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Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores
Computação Gráfica
Matemática para CG
© 2012 Corpo docente de Computação Gráfica / CG&M / DEI / IST / UTL
Edward Angel, Cap. 3
LEIC CGQuestão 1, exame de 06/06/11[1.0v] Explique, no contexto da computação gráfica interactiva, o que é uma frame e como esta se relaciona com o desempenho de um sistema gráfico.
Frame: � imagem estática gerada no final do pipeline� contêm vista a ser representada no dispositivo de visualização
Animação: � criada através da apresentação em sequência rápida deste frames. � tão mais fluida quanto mais frames se conseguirem apresentar
por unidade de tempo.
Para se medir o desempenho de um sistema gráfico usa-se o número de frames por segundo (fps).
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Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores
Computação Gráfica
Matemática para CG
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Edward Angel, Cap. 3
LEIC CGNotas
� As definições matemáticas aqui apresentadas são descritas na perspectiva de CG
� Vamos evitar definições genéricas demasiado formais
� Trabalhamos no espaço tridimensional • Apesar da maioria do que aqui dizemos ser válido para
espaços n-dmensionais
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LEICCG
Escalares, Pontos e VectoresMatemática para CG
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LEIC CGObjectos Geométricos
� Em CG trabalhamos com objectos geométricos� Linhas
� Polígonos
� Poliedros
� Objectos complexos podem ser definidos a partir de um conjunto limitado de entidades
� Objectos geométricos e as suas relações podem ser descritos usando:� Escalares, Pontos e Vectores
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LEIC CGEscalares� Consideramos escalares os números reais
� Operações sobre escalares:� Adição � Multiplicação
� Propriedades destas operações� Comutatividade � Associatividade� Distributividade
� Identidade Escalar� Da adição (0)� Da multiplicação (1)
� Inversos Escalar� Da adição (-α)� Da multiplicação (α-1)
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�, � ∈ �
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� ∙ � ∙ � � ∙ �� ∙
� � 0 � �
� ∙ 1 � �
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� ∙ ��� � 1
LEIC CGVectores no Espaço Euclideano
� Espaço Euclideano contém escalares e vectores
� Vectores têm as seguintes operações (neste espaço)� Soma de vectores
� Multiplicação de escalar por vector
� Produto interno
� Produto externo
� Não se pode somar um escalar a um vector!
� Não se multiplicam vectores (só matrizes)
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LEIC CG
VectoresConhecimentos Básicos
� Vector descreve um comprimento e uma direcção� Graficamente pode ser representado por uma seta
� Numericamente representado por matriz nx1 (2x1 em 2D)
� Vector unitário é um vector de comprimento 1
� Vectores têm variedade enorme de aplicações� Em CG e não só!
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[ ]Ta 232
3=
=
a
LEIC CG
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VectoresConhecimentos Básicos
−=
1
1aa
Pergunta:
Vector é unitário?
LEIC CG
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VectoresConhecimentos Básicos
=
a
a
y
xa
a
22aa yxa +=r
Comprimento do vector?
LEIC CG
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VectoresConhecimentos Básicos
ab
ba +a
b
ab +
abba +=+
+++
=
+
zz
yy
xx
z
y
x
z
y
x
ba
ba
ba
b
b
b
a
a
a
LEIC CG
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VectoresConhecimentos Básicos
a
=
⋅
z
y
x
z
y
x
ka
ka
ka
a
a
a
k
ak ⋅ k escalar
LEIC CG
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VectoresConhecimentos Básicos
a
=
⋅
z
y
x
z
y
x
ka
ka
ka
a
a
a
k
ak ⋅ 0<kk escalar
LEIC CGProduto Interno (dot product)
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a
b
φ φcosbaba =⋅
baba yyxxba +=⋅Ou melhor:
LEIC CGProduto Externo
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−−−
=×
xyyx
zxxz
yzzy
baba
baba
baba
ba
φsinbaba =×
LEIC CGProduto Externo
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=×
zyx
zyx
bbb
aaa
zyx
ba det
φsinbaba =×
LEIC CG
Produto Externo
Regra da mão direita
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LEIC CG
Produto Externo
Regra da mão esquerda
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LEIC CGAtenção!
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�
�
�∙
�
�
�
É produto interno de dois vectores! Não é multiplicação de vectores!
�
�
��
�
�
�
É produto externo de dois vectores! Não é multiplicação de vectores!
�
�
�� � Se d for escalar, isto não existe!
LEICCG
Espaço CartesianoMatemática para CG
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LEIC CGBase Ortonormada
� Manipulação de sistemas de coordenadas é uma das tarefas base de computação gráfica
� Sistemas de coordenadas são bases ortonormadas
� Base ortonormada em 3D� Formada por três vectores unitários ortogonais entre si
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1=== wvu
0=⋅=⋅=⋅ wuwvvu
vuw ×=
LEIC CGBase Ortonormada Cartesiana
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LEIC CGBase Ortonormada Cartesiana
� Existe uma origem implícita� A localização O e os vectores x, y e z não são explicitamente
representados
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LEIC CGPlano
� Superfície bidimensional planar
� Definido por� Três pontos
� Dois vectores • Dois vectores no plano
• Um vector no plano e outro normal ao plano
� Um ponto e um vector normal
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LEIC CGPolígonos
� Figura geométrica definido por� Conjunto de vértices ligados entre si por segmentos de linha
� Polígonos regulares• Convexos
• Lados e ângulos iguais
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LEIC CGSólido
Definição formal
Figura tridimensional que representa uma porção do espaço limitada pelas suas superfícies
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Kern and Bland, 1948
LEIC CGSólidos Regulares
� Figuras geométricas:� faces são definidas por polígonos regulares idênticos
� mesmo número de faces a convergir em cada vértice
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Tetratedro Cubo Octaedro Dodecaedro
LEICCG
TrigonometriaEnquadramento e Conceitos Fundamentais
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LEIC CG
TrigonometriaConhecimentos básicos
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αθββθαβαθ
−=−=+=
θ
αβ
LEIC CG
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TrigonometriaConhecimentos básicos
h
a
o
( )( ) )cos(cos
)sin(sin
tan
cos
sin
φφφφ
φφφ
=−−=−
===
ao
ha
ho
φ
( )( ) ?cos
?sin
?tan
?cos
?sin
=−=−
===
φφ
φφφ
LEICCG
MatrizesEnquadramento e Conceitos Fundamentais
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LEIC CGMatrizes
� Operações matrizes intensamente usadas em CG
� Revejam com atenção esta matéria (Álgebra Linear)
� Pratiquem a multiplicação de matrizes
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LEIC CGMultiplicação de Matrizes
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��� … ���⋮ ⋱ ⋮
��� … ���
��� … ���⋮ ⋱ ⋮
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�� ���� �� ��!� � � � !
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LEIC CGMultiplicação de Matrizes
� Não é comutativa
� É associativa
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��� … ���⋮ ⋱ ⋮
��� … ���
��� … ���⋮ ⋱ ⋮
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LEIC CGMultiplicação de Matrizes
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L
K
OMM
L
K
OMM
L
K
2,21,2
2,11,1
2,21,2
2,11,1
2,21,2
2,11,1
cc
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bb
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aa
aa
AB
∑=
=n
rjrriji bac
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LEIC CGMultiplicação de Matrizes
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12
13
131
201=
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