Lógica Proposicional

SAT e Custo Computacional

O problema SAT Dada uma fórmula proposicional

= (a b) ( a b c) Determinar se é satisfazível

Problema de decisão Para n símbolos proposicionais, são

necessárias 2n linhas numa tabela verdade e 2m+1 colunasa

b b

c c c c

0

0 0

00 001

1 1

1 1 1

1

Aplicações Um “resolvedor de SAT” é a principal

ferramenta computacional para: Em Inteligência Artificial:

Programação em lógica Provadores de teoremas

Em Projeto Automático de Componentes Eletrônicos:

Teste e Verificação Síntese

Escalonamento Planejamento …

Custo Computacional O custo (determinístico) de SAT é dito

exponencial Não-determinísticamente, o custo de SAT cai

para cerca de 2m+1 2m+1 é o número de sub-proposições, por

indução m= no. de conectivos da fórmula Custo não-deterministicamente polinomial (NP) Testam-se apenas algumas linhas da tabela

Complexidade Computacional

Criação da classe de problemas NP-CompletoS. A. Cook, The complexity of theorem proving

procedures, Proceedings, Third Annual ACM Symp. on the Theory of Computing,1971, 151-158

Abordagem mais simples: B. Hayes, Can’t get no satisfaction, American

Scientist, Vol. 85, nr. 2, Mar-Apr 1997, 108-112

Complexidade Computacional (cont.) Algoritmos deterministicamente

polinomiais: logarítmico, linear quadrático, cúbico (log n, n, n**2, n**3, …, n**500,…)

Algoritmos exponenciais (ou não-deterministicamente polinomiais): 2**n,n**n,n**log n

Algoritmos exponenciais são mais lentos que os polinomiais para valores altos de n

Polinomiais são preferíveis!

Complexidade e SAT 1-SAT:linear (um literal por

subfórmula) 2-SAT: linear (com fases)

(x11 OR x12) AND(x21 OR x22) AND(x31 OR x32) AND…

3-SAT: NP-completo (x11 OR x12 OR x13) AND

(x21 OR x22 OR x23) AND(x31 OR x32 OR x33) AND ...

O problema são os conflitos, que diminuem a satisfabilidade!

Não existe um algoritmo polinomial para todas as instâncias do problema SAT, a não ser que P = NP

Vira deterministicamente polinomial quando as sentenças viram

2-SAT (no máximo 2 símbolos proposicionais por fórmula)

Cláusula de Horn – 1-SAT (No máximo 1 símbolo proposicional positivo em todas as sub-fórmulas)

Resolvedores de SAT

Davis-Puttnan DPLL Resolução

Todas elas exigem que a fórmula esteja na forma normal conjuntiva

Forma normal conjuntiva Uma fórmula está na forma normal

conjuntiva (fnc ou CNF, em inglês) se é uma conjunção de disjunções de literais

F é da forma F1 ^ F2 ^ ... ^ Fn, onde Fi é uma disjunção (da forma

A1 v A2 v ... v An ) e Ai é um literal

Ex: G=(PvQ) ^ (RvQvP) ^ (PvS)

Algoritmos para obter CNF usando leis (repetidamente) 1 -Leis de eliminação

PQ = (PvQ) P Q = (P Q)^(Q P)

2 -Lei da negação (H) H

2 -Leis de De Morgan (PvQ) = P ^ Q (P^Q) = P v Q

3 -Leis distributivas: F v (G^H) = (FvG) ^ (FvH) F ^ (GvH) = (F^G) v (F^H) (não usada para

CNF)

Notação na forma de conjuntos H=(PvQvR)^(PvQ)^(PvP) Representação na forma de

conjuntos: H={[P,Q,R],[P,Q],[P]} Note que

(PvQvR) = [P,Q,R] (PvP)=[P]

Não é necessário representar duplicidade na forma de conjuntos

Cláusulas e literais complementares

Cláusula em lógica proposicional é uma disjunção de literais Usando a notação de conjuntos: C1=[P,Q,R], C2=[P,Q], C3=[P]

Dois literais são complementares quando um é a negação do outro

Resolvente de 2 cláusulas Supondo 2 cláusulas C1=[A1,..., An]

e C2=[B1, ..., Bn], com literais complementares A, um conjunto de literais em C1, tal

que -A, um conjunto de literais

complementares a A, estão em C2 Resolvente de C1 e C2: Res(C1,C2)=(C1-A)U(C2- -A) Res(C1,C2) pode ser {}

Resolvente vazio ou trivial

Exemplo de resolvente

C1=[P,Q,R] e C2=[P,R] Res (C1,C2) = [Q,R], que também

é uma cláusula D1=[P,Q] e D2=[P,Q] Res (D1,D2) = {}, que também é

uma cláusula

a + b + g + h’ + fa + b + g + h’

Idéia básica em todos os algoritmos: Resolução Resolução de um par de cláusulas com exatamente

UMA variável incompatível

a + b + c’ + f g + h’ + c + f

E se tivermos mais de uma variável incompatível?

(a + b)

(a + b’) (a’ + c) (a’ + c’)

Algoritmo de Davis Putnam

M .Davis, H. Putnam, “A computing procedure for quantification theory", J. of ACM, Vol. 7, pp. 201-214, 1960

Escolher uma variável a cada iteração para resolução até elas acabarem

INSAT se aparecer a cláusula vazia Descarta as cláusulas resolvidas depois de cada iteração

(a + b + c)

(b + c’ + f’)

(b’ + e)

(a + c + e)(c’ + e + f’)

(a + e + f’)

(a’ + c) (a’ + c’)

(c)

(c’)

( )SATINSAT

(a)

Pode explodir a memória!!!

Algoritmo DPLL

(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

Algoritmo DPLL

(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

a

Algoritmo DPLLa

0(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

Decisão

Algoritmo DPLLa

0(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

b

0 Decisão

Algoritmo DPLLa

0(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

b

0

c

0 Decisão

Algoritmo DPLLa

0(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

b

0

c

0

d=1

c=0

(a + c + d)a=0

d=0(a + c + d’)

Conflict!Grafo de Implicação

Algoritmo DPLLa

0(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

b

0

c

0

d=1

c=0

(a + c + d)a=0

d=0(a + c + d’)

Conflict!Grafo de Implicação

Algoritmo DPLLa

0(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

b

0

c

0

Backtrack

Algoritmo DPLLa

0(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

b

0

c

0

d=1

c=1

(a + c’ + d)a=0

d=0(a + c’ + d’)

Conflict!

1 Decisão Forçada

Algoritmo DPLLa

0(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

b

0

c

0 1

Backtrack

Algoritmo DPLLa

0(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

b

0

c

0 1

1 Decisão Forçada

Algoritmo DPLLa

0(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

b

0

c

0

d=1

c=0

(a + c’ + d)a=0

d=0(a + c’ + d’)

Conflict!

1

c

0

1

Decisão

Algoritmo DPLLa

0(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

b

0

c

0 1

c

0

1

Backtrack

Algoritmo DPLLa

0(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

b

0

c

0

d=1

c=1

(a + c’ + d)a=0

d=0(a + c’ + d’)

Conflict!

1

c

0 1

1

Decisão Forçada

Algoritmo DPLLa

0(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

b

0

c

0 1

c

0 1

1

Backtrack

Algoritmo DPLLa

0(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

b

0

c

0 1

c

0 1

1

1 Decisão Forçada

Algoritmo DPLLa

0(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

b

0

c

0 1

c

0 1

1

1

b

0 Decisão

Algoritmo DPLLa

0(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

b

0

c

0 1

c

0 1

1

1

b

0

c=1

b=0

(a’ + b + c)a=1

c=0(a’ + b + c’)

Conflito!

Algoritmo DPLLa

0(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

b

0

c

0 1

c

0 1

1

1

b

0

Backtrack

Algoritmo DPLLa

0(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

b

0

c

0 1

c

0 1

1

1

b

0 1

a=1

b=1

c=1(a’ + b’ + c)

Decisão Forçada

Algoritmo DPLLa

(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

b

0

c

0 1

c

0 1

1

1

b

0 1

a=1

b=1

c=1(a’ + b’ + c) (b’ + c’ + d)

d=1

0

Algoritmo DPLLa

(a + c + d)(a + c + d’)

(a + c’ + d)(a + c’ + d’)

(a’ + b + c)

(b’ + c’ + d)(a’ + b + c’)(a’ + b’ + c)

b

0

c

0 1

c

0 1

1

1

b

0 1

a=1

b=1

c=1(a’ + b’ + c) (b’ + c’ + d)

d=1

SAT

0

Análise de DPLL e assorted… Podem ser usados para provar tanto

satisfatibilidade quanto insatisfatibilidade Mas DPLL não faz busca exaustiva, então não prova

insatisfatibilidade (e portanto conseqüência lógica) WalkSAT (método incompleto):

Estado Inicial: sorteia valorações de variáveis pré-ordenadas

Operador de busca: Pega uma cláusula ainda insatisfeita e um literal nela Sorteia uma valoração pro literal

A cada passo, escolhe aleatoriamente entre as seguintes estratégias para pegar um literal:

Pega o literal cujo sorteio resulta na maior redução no número de cláusulas insatisfeitas

Pega um literal aleatório

Métodos de Busca (GSAT, WSAT)

Cost

Solution Space

Global

minimum

Local Minima

Com Lógica de Predicados, o método mais popular é a

resolução

Prova por resolução

Método por refutação Dadas uma fórmula H e Hc, a

forma clausal associada a H Uma Prova de H por resolução é

uma expansão fechada sobre Hc H é um teorema do sistema de

resolução

Exemplo de Prova por resolução

H=((P1vP2vP3)^(P1P4)^(P2P4)^ (P3P4)) P4

Determinar Hc associada a H Hc=(((P1vP2vP3)^(P1P4)^(P2P4)^

(P3P4)) P4)) =(((P1vP2vP3)^(P1P4)^(P2P4)^(P3P

4))vP4) =(P1vP2vP3)^(P1vP4)^(P2vP4)^(P3vP4)

^ P4 ={[P1,P2,P3],[P1,P4],[P2,P4],[P3,P4],

[P4]} Agora, é só fazer a expansão por resolução!

Exemplo de Prova por resolução (cont.) 1. [P1,P2,P3] 2. [P1,P4] 3. [P2,P4] 4. [P3,P4] 5. [P4] 6. [P2,P3,P4] Res(1,2) 7. [P3,P4] Res(3,6) 8. [P4] Res(4,7) 9. {} Res(5,8)

Exercício de Conseqüência Lógica por Resolução Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um

perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente

“Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima??

Solução

Provar H=(P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1)) P1

Mostrando que H é absurdo (P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1))

P1) gera uma expansão por resolução fechada a partir da sua forma clausal?

Lógica de Predicados

Sintaxe

Alfabeto da Lógica de Predicados Símbolos de pontuação: (,) Símbolos de verdade: false, true Conjunto enumerável de símbolos para

variáveis: x, y, z, w, x1, y1, x2, z2... Conjunto enumerável de símbolos para

funções: f, g, h, f1, g1, f2, g2... Conjunto enumerável de símbolos para

predicados: p, q, r, s, p1, q1, p2, q2... Conectivos proposicionais: ,v, ,

Termos São construídos a partir destas

regras: Constantes e variáveis são termos

(representam objetos) Se t1, t2, ..., tn são termos

f é um símbolo de função n-ária, então f(t1, t2, ..., tn) também é um termo

Exemplos de termos x, a (constante, função zero-ária) f(x,a) se e somente se f é binária g(y, f(x,a), c) se e somente se g é

ternária +(9,10), -(9,5)

interpretados como 10+9, 9-5 Notação polonesa

h(x,y,z), considerada implicitamente como ternária

Átomos São construídos a partir destas

regras: O símbolo de verdade false é um

átomo Se t1, t2, ..., tn são termos

p é um símbolo de predicado n-ário então p(t1, t2, ..., tn) é um átomo

Exemplos de átomos P (símbolo proposicional)

Predicado zero-ário) p(f(x,a),x) se e somente se p é binário q(x,y,z) considerado implicitamente

como ternário Ex: >(9,10), =(9,+(5,4))

interpretados como 10>9, 9=5+4 Interpretados como T Note os abusos de linguagem

> e = são predicados + e – são funções

Fórmulas

São construídos a partir destas regras: Todo átomo é uma fórmula da Lógica

de Predicados Se H é fórmula então (H) também é Se H e G são fórmulas, então (HvG)

também é Se H é fórmula e x variável, então

((x)H) e ((x)H) são fórmulas

Construção de fórmulas

Átomos p(x), R e false ((p(x)) v R) Que equivale a (p(x) R)

também fórmula ((x) p(x) R)

Expressão = termo v fórmula

Correspondência entre quantificadores

((x)H)= ((z)(H)) ((x)H)= ((z)(H))