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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍCENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZADEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA E ESTATÍSTICADISCIPLINA: PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
LISTA DE EXERCÍCIOS
NOTA: este documento foi produzido no LibreOffice. Seja livre. Use software livre e diga não à pirataria.
01. Encontre a média, variância e desvio padrão desta distribuição:
Xi -1 0 1 2 3
p(xi) 3/10 1/10 1/10 3/10 2/10
02. Uma amostra de 3 objetos é escolhida aleatoriamente de uma caixa contendo 12 objetos, dos quais 3 são defeituosos. Ache o número esperado de peças defeituosas.
03. Um par de dados não viciados é lançado. Seja X uma variável aleatória denotando o menor (ou igual) dos dois números observados. Encontre a distribuição, a média, a variância e o desvio padrão de X.
04. Uma moeda não viciada é lançada três vezes. Seja X o número de caras consecutivas. Encontre a distribuição, a média, a variância e o desvio padrão.
05. Um jogador lança três moedas não viciadas. Ganha R$ 5,00 se ocorrerem 3 caras, R$ 3,00 se 2 caras ocorrem e R$ 1,00 se somente 1 cara ocorre. Por outro lado, perde R$ 15,00, se 3 coroas ocorrem. Encontre o valor esperado do jogo.
06. Suponha que 5% de todas as peças que saiam de uma linha de fabricação sejam defeituosas. Se 10 peças forem escolhidas e inspecionadas, qual a probabilidade de que no mínimo 2 peças defeituosas sejam encontradas?
07. Um time X tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar 5 partidas, calcule a probabilidade de:
a) X vencer exatamente 3 partidas;
b) X vencer ao menos 1 partida; c) X vencer mais da metade das partidas.
08. A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 1/3. Se ele atirar 6 vezes, qual a probabilidade de:
a)acertar exatamente 2 tiros? b)não acertar nenhum tiro?
09. Num teste do tipo certo-errado, com 100 perguntas, qual a probabilidade de um aluno, respondendo as questões ao acaso,
acertar 70 % das perguntas?
10. Seja X uma variável aleatória com distribuição binomial com E(X)=2 e Var(x) = 4/3. Encontre a distribuição de X.
11. Certo posto de bombeiros recebe, em média, 3 chamadas por dia. Calcule a probabilidade desse posto receber:
a) 4 chamadas num dia; b) 3 ou mais chamadas num dia.
12. Uma fábrica de pneus verificou que ao testar seus pneus nas pistas, havia em média um estouro de pneu a cada 5.000 km.
a) Qual a probabilidade que num teste de 3.000 km haja no máximo um pneu estourado?
b) Qual a probabilidade de que uma carro ande 8.000 km sem estourar nenhum pneu?
13. A média de chamadas telefônicas numa hora é 3. Caucule a probabilidade de:
a) receber exatamente 3 chamadas em uma hora?b) receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos?
14. Suponha 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 páginas. Encontre a probabilidade de uma dada página conter:
a) nenhum erro; b) exatamente 3 erros.
15. Uma loja atende em média 2 cliente por hora. Calcular a probabilidade de, em uma hora, serem atendidos:
a) exatamente 2 clientes; b) 3 clientes
16. Uma fábrica de pneumáticos fez teste para diminuir o desgaste de seus pneus, e verificou que ele obedecia a uma distribuição normal, de média
1 2
48.000 km e desvio padrão de 2.000 km. Calcular a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso, durar:
a) mais que 46.000 km; b) entre 45.000 e 50.000 km.
17. Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma fábrica é de 0,25 polegadas e o desvio padrão 0,02 polegadas. Um parafuso é considerado defeituoso se o seu diâmetro é maior que 0,28 polegadas e menor que 0,20 polegadas.
a) encontre a porcentagem de parafusos defeituosos;b) qual deve ser a medida mínima para que tenhamos no máximo
125 de parafusos defeituosos?
18. o salário semanal dos operários industriais, são normalmente distribuídos em torno de uma média de R$ 180,00 com desvio padrão de R$ 25,00. Pede-se:
a) encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entre R$ 150,00 e R$ 178,00;
b) dentro de que desvio de ambos os lados da média cairão 96% dos salários?
19. Sabe-se que 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas. Usando aproximação de Poisson para a distribuição binomial, encontrar a probabilidade de que numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenham:
a) nenhuma defeituosa; b) duas defeituosas.
20. Uma máquina produz parafusos dos quais 10% são defeituosos. Usando a aproximação normal para a distribuição binomial, determinar a probabilidade de, em uma amostra de 400 parafusos, serem defeituosos:
a) no máximo 30; b) entre 35 e 45; c)entre 30 e 50; d)mais de 55.
REFERÊNCIAS
TOLEDO, Geraldo L. & OVALLE, I. I. Estatística Básica, São Paulo: Atlas, 1995.WALPONE, Ronald E. Probabilidade & Estatística para Engenharia e Ciências, Rio de Janeiro: Pearson Education.
RESPOSTAS
Xi -1 0 1 2 3
p(xi) 3/10 1/10 1/10 3/10 2/10
1)
2)
3)Xi 1 2 3 4 5 6
p(xi) 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36
4)Xi 0 1 2 3
p(xi) 1/8 4/8 2/8 1/8
d (x )=E (x )=−1⋅ 310
+0⋅ 110
+1⋅ 110
+2⋅ 310
+3⋅ 210
= −310
+0+ 110
+ 610
+ 610
=1010
= 1 .
E (x2)=(−1)2⋅ 310
+(0)2⋅ 110
+(1)2⋅ 110
+(2)2⋅ 310
+(3)2⋅ 210
= 310
+0+ 110
+ 1210
+ 1810
= 3410
= 3,4
var [ x]=E ( x2)−(E ( x))2 = 3,4−12 = 2,4σ(x )=√2,4 = 1,55
3 defeituosos 9 não defeituosos
12 (total)
+
3 4
E(x)=''esperança de x''
P (0)=(92)(31)(123 )
P (1)=(93)(30)(123 )
P (2)=(91)(32)(123 )
P(3)=(90)(33)(123 )
E (x)=μ( x)=∑ xi p(x i)=0⋅84220
+1⋅2755
+2⋅ 27220
+3⋅ 1220
= 34
= 0,75 → 1 defeituoso
E (x )=1⋅1136
+2⋅ 936
+3⋅ 736
+4⋅ 536
+5⋅ 336
+6⋅ 136
= 1136
+ 1836
+ 2136
+ 2036
+ 1536
+ 636
= 9136
.
E (x2)=(1)2⋅1136
+(2)2⋅ 936
+(3)2⋅ 736
+(4)2⋅ 536
+(5)2⋅ 336
+(6)2⋅ 136
= 1136
+ 3636
+ 6336
+8036
+ 7536
+ 3636
= 30136
var [x]=E ( x2)−(E ( x))2 = 30136
−9136
2
= 1,97
σ(x )=√1,97 = 1,40
E ( x)=0⋅18+1⋅4
8+2⋅2
8+3⋅1
8= 0+ 4
8+ 48+38=118
.
E ( x2)=(0)2⋅18+(1)2⋅4
8+(2)2⋅2
8+(3)2⋅1
8= 0+ 4
8+ 88+98
= 218
.
var [x]=E ( x2)−(E ( x))2 = 218−118
2
= 218−12164
= 168−12164
= 0,73
σ(x )=√0,73 = 0,86
c
k
c
c
k
k
k
k
k
k
c
c
c
c
5) S={ccc, cck, …, kkk}
yi -15 1 3 5
p(yi) 1/8 4/8 2/8 1/8
6)
7) a) P(3)=(53)(23)3
(1−23)2
=0,3292
b) P(x≥1)=1−P (0)=1−(50)(23)0
(1−23)5
=0,9959
c) P( x≥3)=(53)(23)3
(1−23 )2
+(54)(23)4
(1−23)1
+(55)(23)5
(1−23)0
=0,7901
8) a) P(2)=(62)(13)2
(1−13)4
=0,3292
b) P(0)=(60)(13)0
(1−13)6
=0,0878
9) P(70)=(10070 )(12)70
(1− 12)30
=0,00002ou2×10−5
10) 2=np43=np (1−p) ⇒
43=2(1− p) ⇒ p=
13n=6
11) a) P(4)= e−3⋅34
4!=0,1680
b) P( x≥3)=1−P(0)−P (1)−P (2) ⇒ P (x≥3)=1−e−3( 3
0
0 !+31
1!+32
2 !)=0,576812) a)
b) 15×103
= x8×103
⇒ x=85=λ P(0)=
e−815(85)0
0 !=0,2019 ou e
−1,6
13) a) P(3)= e−3⋅33
3!=0,2240
b)
14) a) 400500
=x1
⇒ x=45=λ=0,8 P (0)=e
−0,8⋅0,80=0,4493
b) P(2)= e−0,8⋅0,82
2=0,2707
15) a) P(2)= e−2⋅22
2=0,2707
b) P(3)= e−2⋅23
6=0,1804
16) a) μ=48.000σ=2.000
z=x−μσ
P( x>46.000)=P ( z>−1)−P (0≤ z≤1)+0,5=0,3413+0,5=0,8413
b) P(4,5×104≤x≤5×104)=P (−1,5≤ z≤1,0)=P (0≤ z≤1,5)+P (0≤ z≤1,0)=0,4332+0,3413=0,7745
17) a)
b) 1−Φ(x)=0,4332≤0,12 ⇒ Φ( x)≥1−0,4332−0,12 ⇒ Φ( x)≥0,4468 ⇒ x≥1,62
naverdade , x≤−1,62 y−0,250,02
≤−1,62 ⇒ y=−1,60⋅0,02+0,25=0,2176
18) a) z1=150−18025
=−1,27 z2=178−18025
=−0,08 Φ(1,2)−Φ(0,08)=0,353
b) 19) a)
b) P( x=2)= e−5⋅52
2 !=25e
−5
2
20) a)
b)
c) d)
“Mas tu, homem de Deus, foge destas coisas e segue a justiça, a piedade, a fé, a caridade, a paciência, a mansidão.” 1Tm 6.11
5 6
E ( y)=5⋅18+3⋅
28+1⋅
48−15⋅
18=0,25
A esperança≈0. O jogo não é vantajoso nem desvantajoso
P=5100
q=1−5100
n=10
1−P (0)−P (1) ⇒ P( x≥2)=1− e−0,5⋅0,50
1−e
−0,5⋅0,51
1= 9,02
1
5×103=
x
3×103⇒ x=
35=λ P (x≤1)=P (0)+P (1) ⇒
P( x≤1)=e−35((35)
0
0 !+(35)1! )=0,8781 LEMBRETE :P (x=k )= e−k⋅λk
k!
P( x≥4)=1−P (0)−P (1)−P(2)−P(3) ⇒360
=x90
⇒ x=λ=92
P( x≥4)=e−92(−1−(92)
2
2−(92)
3
6)+1 ⇒ P ( x≥4)=0,6577
0,20 0,280,25
σ=0,02
μ=0,25 ' 'σ=0,02 ' '
olhando a tabelade distribuição vem: P (0,20≤ x≤0,28)P (Ruim)=0,073=7,3%
96%=0,96 Φ( z)=0,48 ⇒ z=2,05 z=x−18025
⇒ x=25⋅2,05+180 x=231,25 ⇒ R$ 51,25
P= 5100
q=1− 5100
= 95100
μ=100 λ=μ p= 100×5100
=5,0 p(x=k )= e− x⋅λk
k !P (x=0)= e−5 50
0!=e−5
μ=400⋅0,1=40σ=√400⋅0,1⋅0,9=6
z30=30−406
=−53
P (x≤30 )≈1−Φ(53)=0,5475
z35=35−406
=−56
=−0,83 z45=45−406
=0,83 P (35≤x≤45)=2Φ(0,83)=0,5934
z30=−1,67 z50=50−406
=1,67 P (30≤x≤50)=2Φ(1,67)=0,905
z55=55−406
=2,5 P (x>55)=1−Φ(2,5)=0,5062