P = ∑i
Pi (19)
ainda:
P = NRuT
PPi
=NRuTNiRuT
=NNi−→ Pi = Pxi (20)
• Entalpia e Entropia de mistura de gases ideais- Entalpia:
hmist = ∑i
yihi (21)
hmist = ∑i
xihi (22)
lembre-se:hi = hi(T)⇒ (gases ideais)
e portantohmist = hmist(T)
- Entropia:
4
smist(T,P) = ∑i
yisi(T,Pi) (23)
smist(T,P) = ∑i
xisi(T,Pi) (24)
Da 2a eq’s TDS aplicada a gas ideal:
si(T,Pi) = si(T,Pre f)−RlnPi
Pre f(25)
si(T,Pi) = si(T,Pre f)−RnlnPi
Pre f(26)
2.3 Calor latente de vaporizacao ou entalpia de vaporizacao
hf g(T,P) = hvapor(T,P)−hliq(T,P) (27)
• Equacao de Clausius-Clapeyron (Van Wylen)
dPsat
Psat=
hf g
RdTsat
T2sat
(28)
assume-se:
vliq≪ vvapor
vapor⇒ gas ideal
hf g = cte
Determina-se Psat dado Tsat1, Tsat2, Psat1.
2.4 1a Lei da Termodinamica
• Sistema Fechado (massa Fixa)
m,EQ
W
Massa fixa
Fronteira
5
1Q2 − 1W2 = ∆E1−2
↓ ↓ ↓Calor lıquido trocadoentre os estados 1 e 2
Trabalho lıquidoentre os estados 1 e 2
Variacao da energia do sistemaentre os estados 1 e 2
(29)
E = m
u︸︷︷︸
interna
+12
v2︸︷︷︸
cinetica
+ gz︸︷︷︸
potencial
(30)
uma forma especıfica
1q2−1 w2 = ∆e1−2
na forma da taxa: (÷∆t)
Q−W =dEdt
(31)
• Sistema aberto ou volume de controleSuperfıcie de controle
Volume de controle
Qvc Wvc
m(e+Pv)i m(e+ pv)odmvc
dt= 0,
dEcv
dt= 0
para regime permanente (∂()∂t = 0)
Qvc − Wvc = me0− mei+ m x (P0v0−Pivi)↓ ↓ ↓
Qualquer trabalho quenao o de bombeamento Fluxo massico
Trabalho lıquidoassociado a forcas de pressaoonde o fluido cruza as fronteiras,trabalho de ”bombeamento”
(32)ainda na forma:
Qvc−Wvc = m
[
(h0−hi)+12(v2
0−v2i )+g(z0−zi)
]
(33)
6
2.5 Estequiometrica
• Mistura Estequiometrica: Quantidade exata de oxidante (O2) para aqueima completa do combustıvel.
• Mistura Rica: Menos ar que o necessario.
• Mistura Pobre: Mais ar que o necessario.
• Balanco Atomico- Atomos se conservam nas reacoes de combustao. Especies
nao.
- Combustao completa sem dissociacao de C e H emCO2 e H2O
para hidrocarbonetos:
CxHy +a(O2+3.76N2)−→ xCO2+(y/2)H2O+3.76aN2 (34)
- balanco de O:a = x+y/4
- composicao do ar: 21% vol. O2, 79% vol. N2
• Razao ar/combustıvel estequiometrica
(A/F)st = (mar
mf uel)st =
4.76a1
War
Wf uel(35)
CH4+Ar −→ 17.11
H2+O2−→ 8.0
C(s) +Ar −→ 11.4
• Razao de Equivalencia Φ
Φ =(A/F)stq
(A/F)real=
(F/A)real
(F/A)stq(36)
Φ < 1: mistura pobre (mais ar)Φ = 1: mistura estequiometricaΦ > 1: mistura rica (menos ar)
7
Φ e um parametro de ”controle” importante no desempenho de muitosprocessos de combustao.
• Excesso de Ar
% excesso de ar=1−Φ
Φ.100%
2.6 Entalpia Absoluta (ou standard) e Entalpia de Formacao
• Entalpia Absoluta da especie ”i”
hi(T) = h◦f ,i(Tre f) + ∆hs,i(T)
↓ ↓ ↓Entalpia absolutada especie ”i”
entalpia de formacao da especie ”i”no estado de referencia (◦)(Tre f =298.15 K; P
◦=1 atm)
Entalpia sensıveldevido a mudanca de
temperatura de Tre f para T
(37)
Convencao Especies que, no estado padrao, se encontram com seu estadonatural (mais comum), a entalpia de formacao vale Zero
ex: Oxigenio a T = 298.15 K p = 1 atm e O2 entao: h◦
f ,O2
para formar O, tem-se que romper O = O, h◦f ,O = 498390kJ/kmol−O2
498390kJ/kmol−O2
��
O2 −−−−−−−−−−−−− > O+O
8
2.7 Entalpia de Combustao e Poder Calorıfico
−qvc
REAGENTESmistura esteq. ar/combcondicoes padrao
PRODUTOScombust. completa (CO2, H2O)
condicoes padrao
1a Lei:
Qvc−Wvc = m(ho−hi)
÷m
qvc−wvc = ho−hi
wvc = 0
qvc = ho−hi = hprod−hreag (38)
• Entalpia de reacao (∆hR)
∆hR≡ qvc = hprod−hreag (39)
• Poder calorıfico (HHV, LHV, PCS, PCI)
∆hc≡−∆HR
Nf uelou ∆hc =
∆hc
M f uel(40)
PCS (superior)→ H2O liquido nos produtosPCI (inferior)→ H2O gasoso nos produtos
2.8 Temperatura de Chama Adiabatica
• A pressao constante (Fornos, turbinas, etc.) da Eq. (33) tem-se:
Qvc − Wvc = m(ho−hi)= 0 = 0 ho = hi
(41)
9
b b
Reagentes Produtos
T
h (kJ/kgmist)
ho = hi
Ti Tad
→ Concentracoes dos produtosEquilıbrio quımico (CO, H, O, OH)Combustao completa (CO2, H2O)
• A volume constante (MCI) da Eq. (29) e (30)
1Q2 − 1W2 = m(u2−u1)= 0 = 0
u2 = u1
uprod = ureag
(42)
2.9 2a Lei e Equilıbrio Quımico
- Reator adiabatico, volume cte, massa fixa:
CO+12
O2 =⇒CO2 (43)
Em temperaturas elevadas,CO2 pode se dissociar segundo:
(CO+12
O2)reagentes frios =⇒(
(1−α)CO2+αCO+α2
O2
)
produtos quentes(44)
α e fracao deCO2 que se dissocia.
α = 1⇒ nao ha liberacao de calor e a mistura permanece inalterada(CO,O2)
α = 0⇒Nao ha dissociacao. A liberacao de calor e maxima. P e T sao osmaximos permitidos pela 1a lei.
10
3000
(1-α)
TF
0
⇒ Como determinar o valor de α? ⇒ 2a lei
- Entropia da mistura no reator:
Smist(Tf ,P) =3
∑i=1
Nisi(Tf ,Pi) = (1−α)sCO2 +αsCO+α2
sO2 (45)
para especie ”i”: (Gas Ideal)
si = s◦i (Tre f)+
Z Tf
Tre f
cp,idTT−Ruln
Pi
P◦(46)
Plotando-se Smist x (1−α) ve-se que ha um maximo (1−α)≈ 0.5
- 2a Lei
Para o reator em analise (Q = 0, V = cte,m= cte)1a Lei:
δQ−δW = dU
Assumindo processos reversıveis e portanto P e T uniformes a cadainstante no reator;
δW = pdV
e entao:
δQ = dU + pdV (47)
Balanco de entropia:
dS=δQT
+ δσ︸︷︷︸
Irreversib.
11
entao:
TdS−Tδσ = dU + pdV (48)
como para todo processo real δσ > 0:
TdS−dU− pdV≥ 0 (49)
por (47)⇒ dU = 0 e pdV = 0mas dV = 0 e δQ = 0 (para o reator em analise) entao
TdS≥ 0 =⇒ (dS)U,V,m≥ 0 (50)
ou seja: Para a mistura no reator em analise, um processo so pode ocorrerna direcao em que haja um acrescimo na entropia.Qualquer processo, tanto partindo de α = 0 ou de α = 1, ao atingir oSmax se estabiliza. Caso contrario, haveria decrescimo da entropia.
- Energia livre de Gibbs (G)
Util para sistemas onde P e T sao constantes.
G≡ H−TS (51)
Reator massa fixa, P e T uniformes e fixas1a Lei:
dU = δQ−δW
δW = pdV
de (51):
G = (U + pV)−TS
e
dG= dU + pdV+Vdp−TdS−SdT
ou
dG−Vdp+SdT=−(TdS−dU− pdV︸ ︷︷ ︸
≥0 eq. (49)
)
entao:
12
dG−Vdp+SdT≤ 0 (52)
para o reator
(dG)P,T,m≤ 0 (53)
ou seja: para o reator, onde P, T e massa sao fixos, todo processo so podeocorrer na direcao em que haja diminuicao da energia livre de GIBBS.
G
(1-α)0
Gmin
(1-α) equilıbrio
⇒ determinar a concentracao das especies (CO2, CO, O2) no estado deequilıbrio significa minimizar G.
- Energia livre de Gibbs da especie ”i” Entalpia de formacao:
h◦f ,i(T) = h
◦i (T)︸ ︷︷ ︸
hprod
− ∑j=elementos
υ′j h◦j(T)
︸ ︷︷ ︸
hreag.
(54)
υ′j ⇒ Coef. estequiom. do elemento j na reacao de formacao de ”i”ex: C+2H2→CH4
Gibbs de formacao:
g◦f ,i(T) = (h
◦−Ts◦)prod
︸ ︷︷ ︸
g◦prod
−(h◦−Ts
◦)reag
︸ ︷︷ ︸
g◦reag
(55)
ainda:
g◦f ,i(T) = (h
◦
i −Ts◦i )
︸ ︷︷ ︸
produto
−( ∑j elem.
υ′jh◦
j − ∑jelem.
υ′jTs
◦j)
︸ ︷︷ ︸
reag.
13
g◦f ,i(T) = h
◦
f ,i−Ts◦i + ∑jelem.
υ′jTs
◦j (56)
- Gibbs da especie ”i” a T ∀:
gi,T = hi(T)−T[si(T,Pi)−si(T,P◦)+si(T,P
◦)]
gi,T = h◦
i (T)−Ts◦i (T)
︸ ︷︷ ︸
g◦i (T)
−T
[Z T
Tre f
cpdTT−Ruln
(Pi
P◦
)]
mas T = ctee entao:
gi(T) = g◦i (T) + TRuln
(PiP◦
)
↓ ↓g da especie ”i”
a P = P◦, T ∀
g da especie ”i”a Pi e T ∀
(57)
Analogamente a entalpia absoluta:
g◦i,T = (g
◦f ,i)Tre f +[g
◦i (T)−g
◦i (Tre f)] (58)
Elementos, estado padrao, natural: g◦f ,i = 0
- Energia de Gibbs da mistura
Gmist = ∑Nigi,T = ∑Ni
[
g◦i,T +RuT ln
(Pi
P◦
)]
(59)
condicao de equilıbrio para dada P e T:
dGmist = 0 (60)
ou
∑dNi
[
g◦i,T +RuT ln
(Pi
P◦
)]
︸ ︷︷ ︸
A
+∑Nid
[
g◦i,T +RuT ln
(Pi
P◦
)]
︸ ︷︷ ︸
B
= 0 (61)
B = 0 pois d(lnPi) = dPi/Pi mas ∑dPi = 0, entao:
dGmist = 0 = ∑dNi
[
g◦i,T +RuT ln
(Pi
P◦
)]
(62)
14
Para um sistema geral:
aA+bB+ · · · ⇔+eE+ f F + . . . (63)
A alteracao no numero de moles e proporcional ao coeficiente este-quiometrico:
dNA = −kadNB = −kb...
...dNE = +kedNF = +k f
(64)
substituindo (64) em (62) tem-se:
−a
[
g◦A,T +RuT ln
(PA
P◦
)]
−b
[
g◦B,T +RuT ln
(PB
P◦
)]
− . . .
+e
[
g◦E,T +RuT ln
(PE
P◦
)]
+ f
[
g◦F,T +RuT ln
(PF
P◦
)]
+ · · ·= 0 (65)
re-agrupando tem-se:
−(
eg◦E,T + f g
◦F,T + · · ·−ag
◦A,T−bg
◦B,T− . . .
)
︸ ︷︷ ︸
A
= RuT ln(PE/P
◦)e(PF/P
◦) f .etc.
(PA/P◦)a(PB/P◦)b.etc.︸ ︷︷ ︸
B(66)
A⇒ variacao da energia de Gibbs padrao (∆G◦T)
∆G◦T ≡
(
eg◦E,T + f g
◦F,T + · · ·−ag
◦A,T−bg
◦B,T− . . .
)
(67)
para T = Tre f : veja eq. (58)
∆G◦T =
(
eg◦f ,E + f g
◦f ,F + · · ·−ag
◦f ,A−bg
◦f ,B− . . .
)
Tre f=T(68)
B⇒ constante de equilıbrio (Kp)
Kp≡ (PE/P◦)e.(PF/P
◦) f .etc.
(PA/P◦)a.(PB/P◦)b.etc.(69)
Assim, o estado de Equilıbrio Quımico, para uma dadaPe T fica definidopor:
∆G◦T =−RuT ln(Kp) (70)
15
ou
Kp = exp(
−∆G◦T/RuT
)
Analise qualitativa de (27) e (28):
∆G◦T positivo⇒ ln(Kp) negativo⇒ Kp < 1⇒ favorece reagente
∆G◦T negativo⇒ ln(Kp) positivo⇒ Kp > 1⇒ favorece produtos
Ainda:
∆G◦T = ∆H
◦−T∆S◦
(71)
Kp = e−∆H◦/RuT .e∆S
◦/Ru
∆S> 0 (sempre)∆H < 0 (reacao exotermica)
}
Kp > 1⇒ Favorece Produtos
- Sistemas Complexos
[⇒] mais de uma reacao
ex. CO2⇔CO+ 12O2
O2⇔ 2O
• O→ sai da nova equacao de equilıbrio
• Balanco de Elementos:
No atomos de C
No atomos de O=
xCO+xCO2
xCO+2xCO2 +2xO2
• Conservacao de massa (moles):
xCO+xCO2 +xO2 +xO = 1
⇒ sistema de 4 eq’s e 4 incognitas
• Eq’s nao lineares
• Solucao metodo de Newton Generalizado
• Codigos: CHEMEIN IV, TURNS
16
- Equilıbrio Quımico
[ex:] Combustao propano(C3H8)/ar
• Sistema P, T constantes Hreag = Hprod
∆G◦i =−RuT ln(Kp)
• Produtos: CO2,CO, H2O, H2, H, OH, O2, O, NO, N2, N
• major/menor especies
• Tad (Φ≈ 1.05) rica
• Dissociacao em Φ = 1 (O2,CO,H2) comparar com ”combustao com-pleta”
• Nıveis de NO︸︷︷︸
formacao lenta
≫ combustao ”real”
APLICACOES
• Recuperadores, Regeneradores
• EGR: Exaust Gas Recirculation
3 CINETICA QUIMICA
3.1 Introducao
• Processos de combustao que nao atingem equilıbrio
• Formacao de poluentes
• Ignicao e extincao da chama
• Problema: Fluidomecanica↔ cinetica quımica
3.2 Reacao Global e Reacoes Elementares
Global:
1F +aOx⇒ bPr (72)
Taxa de consumo de combustıvel (exper.)
ddt
[XF ] =−kG(T)[Xf ]n[XOx]
m (73)
17
[ ]⇒ Kmol/m3
n, m⇒ ajuste da curva experimental
- Modelo ”Caixa Preta”
- E improvavel a moleculas de Ox colidirem simultaneamente com 1molecula de combustıvel, quebrar ligacoes e construir as novas queformam os produtos.
ex: global2H2+O2−→ 2H2O (74)
Reacoes elementares:
H2+O2 −→ HO2+H (75)
H +O2 −→ OH +O (76)
OH+H2 −→ H2O+H (77)
H +O2+M −→ HO2+M (78)
Especies intermediarias ou radicais:HO2, H, OH, O, (Eletrons desbalanceados)(127) × (75):
2H2+O2−→ 2H2O
- Quebra 4 lig.- Forma 4 lig.
H2+O2−→ HO2+H
- Quebra 1 lig.- Forma 1 lig.
HO2 ”ganha”de OH pois:
H2+O2−→ 2OH
- Quebra 2 lig.- Forma 2 lig.
H de eq.(75) reage com O2 eq.(76) e forma dois novos radicais OH e O,OH reage com H2 e forma o produto H2O
Descricao completa: Mais de 20 reacoes
18
3.3 Taxa de Reacao Elementar
- Reacoes Bimolecularesduas moleculas colidem, reagem e formam duas moleculas difer-entes.
A+B−→C+D (79)
A taxa na qual a reacao se processa e proporcional as concentracoes dosreagentes:
ddt
[A] = −kbimolec[A][B]
↓definido a partir da teoriadas colisoes moleculares[
m3Kmol−s
]
(80)
- Segunda Ordem Global:
[A]m.[B]n = [A]1[B]1
m+n = 2
- Teoria das colisoes moleculares
σ
2σ
∆t
v=velocidade
• Volume ”Raspado”:
vπ4(2σ)2∆t = vπσ2∆t
• Densidade de moleculas distribuidas randomicamente:n
Vtot
19
• Numero de colisoes experimentadas pela molecula livre:
Z≡ colisoestempo
=n
Vtot.vπσ2∆t
∆t=
nVtot
vπσ2 (81)
• Da teoria cinetica dos gases:
v =
(8kBTπmA
)1/2
(82)
(kB= constante de Boltzmann)
Frequencia de colisoes:
Zc =√
2( n
V
)
πσ2v (83)
• Para moleculas diferentes A e B
2σAB = σA +σB
Zc =√
2(nB
V
)
πσ2ABvA (84)
Colisoes de uma UNICAmolecula A com TODAS moleculas B.
N◦ total de colisoes por unidade de tempo e volume:eq. (143) × nA
V
ZAB
V=(nA
V
)(nB
V
)
πσ2AB
(v2
A +v2B
)1/2(85)
ZAB
V=(nA
V
)(nB
V
)
πσ2AB
(8kBT
πµ
)1/2
(14a)
µ=mAmB
mA+mB
para relacionar com eq. (253):
− ddt
[A] =
(N◦ de colisoes A e B
unidade tempo e vol.
)
(Prob. colisoes efetivas)
(KmolA
N◦ molecular de A
)
− ddt
[A] =
(ZAB
V
)
PN−1AV (86)
20
NAV=N◦ Avogrado
P = Probabilidade de colisoes efetivas
P =
{→ Energia de ativacao Ea
→ Steric factor p (fator geometrico da molecula)
entao (259) torna-se:
− ddt
[A] = PN+1AV σ2
AB
[8πkBT
µ
]1/2
exp
[
− Ea
RuT
]
[A][B] (87)
comparando-se (260) com (253):
k(T) = PNAVσ2AB
[8πkBT
µ
]1/2
exp
[
− Ea
RuT
]
(88)
Teoria das colisoes nao e suficiente para determinar Ea e PEntao, usa-se a expressao empırica de ARRHENIUS:
k(T) = Aexp
(
− Ea
RuT
)
(89)
A = Fator pre-exponencial
Ajuste com dados experimentais:
k(T) = ATbexp
(
− Ea
RuT
)
b
b
b
b
b
b
b b
b
b
b
b
ln(k)
1/T
Ea
R
- Outras Reacoes Elementares
21
• UnimolecularA−→ B (90)
ouA−→ B+C (91)
ex:O2 −→ O+OH2 −→ H +H
}
Dissociacao
Taxas
- A alta pressao:ddt
[A] =−kuni[A] (92)
1a. ordem
- A baixa pressao:ddt
[A] =−k[A][M] (93)
• TermolecularA+B+M −→C+M (94)
3a. ordem
ex:H +H +M −→ H2+M
Recombinacao
M absorve a energia e evita a dissociacao de H2
3.4 Taxa de Reacao de Mecanismos Multi-Passos
- Sequencia de reacoes elementares
- Taxas de cada reacao
• Taxa de producao/destruicao de qualquer especie
22
H2+O2
kf1⇄kb1
HO2+H R1
H2+O2
kf2⇄kb2
OH+O R2
OH+H2
kf3⇄kb3
H2O+H R3
H +O2 +Mkf4⇄kb4
HO2+M R4
Producao lıquida de O2:
ddt
[O2] = kb1[HO2][H]+kb2[OH][O]
+kb4[HO2][M]
−kf 1[H2][O2]−kf 2[H][O2]
−kf 4[H][O2][M]
H:
ddt
[H] = kf 1[H2][O2]+kb2[OH][H]+
kf 3[OH][H2]+kb4[HO2][M]
−kb1[HO2][H]−kf 2[H][O2]
−kb3[H2O][H]−kf 4[H][O2][M]
Genericamente:
ddt
[Xi](t) = fi ([Xi](t), [X2](t), . . .[Xn](t))
condicao inicial[Xi](0) = [Xi]0
- Conservacao: Massa, Momentum, Energia.
- Equacao de estado
Sistema de Eq. Diferenciais Ordinarias de 1a OrdemStiff (Rıgido) devido as grandes diferencas nas escalas de tempo.
23
3.5 Notacao Compacta
Novamente com o sistema H2 - O2:
∀ reacao:
N
∑j=1
ν′jiXj ⇔
N
∑j=1
ν′′ji Xj i = 1,2, . . .L (95)
N : no de especies; L : no de reacoes elementaresj : O2, H2, H2O, HO2, O, H, OH, M, (252); i : R1, R2, R3, R4, (75)
ν′ji =
1 1 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 01 0 0 0 0 1 0 1
em reagentes
ν′′ji =
0 0 0 1 0 1 0 00 0 0 0 1 0 1 00 0 1 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0 0 1
em produtos
Taxa da Reacao (qi):
qi = kf i
N
∏j=1
[Xj ]ν′ji −kbi
N
∏j=1
[Xj ]ν′′ji (96)
Taxa de Producao (ω j ) da especie j :
ωi =L
∑j=1
(ν′′ji −ν
′ji )qi j = 1,2, . . .N (97)
3.6 Relacao entre Taxas de Reacao e Constante de Equilıbrio
Taxas: imprecisao na medicao da cinetica quımica
Equilıbrio: confiavel
Reacao:
A+Bkj⇆kb
C+D (98)
24
Para especie A:
ddt
[A] =−kf [A][B]+kb[C][D] (99)
No equilıbrio, ddt [A] = 0 entao:
[C][D]
[A][B]=
kf (T)
kb(T)(100)
no capıtulo 2, definimos Kp:
Kp =(PC/P
◦)c(PD/P
◦)d . . .
(PA/P◦)a(PB/P◦)b . . .(101)
concentracao molar:
[Xi] = xiP/RuT = Pi/RuT (102)
Pode-se escrever Kp como:
Kp = Kc(RuT/P◦)c+d+···−a−b−... (103)
ou
Kp = Kc(RuT/P◦)∑ν′′−∑ν′ (104)
onde
Kc =[C]c[D]d . . .
[A]a[B]b . . .=
∏prod[Xi]ν′′i
∏reag[Xi]ν′i
(105)
e entao:
kf (T)
kb(T)≡ Kc(T)≡ [C][D]
[A][B](106)
Kc=constante de equilıbriobaseada na concentracao molar
Para reacao bimolecular
Kc = Kp = exp(
−∆G◦T/RuT
)
(107)
25
3.7 Aproximacao de Regime Permanente (Steady-State)
• Simplifica a analise do mecanismo
• Tipicamente usada para radicais
• Reacao de formacao do intermediario e lenta e a de destruicao erapida, de forma que sua taxa de variacao temporal e nula.Ex: Mecanismo de Zeldovich para NO
O+N2kf1→ NO+N (lenta)
N+O2kf2→ NO+O (rapida)
Producao lıquida de N:
d[N]
dt= kf 1[O][N2]−kf 2[N][O2] (108)
com a aproximacao de Steady-State:
d[N]
dt= 0 = kf 1[O][N2]−kf 2[N][O2] (109)
entao:
[N]ss=kf 1[O][N2]
kf 2[O2](110)
d[N]ss
dt=
ddt
(kf 1[O][N2]
kf 2[O2]
)
(111)
- REACOES UNIMOLECULARES-DEPENDENCIA DA PRESSAOConsidere o mecanismo:
A+Mke→ A∗+M (112)
A∗+Mkde→ A+M (113)
A∗kuni→ Produtos (114)
d[Produtos]
dt= kuni[A
∗] (115)
d[A∗]dt
= ke[A][M]−kde[A∗][M]−kuni[A
∗] (116)
Aplicando SS para o intermediario A∗:
d[A∗]dt
= 0 −→ [A∗]ss=ke[A][M]
kde[M]+kuni(117)
26
Substituindo (207) em (252)
d[Produtos]
dt=
kunike[A][M]
kde[M]+kuni=
ke[A][M]kdekuni
[M]+1(118)
Para uma reacao GLOBAL:
Akapp→ Produtos (119)
−d[A]
dt=
d[Produtos]
dt= kapp[A] (120)
Equacionando (143) e (208):
kapp =ke[M]
kdekuni
[M]+1(121)
- Dependencia da pressao:
P ↑, [M]︸︷︷︸[
Kmolm3
]
↑
entao a altas pressoes, o termo com [M] domina e no limite tem-se:
kapp(P→ ∞) =kekuni
kde︸ ︷︷ ︸
independiente de [M]
(122)
a baixas pressoeskde[M]
kuni≪ 1
ekapp(P→ 0) = ke[M]
︸ ︷︷ ︸
depende de [M]
(123)
27
3.8 Reacoes em Cadeia e de Ramificacao
Reacoes em cadeia: producao de um radical, que em outra reacao sub-sequente, produz outro radical ate uma reacao que recombina o rad-ical formando uma especie estavel.Mecanismo Hipotetico:Global:
A2+B2→ 2AB
Reacao iniciadora da cadeia:
A2+Mk1−→ A+A+M
Reacao propagadora da cadeia:
A+B2k2−→ AB+B
B+A2k3−→ AB+A
Reacao terminal da cadeia:
A+B︸ ︷︷ ︸
Recombinacao
+Mk4−→ AB
︸︷︷︸
especie estavel
+M
=⇒d[A2]
dt;
d[B2]
dt;
d[AB]
dtSteady-state para A e B −→ Analise de sensibilidade
3.9 Sistema H2−O2
• Propulsao de foguetes
• Subsistema na combustao de hidrocarbonetosIniciadoras
H2+M → H +H +M (H.1)H2+O2 → HO2+H (H.2)
PropagacaoO,H,OH
H +O2 −→ O+OH (H.3)O+H2 −→ H +OH (H.4)H2+OH −→ H2O+H (H.5)O+H2O −→ OH +OH (H.6)
28
Terminais
H +H +M −→ H2+M (H.7)O+O+M −→ O2+M (H.8)H +O+M −→ OH +M (H.9)H +OH+M −→ H2O+M (H.10)
PropagacaoHO2,H2O2
H +O2 +M −→ HO2+M (H.11)HO2 +H −→ OH+OH (H.12)HO2 +H −→ H2O+O (H.13)HO2 +O −→ O2+OH (H.14)HO2 +HO2 −→ H2O2+M2 (H.15)HO2 +H2 −→ H2O2+H (H.16)H2O2 +OH −→ H2O+HO2 (H.17)H2O2 +H −→ H2O+OH (H.18)H2O2 +H −→ HO2+H2 (H.19)H2O2 +M −→ OH+OH +M (H.20)
Dependendo de P e T as reacoes reversas sao tambem importantes.→ 40 reacoes; ESPECIES: H2, O2, H2O, OH, O, H, HO2, H2O2.
- LIMITES DE EXPLOSAOpara T = 500◦, por exemplo,
ate P≈ 1.5mmHg
NAO EXPLODE
{
Predominam reacoes de parede:
radicalkwall−→Absorcao
1.5 < P < 50mmHg
EXPLODE
{H.3-H.4 prevalecem em relacao a reacao de parede
(Tab 4.4)P ↑, [radical] ↑ linear, d[A2]dt ↑ geometrica
p > 50mmHg
NAO EXPLODE
competicao entreRAMIFICACAO H.3 e TERMINAL H.11HO2 e ”estavel”→ destruicao na parede
29
P > 3000mmHg{H.16 abre a cadeia de H2O2
Conclusao: Mecanismo detalhado ajuda explicar observacoes exper-imentais e formular modelos produtivos de combustao.
3.10 Sistema Metano
• Largamente estudado
• Contem sistemaCOe parte H2
• Fase gasosa→ aplicacoes industriais
- Mecanismos Simplificados para
• Baixa temperatura (< 800K)
• Alta temperatura (> 1500K)
- Mecanismo detalhado de FRENKLACH et al.
149 reacoes; 33 especies
144 reacoes reversas
- Simplificacoes sao feitas usando SS para alguns radicais
3.11 Formacao de NO
• ”Minor Specie” problematica→ poluicao
ROTAS(PATHS) :
-Mecanismo termico ou Zeldovich-Mecanismo Prompt ou Fenimore-Mecanismo N2O-Intermediario-Mecanismo Fuel
- NO-Termico (Zeldovich)
• dominante a altas T e larga faixa Φ
- NO-Fenimore (prompt)
• combustao rica Φ > 1.0
30
- N2O-Mecanismo
• Mistura extremamente pobre e baixa T
- Fuel NO
• Quando o combustıvel contem N
Mecanismo de Zeldovich (Termico)
O+N2 ⇔ NO+N N.1N+O2 ⇔ NO+O N.2
extended:N+OH⇔ NO+H N.3
• kf ’s, (kb’s) tabelados.
• O, O2, e OH aparecem tambem no mecanismo de oxidacao do com-bustıvel.
• Normalmente, as escalas de tempo das reacoes de oxidacao do com-bustıvel sao mais rapidas que as de NO. Assim, os mecanismos po-dem ser des-acoplados eO2,O,OH eN2 sao assumidos emEQUILIBRIO.
• Hipoteses:- N esta em REG. PERMANENTE
- [NO] << [NO]eq. Reacao reversa deN.1,N.2,N.3 sao desprezadas.Assim:
d[NO]
dt= 2kN.1, f [O]eq[N2]eq (124)
• Problemas e Conclusoes:- Hipotese Equilıbrio O, OH (Superequilıbrio O e OH)
- Alta Ea de N.1 (319.050kJ/kmol) (dependencia de T)
- Baixa T (< 1800K)→ insignificante- NO→ post-flame calculation (mais lento que o combustıvel)
Mecanismo Fenimore (Prompt)
• NOformado rapidamente na regiao da frente de chama (pre-misturada)
• Associado a combustao de hidrocarbonetos
31
• Radicais HC atacam N2:
CH +N2 ⇔ HCN+N N.4C+N2 ⇔ CN+N N.5
para Φ 6 1.2 segue:
HCN+O ⇔ NCO+H N.6NCO+H ⇔ NH +CO N.7NH +H ⇔ N+H2 N.8N+OH ⇔ NO+H N.9
para Φ > 1.2⇔ sequencias mais complexasMecanismo N2O-intermediario
Φ < 0.8, baixa T
O+N2 +M ⇔ N2O+M N.10H +N2O ⇔ NO+NH N.11O+N2O ⇔ NO+NO N.12
Importante em GT, pre-misturada e pobre
Fuel NO
• N vem do combustıvel (carvao 2%)
• N→ HCN em NH3→ prompt
4 FENOMENOS DE TRANSPORTEMOLECULAR
• Transferencia de Energia (Calor) e Massa.
4.1 Transferencia de Massa
Lei de Fick
• Sistema nao reativo composto de duas especies A e B.
• Fluxo de massa de A, caso 1-D:
m′′A = YA
(
m′′A + m
′′B
)
− ρDABdYAdx
↓ ↓ ↓Fluxo massicode A (kg/m2s)
Fluxo massicode A devido ao escoamentoda mistura (kg/m2s)
Fluxo massicode A devido a difusaomolecular (kg/m2s)
(125)
32
Fluxo massico:m′′A = mA/A (126)
Coeficiente de difusao binario: DAB [m2/s]
YA(m′′A + m
′′B) = YAm
′′ ≡ Fluxo ”BULK” de A
−ρDABdYA
dx≡ Fluxo difusivo de A; m′′A,di f .
Dependencia do gradiente deYA
Sinal negativo (fluxo positivono sentido do gradiente negativo)
ainda:m′′
= m′′A + m
′′B
↓Fluxo massico
da mistura [kg/m2s]
(127)
Para caso 1-D; substituindo (125) em (127):
m′′=
(
YAm′′−ρDAB
dYA
dx
)
+
(
YBm′′−ρDBA
dYB
dx
)
m′′= (YA +YB)m
′′−ρDABdYA
dx−ρDBA
dYB
dx
mas da conservacao da massa: YA +YB = 1, entao:
−ρDABdYA
dx−ρDBA
dYB
dx= 0 (128)
∑m′′i,di f . = 0 (129)
m′′i,di f . ∝ dYi
dx → Difusao ordinaria
m′′i,di f . ∝ dT
dx → Difusao termica (Soret)
m′′i,di f . ∝ dP
dx → Difusao por pressao
33
4.2 Difusao, aspecto molecular
• Conceitos e expressoes oriundas da teoria cinetica dos gases- Moleculas nao interativas
- Mistura binaria
- Sem escoamento ”Bulk”
- 1-D
- Igual peso molecular
- Gradientes Suaves→ linear
+
+
+
+ + +
b
b
b
YA
YA(x+a)
YA(x)
YA(x−a)
x
v
x
y
x−a x x+a
λ
σ
a a
• Velocidade media das moleculas de A
v≡(
8k0TπmA
)1/2
(130)
• Frequencia de colisao por unid. de area
Z′′A =
14
(nA
V
)
v (131)
• Caminho livre medio:
λ =1√
2π(ntot
V
)σ2
(132)
34
• Distancia perpendicular media entre planos da ultima e proxima co-lisao:
a =23
λ (133)
O fluxo lıquido de A no plano x e dado pela diferenca no fluxo demoleculas de A nos sentidos positivo e negativo de x:
m′′A = m
′′A,(+)x− m
′′A,(−)x (134)
oum′′A = (Z
′′A)x−amA− (Z
′′A)x+amA (135)
(Z′′A)x−a: Numero de moleculas de A cruzando o plano x, vindas do plano
x−a, por unidade de tempo e area
Ainda: ρ≡ mtot
vtot,
Z′′AmA =
14
na.mA
mtot.ρv=
14YAρv (136)
Com a hipotese do gradiente linear:
dYA
dx=
YA,x+a−YA,x−a
2a=
YA,x+a−YA,x−a
4λ/3(137)
subst. (136) em (249):
m′′A =
14
ρv(YA,x−a−YA,x+a) (138)
(253) em (252):
m′′A =−ρ
vλ3
dYA
dx(139)
Comparando (207) com (125):
DAB =~vλ3
(140)
com as expressoes (130) a (133):
DAB =23
(k3
BTπ3mA
)1/2T
σ2P(141)
com PV = nkBT ou
35
(12b)
DAB ∝ T3/2P−1
para o fluxo massico:
(12c)
ρDAB ∝(
PT
)(
T3/2P−1)
∝ T1/2
em geral, a fraca dependencia de T, e desconsiderada e ρD = cte.- Comparacao com conducao
• Sistema analogo, para transporte molecular de energia
• Frequencia de colisoes de todas moleculas:
Z′′=
14
(ntot
V
)
v (142)
• Modo de armazenagem de energia:
Translacao→ Energia Cinetica
• Fluxo lıquido de energia (cinetica):
Q′′x = Z
′′(ke)x−a−Z
′′(ke)x+a (143)
energia cinetica da molecula:
ke =12
mv2 =32
kBT (144)
Fluxo lıquido de energia relacionada com T:
Q′′x =
32
kBZ′′(Tx−a−Tx+a) (145)
mas:dTdx
=Tx+a−Tx−a
2a(146)
Subst. (146) em (259) com (142) e (133):
Q′′x =−1
2kB
( nV
)
vλdTdx
(147)
36
Lei de Fourier:
Q′′x =−k
dTdx
(148)
Comprarando (262) com (261):
k =12
kb
( nV
)
vλ (149)
ou
k =
(k3
B
π3mσ4
)1/2
T1/2 (150)
entao:k ∝ T1/2 (151)
ρDAB ∝ T1/2
Para gases reais, a dependencia de T e maior.
4.3 Equacao (1D) da conservacao das especies
• Volume de controle 1D
• Fluxo Bulk e de difusao (ordinaria)
• Reacao quımica no V.C.
dmAdt
m′′′AV
[m′′AA]x
∆x
[m′′AA]x+∆x
- Balanco de massa da especie A:
dmA,VCdt = [m
′′AA]x − [m
′′AA]x+∆x + m
′′′AV
↓ ↓ ↓ ↓Taxa de variacaotemporal de Ano V.C.
Fluxo massicode A paradentro de V.C.
Fluxo massicode A para forade V.C.
Producao/Destruicaode A no V.C.
devido as reacoesquımicas
(152)
com as relacoes:
mA,VC = YAmVC = YAρVVC e VVC = A∆x
37
(152) pode ser reescrita como:
A∆x∂∂t
(ρYA) = A
[
YAm′′−ρDAB
∂YA
∂x
]
x−A
[
YAm′′−ρDAB
∂YA
∂x
]
x+∆x+ m
′′AA∆x
÷ por A∆x e fazendo lim∆x→0:
∂∂t
(ρYA) =− ∂∂x
[
YAm′′−ρDAB
∂YA
∂x
]
+ m′′′A (153)
para regime permanente:
m′′′A−
ddx
[
YAm′′−ρDAB
dYA
dx
]
= 0 (154)
5 ACOPLAMENTOTERMO-QUIMICODE SISTEMAS REATIVOS
• Termodinamica
• Cinetica Quımica
• Equacoes de Conservacao 1DModelos simplificados de combustao→ T, xi , P
5.1 Reator de massa fixa e pressao constante
GAS
Hipotese: Mesma taxa de reacao em todos os pontos; nao ha gradientes(T ,Yi , ρ, P), um conjunto T,Yi descreve o sistema
1a lei:
Q−W = mdudt
(155)
ou, com h≡ u+ pv; p = cte
dhdt
=dudt
+ pdvdt
(156)
38
asumindo unica forma de trabalho
w = pdvdt
(157)
substituindo (156) e (271) em (269):
Qm
=dhdt
(158)
para a entalpia da mistura tem-se:
h =Hm
=∑N
i=1Nihi
m(159)
diferenciando (159) tem-se:
dhdt
=1m
[
∑i
(
hidNi
dt
)
+∑i
(
Nidhi
dt
)]
(160)
para gas ideal hi = hi(T) entao:
dhi
dt=
∂hi
∂TdTdt
= cp,idTdt
(161)
para o termo dNidt tem-se:
Ni = V[Xi] (162)
dNi
dt≡ Vωi (163)
ωi → vem da cinetica quımica
Subs. (163) e (161) em (274) e entao em (272):
dTdt
=(Q/V)−∑i(hiωi)
∑i([Xi]cp,i)(164)
onde:
hi = h◦
f ,i +Z T
Tre f
cp,idT (165)
V =m
∑([Xi]Wi)←→ cons. de massa e def. de Xi (166)
39
ainda:ddt
[Xi] =ddt
(Ni/V) =1V
dNi
dt︸ ︷︷ ︸
ωi
−Ni1
V2
dVdt
(167)
entao:
ddt
[Xi] = ωi − [Xi]1V
dVdt
(168)
de eq. gas ideal:
PV = ∑i
NiRuT (169)
entao:
1V
dVdt
=1
∑i Ni∑ dNi
dt+
1T
dTdt
(170)
Subst. (163) em (170) e entao em (168):
ddt
[Xi] = wi− [Xi]
[∑ wi
∑ j [Xj ]+
1T
dTdt
]
(171)
Sistema: (164), (171) com (165) e (166)condicoes iniciais: T(t = 0) = T0
[Xi]t=0 = [Xi]0
5.2 Reator massa fixa, volume constante
GAS
hipotese:
• Homogeneo (idem 5.1)
• diferenca: W = 0 poisV = cte
1a Lei:dudt
=Qm
(172)
40
Analogamente a (269) obtem-se:
dTdt
=Q/V−∑i(uiwi)
∑i [Xi]cv,i(173)
para gases ideais: ui = hi−RuT e cv,i = cp,i−Ru entao:
dTdt
=Q/V +RuT ∑i wi−∑i(hiwi)
∑i [[Xi](cp,i−Ru)](174)
Taxa de crescimento da pressao:
PV = ∑i
NiRuT (175)
VdPdt
= RuTddt ∑i
Ni +Ru∑i
NidTdt
(176)
com definicoes de [Xi] e wi , (175) e (176) formam-se:
P = ∑i[Xi]RuT (177)
dPdt
= RuT ∑i
wi +Ru∑i[Xi]
dTdt
(178)
Sistema: (174), (178)
+
{ddt [Xi] = wi
h → eq.(165)
5.3 Reator perfeitamente Misturado (PSR)
YiTPV
mYi,inhi,in
mYi,out
hi,out
Hipotese:
• Homogeneo- Para Especie i:
dmi,VCdt = m
′′′i V + mi,in − mi,out
↓Geracao/Destruicao
(179)
41
- Continuidade:
dmVC
dt= min− mout (180)
Geracao/Destruicao:
m′′′i = wiWi (181)
Ignorando fluxo difusivo, o fluxo mi e:
mi = mYi (182)
Subst. (182), (181) em (179) para SS:
wiWiV + m(Yi,in−Yi,out) = 0 (183)
Yi,out e a propria fracao massica no reator, (homogeneo) entao:
wi = f ([Xi]out,T) (184)
Balanco de energia: SS
Q = m(hout−hin) (185)
Q = m
(
∑i
Yi,outhi(Tout)−∑i
Yi,inhi(Tin)
)
(186)
tempo de residencia:
tR = ρV/m (187)
e
ρ =PWmist
RuT(188)
Sistema:
N eq’s (183), (184), (185), (188)Incognitas: N Yi ’s, T, PDados: tR, V ou m, Yi,in
• Nao tem dependencia temporal (SS)
• Equacoes algebricas (nao ode)(usar Newton generalizado)
42
5.4 Plug-Flow Reactor (PFR)
escoamentoV.C.
Hipoteses:
1) Regime permanente
2) Nao ha mistura axial (nem molecular nem turbulenta)
3) Propriedades uniformes na direcao perpendicular ao escoamento,1D
4) Escoamento sem atrito
5) Gas ideal
- Continuidade:ddx
(ρVxA) = 0 (189)
- Momentum:
∆x
(PA)x
(ρV2x A)x
(PA)x+∆x
(ρV2x A)x+∆x
dpdx
+ρVxdVx
dx= 0 (190)
- Energia:
ddx
(h+V2x /2)+
Q′′Perimetro
m= 0 (191)
- Especie:dYi
dx− wiWi
ρVx= 0 (192)
aindah = h(T,Yi)
43
dhdx
= cpdTdx
+N
∑i=1
hidYi
dx
e
P =ρRuTWmist
apos ”algum”algebrismo:
dρdx
=
(
1− RucpMWmist
)
ρ2V2x
(1A
dAdx
)+ ρRu
VxcpMWmist∑N
i=1MWiωi
(
hi− MWmistMWi
cpT)
P(
1+V2
xcpT
)
−ρV2x
(193)
dTdx
=V2
x
ρcp
dρdx
+V2
x
cp
(1A
dAdx
)
− 1Vxρcp
N
∑i=1
hiωiMWi (194)
dYi
dx=
ωiMWi
ρVx(195)
dtRdx
=1Vx
(196)
Condicoes iniciais:
T(0) = T0
ρ(0) = ρ0
Yi(0) = Yi,0 i = 1, . . .NtR(0) = 0
6 EQUACOES DE CONSERVACAO SIMPLIFICADAS
- Sistemas reativos→Modelagem fısico-matematica para analise de chamas
6.1 Conservacao da Massa (continuidade)
- 1D
dmVCdt
Area Amx
∆x
mx+∆x
44
dmVC
dt= mx− mx+∆x (197)
mVC = ρVVC
VVC = A∆xm = ρVxA
d(ρA∆x)
dt= [ρVxA]x− [ρVxA]x+∆x (198)
÷ A∆x e lim∆x→0:∂ρ∂t
=−∂(ρVx)
∂x(199)
Regime permanente:
d(ρVx)
dx= 0 (200)
ou
ρVx = cte (201)
generalizando:
∂ρ∂t
+∇.(ρ~V) = 0 (202)
6.2 Conservacao da Especie
Hipoteses:
- So difusao ordinaria
- Mistura binaria
- Regime permanente
ddx (m′′YA) − d
dx
(
ρDABdYAdx
)
= m′′′A↓ ↓ ↓
Fluxo massico de Adevido a adveccao
por unidade de volume
(kg/s−m3)
Fluxo massico de Adevido a difusao molecular
por unidade de volume(kg/s−m3)
Taxa de producao lıquidade A devido as reacoes quımicaspor unidade de volume
(kg/s−m3)
(203)
ou
45
dm′′idx
= m′′′i (204)
Generalizando:
∂(ρYi)dt + ∇ · m′′i = m′′′i
↓Fluxo liquido de ”i”
por difusao e por conveccao
por unidade de volume
(205)
m′′i ≡ ρYivi
↓velocidade da especie:Difusao ordinaria,
(206)
m′′ = ∑i
m′′i = ∑i
ρYivi (207)
mas m′′ ≡ ρV onde V → Velocidade da misturaentao:
V = ∑Yivi (208)
Velocidade de difusao:
vdi f f = vi − V↓ ↓
Especie Mistura
entao:
m′′i,di f f ≡ ρYi(vi−V) (209)
e como
m′′i = m′′Yi + m′′i,di f f↓ ↓Bulk Difusao
(210)
entao:
ρYivi = ρVYi +ρYi(vi−V) (211)
Para difusao ordinaria com a Lei de Fick, o fluxo da especie ”A”e:
m′′A = m′′YA−ρDAB∇YA (212)
veja (249)
- Aplicar (205) para sistema esferico, sistema com simetria axial
46
6.3 Conservacao de Momentum
- Regime permanente
∑~F = m~Vout− m~Vin (213)
sistema 1D, negligenciando forcas viscosas e gravit.
PA|x
∆x
PA|x+∆x
entao (213) torna-se:
PA|x− PA|x+∆x = mvx+∆x− mvx (214)
÷ A∆x lim∆x→0:
−dPdx
= m′′dvx
dx(215)
mas m′′ = ρvx entao:
−dPdx
= ρvxdvx
dx(216)
Eq. de Euler 1D
Para variacao de energia cinetica desprezıvel:
d(v2x/2)
dx≈ 0 =⇒ vx
dvx
dx≈ 0
entao (216) torna-se:dPdx
= cte (217)
ou
P = cte (218)
2D, ∆z= 1, direcao X:
47
b
τxx|x ∆y (1)
P|x ∆y (1)
τxx|x+∆x ∆y (1)
P|∆x+x ∆y (1)
ρ∆x∆y gx(1)
∆y
∆x
τxy∣∣y ∆x (1)
τyx∣∣y+∆y ∆x (1)
y
x
Balanco de Forcas
[ρVx∆y(1)Vx]x [ρVx∆y(1)Vx]x+∆x
[ρVy∆x(1)Vx]y
[ρVy∆x(1)Vx]y+∆y
∆y
∆x
Fluxo de Momentum
aplicando (213):
(τxx|x+∆x− τxx|x)∆y(1)+(τyx|y+∆y− τyx|y
)∆x(1)
+(P|x−P|x+∆x)∆y(1)+ρgx∆x∆y(1) =(ρVxVx|x+∆x−ρVxVx|x)∆y(1)+(ρVyVx|y+∆y−ρVyVx|y
)∆x(1)
(219)
÷ ∆x∆y e fazendo lim∆x→0, lim∆y→0:
∂(ρVxVx)
∂x+
∂(ρVyVx)
∂y︸ ︷︷ ︸
Momentum
=∂τxx
∂x+
∂τyx
∂y− ∂P
∂x︸ ︷︷ ︸
Forcas
+ρgx (220)
Para componente y (Analogo):
∂(ρVxVy)
∂x+
∂(ρVyVy)
∂y=
∂τxy
∂x+
∂τyy
∂y− ∂P
∂y+ρgy (221)
Para geometria cilındrica com simetria axial:componente axial (x)
∂∂x
(ρrVxVx)+∂∂r
(ρrVxVr) =∂∂r
(rτrx)+ r∂τxx
∂x− r
∂P∂x
+ρrgx (222)
componente radial (r)
∂∂x
(ρrVrVx)+∂∂r
(ρrVrVr) =∂∂r
(rτrr )+ r∂τrx
∂x− r
∂P∂r
(223)
48
Fluidos Newtonianos:
τxx = µ[
2∂Vx∂x −
23(∇.~V)
]
τrr = µ[
2∂Vr∂r −
23(∇.~V)
]
τrx = µ[
2∂Vx∂r + ∂Vr
∂x
](224)
onde:
(∇ ·~V) =1r
∂∂r
(rVr)+∂Vx
∂xJatos livres:
→ Similaridade com C.L. fluido/solido
• Largura << Comprimento
• ∂()∂r ≫
∂()∂x
• Vx≫Vr
Aplicando nos termos das Eq’s de momentum:
∂∂r
(rτrx)≫ r∂τxx
∂xe
τrx = µ∂Vx
∂rpois
∂Vx
∂r≫ ∂Vr
∂xentao, componente axial:
∂∂x
(ρrVxVx)+∂∂r
(ρrVxVr) =∂∂r
(
rµ∂Vx
∂r
)
− r∂P∂x
+ρrgx (225)
Por analise de ordem de grandeza para direcao radial conclui-se:
∂P∂r≈ 0 (226)
Para um plano em x, a pressao e praticamente constante.entao:
xρ∞
y
gx
P(x) P∞
49
∂P∂x ≈ ∂P∞
∂x = −ρ∞gx
↓Fluido em reposo
(227)
entao (225) torna-se:
1r
∂∂x(rρVxVx) + 1
r∂∂r (rρVxVr) = 1
r∂∂r
(
rµ∂Vx∂r
)
+ (ρ∞−ρ)g
↓ ↓ ↓ ↓Fluxo de momentum axialpor adveccao axial
Fluxo de momentum axialpor adveccao radial Forca Viscosa
Forca deempuxo
(228)
Vx→ (228)Vr → Continuidade (202)ρ→ Gas ideal3 incognitas, 3 eq’s
6.4 Conservacao de Energia
1a Lei: Reg. permanente
(Q′′x− Q′′x+∆x
)A−WVC = m′′A
[(
h+V2
x
2+gz
)
x+∆x−(
h+V2
x
2+gz
)
x
]
(229)
∆x
[
m′′A(
h+ V2x
2 +gz)]
x[Q′′xA
]
x
[Q′′xA
]
x+∆x
[
m′′A(
h+ V2x
2 +gz)]
x+∆x
WV.C.
Para V.C. onde nao haja trabalho ”tecnic” WVC = 0, desprezando ∆epot:÷ A e fazendo lim∆x→0, (229) torna-se:
−dQ′′xdx
= m′′(
dhdx
+VxdVx
dx
)
(230)
Fluxo de calor
- Sem Radiacao
- Lei de Fourier - conducao
50
Q′′ = −k∇T + ∑m′′i,di f f hi
↓ ↓ ↓Vetor fluxode calor Conducao
Fluxo devidoa difusao de ”i”
(231)
mas (209)m′′i,di f f ≡ ρYi(vi−V)
aindam′′i = ρvixYi , ρVx = m′′, h = ∑Yihi
subst. em (231) e entao em (230):
ddx
(
∑him′′i
)+
ddx
(
−kdTdx
)
+ m′′VxdVx
dx= 0 (232)
ddx
(
∑him′′i
)= ∑m′′i
dhi
dx+∑hi
dm′′idx
dm′′idx
= m′′′i −→ (204)
entao a equacao da energia 1D torna-se:
∑m′′idhi
dx+
ddx
(
−kdTdx
)
+ m′′VxdVx
dx=−∑him
′′′i (233)
Formalismo de Shvab-ZeldovichReescrevendo (231)
Q′′ =−k∇T +∑m′′i,di f f hi
usando Lei de Fick:
Q′′ =−kdTdx−∑ρD
dYi
dxhi
Para mistura caracterizada por um unico D:
Q′′x =−kdTdx−ρD∑hi
dYi
dx(234)
ainda: com a regra da derivada do produto;
Q′′x =−kdTdx−ρD
d∑hiYi
dx+ρD∑Yi
dhi
dx(235)
usando h≡ ∑hiYi e dh= cpdT tem-se:
51
∑Yidhidx = ∑Yicp,i
dTdx = cp
dTdx
↓Mistura
entao:
Q′′x =−kdTdx−ρD
dhdx
+ρDcpdTdx
(236)
mas difusividade termica α≡ kρcp, entao:
Q′′x = −ραcpdTdx − ρDdh
dx + ρDcpdTdx
↓ ↓ ↓fluxo de
entalpia sensıveldevido a conducao
Fluxo deentalpia absolutadevido a difusaodas especies
fluxo de entalpiasensıvel devido adifusao das especies
(237)
Numero de Lewis
Le≡ αD
= 1
Conducao︷ ︸︸ ︷
Fluxo de entalpia sensıvel
Fluxo de entalpia sensıvel︸ ︷︷ ︸
Difusao
Para a maioria dos sistemas de combustao
Le=αD
= 1 (238)
entao (237) torna-se:
Q′′x =−ρDdhdx
(239)
Substituindo na eq. (230) torna-se:
ddx
(
ρDdhdx
)
= m′′dhdx
+ m′′VxdVx
dx(240)
usando
h = ∑Yih◦f ,i +
Z T
Tre f
cpdT
tem-se:
52
ddx
[
ρD∑h◦f ,i
dYidx +ρDd
R
cpdTdx
]
= m′′∑h◦f ,i
dYidx + m′′ d
R
cpdTdx + m′′Vx
dVxdx
A B(241)
Usando Lei de Fick e conservacao da Especie eq.(204)para os termos A e B
− ddx
[
∑h◦f ,i
(
m′′Yi−ρDdYi
dx
)]
=− ddx
[
∑h◦f ,im′′i
]
=−∑h◦f ,im′′′ (242)
rearranjando:
m′′d
R
cpdT
dx− d
dx
[
ρDd
R
cpdT
dx
]
+ m′′VxdVx
dx=−∑h
◦f ,im′′′i
desprezando o termo da energia cinetica m′′VxdVxdx = 0
m′′ dR
cpdTdx − d
dx
[
ρDdR
cpdTdx
]
= −∑h◦f ,im′′′i
↓ ↓ ↓Taxa de transportede entalpia sensıvel
devido a CONVECCAO,por unidade de volume
Taxa de transportede entalpia sensıvel
devido a DIFUSAO,por unidade de volume
Taxa de producaode entalpia sensıveldevido as reacoesquımicas
EQ. DE ENERGIA DE SHVAB-ZELDOVICH
Generalizando:
∇.
[
m′′Z
cpdT−ρD∇(
Z
cpdT
)]
=−∑h◦f ,im′′′
Hipoteses adicional: cp, ρ, D constantes
7 Chamas pre-misturadas laminares
7.1 Introducao
• Reagente e oxidante ja misturados
• Aplicacoes: fogoes, bico de bunsen, industria de vidro, turbina degas
• Estudo - pre-requisito para chamas turbulentas
Velocidade da chamaEspessura da chama
}P,T,
φF
53
7.2 Descricao fısica
chama:
Propagacao, em velocidadesub-sonica, auto-sustentavelde uma regiao de combustaolocalizada
Localizada × reator homogeneoSub-sonica × super-sonica
↓ onda ↓Deflagracao Detonacao
Velocidade da chama
Reagentes
SL
Frente de chama
Reagentes
vu
SL
Frente de chama
tipicamente:
Temperatura
Reagentes
Zonapre-aquecimento
Zonade reacao
No tubo: Observador ”montado”na frente de chama (que separa queimadode nao-queimado) ve a mistura nao-queimada se aproximar com avelocidade SL
No queimador plano: A frente de chama e estavel pois a velocidade dachama (SL) e igual e oposta a da mistura nao-queimada (vu)
54
Pela continuidade:ρuSLA≡ ρuvuA = ρbvbA (243)
ρu→ Unburnedρb→ Burned
chama tıpica: Bico de Bunsen
arFuel
Cone externo(Difusao)
Cone interno(Pre-misturada)
SL
Cone internovu
vu
vu,n vu,t
αα
cone interno: mistura ricacone externo: CO+Arpara a chama estabilizar:
SL = vusinα (244)
Forma e determinada pelo perfil de vu e transf. de calor para o tubo.
7.3 Analise Simplificada
Objetivo: Expressao analıtica simples para velocidade laminar SL
Hipoteses:
1. Fluxo 1D, area constante, Regime permanente.
2. ∆Ec, ∆Ep,Wτ, qRAD= 0
3. P = ctena frente de chama
4. difusao da calor (Fourier) e massa (Fick binaria)
5.
Le≡αD
=k
ρcpD= 1
55
6. cp,mist = cte
7. 1 Reacao global: F +Ox→ Produtos
8. φ≤ 1 (esteq. ou pobre)(Todo F e consumido na frente de chama)
→V.C.
V.C.
m
∆x
T(x)
xx =−∞ x = +∞
• Conservacao da massa:d(ρvx)
dx= 0 (245)
ou
m′′ = ρvx = cte (246)
• Conservacao das especies:
dm′′i
dx= m
′′′i (247)
com a lei de Fick:d[
m′′Yi−ρDdyidx
]
dx= m
′′′i (248)
para a reacao:
1 kg f uel+ ν kg oxidizer−→ (ν+1) kg prod.
entao:
m′′′F =
1ν
m′′′Ox
=− 1ν+1
m′′′Pr (249)
Aplicando (248) para combustıvel, oxidante e prod.
56
• Combustıvel:
m′′dYF
dx−
d(
ρDdYFdx
)
dx= m
′′′F (250)
• Oxidante:
m′′dYOx
dx−
d(
ρDdYOxdx
)
dx= νm
′′′F (251)
• Produtos:
m′′dYPr
dx−
d
(
ρDdYPr
dx
)
dx=−(ν+1)m
′′′F
Conservacao da energia
Utilizando a eq. da energia de Zeldovich
m′′d
R
cpdT
dx+
ddx
[
−ρDd
R
cpdT
dx
]
=−∑h◦f ,im
′′′i
para cp,mist = cte:
m′′cpdTdx− d
dx
[
(ρDcp)dTdx
]
=−∑h◦f ,im
′′′i (252)
onde:−∑h
◦f ,im
′′′i =−
[
h◦f ,Fm
′′′F +h
◦f ,Oxνm
′′′F −h
◦f ,Pr(ν+1)m
′′′F
]
ou−∑h
◦f ,im
′′′i =−m
′′′F∆hc =−m
′′′F
(
h◦f ,F +h
◦f ,Oxν−h
◦f ,Pr(ν+1)
)
mas como Le = kρcpD = 1 (252) torna-se:
m′′dTdx− 1
cp
d(kdT
dx
)
dx=−m
′′′F∆hc
cp(253)
em′′ = ρuSL
Solucao:
• Supor um perfil de T e aplicar em (8b)
57
• Condicoes de contorno
T(x→−∞) = Tu (254)
dTdx
(x→−∞) = 0 (255)
T(x→+∞) = Tb (256)
dTdx
(x→+∞) = 0 (257)
T(x)
δ
{T = TbdTdx = 0
T = TudTdx = 0
}
xx =−∞ x = +∞
autovaloresm′′eδ
Integrando (253) de x =−∞ ate x = +∞:
m′′ T|TbTu− k
cp
dTdx
∣∣∣∣
dTdx =0
dTdx =0
=−∆hc
cp
Z +∞
−∞m′′′Fdx (258)
entao:
m′′(Tb−Tu) =−∆hc
cp
Z +∞
−∞m′′′Fdx (259)
mas m′′′F so e nao nulo entre Tu e Tb na regiao δ, entao:
dTdx
=Tb−Tu
δou dx=
δTb−Tu
dT (260)
substituindo em (259):
m′′(Tb−Tu) =−∆hc
cp
δ(Tb−Tu)
Z Tb
Tu
m′′′FdT (261)
definindo
m′′′F ≡
1(Tb−Tu)
Z Tb
Tu
m′′′FdT (262)
entao (261) torna-se:
m′′(Tb−Tu) =−∆hc
cpδm
′′′F (263)
58
a outra equacao e obtida integrando-se (253) de x = −∞ ate x = δ/2; m′′′F e
nulo (assume-se) para −∞ < x≤ δ/2Notando que:
em x = δ/2
T =Tb+Tu
2(264)
e (260)dTdx
=Tb−Tu
δentao (258) torna-se:
m′′(
Tb +Tu
2−Tu
)
− kcp
(Tb−Tu
δ
)
= 0
m′′δ2− k
cp= 0 (265)
Resolvendo (263) e (265) simultaneamente:
m′′ =
[
2kc2
p
(−∆hc)
(Tb−Tu)m′′′F
]1/2
(266)
e
δ =2k
(cpm′′)(267)
Aplicando: SL ≡ m′′/ρu; α≡ k/ρucp
e∆hc = (ν+1)cp(Tb−Tu)
Velocidade:
SL =
[
−2α(ν+1)m′′′F
ρu
]1/2
(268)
Espessura:
δ =
[
−2ρuα
(nν+1)m′′′F
]1/2
(269)
ouδ = 2α/SL (270)
59
7.4 Fatores que influenciam SL
Temperatura, das Eq. (268) e (269)
α ∝ T1.75
P−1 α =k(T)
ρucp(T)
m′′′F
ρu∝ TuPn−1︸ ︷︷ ︸
ρu
T−nb exp
(−EA
RuTb
)
n : ordem da reacao globalT ≡ 0.5(Tb+Tu)combinando:
SL ∝ T0.875
T0.5u T−n/2
b exp
( −EA
2RuTb
)
P(n−2)/2 (271)
δ ∝ T0.875
T−0.5u Tn/2
b exp
(+EA
2RuTb
)
P−n/2 (272)
para hidrocarboneto n≈ 2.0, EA≈ 1.67·108
Caso A B CTu(K) 300 600 300Tb(K) 2000 2300 1700SL/SLA 1 2.89 0.43δ/δA 1 0.52 1.82
Pressao, da Eq. (272), para n≈ 2.0
SL ∝ P(n−2)/2≡ cte
Dados experimentais mostram, entretanto
P ∝ P−0.5
Razao de equivalencia
→ afeta, basicamente, Tb (ver Cap.2)SL, maximo em Φ levemente ricoδ, mınimo em Φ≈ 1.0
60
Tipo de combustıvel
EtilenoC2H4, acetilenoC2H2 > C3-C6 HC′sHidrogenio H2 >> outros
• Difusao termica e massica
• Cinetica H2muito mais rapida queCO→CO2
Correlacoes experimentais:
tipoParaCH4:
SL(cm/s) = 10+3.71·10−4 [Tu(K)]2 (273)
e outras
7.5 Extincao da chama (quenching)
→ Lampada de Sir Humphrey Davey→ Valvula corta-chamaA chama ao passar por um canal estreito se extingue ao inves de propagar- Analise
Qcond
d
δ
Frente dechama plana
- Balanco de energia para o V.C. que contem a frente de chama:
Q′′′V = Qcond (274)
A satisfacao de (274) e o limite para que a chama ainda se mantenha epor conseguinte se propague para dentro do canal
Q′′′ =−m′′′F∆hc (275)
Objetivo: determinar d que satisfaca (274)Calor de conducao:
Qcond =−kAdTdx
∣∣∣∣parede
(276)
61
Area: A = 2δL (”L”perpendicular ao papel)
Gradiente de temperatura:
Assumindo distribuicao linear da parede (Tw) ate o centro (Tb):∣∣∣∣
dTdx
∣∣∣∣≡ Tb−Tw
d/2≡ Tb−Tw
d/b
correcao (b > 2)
entao (274) torna-se:
(
−m′′′F∆hc
)
(δdL) = k(2δL)Tb−Tw
d/b(277)
Assumindo Tw = Tu e usando (265)ainda ∆hc = (ν+1)cp(Tb−Tu)
d = 2√
bα/SL (278)
d =√
bδ (279)
7.6 Limites de flamabilidade
- Faixa de mistura comb/ar onde a propagacao da chama se mantem
Experimento: Tubo extremidades abertas φ = 50mm, l = 1.2mDevido a transf. de calor, e dependente do aparto exp.
Tu
Tmax
Tad
xδtabela (8.9)
7.7 Ignicao
→ Aplicacoes emMCI, TG, queimadores→ E mais simples (equip.) que chama piloto
62
Analise simplificada
• Considere amassa demistura contida numa esfera em torno do pontode ignicao
• Usando o criterio (ja usado para extincao) do balanco de calor geradoe transferido:
↑Q′′′
VQcond
0r
Rcrit
T
Tb
Q′′′V = Qcond (280)
−m′′′F∆hc4πR3
crit/3 =−k4πR2crit
dTdr
∣∣∣∣crit
(281)
• Se o raio da esfera que contem amistura for menor que Rcrit , A perdade calor impede a sustentacao da propagacao.
• Gradiente de temperatura no gas ”frio”
dTdr
∣∣∣∣Rcrit
=−(Tb−Tu)
Rcrit(282)
subst. (281) em (282):
R2crit =
3k(Tb−Tu)
−m′′′F∆hc
(283)
ainda com SL e δ:
Rcrit =√
6αSL
(284)
Rcrit =√
6δ2
(285)
- Energia mınima de ignicao Assume-se que o ignitor forneca a ener-gia necessaria para elevar a temperatura da mistura ate Tb
63
Eign = mcrit cp(Tb−Tu) (286)
onde
mcrit = ρb43
πR3crit (287)
entao:
Eign = 61.6ρbcp(Tb−Tu)
(αSL
)3
(288)
Para gas real:Rb = Ru/Wb
Eign = 61.6P
(cp
Rb
)(Tb−Tu
Tb
)(αSL
)3
(289)
Influencia da pressao: direta em (289) e indireta em α, SL (271)
Eign ∝ P−2
influencia da temperatura:
Tb, SL→ Eign
8 Estabilizacao
→ Evitar Flashback (Chama entra no tubo) e Liftoff (chama descola dotubo)→ Questao de seguranca contra explosao e operacao sem falhas→ Ambos os fenomenos sao relacionados com SL e vu na saıda do tubo
• Flashback
- Transiente devido a reducao ou corte da mistura
SL > vu
- Se φ > dquenchinga chama se propaga para dentro do tubo
- Controle: Tipo de combustıvel, φ, vu, geometria
• Liftoff
- Associado a T.C. junto a borda do tubo
- Como a chama ”colada”a borda da chama fica bem proxima daborda do tubo.
64
- Como aumento da velocidade (vu), o cone diminui
α = sin−1(
SL
vu
)
e a borda da chama se afasta da borda do tubo.
- Se a velocidade aumenta mais ainda, a chama ”pula”para umaposicao longe da borda do tubo. Esta velocidade e vli f to f f
- Para vu > vli f to f f a chama nao se mantem mais (blowout).
Liftoff e Blowout:
Efeitos de T.C. e radicais junto a borda do tubo.
SL
1. Chama estabilizada. Junto a parede:
vu≈ 0 e SL ≈ 0
devido a T.C. e radicais para a parede
2. vu ↑ (aumento do fluxo)SL ↑ devido a diminuicao de perda de calor e radicais para parede.Novo ponto estavel (proximo)
3. vu ↑ → diluicao com ar fresco passa a dominar(> Q ↓)→ a chama se ”estabiliza”longe do tubo
4. vu ↑ (> vli f to f f ) → em nenhum ponto do jato, ocorre aumento de SL
para satisfazervu≈ SL
e a chama apaga.
9 CHAMASDE DIFUSAO LAMINARES
aplicacoes:
• Cone externo bico-bunsen
• Fornos e fogoes domesticos (parcialmente pre-mistura)
• Problemas de emissoes deCOe NO
65
9.1 Analise jato laminar nao reativo
2R
xc
x = 0
x = x1
x = x2
0 1
x
vx,0/veouYF 0 R
1
r
0 r
1
0
1
r
vx/ve,YF
• Na reacao central (Potencial core) efeitos viscosos e de difusao sao”negligenciados”.Acima de xc os efeitos viscosos e difusivos se fazem notar em todo ojato.
• A medida que o jato avanca, ele arrasta ar do meio em repouso. Aquantidade de momentum se conserva:
Fluxo de momentum (J)no jato em qualquer
posicao x= Fluxo de momentum (Je)
na saıda do jato
Jx = Je
2πZ ∞
0ρ(r,x)v2
x(r,x)rdr = ρev2eπR2 (290)
Entao a velocidade decai a medida que o jato ”abre”.
• Massa emomentum sao transportados pelosmesmos processos conveccaoe difusao → similaridade nas distribuicoes de velocidade (vx(r,x)) ede combustıvel (YF(x, r)).No centro do jato (YF(0,R)
) e fora (YF = 0)⇒ alto gradiente → fick →difusao radialA massa de combustıvel se conserva:(o jato nao reage)
2πZ ∞
0ρ(r,x)vx(r,x)YF(r,x)rdr = ρeveπR2YF,e (291)
onde YF,e = 1.0
Problema: determinar vx e YF(r,x)
66
Hipoteses: 1.
ρ = cte
• iguais pesos moleculares• Gas ideal• P e T cte
2. Difusao molecular→ Lei de Fick3. Difusao de momentum e especies igual e const.
SC ≡νD
= 1
4. Difusao axial negligenciada (solucao so e valida apos certo afas-tamento da saıda)
Eq’s de conservacao → Simplificando as eq’s vistas no Cap. 7, para ρ =cte, Sc = 1
Conservacao de massa:∂vx
∂x+
1r
∂(vr r)∂r
= 0 (292)
Cons. momentum axial: (ρ = cte)
vx∂vx
∂x+vr
∂vx
∂r= ν
1r
∂∂r
(
r∂vx
∂r
)
(293)
Cons. especies: para o combustıvel
vx∂YF
∂x+vr
∂YF
∂r= D
1r
∂∂r
(
r∂YF
∂r
)
(294)
ainda:YOX = 1−YF (295)
Condicoes de contorno: incognitas: vx(r,x), vr(r,x) e YF(r,x)na linha de centro (simetria), r = 0
vr(0,x) = 0 (296)
∂vx
∂r(0,x) = 0 (297)
∂YF
∂r(0,x) = 0 (298)
67
fora do jato (r→ ∞)
vx(∞,x) = 0 (299)
YF(∞,x) = 0 (300)
na saıda do jato: (x = 0)
vx(r ≤R,0) = ve
vx(r > R,0) = 0(301)
YF(r ≤ R,0) = YF,e = 1YF(r > R,0) = 0
(302)
Solucao: Assumindo perfis similares (mesma forma) para a velocidade, adistribuicao e so funcao da variavel de similaridade r/x(ver Schlichting)
vx =38π
Je
µx
[
1+ξ2
4
]−2
(303)
vr =
(3Je
16πρe
)1/2 1x
ξ− ξ3
4(
1+ξ2
4
)2 (304)
Je = ρev2eπR2 (305)
ξ =
(3ρeJe
16π
)1/2 1µ
rx
(306)
µ→ viscosidade dinamica
substituindo:
vx/ve = 0.375
(ρeveR
µ
)( xR
)−1[
1+ξ2
4
]−2
(307)
na linha de centro:
vx,0/ve = 0.375
(ρeveR
µ
)
︸ ︷︷ ︸
Rej≡ ρeveRµ
( xR
)−1(308)
Rej ↓ decaimento ↑- Taxa de abertura do jato (spreading rate)
68
0
0.5
1.0
r1/2 r
v x(r
)/v x
,0 x
α
r1/2
com (307) e (308):r1/2 = 2.97Re−1
j (309)
α≡ tan−1(r1/2/x) (310)
Rej ↑, α ↓- Campo de concentracoes:Se ν = D (Sc = 1) a forma da curva e a mesma
YF =38π
QF
Dx
[
1+ξ2
4
]−2
(311)
QF = veπR2
para Sc = 1
YF = 0.375Rej
( xR
)−1[
1+ξ2
4
]−2
(312)
na linha de centro:YF,0 = 0.375Rej(
xR
)−1 (313)
veja que x!6= 0
( xR
) ∼> 0.375Rej (314)
9.2. Descricao fısica de chama/jato
x
x = L fsuperfıcie dachama,
lugar geometricoΦ = 1
Φ > 1
Φ < 1
2Rx = 0
L f : Comprimento da chama
69
• Combustıvel difunde radialmente para fora, ar difunde radialmentepara dentro
• Superfıcie da chama: estreita regiao Φ = 1
• Regiao anular (ex. temperatura)
• Topo da chama: gases quentes → empuxo → Aceleracao do fluido→ estreitamento
• Hidrocarbonetos:
– Formacao de fuligem na base
– Oxidacao no topo
– Cor amarela
• Comprimento da chama: da analise de jato eq. (311) para YF = YST er = 0→ (ξ = 0)
L f ≈38π
Vazao de comb.︷ ︸︸ ︷
QF
DYF,ST
independe de ”R”
9.3. Analise Teorica Simplificada
Burke/Shumann (1928)→ Ropper (1977)
Hipoteses:
1. Fluxo laminar, Reg. permanente, simetria axial, ar ambiente em re-pouso
2. Especies: comb. (F), oxidante (Ox), produtos (Pr), (F) e (Ox) naocoexistem
YF Ox
rrsupchamaΦ=1
70
3. Na sup. da chamaΦ = 1, reacoes quımicas com velocidade ”infinita”
”Flame-Sheet Approximation”
Fora da ”folha”nao ha reacao
4. Transporte molecular→ Lei de Fick
5. Difusividades termicas e de especies iguais→ Le= αD = 1
6. Sem Radiacao
7. Difusao axial negligenciada
8. Chama vertical para cima (g ↓)
• Equacoes Basicas
Massa:1r
∂(rρvr)
∂r+
∂(ρvx)
∂x= 0 (315)
Momentum axial:
1r
∂∂x
(rρvxvx)+1r
∂∂r
(rρvxvr)−1r
∂∂r
(
rµ∂vx
∂r
)
= (ρ∞−ρ)g (316)
Especies: (da eq. 217) com m′′′i = 0 fora da chama
1r
∂∂x
(rρvxYi)+1r
∂∂r
(rρvrYi)−1r
∂∂r
(
rρD∂Yi
∂r
)
= 0 (317)
i : F dentro da chamai : Ox fora da chamaTodo o fenomeno da reacao esta embutido e tambem define o con-torno da chama (e da eq. 317) ainda
YPr = 1−YF −YOx (318)
Energia: Eq. de Shvab-Zeldovich com ∑h◦j ,im
′′′i = 0 eq. (43) cap. 7.4
∂∂x
(
rρvx
Z
cpdT
)
+∂∂r
(
rρvr
Z
cpdT
)
− ∂∂r
(
rρD∂
R
cpdT
∂r
)
= 0
(319)
71
→ Descontinuidade na superfıcie da chama→ A chama e a propria cond. de contornoainda
ρ =PMWmist
RuT(320)
MWmist =
(
∑ Yi
MWi
)−1
(321)
Resumo do modelo: 6 eq.’s, 6 incog. (vr , vx, T, YF ,YOx, P)
Cond. Contorno: Definidas na posicao da chama, que e desconhecida.Mais facil seria C.C. em r = 0,x e r = ∞,x
Modelo de escalar conservativo (Conserved Scalar Approach)
fracao da mistura (f)
f ≡ Massa de material cuja origem e o jatoMassa da mistura
(322)
f = 1.0
F
f = 0
1kgF+νkgOx→ (ν+1)kgPr (323)
f = YF +
(1
ν+1
)
YPr (324)
Eq. da conservacao da fracao de mistura
- f e carbono (C) ou Hidrogenio (H) presente no combustıvel- Amassa dos elementos (C ouH) se conserva durante as reacoes quımicastermo de fonte e nulopara a massa de combustıvel (YF )
m′′ dYF
dx− d
dx
(
ρDdYF
dx
)
= m′′′F (325)
Para os produtos (YPr)
72
m′′ dYPr
dx− d
dx
(
ρDdYPr
dx
)
= m′′′Pr (326)
÷ (ν+1)
m′′ ddx
(YPr
(ν+1)
)
− ddx
[
ρDddx
(YPr
(ν+1)
)]
=1
(ν+1)m′′′Pr (327)
da conservacao da massa:
m′′′Pr
(ν+1)=−m
′′′F (328)
Subst. em (327) e somando com (325):
m′′ ddx
(YF +YPr
(ν+1)
)
− ddx
(
ρDddx
(YF +YPr
(ν+1)
))
= 0 (329)
Eq. (329) nao tem termo de fonte.
Usando a definicao de f
m′′ d( f )
dx− d
dx(ρD
d fdx
) = 0 (330)
Entao, a fracao de mistura f e um escalar conservativo. Em coorde-nadas cilındricas:
∂∂x
(rρvx f )+∂∂r
(rρvr f )− ∂∂r
(
rρD∂ f∂r
)
= 0 (331)
- Nao ha descontinuidade na chama- Condicoes de contorno:
∂ f∂r
= 0 (simetria) (332)
f (∞,x) = 0 (so ar) (333)
f (r ≤ R,0) = 1f (r > R,0) = 0
}
(so comb.) (334)
Localizacao da chama (Φ = 1):
f (r,x) = fst (335)
73
Entalpia Absoluta
Da Eq da energia de Shvab-Zeldovich:
∂∂x
(rρvxh)+∂∂r
(rρvrh)− ∂∂r
(
rρD∂h∂r
)
= 0 (336)
Cond. de contorno:
∂h∂r
(0,x) = 0 (337)
h(∞,x) = hOx (338)
h(r ≤R,0) = hF
h(r > R,0) = hOx
}
(339)
Equacoes Adimensionais
x∗ ≡ x/Rr∗ ≡ r/Rv∗x ≡ vx/ve
v∗r ≡ vr/ve
h∗ ≡ h−hOx,∞hF,e−hOx,∞
Na saıda do bocal: h = hF,e⇒ h∗ = 1em r→ ∞ h = hOx,∞ ⇒ h∗ = 0ρ∗ ≡ ρ
ρe
Entao:continuidade:
∂∂x∗
(ρ∗v∗x)+1r∗
∂∂r∗
(r∗ρ∗v∗r ) = 0 (340)
Momentum axial:
∂∂x∗
(r∗ρ∗v∗xv∗x)+∂
∂r∗(r∗ρ∗v∗r v∗x)−
∂∂r∗
[(µ
ρeveR
)r∗ ∂v∗x∂r∗
]
=gRv2
e
(ρ∞
ρe−1
)
r∗
(341)Fracao de mistura
∂∂x∗
(r∗ρ∗v∗x f )+∂
∂r∗(r∗ρ∗v∗r f )− ∂
∂r∗
[(ρD
ρeveR
)
r∗∂ f ∗
∂r∗
]
= 0 (342)
74
Entalpia
∂∂x∗
(r∗ρ∗v∗xh)+∂
∂r∗(r∗ρ∗v∗r h)− ∂
∂r∗
[(ρD
ρeveR
)
r∗∂h∗
∂r∗
]
= 0 (343)
C.C. v∗r (0,x∗) = 0
∂v∗x∂r∗
(0,x∗) =∂ f∂r∗
(0,x∗) =∂h∗
∂r∗(0,x∗) = 0
v∗x(r∗ ≤ 1,0) = f (r∗ ≤ 1,0) = h∗(r∗ ≤ 1,0) = 1
v∗x(r∗ > 1,0) = f (r∗ > 1,0) = h∗(r∗ > 1,0) = 1
Hipotese adicional
- Empuxo negligenciado na eq. (341)ainda:Numero de Schmidt
Sc≡Difusividade Momentum
Difusividade Massa=
νD
=µ
ρD(344)
Assumindo Sc = 1 eq. (341) torna-se:
∂∂x∗
(r∗ρ∗v∗xζ)+∂
∂r∗(r∗ρ∗v∗r ζ)− ∂
∂r∗
(1Re
r∗∂ζ∂r∗
)
= 0 (345)
onde
ζ = v∗x = f = h∗ e Re=ρeveR
µ
Resolvendo (345→ ζ) e continuidade (340→ v∗r )o problema e resolvido- Relacoes de estadofalta ainda
ρ∗( f )↓
Gas Ideal
(T,Yi)
entao ρ = ρ( f )
no ”Flame Sheet Model”:- Dentro da chama ( fst < f ≤ 1)
75
YF =f − fst
1− fst(346)
YOx = 0 (347)
YPr =1− f1− fst
(348)
- Na chama ( f = fst)
YF = 0 (349)
YOx = 0 (350)
YPr = 1 (351)
- Fora da chama (0≤ f ≤ fst)
YF = 0 (352)
YOx = 1/ fst (353)
YPr = f/ fst (354)
onde
fst =1
(ν+1)(355)
ν= Coef. Massico da reacao Est.
Relacao T = T( f )
Assume-se:
1. cp,F = cp,Ox = cp,Pr ≡ cp
2. h◦f ,Ox = h
◦f ,Pr = 0
entao a equacao calorica:
h = ∑Yihi = YF∆hc +cp(T−Tre f ) (356)
∆hc≡ h◦f ,F +νh
◦f ,Ox− (ν+1)h
◦f ,Pr
Subst. (356) na definicao de h∗ (pg 105)
76
h∗ =YF∆hc +cp(T−TOx,∞)
∆hc +cp(TF,e−TOx,∞)≡ f (357)
Entao:
T = ( f −YF)∆hc
cp+ f (TF,e−TOx,∞)+TOx,∞ (358)
Com as expressoes paraYF nas tres regioes da chama, chega-se a:
• Dentro da chama
T = T( f ) = f
[
(TF,e−TOx,∞)− fst
1− fst
∆hc
cp
]
+TOx,∞ +fst
(1− fst)cp∆hc
(359)
• Na chama ( f = fst)
T = fst
(∆hc
cp+TF,e+TOx,∞
)
+TOx,∞ (360)
• Fora da Chama
T = f
(∆hc
cp+TF,e+TOx,∞
)
+TOx,∞ (361)
Resumo:
YF( f )YOx( f )YPr( f )
Eq’s da 35 a 40
T( f )→ Eq’s da 45 a 47
10 Combustao de Lıquidos
10.1 Aplicacoes:
• Motores diesel
• Caldeiras e fornos a oleo
• Turbinas a gas aeronauticas
• foguetes
77
10.2 Modelo Simplificado de Combustao de Gotas
Hipoteses 1. Chama esferica em torno da gota. Ar parado. Gotas naointeragem entre si.
2. Processo quase-estatico (a cada instante)
3. Combustıvel e lıquido unico, sem solubilidade com gases. Equilıbriode fases (lıquido/vapor ) na interface
4. Pressao uniforme e constante
5. Fase gasosa: vapor de combustıvel, oxidante e produtos. Zonainterna e zona externa.
6. Flame sheet model
7. Le= 1
8. Sem radiacao
9. Propriedades (k,cp,ρD) constantes
10. gota de combustıvel→ so fase lıquida do combustıvel
Objetivo: determinar a taxa de queima de gota (mF ) dados diametro ini-cial da gota e condicoes longe da gota (T∞,Yox)
• Conservacao da massa: Processo de queima (evaporacao) quaseestatico. Entao:
m= mF = ρvr4πr2 = cte (362)
e
d(ρvr r2)
dr= 0 (363)
• Conservacao das especiesRegiao interna (Combustıvel vapor)
m′′A = YA(m
′′A + m
′′B)
︸ ︷︷ ︸
Bulk Flow
−ρDAB∇YA︸ ︷︷ ︸
Difusao
(364)
m′′A≡ m
′′F = mF/4πr2 (365)
m′′B = m
′′Pr = 0 (veja hipotese 3) (366)
78
Produtos formam uma camada estatica atraves da qual o vapor decombustıvel flui.Entao em coordenadas esfericas:
m′′A = m
′′F =
mF
4πr2 = YFmF
4πr2 −ρDdYF
dre
mF =−4πr2 ρD(1−YF)
dYF
dr(367)
condicoes de contorno para (367):
• Na interface lıquido/vaporYF(rs) = YF,s(Ts) (368)
• Na chamaYF(r f ) = 0 (369)
definindo ZF ≡ 1/4πρD, a solucao de (367) e dada por:
YF(r) = 1+C1exp(−ZFmF /r) (370)
Aplicando a C.C. (368) determina-seC1.
YF(r) = 1− (1−YF,s)exp(−ZFmF /r)exp(−ZFmF /rs)
(371)
Aplicando a C.C. de contorno (369):
YF,s = 1− exp(−ZFmF /rs)
exp(−ZFmF /r f )(372)
Regiao externa (oxidante)- Oxidante e transportado radialmente para a chama, onde:
1kgF+νkgOx→ (ν+1)kgPr (373)
Flame Sheet
mF
mOx = νmF
mPr = (ν+1)mF
79
m′′A≡ m
′′Ox =−νm
′′F (374)
m′′B≡ mPr = +(ν+1)m
′′F (375)
Entao: (por 364)
mF = +4πr2 ρDν+YOx
dYOx
dr(376)
C.C.
YOx(r f ) = 0 (377)
YOx(r→ ∞) = YOx,∞ ≡ 1 (378)
integrando (376):
YOx(r) =−ν+C1exp(−ZFmF /r) (379)
aplicando C.C. (377):
YOx(r) = ν[
exp(−ZFmF /r)exp(−ZFmF /r f )
−1
]
(380)
aplicando C.C. (378):
exp(+ZFmF /r f ) = (ν+1)/ν (381)
ainda:
YPr(r) = 1−YOx(r) (382)
- Conservacao da energiaEquacao da energia de Zhvab-Zeldovich
+
r = rs
m
Qr
mhr
Qr+∆r
mhr+∆r
r r +∆r
80
1r2
ddr
[
r2(
ρvr
Z
cpdT−ρDddr
Z
cpdT
)]
=−∑h◦f ,im
′′′i
• Fora da chama m′′′i = 0
• Propriedades constantes
• Le= α/D = kg/ρcpgD = 1
pode-se escrever:
ddr
(
r2dTdr
)
=mFcpg
4πkg
dTdr
(383)
por conveniencia define-se:
ZT = cpg/4πkg
entao:
ddr
(
r2dTdr
)
= ZTmF
dTdr
(384)
Veja que para Le= 1→ ZF = ZT
C.C. de (384):
Regiao Interna=
{T(rs) = Ts
T(r f ) = Tf(385)
Regiao Externa=
{T(r f ) = Tf
T(r→ ∞) = T∞(386)
Solucao geral de (384)
T(r) =C1exp(−ZTmF /r)
ZTmF
+C2 (387)
Regiao interna (rs≤ r ≤ r f )Aplicando (385):
T(r) =(Ts−Tf )exp(−ZTmF /r)+Tf exp(−ZTmF /rs)−Tsexp(−ZTmF /r f )
exp(−ZTmF /rs)−exp(−ZTmF /r f )(388)
Regiao Externa (r f < r < ∞)Aplicando (386):
81
T(r) =(Tf −T∞)exp(−ZTmF /r)+exp(−ZTmF/r f )T∞−Tf
exp(−ZTmF /r f )−1(389)
- Balanco de energia na superfıcie da gota
mFhliq mFhvap
Qi−l Qg−i =−[
−k4πr2sdTdr
∣∣∣∣rs
]
Inter f acer=rs
GasLıq
Entao
Qg−i = mF(hvap−hliq)+ Qi−l (390)
ou
Qg−i = mFhf g+ Qi−l (391)
Qi−l → dentro da gotaModelo de camadas
1. Exterior Ts
2. Interior T0
Entao:
Qi−l = mFcpl(Ts−T0) (392)
Qi−l
mF≡ qi−l = cpl(Ts−T0) (393)
usando Fourier na eq (390):
−[
−kg4πr2dTdr
]
rs
= mF(hf g+qi−l ) (394)
usando (388) para obterdTdrtorna-se:
dTdr
=(Ts−Tf )ZTmF exp(−ZTmF /r)
r2[exp(−ZTmF /rs)−exp(−ZTmF /r f )
] (395)
82
avaliando para r = rs, rearranjando e usando definicao de ZT :
cpg(Tf −Ts)
(qi−l +hf g)
exp(−ZTmF /rs)[exp(−ZTmF /rs)−exp(−ZTmF /r f )
] +1 = 0 (396)
- Balanco de energia na ”Flame Sheet”
Qf−i =−[
−k4πr2fdTdr
∣∣∣∣r−f
]
Qf−∞ = −k4πr2fdTdr
∣∣∣∣r+
f
mFhF
mOxhOx
mPrhPr
FlameSheetr=r f
entao na chama:
mFhF + mOxhOx− mPrhPr = Qf−i + Qf−∞ (397)
mas:
hF ≡ h◦f ,F +cpg(T−Tre f ) (398)
hOx ≡ h◦f ,Ox+cpg(T−Tre f) (399)
hPr ≡ h◦f ,Pr +cpg(T−Tre f) (400)
e o calor de combustao ∆hc
∆hc(Tre f)≡ (1)h◦f ,F +(ν)h
◦f ,Ox− (1+ν)h
◦f ,Pr (401)
usando relacoes entre mF , mOx, mPr, (373)eq. (397) torna-se:
mF [hF +νhOx− (ν+1)hPr] = Qf−i + Qf−∞ (402)
Subst. (401) e (398)(399)(400):
mF∆hc + mFcpg[(Tf −Tre f )+ν(Tf −Tre f)− (ν+1)(Tf −Tre f)
]= Qf−i + Qf−∞
(403)Fazendo Tf = Tre f (escolha arbitraria):
mF∆hc = Qf−i + Qf−∞ (404)
83
Usando mais uma vez Fourier:
mF∆hc = kg4πr2f
dTdr
∣∣∣∣r−f
− kg4πr2f
dTdr
∣∣∣∣r+
f
↓ ↓ ↓Taxa na qual
energia quımica econvertida em termica
na chama
Taxa na qual calore conduzido da chamapara a direcao da interface
liq/vap
Taxa na qual calore conduzido da chamapara longe da chama
(405)
dTdr
∣∣r−fe dT
dr
∣∣r+
fsao obtidos das expressoes (389) e (395)
chega-se entao a:
cpg
∆hc
[
(Ts−Tf )exp(−ZTmF /r f )
exp(−ZTmF /rs)−exp(−ZTmF /r f )− (T∞−Tf )exp(−ZTmF /r f )
[1−exp(−ZTmF /r f )
]
]
−1 = 0
(406)- Equilıbrio liquido/vaporRelacao de Clauisius-Clapeyron para gas ideal:
dPv
dT=
Pvhf g
RT2
integrando-se:
PV = exp(C)exp
[−hf g
RT
]
Entao, na interface Pv = PF,s, T = Ts
PF,s = Aexp
(−BTs
)
(407)
mas fracao molar de combustıvel e:
XF,s =PF,s
P(408)
ou
YF,s = XF,sMWF
XF,sMWF +(1−XF,s)MWPr(409)
subst. (407), (408) em (409) tem-se:
YF,s =Aexp(−B/Ts)MWF
Aexp(−B/Ts)MWF +[P−Aexp(−B/Ts)MWPr](410)
84
Resumo
Equacao Incognitas PrincıpioI (10) mF , r f , YF,s Especie F na regiao internaII (20) mF , r f Especie Oxna regiao externaIII (35) mF , r f , Tf , Ts Balanco energia Interface Liq/VapIV (45) mF , r f , Tf , Ts Balanco energia chamaV (49) Ts, YF,s Equilıbrio fases Liq/Vap
5 Eq’ e 5 incognitasRearranjando:
mF =4πkgrs
cpgln
[
1+∆hc/ν+cpg(T∞−Ts)
qi−l +hf g
]
(411)
em termos do Numero de Transferencia B
Bo,q =∆hc/ν+cpg(T∞−Ts)
qi−l +hf g(412)
mF4πkgrs
cpgln(1+Bo,q) (413)
- Constante de taxa de queima e tempo de vida da gotapara a gota:
dmd
dt=−m (414)
onde a massa da gota e
md = ρlV = ρlπd3/6 (415)
Subst. (413) e (415) em (414) e diferenciando:
dDdt
−4kg
ρl cpgDln(Bo,q+1) (416)
mais comum:dD2
dt=−8kg
ρl cpgln(Bo,q+1)
︸ ︷︷ ︸
k
(417)
ou seja:dD2
dt= cte= k→ constante de taxa de queima
85
D2
D20
t
−k
1
Integrando (417) no tempo:
Z D2
D20
dD2 =−Z t
0kdt (418)
D2(t)−D20 =−kt → Lei D2 (419)
Tempo de vida da gota: (td)fazendo
D2(td) = 0⇒ td = D20/k (420)
ver fig. (10.13)para as constantes termo-fısicas:
cpg = cpF(T) (421)
kg = 0.4kF(T)+0.6kOx(T) (422)
ρl = ρl (Ts) (423)
T = 0.5(Ts+Tf ) (424)
→ Extensao do modelo para conveccao→ Reacoes envolvendo:
Nusselt → Gradiente de temperatura adimensional na gota
Sherwood → Gradiente de concentracao adimensional na gota
- Combustor Unidimensional
∆xx = 0
Ar Secundario
V.C. Produtos
F
Ox
x = L
Simplificacoes: • Distribuicao uniforme de gotas• Sem recirculacao• Vaporizacao uniforme (e constante)
86
Hipoteses: 1. Sistema de duas unicas fases:
gas: produtoslıquido: combustıvel
2. Propriedades uniformes na direcao radial. Nao ha difusao nemaxial nem radial.
3. dPdx = 0
4. Combustıvel: gotas de mesmo φ em ∀ posicao (x, r)5. Evaporacao da gota→ Teoria anterior6. Fase gasosa: equilıbrio ou sem dissociacao
Objetivo: • Gas:Fluxo massica mg(x)Temperatura Tg(x)Velocidade vg(x)
• Lıquido:Diametro da gota D(x)Taxa de evaporacao mg(x)Velocidade da gota vd(x)
Analise: • Conservacao da massa
V.C.(mg)x
(ml )x
(mg)x+∆x
(ml )x+∆x
∆x
m′a ·∆x
para regime permanente:
ml |x + mg|x + m′a ·∆x = ml |x+∆x + mg|x+∆x
rearranjando e tomando lim→ 0:
dml
dx+
dmg
dx= m′a (425)
integrando:
mg(x) = mg(0)+ ml(0)− ml(x)+
Z x
0m′adx (426)
considerando so a fase liquida:
87
(ml )x (ml )x+∆x
∆x
m′jg ·∆x
ml |x− ml |x+∆x = m′lg ·∆x
m′lg ·∆x→ taxa de vaporizacaoentao:
dml
dx=−m′lg
expressando ml em funcao do fluxo de gotas (N) e da massa de umagota md:
ml = Nmd (427)
ouml = NρlπD3/6 (428)
dml
dx=
π4
NρlDdD2
dx(429)
relacionando dx= vddt
dD2
dx=
1vd
dD2
dt(430)
(subst. na eq. (417)) (431)
dD2
dt= − k
vd(432)
ainda:
ml ,0 = NρlπD30/6 (433)
subindice 0 denota entrada do combustorentao:
N =6ml ,0(πρlD3
0
) (434)
solucao de (429) da D(x) e mg(x) (426)fase gasosavelocidade:
88
vg = mg/ρgA (435)
ρg = P/RgTg (436)
Rg = Ru/MWg (437)
vg =mgRuTg
(MWgPA)(438)
conservacao da energia
d(mghg)
dx+
d(ml hl)
dx= m′aha (439)
rearranjando:
dhg
dx=
[
m′aha−hgdmg
dx−hl
dml
dx
]
/mg (440)
hg = f (Tg,Pg,Φg) → dhg
dx=
∂hg
∂TdTdx
+∂hg
∂ΦdΦdx
(441)
igualando (430) e (417):
dTdx
=
[(
m′aha−hgdmg
dx−hl
dml
dx
)/
mg−∂hg
∂ΦdΦdx
]/∂hg
∂T(442)
onde hg,∂hgT ,
∂hg∂Φ podem ser calculados para equilıbrio (T , P, Φ)
ainda:
dTdx
=
[
(ha−hg)m′a+(hg−hl )dml
dx
]/
mg−∂hg
∂ΦdΦdx
∂hg
∂T
(443)
integrando tem-se Tg(x)falta determinar dΦ
dx
89
Composicao da fase gasosa (Φ(x))
em x = 0
mg(0) = mf (0)+ ma(0) (444)
(F/O)x =mF,x
ma,x=
mg(x)− ma,0−R x
0 m′adx
ma,0+R x
0 m′adx
ou
(F/O)x = mg
[
ma,0+Z x
0m′adx
]−1
−1 (445)
derivamos:
d(F/O)x
dx=
dmg
dx
[
ma,0+Z x
0m′adx
]−1
− mgm′a
[
ma,0 +Z x
0m′adx
]−2
(446)
entao:
Φ(x) = (F/O)x/(F/O)Φ=1 (447)
e
dΦ(x)dx
=1
(F/O)Φ=1
d(F/O)x
dx(448)
Conservacao de Quantidade de Movimento - Gota
unica forca→ arrastroVg
Vd
Vrel = Vg−Vd
~F = m~a
Fd = mddvd
dt(449)
mas dx= vddt
90
Fd = mdvddvd
dt(450)
CD = f (ReD,rel)≈24
reD,rel+
6
1+√
ReD,rel+0.4 (451)
para 0≤ ReD,rel ≤ 2 ·105
mas
Cd =Fd/(πD2/4)
ρgv2rel/2
(452)
subst. (452) em (450):
dvd
dx=
3CDρgv2rel
4ρlDvd(453)
Resumo Combustor de liquido 1DProblema de valor inicial
x = 0⇒ Temperatura e fluxo
Massa lıquido-diametro da gota
dD2
dx= f1 com D(0) = D0 (454)
massa gas
mg = mg(0)+ ml(0)− ml(x)+Z x
0madx (455)
onde
mg(0) = mF,0+ ma,0
Energia gas
dTg
dx= f2 (456)
com
Tg(0) = Tg,0
91
Momentum gota
dvd
dx= f3 (457)
com
vd(0) = vd,0
relacoes algebricas ∂h/∂T, ∂h/∂Φ, hg
92
Figura 1: Interpretacao grafica da entalpia absoluta, calor de formacao, eentalpia sensıvel
93