Post on 19-Jul-2020
Cálculo I
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 4
11 de setembro de 2007
Aula 4 Cálculo I 1
Exercícios da última aula
Aula 4 Cálculo I 2
Exercício [06] da lista 3
limx→1/2
2 x2 + 5 x − 32 x2 − 5 x + 2
(∗)= lim
x→1/2
2 (x − 1/2)(x + 3)
2 (x − 1/2)(x − 2)
= limx→1/2
x + 3x − 2
=1/2 + 31/2 − 2
= −73.
Aula 4 Cálculo I 3
(∗) pois 2 x2 + 5 x − 3 = 2 (x − 1/2)(x + 3) e2 x2 − 5 x + 2 = 2 (x − 1/2)(x − 2).
Exercício [06] da lista 3
limx→1/2
2 x2 + 5 x − 32 x2 − 5 x + 2
(∗)= lim
x→1/2
2 (x − 1/2)(x + 3)
2 (x − 1/2)(x − 2)
= limx→1/2
x + 3x − 2
=1/2 + 31/2 − 2
= −73.
Aula 4 Cálculo I 4
(∗) pois 2 x2 + 5 x − 3 = 2 (x − 1/2)(x + 3) e2 x2 − 5 x + 2 = 2 (x − 1/2)(x − 2).
Exercício [06] da lista 3
limx→1/2
2 x2 + 5 x − 32 x2 − 5 x + 2
(∗)= lim
x→1/2
2 (x − 1/2)(x + 3)
2 (x − 1/2)(x − 2)
= limx→1/2
x + 3x − 2
=1/2 + 31/2 − 2
= −73.
Aula 4 Cálculo I 5
(∗) pois 2 x2 + 5 x − 3 = 2 (x − 1/2)(x + 3) e2 x2 − 5 x + 2 = 2 (x − 1/2)(x − 2).
Exercício [06] da lista 3
limx→1/2
2 x2 + 5 x − 32 x2 − 5 x + 2
(∗)= lim
x→1/2
2 (x − 1/2)(x + 3)
2 (x − 1/2)(x − 2)
= limx→1/2
x + 3x − 2
=1/2 + 31/2 − 2
= −73.
Aula 4 Cálculo I 6
(∗) pois 2 x2 + 5 x − 3 = 2 (x − 1/2)(x + 3) e2 x2 − 5 x + 2 = 2 (x − 1/2)(x − 2).
Exercício [06] da lista 3
limx→1/2
2 x2 + 5 x − 32 x2 − 5 x + 2
(∗)= lim
x→1/2
2 (x − 1/2)(x + 3)
2 (x − 1/2)(x − 2)
= limx→1/2
x + 3x − 2
=1/2 + 31/2 − 2
= −73.
Aula 4 Cálculo I 7
(∗) pois 2 x2 + 5 x − 3 = 2 (x − 1/2)(x + 3) e2 x2 − 5 x + 2 = 2 (x − 1/2)(x − 2).
Exercício [09] da lista 3
limx→0
√x + 2 +
√x + 6 −
√6 −
√2
x
=
limx→0
(√x + 2 −
√2
x+
√x + 6 −
√6
x
)
=
limx→0
(√x + 2 −
√2
x·√
x + 2 +√
2√
x + 2 +√
2+
√x + 6 −
√6
x·√
x + 6 +√
6√x + 6 +
√6
)
=limx→0
((√
x + 2)2 − (√
2)2
x · (√
x + 2 +√
2)+
(√
x + 6)2 − (√
6)2
x · (√
x + 6 +√
6)
)=
limx→0
(x
x · (√
x + 2 +√
2)+
xx · (
√x + 6 +
√6)
)
Aula 4 Cálculo I 8
Exercício [09] da lista 3
limx→0
√x + 2 +
√x + 6 −
√6 −
√2
x
=
limx→0
(√x + 2 −
√2
x+
√x + 6 −
√6
x
)
=
limx→0
(√x + 2 −
√2
x·√
x + 2 +√
2√
x + 2 +√
2+
√x + 6 −
√6
x·√
x + 6 +√
6√x + 6 +
√6
)
=limx→0
((√
x + 2)2 − (√
2)2
x · (√
x + 2 +√
2)+
(√
x + 6)2 − (√
6)2
x · (√
x + 6 +√
6)
)=
limx→0
(x
x · (√
x + 2 +√
2)+
xx · (
√x + 6 +
√6)
)
Aula 4 Cálculo I 9
Exercício [09] da lista 3
limx→0
√x + 2 +
√x + 6 −
√6 −
√2
x
=
limx→0
(√x + 2 −
√2
x+
√x + 6 −
√6
x
)
=
limx→0
(√x + 2 −
√2
x·√
x + 2 +√
2√
x + 2 +√
2+
√x + 6 −
√6
x·√
x + 6 +√
6√x + 6 +
√6
)
=limx→0
((√
x + 2)2 − (√
2)2
x · (√
x + 2 +√
2)+
(√
x + 6)2 − (√
6)2
x · (√
x + 6 +√
6)
)=
limx→0
(x
x · (√
x + 2 +√
2)+
xx · (
√x + 6 +
√6)
)
Aula 4 Cálculo I 10
Exercício [09] da lista 3
limx→0
√x + 2 +
√x + 6 −
√6 −
√2
x
=
limx→0
(√x + 2 −
√2
x+
√x + 6 −
√6
x
)
=
limx→0
(√x + 2 −
√2
x·√
x + 2 +√
2√
x + 2 +√
2+
√x + 6 −
√6
x·√
x + 6 +√
6√x + 6 +
√6
)
=limx→0
((√
x + 2)2 − (√
2)2
x · (√
x + 2 +√
2)+
(√
x + 6)2 − (√
6)2
x · (√
x + 6 +√
6)
)=
limx→0
(x
x · (√
x + 2 +√
2)+
xx · (
√x + 6 +
√6)
)
Aula 4 Cálculo I 11
Exercício [09] da lista 3
limx→0
√x + 2 +
√x + 6 −
√6 −
√2
x
=
limx→0
(√x + 2 −
√2
x+
√x + 6 −
√6
x
)
=
limx→0
(√x + 2 −
√2
x·√
x + 2 +√
2√
x + 2 +√
2+
√x + 6 −
√6
x·√
x + 6 +√
6√x + 6 +
√6
)
=limx→0
((√
x + 2)2 − (√
2)2
x · (√
x + 2 +√
2)+
(√
x + 6)2 − (√
6)2
x · (√
x + 6 +√
6)
)=
limx→0
(x
x · (√
x + 2 +√
2)+
xx · (
√x + 6 +
√6)
)
Aula 4 Cálculo I 12
Exercício [09] da lista 3
Desta maneira,
limx→0
√x + 2 +
√x + 6 −
√6 −
√2
x= lim
x→0
(x
x · (√
x + 2 +√
2)+
xx · (
√x + 6 +
√6)
)
= limx→0
(1
√x + 2 +
√2
+1√
x + 6 +√
6
)
=1
2√
2+
12√
6=
√6 +
√2
4√
3.
Aula 4 Cálculo I 13
Exercício [09] da lista 3
Desta maneira,
limx→0
√x + 2 +
√x + 6 −
√6 −
√2
x= lim
x→0
(x
x · (√
x + 2 +√
2)+
xx · (
√x + 6 +
√6)
)
= limx→0
(1
√x + 2 +
√2
+1√
x + 6 +√
6
)
=1
2√
2+
12√
6=
√6 +
√2
4√
3.
Aula 4 Cálculo I 14
Exercício [09] da lista 3
Desta maneira,
limx→0
√x + 2 +
√x + 6 −
√6 −
√2
x= lim
x→0
(x
x · (√
x + 2 +√
2)+
xx · (
√x + 6 +
√6)
)
= limx→0
(1
√x + 2 +
√2
+1√
x + 6 +√
6
)
=1
2√
2+
12√
6=
√6 +
√2
4√
3.
Aula 4 Cálculo I 15
Exercício [09] da lista 3
Desta maneira,
limx→0
√x + 2 +
√x + 6 −
√6 −
√2
x= lim
x→0
(x
x · (√
x + 2 +√
2)+
xx · (
√x + 6 +
√6)
)
= limx→0
(1
√x + 2 +
√2
+1√
x + 6 +√
6
)
=1
2√
2+
12√
6=
√6 +
√2
4√
3.
Aula 4 Cálculo I 16
Exercício [11] da lista 3
Como x2 − 5 x + 4 = (x − 1)(x − 4), segue-se que
limx→1
x2 − 5 x + 4|x − 1|
= limx→1
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|.
Assim, precisamos estudar os limites laterais
limx→1+
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|e lim
x→1−
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|.
Aula 4 Cálculo I 17
Exercício [11] da lista 3
Como x2 − 5 x + 4 = (x − 1)(x − 4), segue-se que
limx→1
x2 − 5 x + 4|x − 1|
= limx→1
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|.
Assim, precisamos estudar os limites laterais
limx→1+
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|e lim
x→1−
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|.
Aula 4 Cálculo I 18
Exercício [11] da lista 3
Como x2 − 5 x + 4 = (x − 1)(x − 4), segue-se que
limx→1
x2 − 5 x + 4|x − 1|
= limx→1
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|.
Assim, precisamos estudar os limites laterais
limx→1+
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|e lim
x→1−
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|.
Aula 4 Cálculo I 19
Exercício [11] da lista 3
Agora,
limx→1+
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|= lim
x→1+
(x − 1)(x − 4)
x − 1= lim
x→1+(x − 4) = −3
e
limx→1−
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|= lim
x→1−
(x − 1)(x − 4)
−(x − 1)= lim
x→1−−(x − 4) = +3.
Aula 4 Cálculo I 20
Exercício [11] da lista 3
Agora,
limx→1+
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|= lim
x→1+
(x − 1)(x − 4)
x − 1= lim
x→1+(x − 4) = −3
e
limx→1−
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|= lim
x→1−
(x − 1)(x − 4)
−(x − 1)= lim
x→1−−(x − 4) = +3.
Aula 4 Cálculo I 21
Exercício [11] da lista 3
Agora,
limx→1+
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|= lim
x→1+
(x − 1)(x − 4)
x − 1= lim
x→1+(x − 4) = −3
e
limx→1−
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|= lim
x→1−
(x − 1)(x − 4)
−(x − 1)= lim
x→1−−(x − 4) = +3.
Aula 4 Cálculo I 22
Exercício [11] da lista 3
Agora,
limx→1+
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|= lim
x→1+
(x − 1)(x − 4)
x − 1= lim
x→1+(x − 4) = −3
e
limx→1−
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|= lim
x→1−
(x − 1)(x − 4)
−(x − 1)= lim
x→1−−(x − 4) = +3.
Aula 4 Cálculo I 23
Exercício [11] da lista 3
Agora,
limx→1+
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|= lim
x→1+
(x − 1)(x − 4)
x − 1= lim
x→1+(x − 4) = −3
e
limx→1−
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|= lim
x→1−
(x − 1)(x − 4)
−(x − 1)= lim
x→1−−(x − 4) = +3.
Aula 4 Cálculo I 24
Exercício [11] da lista 3
Agora,
limx→1+
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|= lim
x→1+
(x − 1)(x − 4)
x − 1= lim
x→1+(x − 4) = −3
e
limx→1−
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|= lim
x→1−
(x − 1)(x − 4)
−(x − 1)= lim
x→1−−(x − 4) = +3.
Aula 4 Cálculo I 25
Exercício [11] da lista 3
Agora,
limx→1+
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|= lim
x→1+
(x − 1)(x − 4)
x − 1= lim
x→1+(x − 4) = −3
e
limx→1−
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|= lim
x→1−
(x − 1)(x − 4)
−(x − 1)= lim
x→1−−(x − 4) = +3.
Aula 4 Cálculo I 26
Exercício [11] da lista 3
Como
limx→1+
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|= −3 6= +3 = lim
x→1−
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|,
segue-se que
não existe limx→1
x2 − 5 x + 4|x − 1|
!
Aula 4 Cálculo I 27
Exercício [11] da lista 3
Como
limx→1+
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|= −3 6= +3 = lim
x→1−
(x − 1)(x − 4)
|x − 1|,
segue-se que
não existe limx→1
x2 − 5 x + 4|x − 1|
!
Aula 4 Cálculo I 28
Propriedades de limites
Aula 4 Cálculo I 29
Propriedades de limites
Suponha que existam os limites limx→p
f (x) e limx→p
g(x). Então:
(1) O limite de uma soma é a soma dos limites:
limx→p
(f (x) + g(x)) = limx→p
f (x) + limx→p
g(x).
(2) O limite de uma diferença é a diferença dos limites:
limx→p
(f (x)− g(x)) = limx→p
f (x)− limx→p
g(x).
(3) O limite de um produto é o produto dos limites:
limx→p
(f (x) · g(x)) = limx→p
f (x) · limx→p
g(x).
Proposição
Aula 4 Cálculo I 30
Propriedades de limites
(4) O limite de um quociente é o quociente dos limites, desdeque o limite do denominador seja diferente de zero:
limx→p
f (x)
g(x)=
limx→p
f (x)
limx→p
g(x).
(5) O limite de uma constante vezes uma função é igual aconstante vezes o limite da função:
limx→p
(c · f(x)) = c · limx→p
f (x).
Proposição
Aula 4 Cálculo I 31
Propriedades de limites
Suponha que exista o limite limx→p
f (x). Então, para todo numero
inteiro n > 0, vale que
limx→p
[f (x)]n =
[limx→p
f (x)
]n
.
Corolário
Demonstração:
limx→p
[f (x)]n = limx→p
(f (x) · f (x) · · · f (x)) (por (3))
=
(limx→p
f (x)
)·(
limx→p
f (x)
)· · ·(
limx→p
f (x)
)=
[limx→p
f (x)
]n
.
Aula 4 Cálculo I 32
Propriedades de limites
Suponha que exista o limite limx→p
f (x). Então, para todo numero
inteiro n > 0, vale que
limx→p
[f (x)]n =
[limx→p
f (x)
]n
.
Corolário
Demonstração:
limx→p
[f (x)]n = limx→p
(f (x) · f (x) · · · f (x)) (por (3))
=
(limx→p
f (x)
)·(
limx→p
f (x)
)· · ·(
limx→p
f (x)
)=
[limx→p
f (x)
]n
.
Aula 4 Cálculo I 33
Propriedades de limites
Os resultados anteriorescontinuam válidos para limites laterais!
Aula 4 Cálculo I 34
Exemplo
limx→5
(2 x2 − 3 x + 4) = limx→5
(2 x2)− limx→5
(3 x) + limx→5
4
= 2 limx→5
x2 − 3 limx→5
x + limx→5
4
= 2 (5)2 − 3 (5) + 4 = 39.
Aula 4 Cálculo I 35
Exemplo
limx→5
(2 x2 − 3 x + 4) = limx→5
(2 x2)− limx→5
(3 x) + limx→5
4
= 2 limx→5
x2 − 3 limx→5
x + limx→5
4
= 2 (5)2 − 3 (5) + 4 = 39.
Aula 4 Cálculo I 36
Exemplo
limx→5
(2 x2 − 3 x + 4) = limx→5
(2 x2)− limx→5
(3 x) + limx→5
4
= 2 limx→5
x2 − 3 limx→5
x + limx→5
4
= 2 (5)2 − 3 (5) + 4 = 39.
Aula 4 Cálculo I 37
Exemplo
limx→5
(2 x2 − 3 x + 4) = limx→5
(2 x2)− limx→5
(3 x) + limx→5
4
= 2 limx→5
x2 − 3 limx→5
x + limx→5
4
= 2 (5)2 − 3 (5) + 4 = 39.
Aula 4 Cálculo I 38
Exemplo
limx→5
(2 x2 − 3 x + 4) = limx→5
(2 x2)− limx→5
(3 x) + limx→5
4
= 2 limx→5
x2 − 3 limx→5
x + limx→5
4
= 2 (5)2 − 3 (5) + 4 = 39.
Aula 4 Cálculo I 39
Exemplo
limx→−2
x3 + 2 x2 − 15 − 3 x
=lim
x→−2(x3 + 2 x2 − 1)
limx→−2
(5 − 3 x)
=lim
x→−2x3 + 2 lim
x→−2x2 − lim
x→−21
limx→−2
5 − 3 limx→−2
x
=(−2)3 + 2 (−2)2 − 1
5 − 3 (−2)= − 1
11.
Aula 4 Cálculo I 40
Exemplo
limx→−2
x3 + 2 x2 − 15 − 3 x
=lim
x→−2(x3 + 2 x2 − 1)
limx→−2
(5 − 3 x)
=lim
x→−2x3 + 2 lim
x→−2x2 − lim
x→−21
limx→−2
5 − 3 limx→−2
x
=(−2)3 + 2 (−2)2 − 1
5 − 3 (−2)= − 1
11.
Aula 4 Cálculo I 41
Exemplo
limx→−2
x3 + 2 x2 − 15 − 3 x
=lim
x→−2(x3 + 2 x2 − 1)
limx→−2
(5 − 3 x)
=lim
x→−2x3 + 2 lim
x→−2x2 − lim
x→−21
limx→−2
5 − 3 limx→−2
x
=(−2)3 + 2 (−2)2 − 1
5 − 3 (−2)= − 1
11.
Aula 4 Cálculo I 42
Exemplo
limx→−2
x3 + 2 x2 − 15 − 3 x
=lim
x→−2(x3 + 2 x2 − 1)
limx→−2
(5 − 3 x)
=lim
x→−2x3 + 2 lim
x→−2x2 − lim
x→−21
limx→−2
5 − 3 limx→−2
x
=(−2)3 + 2 (−2)2 − 1
5 − 3 (−2)= − 1
11.
Aula 4 Cálculo I 43
Exemplo
limx→−2
x3 + 2 x2 − 15 − 3 x
=lim
x→−2(x3 + 2 x2 − 1)
limx→−2
(5 − 3 x)
=lim
x→−2x3 + 2 lim
x→−2x2 − lim
x→−21
limx→−2
5 − 3 limx→−2
x
=(−2)3 + 2 (−2)2 − 1
5 − 3 (−2)= − 1
11.
Aula 4 Cálculo I 44
Exemplo
limx→−2
[f (x) + 5 g(x)] = limx→−2
f (x) + 5 limx→−2
g(x) = 1 + 5 (−1) = −4.
Aula 4 Cálculo I 45
Exemplo
limx→−2
[f (x) + 5 g(x)] = limx→−2
f (x) + 5 limx→−2
g(x) = 1 + 5 (−1) = −4.
Aula 4 Cálculo I 46
Exemplo
limx→−2
[f (x) + 5 g(x)] = limx→−2
f (x) + 5 limx→−2
g(x) = 1 + 5 (−1) = −4.
Aula 4 Cálculo I 47
Exemplo
limx→1
[f (x) · g(x)] não existe!
Aula 4 Cálculo I 48
Exemplo
limx→1
[f (x) · g(x)] não existe!
Aula 4 Cálculo I 49
Exemplo
pois limx→1−
[f (x) · g(x)] = limx→1−
f (x) · limx→1−
g(x) = (2)(−2) = −4 6= − 2 = (2)(−1) = limx→1+
[f (x) · g(x)].
Aula 4 Cálculo I 50
Exemplo
pois limx→1−
[f (x) · g(x)] = limx→1−
f (x) · limx→1−
g(x) = (2)(−2) = −4 6= − 2 = (2)(−1) = limx→1+
[f (x) · g(x)].
Aula 4 Cálculo I 51
Exemplo
pois limx→1−
[f (x) · g(x)] = limx→1−
f (x) · limx→1−
g(x) = (2)(−2) = −4 6= − 2 = (2)(−1) = limx→1+
[f (x) · g(x)].
Aula 4 Cálculo I 52
Exemplo
pois limx→1−
[f (x) · g(x)] = limx→1−
f (x) · limx→1−
g(x) = (2)(−2) = −4 6= − 2 = (2)(−1) = limx→1+
[f (x) · g(x)].
Aula 4 Cálculo I 53
Exemplo
pois limx→1−
[f (x) · g(x)] = limx→1−
f (x) · limx→1−
g(x) = (2)(−2) = −4 6= − 2 = (2)(−1) = limx→1+
[f (x) · g(x)].
Aula 4 Cálculo I 54
Exemplo
pois limx→1−
[f (x) · g(x)] = limx→1−
f (x) · limx→1−
g(x) = (2)(−2) = −4 6= − 2 = (2)(−1) = limx→1+
[f (x) · g(x)].
Aula 4 Cálculo I 55
Exemplo
pois limx→1−
[f (x) · g(x)] = limx→1−
f (x) · limx→1−
g(x) = (2)(−2) = −4 6= − 2 = (2)(−1) = limx→1+
[f (x) · g(x)].
Aula 4 Cálculo I 56
Exemplo
limx→2
(g(x)/f (x)) =
(limx→2
g(x)
)/
(limx→2
f (x)
)= 0/2 = 0.
Aula 4 Cálculo I 57
Exemplo
limx→2
(g(x)/f (x)) =
(limx→2
g(x)
)/
(limx→2
f (x)
)= 0/2 = 0.
Aula 4 Cálculo I 58
Exemplo
limx→2
(g(x)/f (x)) =
(limx→2
g(x)
)/
(limx→2
f (x)
)= 0/2 = 0.
Aula 4 Cálculo I 59
O teorema do confronto
Aula 4 Cálculo I 60
O teorema do confronto
Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de p (excetopossivelmente em p) e
limx→p
f (x) = L = limx→p
h(x),
entãolimx→p
g(x) = L.
Teorema
Este teorema também é conhecido comoo teorema do sanduíche.
Aula 4 Cálculo I 61
O teorema do confronto
Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de p (excetopossivelmente em p) e
limx→p
f (x) = L = limx→p
h(x),
entãolimx→p
g(x) = L.
Teorema
Este teorema também é conhecido comoo teorema do sanduíche.
Aula 4 Cálculo I 62
Exemplo
Mostre que limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, para todox 6= 0,
−x2︸︷︷︸f (x)
≤ x2 sen(
1x
)︸ ︷︷ ︸
g(x)
≤ +x2︸︷︷︸h(x)
Como limx→0(−x)2 = 0 = limx→0(+x2), segue pelo teorema do confrontoque
limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Aula 4 Cálculo I 63
Exemplo
Mostre que limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, para todox 6= 0,
−x2︸︷︷︸f (x)
≤ x2 sen(
1x
)︸ ︷︷ ︸
g(x)
≤ +x2︸︷︷︸h(x)
Como limx→0(−x)2 = 0 = limx→0(+x2), segue pelo teorema do confrontoque
limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Aula 4 Cálculo I 64
Exemplo
Mostre que limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, para todox 6= 0,
−x2︸︷︷︸f (x)
≤ x2 sen(
1x
)︸ ︷︷ ︸
g(x)
≤ +x2︸︷︷︸h(x)
Como limx→0(−x)2 = 0 = limx→0(+x2), segue pelo teorema do confrontoque
limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Aula 4 Cálculo I 65
Exemplo
Mostre que limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, para todox 6= 0,
−x2︸︷︷︸f (x)
≤ x2 sen(
1x
)︸ ︷︷ ︸
g(x)
≤+x2︸︷︷︸h(x)
Como limx→0(−x)2 = 0 = limx→0(+x2), segue pelo teorema do confrontoque
limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Aula 4 Cálculo I 66
Exemplo
Mostre que limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, para todox 6= 0,
−x2︸︷︷︸f (x)
≤ x2 sen(
1x
)︸ ︷︷ ︸
g(x)
≤ +x2︸︷︷︸h(x)
Como limx→0(−x)2 = 0 = limx→0(+x2), segue pelo teorema do confrontoque
limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Aula 4 Cálculo I 67
Exemplo
Mostre que limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, para todox 6= 0,
−x2︸︷︷︸f (x)
≤ x2 sen(
1x
)︸ ︷︷ ︸
g(x)
≤ +x2︸︷︷︸h(x)
Como limx→0(−x)2 = 0 = limx→0(+x2), segue pelo teorema do confrontoque
limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Aula 4 Cálculo I 68
Exemplo
Mostre que limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, para todox 6= 0,
−x2︸︷︷︸f (x)
≤ x2 sen(
1x
)︸ ︷︷ ︸
g(x)
≤ +x2︸︷︷︸h(x)
Como limx→0(−x)2 = 0 = limx→0(+x2), segue pelo teorema do confrontoque
limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Aula 4 Cálculo I 69
Exemplo
Aula 4 Cálculo I 70
Verdadeiro ou falso?
Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de p (excetopossivelmente em p) e
limx→p
f (x) = L e limx→p
h(x) = M,
entãolimx→p
g(x) existe.
Falso!
∀x 6= 0, −1︸︷︷︸f (x)
≤ sen(
1x
)︸ ︷︷ ︸
g(x)
≤ +1︸︷︷︸h(x)
, limx→0
f (x) = L = −1, limx→0
h(x) = M = +1,
mas limx→0
g(x) = limx→0
sen(
1x
)não existe!
Aula 4 Cálculo I 71
Verdadeiro ou falso?
Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de p (excetopossivelmente em p) e
limx→p
f (x) = L e limx→p
h(x) = M,
entãolimx→p
g(x) existe.
Falso!
∀x 6= 0, −1︸︷︷︸f (x)
≤ sen(
1x
)︸ ︷︷ ︸
g(x)
≤ +1︸︷︷︸h(x)
, limx→0
f (x) = L = −1, limx→0
h(x) = M = +1,
mas limx→0
g(x) = limx→0
sen(
1x
)não existe!
Aula 4 Cálculo I 72
Verdadeiro ou falso?
Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de p (excetopossivelmente em p) e
limx→p
f (x) = L e limx→p
h(x) = M,
entãolimx→p
g(x) existe.
Falso!
∀x 6= 0, −1︸︷︷︸f (x)
≤ sen(
1x
)︸ ︷︷ ︸
g(x)
≤ +1︸︷︷︸h(x)
, limx→0
f (x) = L = −1, limx→0
h(x) = M = +1,
mas limx→0
g(x) = limx→0
sen(
1x
)não existe!
Aula 4 Cálculo I 73
Verdadeiro ou falso?
Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de p (excetopossivelmente em p) e
limx→p
f (x) = L e limx→p
h(x) = M,
entãolimx→p
g(x) existe.
Falso!
∀x 6= 0, −1︸︷︷︸f (x)
≤ sen(
1x
)︸ ︷︷ ︸
g(x)
≤ +1︸︷︷︸h(x)
, limx→0
f (x) = L = −1, limx→0
h(x) = M = +1,
mas limx→0
g(x) = limx→0
sen(
1x
)não existe!
Aula 4 Cálculo I 74
Verdadeiro ou falso?
Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de p (excetopossivelmente em p) e
limx→p
f (x) = L e limx→p
h(x) = M,
entãolimx→p
g(x) existe.
Falso!
∀x 6= 0, −1︸︷︷︸f (x)
≤ sen(
1x
)︸ ︷︷ ︸
g(x)
≤ +1︸︷︷︸h(x)
, limx→0
f (x) = L = −1, limx→0
h(x) = M = +1,
mas limx→0
g(x) = limx→0
sen(
1x
)não existe!
Aula 4 Cálculo I 75
Verdadeiro ou falso?
Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de p (excetopossivelmente em p) e
limx→p
f (x) = L e limx→p
h(x) = M,
entãolimx→p
g(x) existe.
Falso!
∀x 6= 0, −1︸︷︷︸f (x)
≤ sen(
1x
)︸ ︷︷ ︸
g(x)
≤ +1︸︷︷︸h(x)
, limx→0
f (x) = L = −1, limx→0
h(x) = M = +1,
mas limx→0
g(x) = limx→0
sen(
1x
)não existe!
Aula 4 Cálculo I 76
Verdadeiro ou falso?
Aula 4 Cálculo I 77
O teorema do anulamento
Aula 4 Cálculo I 78
Funções limitadas
Dizemos que uma função y = f (x) é limitada em um conjuntoD se existe uma constante M > 0 tal que, para todo x ∈ D,
−M ≤ f (x) ≤ +M.
Definição
Aula 4 Cálculo I 79
Exemplo
y = sen(x) é limitada em D = R.
Aula 4 Cálculo I 80
Exemplo
y = arctg(x) é limitada em D = R.
Aula 4 Cálculo I 81
Exemplo
y = x2 não é limitada em D = R.
Aula 4 Cálculo I 82
Exemplo
Mas y = x2 é limitada em D = [−1,+1].
Aula 4 Cálculo I 83
Exemplo
y = |x |/x é limitada em D = R.
Aula 4 Cálculo I 84
O teorema do anulamento
Se y = f (x) é uma função limitada em torno de um ponto p elimx→p g(x) = 0, então
limx→p
(f (x) · g(x)) = 0.
Teorema
Aula 4 Cálculo I 85
Exemplo
Mostre que limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Solução.
Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, y = f (x) =sen(1/x) é uma função limitada em D = R − {0}.
Se y = g(x) = x2, então limx→0 g(x) = limx→0 x2 = 0.
Segue-se então pelo teorema do anulamento que
limx→0
(f (x) · g(x)) = limx→0
sen(
1x
)x2 = lim
x→0x2 sen
(1x
)= 0.
Aula 4 Cálculo I 86
Exemplo
Mostre que limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Solução.
Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, y = f (x) =sen(1/x) é uma função limitada em D = R − {0}.
Se y = g(x) = x2, então limx→0 g(x) = limx→0 x2 = 0.
Segue-se então pelo teorema do anulamento que
limx→0
(f (x) · g(x)) = limx→0
sen(
1x
)x2 = lim
x→0x2 sen
(1x
)= 0.
Aula 4 Cálculo I 87
Exemplo
Mostre que limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Solução.
Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, y = f (x) =sen(1/x) é uma função limitada em D = R − {0}.
Se y = g(x) = x2, então limx→0 g(x) = limx→0 x2 = 0.
Segue-se então pelo teorema do anulamento que
limx→0
(f (x) · g(x)) = limx→0
sen(
1x
)x2 = lim
x→0x2 sen
(1x
)= 0.
Aula 4 Cálculo I 88
Exemplo
Mostre que limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Solução.
Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, y = f (x) =sen(1/x) é uma função limitada em D = R − {0}.
Se y = g(x) = x2, então limx→0 g(x) = limx→0 x2 = 0.
Segue-se então pelo teorema do anulamento que
limx→0
(f (x) · g(x)) = limx→0
sen(
1x
)x2 = lim
x→0x2 sen
(1x
)= 0.
Aula 4 Cálculo I 89
Exemplo
Mostre que limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Solução.
Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, y = f (x) =sen(1/x) é uma função limitada em D = R − {0}.
Se y = g(x) = x2, então limx→0 g(x) = limx→0 x2 = 0.
Segue-se então pelo teorema do anulamento que
limx→0
(f (x) · g(x)) = limx→0
sen(
1x
)x2 = lim
x→0x2 sen
(1x
)= 0.
Aula 4 Cálculo I 90
Exemplo
Mostre que limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Solução.
Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, y = f (x) =sen(1/x) é uma função limitada em D = R − {0}.
Se y = g(x) = x2, então limx→0 g(x) = limx→0 x2 = 0.
Segue-se então pelo teorema do anulamento que
limx→0
(f (x) · g(x)) = limx→0
sen(
1x
)x2 = lim
x→0x2 sen
(1x
)= 0.
Aula 4 Cálculo I 91
Verdadeiro ou falso?
Se y = f (x) é uma função qualquer e limx→p g(x) = 0, então
limx→p
(f (x) · g(x)) = 0.
Falso!
Tome f (x) =1x
e g(x) = x . Note que limx→
g(x) = 0,
mas limx→0
(f (x) · g(x)) = limx→0
1x· x = lim
x→01 = 1 6= 0.
Aula 4 Cálculo I 92
Verdadeiro ou falso?
Se y = f (x) é uma função qualquer e limx→p g(x) = 0, então
limx→p
(f (x) · g(x)) = 0.
Falso!
Tome f (x) =1x
e g(x) = x . Note que limx→
g(x) = 0,
mas limx→0
(f (x) · g(x)) = limx→0
1x· x = lim
x→01 = 1 6= 0.
Aula 4 Cálculo I 93
Verdadeiro ou falso?
Se y = f (x) é uma função qualquer e limx→p g(x) = 0, então
limx→p
(f (x) · g(x)) = 0.
Falso!
Tome f (x) =1x
e g(x) = x . Note que limx→
g(x) = 0,
mas limx→0
(f (x) · g(x)) = limx→0
1x· x = lim
x→01 = 1 6= 0.
Aula 4 Cálculo I 94
Verdadeiro ou falso?
Se y = f (x) é uma função qualquer e limx→p g(x) = 0, então
limx→p
(f (x) · g(x)) existe.
Falso!
Tome f (x) =|x |x2 e g(x) = x . Note que lim
x→g(x) = 0,
mas limx→0
(f (x) · g(x)) = limx→0
|x |x2 · x = lim
x→0
|x |x
não existe.
Aula 4 Cálculo I 95
Verdadeiro ou falso?
Se y = f (x) é uma função qualquer e limx→p g(x) = 0, então
limx→p
(f (x) · g(x)) existe.
Falso!
Tome f (x) =|x |x2 e g(x) = x . Note que lim
x→g(x) = 0,
mas limx→0
(f (x) · g(x)) = limx→0
|x |x2 · x = lim
x→0
|x |x
não existe.
Aula 4 Cálculo I 96
Verdadeiro ou falso?
Se y = f (x) é uma função qualquer e limx→p g(x) = 0, então
limx→p
(f (x) · g(x)) existe.
Falso!
Tome f (x) =|x |x2 e g(x) = x . Note que lim
x→g(x) = 0,
mas limx→0
(f (x) · g(x)) = limx→0
|x |x2 · x = lim
x→0
|x |x
não existe.
Aula 4 Cálculo I 97
Verdadeiro ou falso?
Se y = f (x) é uma função limitada em torno de um ponto p elimx→p g(x) existe, então
limx→p
(f (x) · g(x)) também existe.
Falso!
Tome f (x) =|x |x
e g(x) = 1. Note que f é limitada e limx→
g(x) = 1,
mas limx→0
(f (x) · g(x)) = limx→0
|x |x
· 1 = limx→0
|x |x
não existe.
Aula 4 Cálculo I 98
Verdadeiro ou falso?
Se y = f (x) é uma função limitada em torno de um ponto p elimx→p g(x) existe, então
limx→p
(f (x) · g(x)) também existe.
Falso!
Tome f (x) =|x |x
e g(x) = 1. Note que f é limitada e limx→
g(x) = 1,
mas limx→0
(f (x) · g(x)) = limx→0
|x |x
· 1 = limx→0
|x |x
não existe.
Aula 4 Cálculo I 99
Verdadeiro ou falso?
Se y = f (x) é uma função limitada em torno de um ponto p elimx→p g(x) existe, então
limx→p
(f (x) · g(x)) também existe.
Falso!
Tome f (x) =|x |x
e g(x) = 1. Note que f é limitada e limx→
g(x) = 1,
mas limx→0
(f (x) · g(x)) = limx→0
|x |x
· 1 = limx→0
|x |x
não existe.
Aula 4 Cálculo I 100