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Introducao Limites
Limites - parte 1
Wellington D. [email protected]
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Universidade Tecnologica Federal do Parana - UTFPRCampus Londrina
Wellington D. Previero Limite 1 / 38
Introducao Limites
Sumario
1 Introducao
2 Limites
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Introducao Limites
Numero de ouro
Exemplo 1: Numero de ouro
O numero de ouro (ou razao aurea) e uma constante realirracional denotada pela letra grega φ, em homenagem aoescultor grego Phideas.
φ =1 +√
52
≈ 1,618033988
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Numero de ouro
Exemplo 1: Numero de ouro
A sequencia da Fibonacci e gerada a partir da seguinte regra:os dois primeiros termos sao iguais a 1, e cada elemento, apartir do terceiro, e obtido somando-se os dois anteriores. SejaFn o n-esimo termo da sequencia.
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Numero de ouro
Exemplo 1: Numero de ouro
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Numero de ouro
Exemplo 1: Numero de ouro
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Numero de ouro
Exemplo 1: Numero de ouroNa ultima coluna da tabela anterior sugere que, a medidaque o valor de n aumenta, a razao Fn
Fn−1se aproxima (ou
tende) cada vez mais do numero de ouro.Notacao: n→∞⇒ Fn
Fn−1→ φ.
Notacao: limn→∞Fn
Fn−1= φ.
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Introducao
Exemplo 2: Problema da reta tangente
Dado grafico de uma funcao (ou equacao) e um pontoP(x0, y0), determine a reta tangente ao grafico em P.
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Introducao
Exemplo 2: Problema da reta tangente
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Introducao
Exemplo 2: Problema da reta tangente
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Introducao
Exemplo 2: Problema da reta tangente
rsec : reta secante que passa pelos pontos P e Q.
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Introducao
Exemplo 2: Problema da reta tangente
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Introducao
Exemplo 2: Problema da reta tangente
A medida que o ponto Q se aproxima de P, a reta secantese aproxima de uma posicao limite. Esta posicao limite edenotada pela reta tangente.Notacao: Q → P ⇒ rsec → rtg .Notacao: limQ→P rsec = rtg .
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Introducao
Exemplo 3: Problema da area
Considere o grafico da funcao f (x) = x2. Determine a area (A)compreendida pelo grafico da funcao ao eixo x no intervalo[0,2].
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Introducao
Exemplo 3: Problema da area
Soma da area dos retangulos (n = 4): A4 = 1,75u.a.
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Introducao
Exemplo 3: Problema da area
Soma da area dos retangulos (n = 8): A8 = 2,1875u.a.
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Introducao
Exemplo 3: Problema da area
Soma da area dos retangulos (n = 16):A16 = 2,421875u.a.
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Introducao
Exemplo 3: Problema da area
Soma da area dos retangulos (n = 32):A36 = 2,542968751u.a.
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Introducao
Exemplo 3: Problema da area
Soma da area dos retangulos (n = 64):A64 = 2,604492187u.a.
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Introducao
Exemplo 3: Problema da area
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Introducao
Exemplo 3: Problema da area
A medida que a quantidade de retangulo (n) aumenta, asoma da area se aproxima (ou tende) de um valor limite.Notacao: n→∞⇒ An → A.Notacao: limn→∞ An = A.
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Limites
Objetivo
Dada a funcao y = f (x), verificar qual o comportamento dafuncao quando a variavel independente x se aproxima de umvalor especıfico a.
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Limites
Exemplo 1
Qual o comportamento da funcao f (x) = x2 − x + 4 quando avariavel x se aproxima do valor 2?
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Limites: exemplo 1
x 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1f (x) 5,71 5,9701 5,997001 6,003001 6,0301 6,31
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Limites: exemplo 1
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Limites
Exemplo 1
Solucao:limx→2
(x2 − x + 4) = 2
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Limites
Exemplo 2
Sendo f (x) =x√
x + 1− 1, determine limx→0 f (x).
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Limites: exemplo 2
x -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1f (x) 1,9486 1,99498 1,999499 2,0004998 2,004987 2,04880
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Limites: exemplo 2
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Limites
Exemplo 2
Solucao:limx→0
x√x + 1− 1
= 2
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Limites
Exemplo 3Deetermine limx→0 senπ
x .
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Limites: exemplo 3
x -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1f (x) 0 0 0 0 0 0
limx→0
senπ
x= 0 ?
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Limites: exemplo 3
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Limites
Exemplo 3
Solucao:limx→0
senπ
x= @
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Limites
Exemplo 4
Determine limx→0senx
x .
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Limites: exemplo 4
x -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1f (x) 0,99833 0,999983 0,99999983 0,99999983 0,999983 0,99833
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Limites: exemplo 4
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Limites
Exemplo 4
Solucao:limx→0
senxx
= 1
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