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CLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemtica Unesp/Bauru
CAPTULO 2
VETORES NO PLANO E NO ESPAO
1 Vetores no plano
O plano geomtrico, tambm chamado de 2, simbolicamente escrevemos:
}yex),y,x{(x2 == , o conjunto de todos os pares ordenados de
nmeros reais. Ele representado atravs do sistema de coordenadas cartesianas,
o qual constitudo por dois eixos perpendiculares entre si, cuja interseo o par
ordenado O(0,0), chamado de origem do sistema. Esses eixos so denotados por
Ox (eixo das abscissas) e Oy (eixo das ordenadas) e ambos chamados de eixos
coordenados, orientados como mostra a figura abaixo.
Todo ponto P do plano representado como na figura acima, onde x e y so
as suas coordenadas, respectivamente em relao aos eixos Ox e Oy. Na
representao de um ponto do plano, dentro do par ordenado a coordenada x
sempre a primeira e y a segunda coordenada, assim, P(x,y). Note que os eixos
coordenados dividem o plano em 4 regies iguais (I, II, III e IV), cada uma delas
chamadas de quadrante. O que distingue um quadrante do outro so os sinais das
coordenadas (x,y) de um ponto qualquer do 2 . Assim:
- Se (x,y) pertence ao I quadrante, ento x>0 e y>0. Simbolicamente: (+,+);
- Se (x,y) pertence ao II quadrante, ento x0. Simbolicamente: (-,+);
- Se (x,y) pertence ao III quadrante, ento x
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respectivamente, como mostra a figura abaixo. Futuramente o conjunto dos
versores { }j,i rr ser chamado de uma base do 2.
Pela figura acima, podemos ver que jyixvrrr
+= , ou seja, o vetor vr
escrito
em funo da base { }j,i rr . A expresso jyixv rrr += chamada de expresso cartesiana de um vetor do 2 e seu mdulo determinado por 22 yx|v| +=
r.
Todo vetor do plano ser representado a partir da origem do sistema, ou seja,
a origem do vetor coincide com a origem do sistema e sua extremidade coincide
com algum ponto P(x,y), do mesmo plano. Assim podemos identificar um vetor
com um ponto do plano e simplesmente escrever que )y,x(v =r
.
Por exemplo: Para o vetor ji3vrrr
= podemos escrever )1,3(v =r
e
represent-lo no 2, marcando o ponto P(3,-1) e unindo este ponto origem do
sistema, sempre fazendo coincidir a origem do vetor com a origem do sistema e a
extremidade do vetor com o ponto P(3,-1), como mostra a figura abaixo:
1.1 Operaes com vetores do 2 na forma cartesiana
Sejam jyixvejyixv 222111rrrrrr
+=+= dois vetores quaisquer do 2 e um
escalar qualquer . Ento:
- Adio: j)yy(i)xx(vv 212121rrrr
+++=+
- Subtrao: j)yy(i)xx(vv 212121rrrr
+=
- Multiplicao por escalar: j)y(i)x(v 111rrr
+=
Exemplo (1): Sejam iweji3v,j4i2urrrrrrr
=+=+= . Determine o mdulo do vetor
w2v3u21
Rrrr
+= .
vr
-1
3
P(3,-1)
y
x
O
jr
jyr
ir
ixr
vr
y
x
P(x,y)
Oy
Ox
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Soluo: Considerando as coordenadas dos vetores para simplificar a notao
vem: )0,1(we)1,3(v,)4,2(u ===rrr
. Vamos primeiro determinar o vetor R .
)1,12()032,291()0,2()3,9()2,1()0,1(2)1,3(3)4,2(21
R =+++=+=+=
Logo, ji12Rrr
= . Portanto, 1451144)1(12|R| 22 =+=+=
1.2 Cossenos diretores de um vetor
Seja jyixvrrr
+= um vetor qualquer do 2. Ento vr
forma um ngulo com
cada eixo coordenado. Sejam e os ngulos que o vetor vr
forma com os eixos
Ox e Oy, respectivamente. Pela figura abaixo temos: |v|
x)cos( r= e
|v|y
)cos( r= ,
chamados cossenos diretores do vetor .vr
Note que: 1)(cos)(cos 22 =+ , pois:
1|v|
y|v|
x22
=
+
rr e 222 yx|v| +=
r, ento 22 yx|v| +=
r.
Definio: Considere o vetor jyixvrrr
+= . Ento o versor do vetor vr
, denotado
por ovr
, um vetor paralelo, de mesmo sentido de vr
e unitrio, ou seja, 1vo =r
,
definido por |v|
vvo r
rr
= .
Como jyixvrrr
+= )y,x(v =r
==
|v|y
,|v|
x)y,x(
|v|1
vo rrrr
)cos,(cosvo =r
.
Exemplo (2): Dados os pontos A(2,4) e B(-1,3), determine:
a) Os cossenos diretores do vetor AB .
b) Um vetor wr
de mdulo 40 e paralelo ao vetor AB .
Soluo: a) )1,3()4,2()3,1(ABAB === , 10)1()3(|AB| 22 =+= . Ento:
10
1
|AB|
y)cos(e
10
3
|AB|
x)cos(
==
==
b) Seja )y,x(w =r
. Se wr
paralelo ao vetor AB , ento existe um escalar m tal
que: ABmw =r
. Ento:
=
===
mym3x
)1,3(m)y,x( . Por outro lado 40|w| =r
,
O
vr
y
x
P(x,y) Oy
Ox
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ento: 40yx 22 =+ ( )22
22 40yx =
+ 40yx 22 =+
40)m()m3( 22 =+ 2m40m10 2 == . Assim, h duas solues: para m = 2
)2,6(w =r
ou para m = -2 )2,6(w =r
o seu oposto. Logo, )2,6(w =r
ou
)2,6(w =r
.
Exemplo (3): Sejam )1m2,2(we)m,m3(v =+=rr
. Determine os valores de m
para que o vetor wvrr
tenha mdulo igual a 6.
Soluo: )1m,5m()1m2,2()m,m3(wv ++=+=rr
626m8m2)1m()5m(|wv| 222 =++=+++=rr
05m4m626m8m2 222
2 =+=
++
=
=
5m1m
2
1
Logo para
===
===
)11,2(we)5,2(v5m)1,2(we)1,4(v1m
2
1rr
rr
Exemplo (4): Seja )4,3(v =r
. Ao projetarmos o vetor vr
sobre o eixo Ox, obtemos
um vetor ur. Determine o vetor w
r que a projeo do vetor u
r na direo do vetor
vr
.
Soluo: Temos que )0,3(u =r
e wr
paralelo ao vetor vr
. Ento vwrr
= . Seja
)y,x(w =r
. Ento:
=
===
4y3x
)4,3()y,x(wr
. Por construo temos:
53
|w||v||u|
|u||w|
cos ===r
r
r
r
r
. Mas +=+= 2222 )4()3(yx|w|r
259
59
2553
)4()3(|w| 222 ===+=r
Portanto:
===
2536
,2527
w)4,3(259
)y,x(wrr
y
x
4
3 ur
wr
vr
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Exerccios Propostos:
1) Dados os vetores )3,4(ue)4,2(v ==rr
, determine os vetores bearr sabendo que
bavrrr
+= e que br
o triplo do versor do vetor ur.
Resp:
=
=
511
,522
ae59
,512
brr
2) Determine t para que )t2,t(u =r
tenha mdulo igual a 53 . Resp: t = 3
3) O vetor )8,2(v =r
a soma de um vetor ar que est sobre o eixo Ox com um
vetor br
, cujo mdulo 73 . Determine as possibilidades para os vetores ar e b
r
.
Resp:
==
==
)8,3(be)0,5(aou)8,3(be)0,1(a
rr
rr
4) Trs pontos do plano A(1,3), B(5,1) e C(2,7), determinam um tringulo ABC.
a) Mostre que 0BACBAC =++ .
b) Determine o permetro do tringulo ABC. Resp: 5517p2 +=
5) Sejam A, B, C e D, vrtices de um paralelogramo ABCD. Sendo A(-1,0) e
)4,3(BDe)4,7(AC == suas diagonais, determine os outros vrtices B, C e D.
Resp: B(1,4), C(6,4) e D(4,0)
2 Vetores no espao
O espao, tambm chamado de 3 , onde =3 , o conjunto de
todas as ternas (x,y,z) que, simbolicamente escrevemos { }= z,y,x/)z,y,x(3 .
Logo, todo ponto P do 3 representado por uma terna de nmeros reais P(x,y,z).
O 3 representado atravs do sistema de coordenadas cartesianas, o qual
constitudo por trs eixos perpendiculares entre si, cuja interseo a terna
O(0,0,0), chamada de origem do sistema. Esses eixos so denotados por Ox (eixo
das abscissas), Oy (eixo das ordenadas) e Oz (eixo das cotas), ambos chamados de
eixos coordenados, orientados como mostra a figura abaixo.
()
()
()
(+)
(+)
(+)
Oy
Oz
Ox
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Note que os eixos coordenados dividem o espao e 8 regies iguais, cada uma
delas chamadas de octantes. O que distingue um octante do outro so os sinais das
coordenadas (x,y,z) de um ponto qualquer do 3 . Assim:
- Se (x,y,z) pertence ao 1 octante, ento x>0, y>0 e z>0. Em smbolos: (+,+,+);
- Se (x,y,z) pertence ao 2 octante, ento x0 e z>0. Em smbolos: (,+,+);
- Se (x,y,z) pertence ao 3 octante, ento x0, y0. Em smbolos: (+,,+);
- Se (x,y,z) pertence ao 5 octante, ento x>0, y>0 e z
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do desenho geomtrico como noo de profundidade e perspectiva e, nem sempre
a visualizao do que se pretende representar evidente aos nossos olhos.
Como estamos interessados em fazer as representaes no 3 atravs de um
esboo, ou seja, algo simples e no pretendemos realizar construes difceis e
nem representaes elaboras, o que se adota como conveno representar o
octante desejado como se fosse sempre o 1 octante. Por exemplo, poderamos
representar o ponto Q(-3,5,6) da seguinte forma:
Qualquer vetor do 3 pode ser escrito em funo trs versores kej,irrr
, cada
um deles situados sobre os eixos coordenados Ox, Oy e Oz, respectivamente.
Futuramente o conjunto de versores { }k,j,i rrr ser chamado de uma base do 3.
Pela figura acima podemos ver que kzjyixvrrrr
++= , ou seja, o vetor vr
escrito em funo da base { }k,j,i rrr . A expresso kzjyixv rrrr ++= chamada de expresso cartesiana. Note tambm que, o mdulo de um vetor dado por
222 zyx|v| ++=r
, pois:
Do tringulo OQR vem: 222 yxw +=
Do tringulo POR vem: 222 zw|v| +=r
Ento: 2222 zyx|v| ++=r
Portanto: 222 zyx|v| ++=r
Oz
-3
Ox 6
5
Q(-3,5,6)
2 octante
Oy
Oy
x
kzr
kr
Ox
jr
jyr
ir
ixr
vr
z
y
P(x,y,z)
Oz
jyixrr
+
w
vr
R Q
P
O z
z
y
y
x
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Todo vetor do espao ser representado a partir da origem do sistema, ou
seja, a origem do vetor coincide com a origem do sistema e sua extremidade
coincide com algum ponto P(x,y,z). Assim, podemos identificar um vetor com um
ponto do espao e simplesmente escrever que )z,y,x(v =r
.
Por exemplo: O vetor k6j5i3vrrrr
++= escrito como )6,5,3(v =r
e represent-
lo no 3, marcando o ponto P e unindo este ponto origem do sistema, sempre
fazendo coincidir a origem do vetor com a origem do sistema e a extremidade do
vetor com o ponto P. Veja a figura abaixo:
2.1 Operaes com vetores do 3 na forma cartesiana
Sejam kzjyixvekzjyixv 22221111rrrrrrrr
++=++= dois vetores quaisquer do 3 e
um escalar qualquer . Ento:
- Adio: k)zz(j)yy(i)xx(vv 21212121rrrrr
+++++=+
- Subtrao: k)zz(j)yy(i)xx(vv 21212121rrrrr
++=
- Produto por escalar: k)z(j)y(i)x(v 1111rrrr
++=
Exemplo (5): Sejam jwek2ji3v,j4i2urrrrrrrr
=++=+= , trs vetores do espao.
Determine o mdulo do vetor w2v3u21
Rrrr
+= .
Soluo: Considerando as coordenadas dos vetores para simplificar a notao,
escrevemos: )0,1,0(we)2,1,3(v,)0,4,2(u ===rrr
. Determinando o vetor R vem:
)0,2,0()6,3,9()0,2,1()0,1,0(2)2,1,3(3)0,4,2(21
R +=+=
)6,3,10()060,232,091(R =+++= . Logo, k6j3i10Rrrr
=
Portanto, 145369100)6()3(10|R| 222 =++=++= .
Oz
3 Ox
vr
6
5
P(3,5,6)
Oy
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2.2 Cossenos diretores de um vetor
Seja kzjyixvrrrr
++= um vetor qualquer do 3. Ento vr
forma um ngulo com
cada eixo coordenado. Sejam , e os ngulos que o vetor forma com os eixos
Ox, Oy e Oz, respectivamente. Pela figura abaixo temos:
|v|
x)cos( r= ,
|v|y
)cos( r= , |v|
z)cos( r=
chamados de co-senos diretores do vetor .vr
Note que: 1)(cos)(cos)(cos 222 =++
Definio: Considere o vetor kzjyixvrrrr
++= . Ento o versor do vetor vr
,
denotado por ovr
, um vetor paralelo, de mesmo sentido de vr
e unitrio, ou seja,
1vo =r
, definido por |v|
vvo r
rr
= .
Como kzjyixvrrrr
++= )z,y,x(v =r
==
|v|z
,|v|
y,
|v|x
)z,y,x(|v|
1vo rrrrr
)cos,cos,(cosvo =r
.
2.3 Condio de paralelismo entre dois vetores.
Sejam )z,y,x(ve)z,y,x(u 222111 ==rr
dois vetores paralelos, ou seja, eles tm
a mesma direo, ento existe um escalar m tal que vmurr
= . Logo:
==
==
==
=
2
121
2
121
2
121
222111
zz
mmzz
yy
mmyy
xx
mmxx
)z,y,x(m)z,y,x( 2
1
2
1
2
1
zz
yy
xx
m === ,
0ze0y,0xcom 222 . Portanto, para que dois vetores sejam paralelos
necessrio que haja uma proporo entre suas coordenadas, isto , eles so
mltiplos escalares.
y
Ox
x
|v|r
z
P(x,y,z) Oz
Oy
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Por exemplo: considere os vetores )2,4,1(u =r
, )4,8,2(v =r
e )4,6,2(w =r
.
Temos que ur e v
rso paralelos, pois u2v
rr= e 2
24
48
12
=== . Note que ur e w
r
no so paralelos, pois 24
46
12
, ou seja, no existe nenhum escalar m tal
umwrr
= .
2.4 Condio de coplanaridade entre trs vetores
Sejam )z,y,x(u 111=r
, )z,y,x(v 222=r
e )z,y,x(w 333=r
vetores coplanares,
ou seja, vetores que esto no mesmo plano, ento existem escalares m, n tais
que wnvmurrr
+= .
Ento: += )z,y,x(n)z,y,x(m)z,y,x( 333222111
=+
=+
=+
132
132
132
znzmzynymyxnxmx
Podemos associar a este sistema linear uma matriz dos coeficientes, cujo
determinante igual a zero, pois existe uma combinao linear entre suas linhas,
ou seja, a primeira linha m vezes a segunda mais n vezes a terceira. Portanto, a
condio para que trs vetores sejam coplanares verificada quando
0zyxzyxzyx
333
222
111
= .
Exemplo (6): Dados os pontos P(2,4,5) e Q(1,2,3) determine um vetor wr
paralelo
ao vetor PQ e que tenha mdulo igual a 6.
Soluo: Sejam )z,y,x(w =r
. Como wr
paralelo a PQ , ento PQw =r
)2,2,1()z,y,x( = . Ento:
=
=
=
2z2y
x. O mdulo de )z,y,x(w =
r igual
6zyx 222 =++ 2696)2()2()( 2222 ===++ . Portanto,
)4,4,2(wou)4,4,2(w ==rr
.
vmr
vr
wr
wnr
ur
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Exemplo (7): Os vetores )0,1,0(ve)2,1,2(v 21 ==rr
esto aplicados no mesmo
ponto A. Determine um vetor AB de mdulo 32 , cuja direo a direo da
bissetriz do ngulo formado pelos vetores 21 vevrr
.
Soluo: Para que )z,y,x(AB = esteja sobre a bissetriz do ngulo entre 21 vevrr
,
necessrio que |v||v| 2211rr
= 22222
1 12)1(2 =++ 12 3= .
Pela figura podemos ver que 2211 vvABrr
+= . Para 12 3=
2111 v3vABrr
+= )v3v(AB 211rr
+= [ ])0,1,0(3)2,1,2()z,y,x( 1 +=
=
=
=
1
1
1
2z2y2x
. Como 32zyx32|AB| 222 =++=
32)2()2()2( 212
12
1 =++ 132323212 1121 === .
Portanto, )2,2,2(ABou)2,2,2(AB == .
Para 12 3= 2111 v3vABrr
= )v3v(AB 211rr
=
[ ])0,1,0(3)2,1,2()z,y,x( 1 =
=
=
=
1
1
1
2z4y
2x.
Como 32)2()4()2(32zyx32|AB| 212
12
1222 =++=++=
22
12243224 121
21 === .
Portanto, ( ) ( )2,22,2ABou2,22,2AB +==
Exemplo (8): Dar as expresses das coordenadas do ponto mdio do segmento de
reta de extremidades )z,y,x(A 111 e )z,y,x(B 222 .
Soluo: Seja M(x,y,z) o ponto mdio do segmento AB . O ponto M tal que
MBAM = ou M-A = B-M. Ento:
+=
+=
+=
=
=
=
=
21
21
21
21
21
21
222111
zzz2yyy2xxx2
zzzzyyyyxxxx
)zz,yy,xx()zz,yy,xx(
Portanto: Ponto mdio
+++
2zz
,2
yy,
2xx
M 212121
B
A
AB
1vr
2vr
11vr
22vr
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Exerccios Propostos:
1) Encontrar os valores a e b tais que ubvawrrr
+= , sendo )14,4,4(w =r
,
)1,2,1(v =r
e )4,0,2(u =r
. Resp: a =2 e b = -3
2) Determine o simtrico do ponto P(3,1,-2) em relao ao ponto A(-1,0,-3).
Resp: Q(-5,-1,-4)
3) Um vetor wr
do 3 forma com os eixos Ox e Oy, ngulos de 60o e 1200,
respectivamente. Determine wr
para que ele tenha mdulo igual a 2.
Resp: )2,1,1(wou)2,1,1(w ==rr
4) Sejam )0,1,1(be)0,0,1(a ==rr
. O ngulo entre eles 45o. Calcule o ngulo entre
os vetores baebarrrr
+ . Resp:
=
55
arccos
5) Dados os pontos A(1,-1,3) e B(3,1,5) , at que ponto se deve prolongar o
segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de
valor? Resp:
(9,7,11)
COMENTRIOS IMPORTANTES
1) Como podemos identificar um vetor kzjyixvvrrr
++= com um ponto do 3 e, a
fim de simplificar a notao, escrevermos )z,y,x(v =r
, muito comum o aluno
confundir as notaes de um ponto P(x,y,z) com o vetor )z,y,x(v =r
. s vezes at,
fazer operaes que so permitidas somente entre vetores, aplicando-as aos
pontos. Portanto, cuidado com as notaes.
2) A linguagem matemtica uma linguagem como outra qualquer, com suas
regras e conectivos lgicos. As prprias lnguas (portugus, ingls, alemo,...)
possuem suas regras de construo (concordncias, ortografia, conjugao
verbal,...) as quais devem ser empregadas corretamente para que as frases e os
pargrafos tenham sentido. Se por exemplo, em uma determinada linguagem
computacional voc esquecer-se de digitar um ponto ou uma vrgula, seu programa
no roda e enviar uma mensagem de erro. Veja o que acontece quando nos
esquecemos de digitar um ponto ou uma letra em um site da internet ou um e-
mail, no vamos conseguir navegar ou enviar uma mensagem. Assim tambm
linguagem matemtica. Se voc no escreve corretamente, seu desenvolvimento
matemtico ficar sem sentido e o professor, provavelmente, vai lhe enviar uma
mensagem de erro que a sua nota. Portanto, procure usar os smbolos de
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maneira correta e ordenada, para aqueles que lerem seu desenvolvimento
matemtico possa entender o seu raciocnio.