Post on 21-Nov-2014
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Indeterminacoes
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Sumario
1 Indeterminacoes 3
1.10
0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Indeterminacoes importantes do tipo0
0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 O limite fundamental limx→0
sen(x)
x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 ∞−∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4∞∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 0.∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 1∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Indeterminacoes importantes do tipo 1∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7.1 limx→0
(1 + x)1x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8 Formas determinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8.1 0∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2
Capıtulo 1
Indeterminacoes
Esse texto ainda nao se encontra na sua versao final, sendo, por enquanto, con-
stituıdo apenas de anotacoes informais. Sugestoes para melhoria do texto, correcoes
da parte matematica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email
rodrigo.uff.math@gmail.com.
Definicao 1 (Indeterminacao). Uma expressao f e indeterminada quando, em geral, nao
podemos dizer qual sera o seu valor ( se assume valor), quando os termos de tal expressao
sao tomadas como limites de uma funcoes ou sequencias. Indeterminacoes nao estao
relacionadas diretamente com definicao aritmetica de operacoes entre numeros e sim com
limites de funcoes ou sequencias.
A definicao pode parecer meio confusa, mas esperamos que por meio de exemplos
possamos dar a ideia do que sejam indeterminacoes. Entao vejamos alguns exemplos
1.10
0.
Duas funcoes f e g podem tender a zero, porem seu limitef
gpode tender a um numero
qualquer, por isso dizemos que0
0e uma indeterminacao.
Exemplo 1 (Limites existindo). Sejam f, g dadas por f(x) = cx e g(x) = x, entao vale
limx→0
cx = limx→0
x = 0
3
CAPITULO 1. INDETERMINACOES 4
porem
limx→0
cx
x= c
sendo c arbitrario, os limites dessa forma nao sao sempre determinados, por isso0
0e uma
indeterminacao.
Exemplo 2 (Limite nao existindo). Tomamos f(x) = xsen(1
x) e g(x) = x vale
limx→0
xsen(1
x) = lim
x→0x = 0
o primeiro limite existe pois sen(1
x) e limitada e x → 0, logo por teorema do sanduıche o
resultado e nulo.
Porem o limite do quociente nao existe
limx→0
xsen( 1x)
x= lim
x→0sen(
1
x)
limx→0
sen(1
x) nao existe.
Usamos o criterio de sequencias para mostrar que esse limite nao existe . Tomamos as
sequencias xn =1
2nπe yn =
1
2nπ + π2
vale lim xn = 0 = lim yn e sen(1
xn
) = sen(2nπ) = 0
e sen(2nπ +π
2) = 1 logo os limites sao distintos entao lim
x→0sen(
1
x) nao existe.
Exemplo 3 (Limite infinitos). Tomando f(x) = cx2, c = 0 e g(x) = x tem-se
limx→0
cx = limx→0
x3 = 0
porem
limx→0
cx
x3= ±∞
sendo ∞ se c > 0 e −∞ se c < 0.
Observamos que indeterminacoes do tipo0
0podem resultar num limite igual a um
numero real qualquer, pode resultar num limite + infinito , −infinito ou num limite
inexistente (o resultado oscilar ) . Por isso daremos a seguinte definicao
Definicao 2 (Totalmente indeterminado). Uma indeterminacao e totalmente indetermi-
nada quando o resultado do limite pode ser
CAPITULO 1. INDETERMINACOES 5
• Qualquer numero real c
• Um limite − infinito ou + infinito .
• Ou o limite nao existir .
Nesse caso diremos tambem que a indeterminacao e total ou completa.
1.2 Indeterminacoes importantes do tipo0
0
1.2.1 Derivada
Exemplo 4 (Derivada). Se0
0nao fosse uma indeterminacao (lembre que estamos falando
em limite e nao em operacao aritmetica, que nao e definida), fosse um limite fixo c, entao a
teoria de derivacao seria resumida, pois todo resultado de derivada e uma indeterminacao
do tipo0
0. Quando f e derivavel em a, entao f e contınua em a valendo
limx→a
f(x) = f(a), limx→a
f(x)− f(a) = 0
da mesma maneira
limx→a
x = a, limx→a
x− a = 0
daı
f ′(a) = limx→a
f(x)− f(a)
x− a= c
seria sempre c.
1.2.2 O limite fundamental limx→0
sen(x)
x.
O limite fundamental limx→0
sen(x)
xe uma indeterminacao do tipo
0
0, vale
limx→0
sen(x)
x= 1.
CAPITULO 1. INDETERMINACOES 6
1.3 ∞−∞
Exemplo 5 (Limites existindo). ∞−∞ tambem e uma indeterminacao, pois podemos
tomar f(x) = c+1
x2e g(x) =
1
x2vale que
limx→0
c+1
x2= lim
x→0
1
x2= ∞
porem no limite da diferenca
limx→0
c+1
x2− 1
x2= c
novamente o resultado pode ser um numero real arbitrario, entao ∞−∞ e uma expressao
indeterminada.
Exemplo 6 (Limites nao existindo). Tomamos f(x) = sen(1
x) +
1
x2e g(x) =
1
x2vale
limx→0
sen(1
x) +
1
x2=
1
x2= ∞
porem no limite da diferenca temos novamente
limx→0
sen(1
x)
nao existe .
Exemplo 7 (Limites infinitos). Vale que
limx→0
c
x2= lim
x→0
1
x2= ∞
porem no limite da diferenca
limx→0
c1
x2− 1
x2= lim
x→0c1
x2= ±∞
se c > 0 entao o limite e +∞ se c < 0 o limite e −∞.
1.4∞∞
Exemplo 8 (Limite existindo). Seja c > 0, entao
limx→0
1
x2= ∞ = lim
x→0
c
x2
CAPITULO 1. INDETERMINACOES 7
porem o limite do quociente
limx→0
cx2
x2= c.
Propriedade 1. Se limx→a
f(x) = ∞ = limx→a
g(x), entao nao pode acontecer de
limx→a
f(x)
g(x)= c < 0
o limite nao pode ser negativo.
Demonstracao.
Pois existe ε tal que x ∈ (a− ε, a+ ε), vale f(x), g(x) > 0, nesse intervalo vale
f(x)
g(x)> 0
logo o limite nao pode ser negativo .
Corolario 1. A indeterminacao∞∞
nao e total.
Exemplo 9 (Limite infinito).
limx→0
1
x2= ∞ = lim
x→0
1
x4
porem o limite do quociente
limx→0
x4
x2= ∞.
O limite nao pode dar −∞ pela propriedade anterior.
Exemplo 10 (Limite nulo).
limx→0
1
x2= ∞ = lim
x→0
1
x4
porem o limite do quociente
limx→0
x4
x2= lim
x→0x2 = 0.
Exemplo 11 (Limite nao existindo).
limx→0
1
x2(2 + sen(
1
x)) = ∞ = lim
x→0
1
x2
porem
limx→0
x2
x2(2 + sen(
1
x)) = lim
x→0(2 + sen(
1
x))
nao existe.
CAPITULO 1. INDETERMINACOES 8
Definicao 3 (Indeterminacao positiva). Percebemos com esses exemplos que os limites
do tipo∞∞
podem apenas ter tres possibilidades:
• O limite nao existe.
• O limite e + infinito.
• O limite e um numero real nao-negativo .
Uma indeterminacao que pode ser apenas desses tres tipo chamaremos de uma inde-
terminacao positiva .
1.5 0.∞
Exemplo 12 (Limite existindo).
limx→0
1
x2= ∞, lim
x→0c.x2 = 0
porem
limx→0
cx2
x2= c
o resultado podendo ser qualquer numero real c.
Exemplo 13 (Limite infinito).
limx→0
1
x4= ∞, lim
x→0c.x2 = 0
porem
limx→0
cx2
x4= ±∞
sendo infinito se c > 0 e sendo menos infinito se c < 0.
Exemplo 14 (Limite nao existindo).
limx→0
1
x2= ∞, lim
x→0x2sen(
1
x) = 0
porem o produto
limx→0
x2sen( 1x)
x2= lim
x→0sen(
1
x)
nao existe.
CAPITULO 1. INDETERMINACOES 9
Corolario 2. 0.∞ e uma indeterminacao total .
1.6 1∞
Outra indeterminacao importante.
1.7 Indeterminacoes importantes do tipo 1∞
1.7.1 limx→0
(1 + x)1x
O limite limx→0
(1 + x)1x e uma indeterminacao do tipo 1∞, seu valor e
limx→0
(1 + x)1x = e.
1.8 Formas determinadas
Vejamos alguns exemplos de formas que poderiam a princıpio parecer formas indeter-
minadas, porem nao as sao.
1.8.1 0∞.
Propriedade 2. Se limx→a
f(x) = 0 e limx→a
g(x) = ∞ com f(x) ≥ 0 entao
limx→a
f(x)g(x) = 0.
Demonstracao. Existe δ > 0 tal que para x ∈ (a− δ, a+ δ) vale 0 < f(x) < ε < 1 e
g(x) > A > 1 daı
0 < f(x)g(x) < εg(x)
por sanduıche segue que limx→a
f(x)g(x) = 0.