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Lista de Exercícios #6 Assunto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação
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1. ANPEC 2018 - Questão 6
Por regulamentação, a concentração de um produto químico não pode ultrapassar
10 ppm. Uma fábrica utiliza esse produto e sabe que, num dia qualquer, a concentração tem
distribuição Normal(7,675; 1,52). Qual a probabilidade de que, em um dia qualquer, a
concentração do produto exceda 10 ppm? Multiplique por 100 e marque o inteiro mais
próximo. (Pode ser útil a seguinte informação: P(z < 1,55) = 0,9505)
2. ANPEC 2017 – Questão 04
Sejam 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛variáveis aleatórias independentes com distribuição Normal (𝜇, 𝜎2), em que
𝜇 e 𝜎2 são desconhecidos 𝜎2 > 0. Podemos definir também �� =1
𝑛∑ 𝑋𝑖
𝑛𝑖=1 e
𝑆2 = 1
𝑛−1∑ (𝑋𝑖 − ��)2𝑛
𝑖=1 . Podemos afirmar:
(0) 𝑆2 é um estimador não tendencioso de 𝜎2.
(1) A variância de �� é igual a 𝜎2
𝑛.
(2) 𝑆2 é um estimador não tendencioso para a variância de ��. (3) 𝑆2 é um estimador consistente de 𝜎2. (4) �� é um estimador consistente de 𝜇.
3. ANPEC 2016 – Questão 14
Julgue as afirmativas abaixo:
(0) Sejam X1, X2,...,Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
com média 𝜇 e variância 𝜎2. Então �� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛𝑛𝑖=1 é um estimador consistente para 𝜇;
(1) Sejam X1, X2,...,Xn variáveis aleatórias com Distribuição de Poisson com parâmetro 𝜆.
Definindo �� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛𝑛𝑖=1 podemos dizer, com base na Lei dos Grandes Números, que �� se
aproxima de 𝜆 a medida que n → ∞;
(2) Sejam X1, X2,...,Xn variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas
com média 𝜇 e variância 𝜎2. Sendo �� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛𝑛𝑖=1 , podemos dizer que �� se torna bem
aproximada pela distribuição normal com média 𝜇 e variância 𝜎2 quando n → ∞;
(3) Sejam X1, X2,...,Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
com média 𝜇 e variância 𝜎2. Sendo �� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛𝑛𝑖=1 , �� se torna bem aproximada pela distribuição
normal quando n → ∞, mesmo que X1, X2,...,Xn não sejam normalmente distribuídas;
(4) Sendo X uma variável aleatória com média E(X) = 1 e variância 𝜎𝑥2 = 4, o limite de
probabilidade para |X – 1| ≥ 4 é igual a 0,50.
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4. ANPEC 2015 – Questão 11
Sejam 𝑋𝑛~𝑁 (0; 2 +2
𝑛) e 𝑋~𝑁(0; 2). Julgue as seguintes afirmativas:
(0) 𝑋𝑛converge em distribuição para 𝑋 e 𝑋𝑛 converge em probabilidade para 𝑋;
(1) 𝑋𝑛 converge em distribuição para 𝑋;
(2) 𝑋𝑛 converge em probabilidade para 𝑋;
(3) lim𝑛→∞
𝑃𝑟[|𝑋𝑛 − 𝑋| < 𝜀] → 1
(4) lim𝑁→∞
𝑉𝑎𝑟[𝑋𝑛] = 4
5. ANPEC 2015 – Questão 12
Seja 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑁 uma amostra aleatória de tamanho N com distribuição exponencial:
𝑓(𝑥) =1
𝜃𝑒𝑥𝑝 (−
𝑥
𝜃) , 0 < 𝑥 < ∞.
Seja 𝜃 = 𝑐��, em que 𝑐 é um número real.
Julgue as seguintes afirmativas:
(0) Podemos afirmar que 𝜃 é um estimador não-viesado para 𝜃;
(1) 𝑉𝑎𝑟[𝜃] =𝑐
𝜃;
(2) O erro quadrado médio do estimador é 𝜃2(2𝑐² − 2𝑐 + 1). O erro quadrado médio é
minimizado quando c é igual a 0,5;
(3) Se 𝑐 = 1, 𝜃 é um estimador não-viesado para 𝜃;
(4) Se 𝑐 = 1, 𝜃 é um estimador viesado para 𝜃 e o seu erro quadrado médio é igual a 𝜃2.
6. ANPEC 2015 – Questão 15
Sejam 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 e 𝑋4variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas de uma
população com média 𝜇 e variância 𝜎2. Considere os seguintes estimadores para 𝜇:
𝑚1 = (𝑋1 + 2𝑋2 + 2𝑋3 + 𝑋4)/6
𝑚2 = (𝑋1 + 4𝑋2 + 4𝑋3 + 𝑋4)/10
𝑚3 = (𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4)/4
Com base nesses três estimadores, são corretas as afirmativas:
(0) Os três estimadores são não tendenciosos;
(1) 𝑚1 é o estimador com maior variância;
(2) Os três estimadores são igualmente eficientes;
(3) 𝑚3 é o estimador com menor variância;
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(4) O estimador 𝑚2 é não tendencioso e tem menor variância do que o estimador 𝑚1.
7. ANPEC 2014 – Questão 09
Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média e variância 2. Considere
duas amostras aleatórias independentes de X. Cada uma das amostras tem tamanho n1 e n2, e
possuem médias 1X e 2X . Podemos usar dois estimadores para a média populacional,
)(2
1~21 XX e
21
2211ˆnn
XnXn
.
Julgue as seguintes afirmativas a respeito dos estimadores:
(0) ~ é um estimador não-viesado para a média populacional;
(1) é um estimador não-viesado para a média populacional;
(2) ~ possui menor variância que ;
(3) ~ é um estimador mais eficiente, isto é, possui menor erro quadrático médio que ;
(4) ~ é um estimador consistente para a média populacional.
8. ANPEC 2013 – Questão 7
𝑋1, … , 𝑋𝑁 é uma amostra aleatória de tamanho 𝑁 de uma população com 𝐸[𝑋𝑖] = 𝜃1 e
𝑉𝑎𝑟[𝑋𝑖] = 𝜃2. Definimos quatro estatísticas:
𝑇1 =∑ 𝑋𝑖
𝑁𝑖=1
𝑁, 𝑇2 =
∑ 𝑋𝑖𝑁𝑖=1
𝑁 − 3, 𝑇3 =
∑ 𝑋𝑖𝑁/2𝑖=1
𝑁 , 𝑇4 =
∑ 𝑋𝑖𝑁𝑖=1
𝑁2
Em relação às quatro estatísticas, podemos afirmar que:
(0) 𝑇2 é um estimador viesado para 𝜃1 e o viés é igual a 3
𝑁−3𝜃1.
(1) Pela lei dos grandes números, 𝑇1 converge em distribuição para uma normal com média 𝜃1
e variância 𝜃2
𝑁.
(2) A variância de 𝑇3 é menor que a variância de 𝑇1.
(3) 𝑇3 é um estimador consistente para 𝜃1
2.
(4) Usando a desigualdade de Tchebycheff, podemos mostrar que Pr [𝑇4 ≥ 𝜉] ≤𝑉𝑎𝑟(𝑇4)
𝜉2 , onde
𝜉 > 0 é uma constante qualquer.
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9. ANPEC 2013 – Questão 11
São corretas as afirmativas:
(0) Suponha que 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑁 sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas e que 𝑃(𝑋1 = 𝑥) =1
11, 𝑥 = 1, 2, … , 11. Então pela lei dos grandes números, à
medida que 𝑛 → 11, �� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛𝑛𝑖=1 converge para 11.
(1) Suponha que 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑁 sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas com distribuição de Bernoulli com parâmetro 𝑝. Defina �� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛𝑛𝑖=1 . Então, pelo
Teorema Central do Limite, à medida que 𝑛 → ∞, (�� − 𝑝)/√𝑝(1 − 𝑝)/𝑛 converge para uma
distribuição normal padrão.
(2) Suponha que 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑁 sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas, com distribuição uniforme no intervalo [0, 𝜃]. Defina �� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛𝑛𝑖=1 . Então, 2�� é
um estimador não viesado de 𝜃.
(3) Suponha que 𝑋 tenha distribuição 𝑡 com 4 graus de liberdade. Então 𝑃(|𝑋| > 4) = 0,23.
(4) Suponha que 𝑋 seja uma variável aleatória com distribuição 𝑡 de Student com 𝑛 graus de
liberdade. À medida que 𝑛 aumenta, a distribuição de 𝑋 se aproxima de uma normal padrão.
10. ANPEC 2012 - Questão 9
Julgue as seguintes afirmativas:
(0) Seja X1,...,Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas tais que E[Xi]
= μ < ∞. Se Var[Xi] → 0, então Xi 𝑝→ μ.
(1) Seja X1, X2,... uma sequência de variáveis aleatórias. Esta sequência de variáveis aleatórias
converge em probabilidade para uma constante μ se e somente se esta sequência de variável
aleatória converge em distribuição para μ.
(2) Seja X1, X2,..., Xn uma amostra aleatória com média �� e variância 0 < S2 < ∞. Podemos
afirmar que W = c��, com c 𝜖 𝑅 converge para uma distribuição normal com média μ e
variância 𝜎2
𝑁.
(3) Seja X1,...,Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média μ e
variância 0 < σ2 < ∞. Seja 𝑆2 = 1
𝑁 ∑ (𝑋𝑖
𝑁𝑖=1 − ��)2 em que �� =
∑ 𝑋𝑖𝑁𝑖=1
𝑁 . Neste caso S2, é um
estimador consistente para σ2.
(4) Se Y é uma variável aleatória tal que E[Y2] < ∞, então podemos afirmar que P(|Y| ≥ 𝑐) ≤
𝐸[𝑌]
𝑐2 para c>0.
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11. ANPEC 2012 - Questão 10
São corretas as afirmativas:
(0) Suponha que X1,X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas, com distribuição de Bernoulli com parâmetro p. Então, pela Lei dos Grandes
Números, à medida que n→ ∞, �� = ∑𝑋𝑖
𝑛
𝑛𝑖=1 converge para p.
(1) Suponha que X1,X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas, com distribuição uniforme no intervalo [0,1]. Seja �� = ∑𝑋𝑖
𝑛
𝑛𝑖=1 . Pelo Teorema
Central do Limite, à medida que n→ ∞, √𝑛[(��−
1
2 )
√112⁄
] aproxima-se de uma distribuição normal
padrão.
(2) Suponha que X1,X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas e que Xi ~ N(0,1), ∀ i. Então, se definirmos 𝑌 = 𝑋𝑖2, P(|Yi -1| > 2) ≤ 0,5.
(3) Suponha que X1,X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas, com distribuição log normal com parâmetros μ e σ. Seja �� = ∑𝑋𝑖
𝑛
𝑛𝑖=1 . Então, log
�� é um estimador consistente de μ.
(4) Suponha que X1,X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas e que Xi ~ N(μ,σ2), ∀ i. Então, se definirmos �� = ∑𝑋𝑖
𝑛
𝑛𝑖=1 e ��2 =
∑ (𝑋𝑖 − ��)2 𝑛𝑖=1 / 𝑛, ��2 será um estimador eficiente de σ2.
12. ANPEC 2012 – Questão 13
Sejam W1 e W2 variáveis aleatórias discretas independentes com a seguinte função de
probabilidade: f(0) = ½, f(1) = 1/3 e f(2) = 1/6. Seja Y = W1 + W2. Julgue as seguintes
afirmativas:
(0) E[Y] = 4/3
(1) Var[Y] =10/9
(2) Pela desigualdade de Tchebyshev, P(Y ≥ 3) ≤ 2/5
(3) Usando os dados acima, obtemos que P(Y ≥ 3) = 1/36 .
(4) Y é uma variável aleatória discreta que assume os seguintes valores {0,1,2,3,4,5}.
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13. ANPEC 2011 - Questão 4
São corretas as afirmativas:
(0) Suponha que X1, X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas e que Xi ~ 2,N . Então é um estimador eficiente de .
(1) Suponha que X1, X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas e que Xi ~ 2,N . Então, se definirmos , 2
2
XP
para
0 .
(2) Se um estimador de um parâmetro é não viesado e a variância de converge para 0
à medida que o tamanho da amostra tende a infinito, então é consistente.
(3) Suponha que X1, X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas e que Xi ~ Poisson(λ), i . Seja . Pela lei dos grandes números,
à medida que n → ∞, X converge para λ.
(4) Suponha que X1, X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas e que 2~ viX , i . Seja . À medida que n → ∞,
nvvX /2/ aproxima-se de uma distribuição normal padrão.
14. ANPEC 2010 - Questão 4
Responda se verdadeiro ou falso:
(0) A Diferença entre as medianas de uma distribuição 𝐹(𝑎,𝑏) e de uma distribuição 𝑎2 diminui à
medida que 𝑏 → ∞;
(1) O Teorema Central do Limite justifica a afirmação: “Seja 𝑇 uma variável aleatória,tal que
𝑇~𝑡𝑘−1, em que 𝑡 representa uma distribuição 𝑡 de Student, com 𝑘 − 1 graus de liberdade, em
que 𝑘 é fixo. Então 𝑇 converge em distribuição para uma Normal Padrão";
(2) Sejam 𝑆12 = ∑
(𝑥𝑖−��)2
𝑛
𝑛𝑖=1 e 𝑆2
2 = ∑(𝑥𝑖)2
𝑛
𝑛𝑖=1 . Ambos estimadores podem ser demonstrados
consistentes para 𝜎2, supondo uma amostra aleatória de 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2);
(3) Uma moeda justa foi jogada 300 vezes e observou-se cara em 188 destas. A Lei dos Grandes
Números justifica a afirmação: 𝑃(cara na 301ª jogada | 188 caras em 300 jogadas) < 0,5.
(4) Se um estimador convergir em média quadrática para o parâmetro, ele será consistente
(convergirá em probabilidade para o parâmetro).
nXXn
i i/
1
nXXn
i i/
1
nXXn
i i/
1
nXXn
i i/
1
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15. ANPEC 2010 - Questão 5
São corretas as afirmativas:
(0) Considere dois estimadores não tendenciosos 𝜃1 e 𝜃2, de um parâmetro 𝜃. 𝜃1 é eficiente
relativamente 𝜃2 se 𝑉𝑎𝑟(𝜃1) < 𝑉𝑎𝑟(𝜃2);
(1) Um estimador 𝜃 de um parâmetro 𝜃 é consistente se 𝜃 converge em probabilidade para 𝜃;
(2) Um estimador 𝜃 de um parâmetro 𝜃 é consistente se, e somente se, 𝜃 é não viesado e a
variância de 𝜃 converge para 0 a medida que o tamanho da amostra tende a infinito ;
(3) Suponha que 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋10 sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas e que 𝑋𝑖~2 2 , 𝑖 = 1, 2, … ,10. Defina �� = ∑
𝑋𝑖
𝑛
10𝑖=1 . Então 𝑃(1 < �� < 3) = 0,55;
(4) Suponha que 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas e que 𝑋𝑖~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆), ∀𝑖. Defina �� = ∑𝑋𝑖
𝑛
10𝑖=1 . À medida que 𝑛 → ∞, (�� −
𝜆)/√(𝜆 𝑛⁄ ) aproxima-se de uma distribuição normal padrão.
16. ANPEC 2010 - Questão 6
Suponha que 𝑌1 e 𝑌2 sejam variáveis aleatórias independentes, com média 𝜇 e variâncias
𝑉(𝑌1) = 75 e 𝑉(𝑌2) = 25. O valor de 𝜇 é desconhecido e é proposto estimar 𝜇 por uma média
ponderada de 𝑌1 e 𝑌2, isto é, por: 𝑎𝑌1 + (1 − 𝑎)𝑌2. Qual valor de 𝑎 produz o estimador com a
menor variância possível na classe dos estimadores não viesados? Multiplique o resultado por
100.
17. ANPEC 2009 - Questão 6
Seja Yi, i = 1, ..., n, uma variável aleatória tal que Yi = 1 com probabilidade p e Yi = 0 com
probabilidade 1-p. Defina
n
1i
iYX . Responda se cada uma das afirmativas abaixo é verdadeira
ou falsa:
(0) Yi, i = 1, ..., n, possui distribuição Poisson com média p.
(1) X possui distribuição Binomial com parâmetros n e p.
(2) V(Yi) = V(X) = p. V(X) significa variância de X.
(3) Se n →∞ e p permanecer fixo, então )p1(np
npX
converge para distribuição normal com
média 0 e variância 1.
(4) E(Y2) = p2.
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18. ANPEC 2008 - Questão 3
Sejam X1, X2, ..., Xn, n variáveis aleatórias independentes, igualmente distribuídas, com
distribuição Poisson dada por
contrário caso0
,...2,1,0x!x
e)x(p
x
x
Julgue as afirmativas:
(0) Pela Lei dos Grandes Números
n
1i
iXn
1T aproxima-se da distribuição normal quando n
tende para o infinito.
(1) Suponha que n>5.
n
6i
i
5
1i
i X5n
1X
5
1T é um estimador consistente de E(Xi).
(2)
n
1i
i
2n
1i
i Xn
1X
n
1T é um estimador tendencioso de 2.
(3) Pelo Teorema Central do Limite,
n
1i
iXn
1T é um estimador consistente de V(Xi).
(4)
n
1i
iXn
1T é o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro .
19. ANPEC 2007 - Questão 2
Considere uma amostra aleatória de n variáveis x1, x
2, ..., x
n, normalmente distribuídas com
média μ e variância σ2. Sejam
n
1i
ixn
1x e
n
1i
2i
2 xxn
1s . É correto afirmar que:
(0) x e 2s são estimadores de máxima verossimilhança de μ e σ2, respectivamente.
(1) x e 2s são não viesados.
(2) x e 2s são consistentes.
(3) Apenas x é consistente.
(4) Apenas x é não viesado.
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20. ANPEC 2006 - Questão 5
São corretas as afirmativas:
(0) O teorema de Tchebychev é útil para se calcular o limite inferior para a probabilidade de
uma variável aleatória com distribuição desconhecida quando se tem apenas a variância da
população.
(1) Um estimador não-tendencioso pode não ser consistente.
(2) Um estimador consistente pode não ser eficiente.
(3) Sejam Y1,...,Yn variáveis aleatórias independentes com média µ e variância finita. Pela Lei
dos Grandes Números, E(m) = µ, em que m =
n
i
iYn 1
1.
(4) Sejam Y1,...,Yn variáveis aleatórias independentes com média μ e variância finita. Pelo
Teorema do Limite Central, a distribuição da média amostral m converge para uma
distribuição Normal.
21. ANPEC 2005 - Questão 5
São corretas as afirmativas:
(0) Uma variável aleatória X tem média zero e variância 36. Então, pela desigualdade de
Tchebychev, 36,0)10|(| XP .
(1) Pela Lei dos Grandes Números a distribuição da média amostral de n variáveis aleatórias
independentes, para n suficientemente grande, é aproximadamente Normal.
(2) O estimador de um determinado parâmetro é dito consistente se convergir, em
probabilidade, para o valor do parâmetro verdadeiro.
(3) A Lei dos Grandes Números está relacionada com o conceito de convergência em
probabilidade, enquanto que o Teorema Central do Limite está relacionado com
convergência em distribuição.
(4) Um estimador é dito não-tendencioso se a sua variância for igual à variância do parâmetro
estimado.
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22. ANPEC 2004 - Questão 13
Suponha que n21 x,........,x,x sejam variáveis aleatórias independentes, identicamente
distribuídas, com média E(xi) = μ (i = 1,2,3,...n) e variância σ2 = 10. Utilizando a lei dos grandes
números responda à questão. Qual deverá ser o valor de n de modo que possamos estar 95%
seguros de que a média amostral x difira da média μ por menos de 0,1? Divida o resultado final
por 1000.
23. ANPEC 2003 - Questão 2
Sejam: X1, X2, ..., Xn variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas com média
e variância 2;
n
i
iXnX1
1 ; e
n
i
iYZ1
2 , em que XYi
1 . É correto afirmar que:
(0) X é um estimador tendencioso da média ;
(1) Z é uma variável aleatória com distribuição 2 com n graus de liberdade;
(2)
n
i
i XXns1
212 é um estimador tendencioso da variância 2;
(3) Xn é uma variável aleatória normalmente distribuída com média n e variância 2;
(4) a variável aleatória
n
Z
YW i
i possui distribuição F com n1 e n2 graus de liberdade, em que
n1 = 1 e n2 = 2n.
24. ANPEC 2003 - Questão 11
O número de clientes – Y – que passa diariamente pelo caixa de um supermercado foi observado
durante certo período. Constatou-se que o valor médio de Y é de 20 clientes, com desvio padrão
igual a 2. Encontre o limite mínimo para a probabilidade de que o número de clientes amanhã se
situe entre 16 e 24. (Pista: Utilize o teorema de Tchebycheff). Multiplique o resultado por 100.
25. ANPEC 2002 - Questão 4
Seja X uma variável aleatória com distribuição de probabilidade que dependa do parâmetro
desconhecido , tal que E(X) = . Seja também x1, x2, ..., xn uma amostra aleatória de X.
(0) Para amostras suficientemente grandes, o estimador de máxima verossimilhança de , caso
exista, segue uma distribuição Normal.
Lista de Exercícios #6 Assunto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação
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(1) Se
n
i
ii xcˆ
1
é um estimador de , este não será viciado desde que 1cn
1ii
. Além do mais,
terá variância mínima se ci=1/n para todo i.
(2) Se
n
1iix
n
1ˆ é um estimador não viciado de , então 2 também será um estimador não
viciado de 2 .
(3) Se a variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo [0,], com > 0, então
n
nˆ 1 máximo[x1, x2, ..., xn] não é um estimador consistente de .
(4) Se 1 e 2 são dois estimadores do parâmetro em que E ( 1 ) = θ1 e E ( 2 ) θ2 mas Var (
2 ) < Var ( 1 ), então o estimador 2 deve ser preferível a 1 .
26. ANPEC 2002 - Questão 6
Indique se as seguintes considerações sobre a Lei dos Grandes Números, Desigualdade de
Tchebycheff e teorema do Limite Central são verdadeiras (V) ou falsas (F).
(0) De acordo com a desigualdade de Tchebycheff, se a variância de uma variável aleatória X
for muito próxima de zero, a maior parte da distribuição de X estará concentrada próxima de
sua média.
(1) O teorema do Limite Central afirma que, para uma amostra grande o suficiente, a distribuição
de uma amostra aleatória de uma população Qui-quadrado se aproxima da Normal.
(2) As condições suficientes para identificar a consistência de um estimador são baseadas na Lei
dos Grandes Números.
(3) Em n repetições independentes de um experimento, se Af é a freqüência relativa da
ocorrência de A, então 2A
n
)P1(P1}Pf{P
, em que P é a probabilidade constante
do evento A e é qualquer número positivo.
(4) Se uma variável aleatória X tem distribuição Binomial com parâmetros n = 20 e P = 0,5,
então 5
10}{
aaXP em que )(• é a função de distribuição Normal padrão.
27. ANPEC 2001 - Questão 3
Uma amostra de tamanho n foi selecionada de uma população de m elementos. Pode-se afirmar:
(0) A média amostral X é um estimador não tendencioso e eficiente da média populacional
se todos elementos de m tiverem a mesma probabilidade de serem selecionados .
Lista de Exercícios #6 Assunto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação
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(1) A variância da distribuição amostral de X é 2
n se a população for infinita ou se a
amostragem for com reposição.
(2) Se a população for finita, a variância da distribuição amostral de X é 2 1
(1 )n n
porque as
observações da amostra são independentes.
(3) Se X for uma variável aleatória qualquer a distribuição de X será normal com média e
variância 2
1n
.
(4) Se lim ( ) 0n
E X
, então X é um estimador assintoticamente não tendencioso.
28. ANPEC 2001 - Questão 15
Seja uma variável aleatória X com média E(X) = 0 e variância 2
x = 25. Qual o limite de
probabilidade para que [X – E(X)] > 10? Resposta em percentagem.
29. ANPEC 2000 - Questão 4
Seja X1, X2 , ..., Xn uma amostra aleatória da densidade Normal(0,) e seja T= 1/n
n
i
iX1
2 . É
correto afirmar que:
(0) T é o estimador de máxima verossimilhança (EMV) de .
(1) T é um estimador tendencioso de .
(2) A variável aleatória Z = /1
2
n
i
iX tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade.
(3) E (3
2
2
1 XX ) = 2.
(4) T é um estimador eficiente de
30. ANPEC 2000 - Questão 7
Seja Y uma variável aleatória contínua com distribuição de probabilidade f(y;), em que =
(1,2 ,...,p). Considere uma amostra aleatória de Y, com tamanho n. Com relação à função de
verossimilhança L(), é correto afirmar que:
(0) l()= ln L() =
n
i
iyf1
);(log , em que ln é o logaritmo natural.
(1) A função de verossimilhança é também uma função de densidade de probabilidade, que
possui, assim, todas as propriedades matemáticas associadas à uma função de densidade de
probabilidade.
Lista de Exercícios #6 Assunto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação
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(2) Uma condição necessária a que os estimadores de máxima verossimilhança devem satisfazer
é que a matriz { jil /)(2} i,j = 1, 2, ..., p, avaliada no ponto de máximo, seja negativa
definida.
(3) Sendo Tn o estimador de máxima verossimilhança do parametro escalar 1, segue-se que Tn
apresenta a seguinte propriedade:
0)|Pr(| 1lim nTn
, > 0.
(4) Sendo = g(1), em que g(.) é uma função um a um de 1, e Tn é o estimador de máxima
verossimilhança de 1, segue-se que o estimador de máxima verossimilhança de será Gn =
g(Tn )[d/d1] , em que a derivada é avaliada em 1= Tn.
31. ANPEC 2000 - Questão 8
Sejam p e p~ dois estimadores do parâmetro p da distribuição Binomial, em que Y é a variável
desta distribuição e n o tamanho da amostra:
1
1~ˆ
n
Yp
n
Yp
p é o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro p.
Sob o critério do erro quadrado médio, para pequenas amostras, não há supremacia de um
estimador sobre o outro. O viés do estimador p~ é dado por )]1()1[( np .
32. ANPEC 2000 - Questão 12
Dados os seguintes enunciados, é correto afirmar que:
(0) A Lei Fraca dos Grandes Números diz que: dada uma variável aleatória com distribuição
arbitrária e média e variância finitas, a média amostral obtida a partir de uma amostra
aleatória de tamanho n terá distribuição Normal.
(1) Se X1, X2, ..., Xn são variáveis aleatórias independentes, com distribuição Poisson(), >
0, então, para n "grande", é válida a seguinte aproximação:
n (___
X - ) / ~ N(0,1), em que __
X é a média amostral.
(2) Se X1, X2, ..., Xn são variáveis aleatórias independentes, com distribuição Normal(,2), 2
> 0, então, para qualquer tamanho de n, n (___
X - ) / ~ Normal(0,1), em que __
X é a média
amostral.
Lista de Exercícios #6 Assunto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação
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33. ANPEC 1999 - Questão 6
Com base na teoria da estimação, pode-se fazer as seguintes afirmações :
(0) De acordo com o critério de eficiência, medido pela comparação entre as variâncias dos
estimadores, a média amostral X é preferível a primeira observação 1X como estimador da
média populacional, supondo-se que 2 seja a variância da população.
(1) Seja um estimador não-viciado de . Se g( ) é uma função do parâmetro , então E[g(
)] g[E( )] com a igualdade ocorrendo somente quando g( ) for uma função linear.
(2) A função densidade de probabilidade da variável aleatória x é dada por
1)( xf para
x0 e 0 para outros valores. Assim sendo, considerando-se uma amostra aleatória de
tamanho n , nxxxx ,,, 321 , o estimador de Máxima Verossimilhança de será igual ao
Mínimo de nxxxx ,,, 321 .
(3) Dado que as variâncias das estatísticas S1
2 =
(xi - x)2
i=1
n
å
n-1 e S2
2 =
(xi - x)2
i=1
n
å
nsão,
respectivamente , iguais a 1
2 4
n
e
24
)1
(1
2
n
n
n
, então S2
2 é mais preciso do que S1
2embora
seja uma estatística viciada.
34. ANPEC 1998 - Questão 6
Seja o estimador do parâmetro :
(0) O erro quadrático médio é igual a variância do estimador se for um estimador não-
tendencioso de .
(1) Um estimador 1 é dito eficiente se 1 for não-tendencioso e Var( 1 ) Var ( 2 ), onde 2
é outro qualquer estimador não-tendencioso de .
(2) Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com média e variância 2. Sejam
x1 e x2 duas observações de uma amostra aleatória de tamanho 2. Podemos afirmar que
~ 3 2
5
1 2x x é um estimador tendencioso de .
(3) Se é consistente, então é não tendencioso.
Lista de Exercícios #6 Assunto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação
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35. ANPEC 1998 - Questão 7
Com base na teoria da estimação, pode-se fazer as seguintes afirmações :
(0) Se é um parâmetro populacional e seu estimador, a afirmação de que é um estimador
consistente de se lim { }P 1 para todo 0 quando n , é equivalente a
afirmação de que se )ˆ(lim E e lim ( )Var 0 quando n , então será um
estimador consistente de .
(1) Se x é uma variável aleatória com E(X) = e variância 2 , então a média amostral, X , será
um estimador consistente da média populacional .
(2) A estatística, S
x x
n
ii
n
2
2
1
( )
, baseada em uma amostra aleatória x 1 , x 2 ,x 3 ,....,x n é um
estimador não tendencioso da variância populacional.
(3) A estatística, S
x x
n
ii
n
2
2
1
( )
, baseada em uma amostra aleatória x 1 , x 2 ,x 3 ,....,x n é um
estimador inconsistente da variância populacional.
36. ANPEC 1998 - Questão 11
Com relação a desigualdade de Tchebycheff e ao Teorema Central do Limite, pode-se afirmar
que:
(0) Se uma variável aleatória X tem média , E(X)= , e variância igual a zero, Var(X) = 0,
então P X{ } 1 para todo 0 , ou seja, toda a probabilidade estará concentrada na
média E(X) = .
(1) Seja X uma variável aleatória com média e variância 2. Quando se considera o evento
complementar, uma das formas da desigualdade de Tchebycheff é igual a
2
11}{
kkXP , onde k é um número real.
(2) Se a população tem distribuição Normal, então a distribuição das médias amostrais também
será Normal, independente do tamanho da amostra.
(3) Se X tem distribuição desconhecida com média 500 e variância 2.500, para uma amostra
aleatória de tamanho 100 podemos afirmar que a média da amostra tem distribuição
aproximadamente normal com média 500 e variância 25.