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MATEMÁTICA, 12.ª CLASSE
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO
Capítulo 6
1
Pág. 197 Actividades de investigação
Mostremos, inicialmente, que a velocidade média em qualquer
trajecto feito em ambos os sentidos é de 4 km/h.
Seja uma subida de comprimento A km. A ida e volta nesse
trajecto, de comprimento 2A, demora 2
3 6 2 4
A A A A , logo a
velocidade média é de 4 km/h. Os cálculos são análogos no caso da
parte plana do percurso.
Como a viagem de ida e volta demora 4 horas, o percurso foi de
16 km, ou seja, a distância entre as cidades é de 8 km.
Pág. 202
1. Analisemos, em primeiro lugar, o que se passa com a
função 3f x x .
3 se 3
33 se 3
x xf x x
x x
3
3 03 lim 1
3x
xf
x
e
3
3 03 lim 1
3x
xf
x
e
Logo, 3 3f f e portanto não existe 3f .
f é derivável em \ {3}.
Considere-se agora a função:
s x x
0
0
0
00 lim
0
lim
1lim
x
x
x
xs
x
x
x
x
1
0
0
0
0
00 lim
0
lim
1lim
x
x
x
xs
x
x
x
x
1
0
A derivada de s para x = 0 não existe porque e
não são números reais.
s é derivável em \ {0}.
Considere-se agora a função: 2h x x
2: 0hD x x R
Dado que 2h x x x , a função h é derivável em
\ 0 .
Pág. 204
2.1 2 3f x x
0
0
0
0
limx x
f x f xf x
x x
0
0
0
2 3 2 3limx x
x x
x x
0
0
0
2 3 2 3limx x
x x
x x
0 0
00
0 0
22 2lim lim 2x x x x
x xx x
x x x x
2.2 ' :f
x 2y
Pág. 205 3.1 s (x) = – 3
s’ (x) = 0, a derivada de uma função constante é igual a
zero;
3.2 1
3t x ; t ' (x) = 0
3.3 2 2f x ; f ' (x) = 0
Pág. 206 4.1
4.2
4.3
MATEMÁTICA, 12.ª CLASSE
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
2
4.4
Pág. 208
5.1 2
1y
x
2 2 1 3
2 3
1 22 2y x x x
x x
;
5.2
1
3y x
1 1 21
3 3 3
2
3
1 1 1 1
3 3 3y x x x
x
3 32 2
1 1 1
3 3x x
5.3 1
2y
x
1
2
1
2
y
x
1
21
2y x
1 1 31
2 2 21 1 1 1
2 2 2 4y x x x
3 3 32
1 1 1 1 1
4 4 4x xx
5.4
1 1
2 2
2 22
x x x xy
x
1 1 11
2 2 21 1 1
2 4 4y x x x
1
2
1 1 1
4 4 xx
Pág. 209
6.1 23y x
23 6y x x
6.2 3 25y x x
3 25y x x
15x2 + 2x
6.3 22 3y x
22 3 4 0 4y x x x
6.4 26 2 7y x x
26 2 7 12 2 0y x x x
= – 12x + 2
6.5 3 2
13 2
x xy x
3 2
13 2
x xy x
21 1
3 2 1 03 2
x x = – x2 + x + 1
6.6 4 3 23 52
xy x x x
4 3 23 52
xy x x x
= – 4 x3 + 3 x
2 – 6 x + 1
2
7.1 3 1y x
3 1y x
3 1' 3 0y x
3 1' 3y x
7.2 1 1
2 21 1
33y x x x
x
1 1
2 21
3y x x
1 11 1
2 21 1 1
2 3 2x x
1 3
2 21 1
2 6x x
3
1 1
2 6x x
7.3
13 3
3 32 21 1
2 2y x x x x
1 3
3 22y x x
1 31 1
3 21 1 3
3 2 2x x
3 1
2 21 3
3 4x x
3 2
1 3
43
x
x
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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
3
7.4 2x x
y x x x xx x
1 1 3 3 3
22 2 2 2 22x x x x x x x
3
22y x
31
23
22
x
1
23x
3 x
7.5 1
2 1 2 123
3 2 3 3 2y x x x x xx
1
2 123 3 2y x x x
1
11 12
16 3 2 1
2x x x
3
223
6 22
x x x
23
3 26
2x
xx
7.6 2
1 11x xy x x x x
x
1 1
1 1 12 2x x x x x x x
1
12y x x x
1
112
11
2x x
3
221
12
x x
23
1 11
2 xx
7.7 3 2
3 4 2 4 4
4
1x xy x x x
x
1 2 4x x x
1 2 4y x x x
1 1 2 1 4 12 4x x x
2 3 52 4x x x
2 3 5
1 2 4
x x x
Pág. 211
8.1 1 2 3x x x
2 2 3x x x
Aplicando a regra da derivada do produto de funções:
2 2 3x x x
2 22 3 2 3x x x x x x
22 1 2 3 2 0x x x x
2 24 6 2 3 2 2x x x x x
= 6x2 – 10x + 3
8.2 4 3 1 2 3f g h j x x x x x
24 3 1 2 3x x x
3 212 4 2 3x x x
Aplicando a regra da derivada do produto de funções:
3 212 4 2 3x x x
3 2 3 212 4 2 3 12 4 2 3x x x x x x
2 3 236 8 2 3 12 4 0 3x x x x x
2 3 2 3 272 108 16 24 36 12x x x x x x
3 2144 108 16x x x
Logo, 0f g h j
=
3 2144 0 108 0 16 0 0
Pág. 212
9.1 1
,3
yx
2
1 3 1 3
3
x xy
x
2
0 1
3x
2
1
3x
9.2 22 1
xy
x
2 2
22
2 1 2 1
2 1
x x x xy
x
2
22
2 2
22
2 1 4 0
2 1
2 1 4
2 1
x x x
x
x x
x
2
22
2 1
2 1
x
x
MATEMÁTICA, 12.ª CLASSE
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
4
9.3 2 2 1
xy
x x
2 2
22
2 1 2 1
2 1
x x x x x xy
x x
2
22
2 1 2 2
2 1
x x x x
x x
2 2
22
2 1 2 2
2 1
x x x x
x x
2
22
1
2 1
x
x x
2
22
1
1
x
x
3
1
1
x
x
9.4 2
2 3
1
xy
x
2 2
22
2 3 1 2 3 1
1
x x x xy
x
2
22
2 1 2 3 2
1
x x x
x
2 2
22
2 2 4 6
1
x x x
x
2
22
2 6 2
1
x x
x
9.5 2
3
1
1 3
xy
x
2 3 2 3
23
1 1 3 1 1 3
1 3
x x x xy
x
3 2 2
23
2 1 3 1 9
1 3
x x x x
x
4 4 2
23
2 6 9 9
1 3
x x x x
x
4 2
23
3 9 2
1 3
x x x
x
9.6 2
2
2 π
12
x xy
x
2 2
2 2
22
2 π 1 2 π 12 2
12
x xx x x x
yx
2
2
22
2 2 1 2 π2
12
xx x x x
x
3 2 3 2
22
2 2 2 π
12
x x x x x x
x
2
22
2 π 2
12
x x x
x
Pág. 213
10.1 5
2 1y x
4
5 2 1 2 1y x x
4
5 2 1 2 10 2 1x x
10.2 1
2 23y x
1
12 22
13 3
2y x x
1
2 21
3 22
x x
2 3
x
x
10.3 1
3 3 3 32 2y x x
1
13 33
12 2
3y x x
2
3 231
2 33
x x
2
22 2
x
x
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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
5
10.4
22x
yx
2 2
2
2 2x x x xy
x
2
2
2 2 2 2x x x x
x
2 2
2
2 4 4 4x x x x
x
2
2
4x
x
10.5
23
3
xy
x
2 2
2
3 3 3 3
3
x x x xy
x
2
2
2 3 3 3 3
3
x x x x
x
2
2
2 6 3 3
3
x x x
x
2 2
2
2 6 6 18 6 9
3
x x x x x
x
2
2
6 27
3
x x
x
10.6
31
2
xy
x
21 1
32 2
x xy
x x
2
2
1 2 1 213
2 2
x x x xx
x x
2
2
1 2 13
2 2
x x x
x x
2
2
1 13
2 2
x
x x
2
4
3 1
2
x
x
10.7
3
1xy
x
1 1
2x x
yx x
2
2
1 112
x x x xx
x x
1
2
2
1 11
2
x x xx
x x
1
12
2
11 1 1
1 22
x x x xx
x x
2
11 2 1
2
xx
x x
x x
22
1 12
2 1
x x x
x xx x
2
2 3
2 11 x x
x x
3
2x
x
10.8
3
1
xy
x
3
31 1
x xy
x x
2
2
1 13
1 1
x x x xx
x x
1
22
2
1 1
31 1
x x xx
x x
1
22
2
11
23
1 1
x x xx
x x
32 2
4
33 3
2
1
xx x x
x
x
22
4
3 2
2 1
x x x
x x
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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
6
11. 5
2 1f x x
5
0 1 1f
1 1 11 0,1
0 10f
f
Cálculos auxiliares
4 4
5 2 1 2 10 2 1f x x x
4
0 10 2 0 1 10f
Pág. 214
12.1 3ex
y
3 31
' e e3 3
x xx
y
12.2
1
3ex
y
1 1
3 31
' e e3
x x
y x
Pág. 215
13.1
1
3 xy
11 1
2 2
1 1 3 ln 3' ln 3 3 ln 3 3
xx xy
x x x
13.2 2 1
2x
xy
2 1
2 1' ln 2 2
xxy x
x
2 1
2
1ln 2 2 2
xxx
x
Pág. 216
14.1 ln 3y x
3 3 1
'3 3
xy
x x x
14.2 ln 3y x
3 3 1
'3 3
xy
x x x
14.3
ln 3 se 0ln 3
ln 3 se 0
x xy x
x x
Se x > 0:
3 3 1'
3 3
xy
x x x
Se x < 0:
3 3 1'
3 3
xy
x x x
Pág. 217
15.1 2
3log 3y x
2
2
2
3
3 ln 3
2
3 ln 3
xy
x
x
x
15.2 2
3log 3y x
1
2
1
2
11
2
1
2
ln 2
1
2
ln 2
1
2
ln 2
1
2 ln 2
x
y
x
x
x
x
x
x
15.3 1 2
2
3log
1y
x
2
2
3
1
3 1ln
21
xy
x
2 2
22
2
3 1 3 1
1
3 1ln
21
x x
x
x
22
2
6
1
3 1ln
21
x
x
x
2
2
2
6
1
3ln 2
1
x
x
x
2
22
6 1
3ln 2 1
x x
x
2
2
ln 2 1
x
x
Pág. 218
16.1 sin 3 1y x
' 3 1 cos 3 1y x x
3cos 3 1x
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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
7
16.2 5sin 3y x
4' 5sin 3 3 cos 3y x x x
45sin 3 3cos 3x x
415sin 3 cos 3x x
16.3 23sin 1y x
' 3 2sin 1 1 cos 1y x x x
6sin 1 1 cos 1x x
6sin 1 cos 1x x
16.4 2
3sin 1y x
2 2
' 3 1 cos 1y x x
2
3 2 1 1 cos 1x x x
2
3 2 1 1 cos 1x x
2
6 1 cos 1x x
16.5 3sin 2sin 3y x x x
3 3' sin sin 2 sin 3y x x x x x
3 3 31 sin cos 2 3 cos 3x x x x x x
3 2 3sin 3 cos 2 3cos 3x x x x x
3 3 3sin 3 cos 6cos 3x x x x
17.1 2cos 5 7y x
2 2' 5 7 sin 5 7y x x
210 0 sin 5 7x x
210 sin 5 7x x
17.2 2cosy x
' 2cos cosy x x
2cos sinx x
2cos sinx x
sin 2x
17.3 3 3cosy x
2 3 3' 3cos cosy x x
2 3 3 33cos sinx x x
2 2 3 39 cos sinx x x
17.4 sin cosy x x
' sin cos sin cosy x x x x
cos cos sin sinx x x x
2 2cos sinx x
cos 2x
17.5 2 23cos 3 sin 3y x x
2
' 3 cos 3 2sin 3 sin 3y x x x
2 2
3 3 sin 3x x
2sin 3 3 cos 3x x x
2
6 3 sin 3 2sin 3 cos 3x x x x
Pág. 219 18.1 A velocidade, v, é a derivada da função s.
24,9 2 5d
v t t tdt
v (t) = – 9,8 t + 2
18.2 A aceleração, a, é a derivada da velocidade.
9,8 2d
a t tdt
a (t) = – 9,8
18.3 v (3) = – 9,8 × 3 + 2 a (3) = – 9,8 m/s2
v (3) = – 27,4 m/s
Pág. 220 1. O declive da recta r é igual a m = h’ (0).
Assim, 2 2ln 1h x x
1
21
xh x
x
2
1x
Logo, 2
0 20 1
h
Resposta : (D).
MATEMÁTICA, 12.ª CLASSE
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
8
2.
22
2lim
6x
f x f
x x
2
2lim
2 3x
f x f
x x
2 2 2
2 1 1lim lim 2 lim
2 3 3x x x
f x ff
x x x
5 1 1
2 5 2
Resposta: (D).
3. A função velocidade é a derivada da função h, assim:
2220 5d
v t t tdt
v (t) = 220 – 10 t;
Logo, v (10) = 220 – 10 × 10
v (10) = 120
Resposta: (A).
4. ef x x
e 1ef x x
e 1ef x x
Resposta: (C).
5. 1f x g x
f x g x
Resposta: (D).
6. Vamos determinar uma equação da recta t:
y mx b
0 3 3
2 2 4m
substituindo na equação:
3
4y x b e como o ponto (– 2, 0) pertence à recta t:
3 3
0 24 2
b b
Logo, 3 3
4 2y x e
32
4f .
Vamos averiguar qual das opções verifica esta condição:
(A): 18
xf x
2 3
2 18 4
f .
Resposta: (A).
Pág. 221
1.1 Equação da recta r: 4 7y x .
O declive desta recta é – 4.
A recta s é tangente ao gráfico de f no ponto P de abcissa
17
4, daí que o declive desta recta é
17
4f
.
Como as rectas, r e s, são perpendiculares, vem:
17
4 14
f
, relação entre os declives de duas
rectas perpendiculares.
Donde, 17 1
'4 4
f
.
1.2 1 1y y m x x , onde 1
17
4x ;
1 3y e
17 1'
4 4m f
.
Substituindo na equação, vem:
1 17 1 17
3 34 4 4 16
y x y x
1 31
4 16y x
2.1 f a é igual ao valor do declive da recta tangente ao
gráfico de f no ponto de abcissa a, isto é, ao declive da
recta t:
3 0 3
0 5 5f a
2.2 Seja s a recta que passa pelo ponto de coordenadas (4, 0) e
é perpendicular à recta t, então:
:s y mx b , onde 5
3m (relação entre os declives
de duas rectas perpendiculares).
Como (4, 0), pertence à recta s, vem:
5 20
0 43 3
b b
Logo, 5 20
:3 3
s y x .
3.1 1 1y y m x x , onde:
1 1x ;
1 1 0f x f
1
1 ln 1 2' 1
1 2m f x f
.
Substituindo na equação, temos:
0 1 1 1y x y x .
3.2 Sim, pois toda a função com derivada finita num ponto é
contínua nesse ponto.
MATEMÁTICA, 12.ª CLASSE
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
9
3.3 1 ln 2
2
xf x
x
2
1 ln 2 2 1 ln 2 2
2
x x x x
x
2
12 1 ln 2 1
2
2
x xx
x
2 2
1 1 ln 2 ln 2
2 2
x x
x x
Daí que
2
ln 2 2 ln 42
162 2f
2ln 2 2 ln 2
16 16
ln 2
8
4.1 e , 0BtQ t A t
00 e B tQ A A
Significado: Inicialmente, isto é, para t = 0, a quantidade
de qualquer substância radioativa é igual a A.
4.2 O gráfico de Q tem uma assimptota horizontal se:
limt
Q t a
, com aR
lim lim e 0Bt
t tQ t A
, pois
lim e 0Bt
t
Daí que y = 0 é uma assimptota horizontal do gráfico de Q.
Significado: com o decorrer do tempo a quantidade Q, de
qualquer substância radioativa tende a ser igual a zero.
4.3 ' e , 0BtQ t AB t
Q e Q’ são directamente proporcionais se
'
Q t
Q tfor
constante.
e 1
' e
Bt
Bt
Q t A
Q t BAB
, logo Q e Q’ são directamente
proporcionais.
4.4 01 10 e e
2 2
BtQ t Q A A
1
e2
BtA A 1
e2
Bt
1
ln2
Bt
ln 2Bt
ln 2
tB
c. q. m.
4.5
0
1010
2000 200 e 200
50e10 50 e 50
200
BB
AQ A
Q A
10
200200
1110 lne
44
B
AA
B
2
200200
ln 210 ln 4
10
AA
B B
200 200
2 ln 2 ln 2
10 5
A A
B B
Pág. 223
1.1 Se ,f x a a R
num intervalo E, para todos os
números reais b e c de E, se b < c então f (b) ≥ f (c) e
f (b) ≤ f (c), dado que f (b) = f (c) = a.
1.2 a) [a, b]
b) [a, b] e [c, d]
c) [d, e]
d) [b, c]
Pág. 226
2.1. 25 6 2f x x x
' 12 2f x x
1
' 0 12 2 06
f x x x
Assim, f é estritamente crescente em 1
,6
e estritamente decrescente em 1
,6
.
2.2. 2
31f x x
2 1
13 3
2 2'
3 3f x x x
3
2'
3f x
x
' 0f não existe
x 1
6
f ' (x) + 0 –
f (x) 1
6f
MATEMÁTICA, 12.ª CLASSE
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
10
Sinal de f’ e monotonia de f:
Assim, f é estritamente crescente em , 0
e estritamente decrescente em 0, .
2.3. e xf x x
' e xf x x
e ex xx x
e 1x x
' 0 e 0 1 0xf x x
e 0 1x x 1x e 0,x x
Assim, f é estritamente crescente em ,1
e estritamente decrescente em 1, .
2.4. lnf x x x ; fD R
lnf x x x
ln lnx x x x
1
ln x xx
ln 1x
0 ln 1 0f x x
1 1ln 1 e
ex x x
Assim, f é estritamente decrescente em 1
0,e
e estritamente crescente em 1
,e
.
Pág. 228
3.1. 23 10 7f x x x em [–1, 4]
' 6 10f x x
5
' 0 6 10 03
f x x x
Como a derivada existe para x , os únicos pontos
críticos são os que anulam a função derivada, ou seja,
5
3.
Calcule-se: 5
, 13
f f
e 4f
5 4
3 3f
; 1 20f ; 4 15f
Máximo: 20
Mínimo: 4
3
3.2. 212
2f x x x em [0, 6[
' 2f x x
' 0 2 0 2f x x x
Como a derivada existe para xR , os únicos pontos
críticos são os que anulam a função derivada, ou seja,
2.
Calcule-se: 0f e 2f
0 0f
2 2f
6
lim 6 0x
f x f
Máximo: não tem
Mínimo: – 2.
x 0 2 6
f ' (x) – 2 – 0 +
f (x) 0 – 2
x – 1 5
3 4
f' (x) – 16 – 0 + 14
f (x) 20 4
3 15
x 0 1
e
f' (x) – 0 +
f (x) 1
ef
x 1
f ' (x) + 0 –
f (x) 1f
x 0
f' (x) + –
f (x) 0f
MATEMÁTICA, 12.ª CLASSE
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
11
3.3. e xf x x em ]– 1, e]
e ex xf x x x
e ex xx
e 1x x
' 0 e 1 0 e 0 1 1x xf x x x x
1 11 1 e
ef
e 1 e
e
ee e e e
ef
1
lim e ex
f x f
Máximo: 1
e
Mínimo: não tem.
3.4. ln
xf x
x em [2, e]
2
' ln ln ''
ln
x x x xf x
x
2
ln 1
ln
x
x
2
ln 1' 0 0
ln
xf x
x
2ln 1 0 ln 0x x e 1x x
ex
22
ln 2f ; e ef
Máximo:
2
ln 2
Mínimo: e
Pág. 231
4.1. 2 3 1f x x x
' 2 3f x x
3
' 0 2 3 02
f x x x
A função tem um único extremo relativo.
3
2f
é o máximo da função.
23 3 3 13
3 12 2 2 4
f
4.2. 2 34 20 2g t t t t
2' 20 2 6g t t t
2' 0 20 2 6 0g t t t
2 4 4 6 20
2 6t
2 484
12t
2 22
12t
2 22
12t
20
12t
24
12t
5
3t 2t
A função g tem dois extremos relativos.
2 32g é o máximo da função e
5 467
3 27g
é mínimo relativo da função de g.
x 2 e
f' (x) f' (2) – 0
f (x)
2
ln 2
e
t – 2 5
3
g' (t) + 0 – 0 +
g (t) 32 467
27
x 3
2
f ' (x) + 0 –
f (x) 3
2f
x – 1 1 e
f ' (x) + 0 – f ' (e)
f (x) 1
e
f (e)
MATEMÁTICA, 12.ª CLASSE
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
12
4.3. 3 4 32 2f t t t t t
3 2' 4 6f t t t
3 2 2' 0 4 6 0 4 6 0f t t t t t
2 30 4 6 0 0
2t t t t
A função f tem um mínimo para 3
2t e esse mínimo é:
23 3 3 27 1 27
22 2 2 8 2 16
f
4.4. 2 2e xf x x
2 2 2' 2 e 2ex xf x x x
2 2 22 e 2 ex xx x 2 22 e ex xx x
2' 0 2 e 1 0xf x x x
22 0 e 0 1 0xx x 0 1x x
A função f tem dois extremos relativos.
0f é o mínimo da função e 1f é o máximo.
Mínimo: 0 0f ; Máximo: 2
11
ef .
4.5. ln t
f tt
2 2
1ln 1 1 ln
'
t t ttf tt t
2
1 ln' 0 0
tf t
t
21 ln 0 0t t
ln 1 0t t
et
A função f tem um máximo que é ef .
Máximo: 1
ee
f .
Pág. 234
5. 2exf x x x
2 2' e ' e 'x xf x x x x x
2e e 2 1x xx x x
2e 2 1x x x x
2e 1x x x
2 2'' e ' 1 e 1 'x xf x x x x x
2e 1 e 2 1x xx x
2e 1 2 1x x x x
2e 3x x x
2' 0 e 3 0xf x x x
2e 0 3 0x x x
e 0 3 0x x x
e 0 0 3x x x
0 3x x
O gráfico de f tem a concavidade virada para baixo em
]– 3, 0[ e a concavidade virada para cima em
, 3 e em 0, .
Os pontos 3, 3f e 0, 0f são pontos de
inflexão do gráfico de f.
t 0 e
f ' (t) + 0 –
f (t) 1e
x – 3 0
f '' (x) + 0 – 0 +
f (x) 3f
f (0)
x 0 1
f ' (x) – 0 + 0 –
f (x) 0 2e
t 0 3
2
f ' (t) – + – 0 +
f (t) 0 27
16
MATEMÁTICA, 12.ª CLASSE
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
13
Pág. 235
6.1. 1 ln
'2
xf x
x
2
1 ln '2 1 ln 2 '''
4
x x x xf x
x
2
12 1 ln 2
4
x xx
x
2
2 2 1ln
4
x
x
2
ln'' 0 0
2
xf x
x
2ln 0 2 0x x
1 0x x
O gráfico de f tem a concavidade virada para cima em
]0, 1[ e a concavidade virada para baixo em 1, .
O ponto 0, 1f é um ponto de inflexão do gráfico
de f.
6.2. O segundo gráfico, pois – 1 é zero da função e esta
muda de sinal neste ponto.
Pág. 237
7. 2 3lnf x x x ; fD R
1
' 2 3f xx
3
2x
3 3 3
' 0 2 0 22
f x xx x
A função tem um mínimo relativo.
3 3 3 3
2 3ln 3 3ln2 2 2 2
f
é o mínimo de f.
Pág. 240
8. ex
f xx
(i) Domínio: \ 0fD
(ii) Continuidade:
A função f é contínua no seu domínio, isto é,
em \ {0}.
(iii) Intersecção com os eixos:
Intersecção com o eixo Ox:
e0 e 0 0
xx x
x
Equação impossível, pois e 0,x x
Então, o gráfico de f não intersecta o eixo Ox.
Intersecção com o eixo Oy:
e
0x
y xx , impossível pois \ 0fD .
O gráfico de f também não intersecta o eixo Oy.
(iv) Simetria: e x
f xx
; ex
f xx
A função f não é par nem ímpar. O gráfico de f
não é simétrico relativamente ao eixo Oy nem à
origem.
(v) Monotonia e extremos:
2
e ' e ''
x xx xf x
x
2 2
e 1e exx x xx
x x
2
e 1' 0 0 0
x xf
x
e 1 0 0x x x
e 0 1 0x x x
1 0 1x x x
A função f é decrescente em , 0 e em
]0, 1] e crescente em 1, .
1 ef é um mínimo relativo da função f.
x 0 1
f' (x) – – 0 +
f (x) e
x 0 3
2
f ' (x) – 0 +
f (x) 3
2f
x 0 1
f '' (x) + 0 –
f (x) f (1)
MATEMÁTICA, 12.ª CLASSE
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
14
(vi) Concavidade e pontos de inflexão:
2 2
4
e 1 ' e 1 '''
x xx x x xf x
x
2
4
e ' 1 e 1 ' e 1 2x x xx x x x x
x
2
4
e 1 e e 1 2x x xx x x x
x
2 2
4
e 1 e e 1 2x x xx x x x x
x
2
3
e 2 2x x x
x
'' 0f x 2 32 2 0 0x x x
x
f '' não tem zeros.
'' 0f x se 0 '' 0x f x se x > 0; então,
o gráfico de f tem a concavidade virada para
baixo em , 0 e virada para cima em
0, e não tem pontos de inflexão.
(vii) Assimptotas:
Verticais
20
e 1lim
0
x
x x
0
e 1lim
0
x
x x
A recta da equação x = 0 é assimptota vertical
(bilateral) do gráfico de f.
Não-verticais
2
elim lim
x
x x
f xm
x x (limite notável)
Como m não é finito, não existe assimptota não
vertical do gráfico de f, quando x .
2
elim lim 0
x
x x
f xm
x x
e
lim lim 0x
x xb f x mx
x
Logo, a recta da equação y = 0 é uma
assimptota horizontal do gráfico de f.
(viii) Contradomínio: ´ ,0 e,fD .
Pág. 242
9. lnf x x x
(i) Domínio:
: 0fD x x R
(ii) Continuidade:
A função é contínua no seu domínio.
(iii) Simetria:
Como o domínio é , a função não é par nem
ímpar.
(iv) Monotonia e extremos:
1
' 1f xx
1 1
' 0 1 0 1 1f x xx x
A função f é decrescente em ]0, 1] e crescente
em 1, .
1 1f . O mínimo relativo da função f é 1.
(v) Concavidades e pontos de inflexão:
1
'' 1f xx
2
1''f x
x
f não tem zeros. '' 0, ff x x D . O
gráfico de f tem a concavidade virada para cima
em todo o seu domínio. Não tem pontos de
inflexão.
x 0 1
f' (x) – 0 +
f (x) 1
MATEMÁTICA, 12.ª CLASSE
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
15
(vi) Assimptotas:
Verticais
0 0
lim lim ln 0x x
f x x x
A recta da equação x = 0 é assimptota vertical
do gráfico de f.
Não-verticais
lnlim limx x
f x x xm
x x
lnlim lim 1 0 1x x
x x
x x
lim lim lnx x
b f x mx x x x
lim lnx
x
Como b , então o gráfico de f não tem
assimptotas não-verticais.
(vii) Contradomínio:
1,fD
Pág. 243
10.1. a) sine xf x
sin' sin 'e xf x x
sin' cos e xf x x
sin' 0 cos e 0xf x x
sincos 0 e 0xx sine 0,x x
π
π,2
x k k
Como 0, 2πx , vem: π
2x ou
3π
2x
Por análise do quadro, facilmente se verifica que:
f tem um mínimo para x = 0 que é f (0) = 1 e tem outro
para 3π
2x que é 13π 1
e2 e
f
.
Tem também dois máximos para π
2x e 2πx , que
são respetivamente, π
e2
f
e 2π 1f .
b) O contradomínio de f é: 1
, ee
fD
.
10.2. a) e cosxf x x
' e 'cos e cos 'x xf x x x
e cos e sinx xx x e cos e sinx xx x
e cos sinx x x
' 0 e cos sin 0xf x x x
e 0 cos sin 0x x x e 0,x x
πcos sin π,
4x x x k k
Como 3π
2π,2
x
, vem:
7π
4x e
3π
4x e
π
4x e
5π
4x .
Extremos: Tem mínimos para x = – 2π, 3π
4x e
5π
4x que são:
2π 2π
2π
12π e cos 2π e 1
ef .
3π 3π
4 4
3π
4
3π 3π 2 2e cos e
4 4 22e
f
5π5π 5π 44 4
5π 5π 2 2ee cos e
4 4 2 2f
x 2π 7π
4
3π
4
π
4
5π
4
3π
2
'f x 0 + 0 – 0 + 0 – 0 + +
f x
x 0 0 π
2 3π
2 2π
cos x + 0 – 0 +
sine x + + + + +
'f x + 0 – 0 +
f x
MATEMÁTICA, 12.ª CLASSE
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
16
Tem máximos para 7π
4x ,
π
4x e
3π
2x que são
respectivamente:
7π 7π
4 4
7π
4
7π 7π 2 2e cos e
4 4 22e
f
ππ π 44 4
π π 2 2 ee cos e
4 4 2 2f
3π
23π 3π
e cos 02 2
f
b) Para determinar os pontos de inflexão, calcula-
se a segunda derivada:
' e cos sinxf x x x
' (e ) cos sin (e ) cos sinx xf x x x x x
e cos sin e sin cosx xf x x x x x
e cos e sin e sin e cosx x x xx x x x
2e sinx x
'' 0 2e sin 0xf x x
2e 0 sin 0x x e 0,x x
sin 0x π,x k k
Como 3π
2π,2
x
, vem:
2π, π, 0, πx x x x
O gráfico da função tem pontos de inflexão para
πx , 0x e πx
Determinem-se as ordenadas desses pontos:
π π
π
1π e cos π e 1
ef
00 e cos 0 1 1 1f
π π ππ e cos π e 1 ef
Pontos de inflexão: π
1π,
e
, (0, 1) e ππ, e .
c) Esboço gráfico de f:
Pág. 245
11. Pretende-se determinar x de modo que a capacidade da
caleira seja máxima.
A capacidade da caleira é máxima quando for máxima
a área da secção rectangular de dimensões: x e 28 – 2x.
Seja: 28 2f x x x
22 28f x x x
' 4 28f x x
' 0 4 28 0 7f x x x
A função f tem um máximo relativo para x = 7. Logo,
devem ser dobrados 7 cm de cada lado da folha para
que a caleira tenha capacidade máxima.
Pág. 246 12. Seja:
r : raio da base do cilindro, em cm.
h : altura do cilindro, em cm.
Área da base: 2πbA r , em cm2.
Área da superfície lateral: 2πlA r h , em cm2.
Volume do cilindro: 2πV r h , em cm3.
Sabemos que 48πV , em cm3.
Então:
2
2
4848π πr h h
r (em cm)
O custo C em função de r é dado, em meticais, por:
2 2
2
48 2 2 32π π π
10000 10000 1000C r r r r
r
21 192π5π
10000C r r
r
x 0 7
f ' (x) + 0 –
f (x) f (7)
x 2π – π 0 π 3
2
''f x 0 – 0 + 0 – 0 +
f x
MATEMÁTICA, 12.ª CLASSE
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
17
x 20
f ' (x) – 0 +
f (x) f (20)
2
1 192π' 10π
1000C r r
r
2
192π' 0 10π 0C r r
r
3
2
10π 192π0
r
r
3 210π 192π 0 0r r
3 192π0
10r r
r
3 19, 2 0r r
3 19, 2 2,68r cm
2
3
86,69
19, 2
h cm
Logo, o custo mínimo dos materiais para construir as
embalagens cilíndricas obtém-se para cilindros com
2,68 cm de raio da base e 6,69 cm de altura.
Pág. 247
13. Sabemos que a hipotenusa do triângulo rectângulo
inscrito no círculo é um diâmetro.
20AB cm
AC x cm
BC y cm
A área do triângulo rectângulo é igual ao semiproduto
dos catetos, ou seja:
2
xyA
Mas pelo Teorema de Pitágoras, vem:
2 2 2 2 220 400x y x y
2400y x e y > 0, então:
2400
2
x xA
21' 400
2A x x
2
2
1 21 400
2 2 400x x
x
2
2 2
2
4001
2 400
x x
x
2
2
400 2
2 400
x
x
2
2
200
400
x
x
2 2' 0 200 0 400 0A x x
200 20x x 10 2x
Como x > 0, 10 2x
A função tem um máximo para 10 2x .
Então, o triângulo rectângulo de área máxima inscrito
num círculo de raio 10 cm tem dimensões:
2
10 2 400 10 2 10 2x y
Catetos: 10 2 cm; hipotenusa: 20 cm.
O triângulo, quanto aos lados, classifica-se como isósceles.
Pág. 248
14.1. 2 0,1 0,1 29 e ex xf x
2 0,1 0,1 2' 9 e ' e 'x xf x
2 0,1 0,1 29 0,1e 1ex x
2 0,1 0,1 20,9e 0,9ex x
2 0,1 0,1 20 0,9e 0,9e 0x xf x
2 0,1 0,1 2e e 2 0,1 0,1 2x x x x
40, 2 4 20
0, 2x x x
É no ponto de abcissa 20 que é mínima a função f.
Como a distância A e B é 40 m e 40 : 2 = 20, a distância
mínima de um ponto da linha DC obtém-se no ponto
em que a linha dista igualmente de A e de B.
x 0 10 2 20
A’ + 0 –
A
r 0 3 19,2
C' (r) – 0 +
C (r)
MATEMÁTICA, 12.ª CLASSE
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
18
14.2. 2 0,1 0 0,1 0 2 2 20 9 e e 9 e ef
2 0,1 40 0,1/40 2 2 4 4 240 9 e e 9 e ef
2 29 e e
Como f (0) = f (40), então AD BC .
Pág. 249
15.1. 2ln 16f x x 4, 4fD
2
2 2
16 ' 2'
16 16
x xf x
x x
2' 0 2 0 16 0f x x x
0 4x x
Tal como a figura sugere, é no ponto de abcissa zero
que a altura do arco é máxima.
15.2. 2' 0 ln 16 0f x x
2 216 1 15x x
15 15x x
A distância de A a B é igual à soma dos valores
absolutos dos zeros da função f, ou seja, 2 15AB .
Pág. 250 16.
De acordo com a figura, o João terá de percorrer a
distância d1 + d2 no menor tempo possível.
2
1 36d x e d2 = 4 – x
O tempo T de viagem é dado por:
236 4
4 8
x xT x
Calcule-se a derivada da função T:
12 236 4
'4 8
x xT x
1
2 2
2
1 1 1 136 2
4 2 8 84 36
xx x
x
2
1' 0 0
84 36
xT x
x
2 2 28 4 36 4 36x x x x
2 23 36 12 2 3x x x
Como x > 0, vem 2 3 3, 46x .
A única solução possível seria o João dirigir-se ao
ponto P, que dista 3, 46 km do ponto F e, em seguida,
dirigir-se por terra para o ponto N.
Pág. 251
17. Pretendemos determinar o mínimo da função.
e e
2
x x
f x
; e e
'2
x x
f x
e e
' 0 0 e e 02
x xx xf x
e e 2 0 0x x x x x x
A função é mínima para x = 0.
Assim, 0 0e e
0 12
f
A distância mínima da rampa ao solo representado na
figura pelo eixo das abcissas é igual a 1.
17.2. Se AB = 4 m, então a abcissa de A é – 2.
2 2e e
22
AD f
.
Pág. 252 1.
Sabemos que 2x + y = 60
60
2
yx
Por outro lado:
Área =
22
4
2
yy x
2 260
2 4
2
y y
A y
3600 120
4
y y
x 0
f ' (x) – 0 +
f (x) 1
MATEMÁTICA, 12.ª CLASSE
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
19
A função A tem um máximo para y = 20, que é,
aproximadamente, 173.
Resposta: (B).
2. 1
lnf x xx
2 2
1 1 1'
xf x
x x x
Pretendemos determinar o máximo de 'f x , logo:
2 2
4
1 ' 1 '''
x x x xf x
x
2 2
4 4
2 1 2''
x x x x xf x
x x
2 4'' 0 2 0 0f x x x x
Pretendemos estudar a função no intervalo [1, 2e]:
A função f ' tem um máximo para x = 2.
Então, uma equação da recta tangente ao gráfico de f
que tem declive máximo é:
2 ' 2 2y f f x
1 1
ln 2 22 4
y x
1ln 2
4y x
Resposta: (A).
3. Comparando a função f com a sua derivada
( ' 0f x f é crescente e ' 0f x f é
decrescente) e com a função e a sua segunda derivada
( '' 0f x o gráfico tem a concavidade virada para
cima e '' 0f x o gráfico tem a concavidade
virada para baixo) conclui-se que a resposta é (A).
Resposta: (A)
4. Resposta: (D).
Sendo o domínio de f, c é necessariamente ponto de
acumulação do domínio.
5. ' 1f x x
' 0 1 0
1
f x x
x
A função f tem um máximo para x = 1.
Resposta: (D).
6. ' e 1xf x
' 0 e 1 0
e 1
x
x
f x
e 1x
Equação impossível
A função f ’ não se anula, então a função f não tem
extremos.
Por outro lado, ' 0,f x x IR , daí que a função f
seja estritamente decrescente em .
Resposta correcta: (C).
Pág. 253 1.1. Por observação e análise do gráfico de f ', temos:
A função f é decrescente no intervalo , 2 e
crescente em 2, .
A função f tem um mínimo relativo para x = 2.
1.2. Expressão analítica de f :
y mx b , 6b (ordenada na origem)
m = 3 (declive)
Logo, 3 6y x
Donde ' 3 6f x x
'' 3f x
Como ''f x não se anula, então a função f não tem
qualquer ponto de inflexão.
x 2
f x – 0 +
x 1
( )f x + 0 –
f x 1f
x 1 2 2e
( )f x 1 + 0 –
( )f x
MATEMÁTICA, 12.ª CLASSE
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
20
1.3. O gráfico de f tem a concavidade virada para cima, uma
vez que '' 3 0,f x x R .
2. 1
1ex
xf x
\ 1fD
Assimptotas verticais:
1
1
1lim e
x
x
x
e
1
1
1lim e 0
x
x
x
A recta da equação x = 1 é uma assimptota vertical
(unilateral).
Assimptotas não-verticais: y mx b
1
1elim lim 0
x
x
x x
f xm
x x
1
1lim lim e ex
x
x xb f x mx
1
1elim lim 0
x
x
x x
f xm
x x
1
1lim lim e ex
x
x xb f x mx
Logo, a recta da equação y = e é uma assimptota
horizontal, do gráfico de f.
Extremos:
1
11
' e1
x
xx
f xx
1
1
2
2' e
1
x
xf xx
' 0, \ 1f x R , então a função f é decrescente
em ,1 e em 1, e não tem extremos.
Pontos de inflexão:
1 1
1 1
2 2
2 2'' e e
1 1
x x
x xf xx x
1 1
1 1
4 2 2
4 1 2 2e e
1 1 1
x x
x xx
x x x
11 1 11 1
4 4 4
4 1 4 4 ee e
1 1 1
xx x xx x
x x
x x x
'' 0 0f x x
A função tem um ponto de inflexão para x = 0, sendo
esse o ponto de coordenadas 1
0,e
.
3. Seja o volume da caixa, em função de x, dado por;
V (x) = área da base × altura
30 2 25 2V x x x x
2 3750 110 4V x x x x
212 220 750V x x x
220 48400 36000
' 024
V x x
220 12 400
24x
220 20 31
24x
55 5 31 55 5 31
6 6x
55 5 31
6x
, pois 0 < x < 12,5
A função V tem um máximo para
55 5 314,53
6x
.
Assim, a caixa tem capacidade máxima quando a
dimensão dos cantos a cortar for igual a 4,53 cm.
4.
Sabemos que o agricultor dispõe de 1680 metros de
rede para vedar dois terrenos: um rectangular e outro
quadrangular, como os ilustrados nas figuras acima
x 0 55 5 31
6
12,5
V x + 0 –
V(x)
x 0
f x – 0 +
f (x)
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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
21
Assim:
1680 61680 6 4
4
xx y y
840 3
2
xy
Pretendemos determinar as dimensões dos terrenos de
modo a maximizar a área dos dois espaços, daí que:
2 22A x y
Mas, 840 3
2
xy
, donde:
2
2 840 32
2
xA x
2
2 705600 5040 92
4
x xA x
228 705600 5040 9
4
x x x
217 5040 705600
4
x x
34 5040'
4
xA
8,5 1260x
' 0 8,5 1260 0
2520
17
A x
x
A função A tem um mínimo relativo para 2520
17x , ou
seja, a área dos dois espaços é mínima quando a medida
da largura do rectângulo é igual a 2520
17.
Rectangular:
2520
17m de largura e
5040
17m de comprimento.
Quadrangular:
2520840 3
336017
2 17
m de lado.
5. O volume do cone é igual à terça parte do
produto da área da base pela altura.
21π 10 60
3V = 200π
O volume do cilindro é igual ao produto da área da base
pela altura.
Os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes (têm
dois ângulos geometricamente iguais). Então os
comprimentos dos seus lados são proporcionais, isto é:
60 60
10 60 6010
hh r
r
600 10 60
60 6
h hr r
ou h = 60 – 6 r, sendo r o raio do cilindro e h a sua
altura.
Volume do cilindro = área da base × altura
2πV r h
2 2 3π 60 6 60π 60πV r r r r
2' 120π 18πV r r
2' 0 120π 18π 0V r r
2π 60 9 0r r 2π 0 60 9 0r r
60
2π 09
r r 20
03
r r
20
3r , pois r > 0
r 0 20
3
( )V r + 0 –
V (r)
x 0 2520
17
A x – 0 +
A(x)
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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6
22
A função V tem um máximo quando 20
3r .
Assim, o volume máximo do cilindro é:
2 320 20
60π 6π3 3
V
400 8000
60π 6π9 27
V
72000π 48000π
27V
8000π
9V
O volume máximo do cilindro é 8000π
9cm3.
6. A função que traduz o problema é dada, em função de
n, número de clientes perdidos, por:
30 200 10 200 10f n n n n
210 1000 6000f n n n
' 20 100f n n
' 0 20 100 0 5f n n n
A função f é máxima para n = 5.
Assim, para que o lucro obtido pelo proprietário do
restaurante seja máximo, cada refeição deve custar
200 10 5 250 meticais.
n 0 5
( )f n + 0 –
f(n) 6000 6250