REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENZA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICADE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA

NUCLEO: EDO. LARAUNEFA

*Oviedo Nairocknis *Peña Sergio*Sanchez Joonser*Suarez DanielSecc.: 5t3is

Método de Euler Es la primera aproximación de solución. Consideremos un sistema de variables , que dependen de . Las ecuaciones diferenciales podrán expresarse de la siguiente forma:

Escogiendo un paso de t pequeño se puede usar la aproximación de Euler, con la cual, para calcular los valores de en el tiempo se necesitan conocer en el tiempo t. La fórmula sería:

Entonces para averiguar los valores de a cualquier t basta conocer sus valores iniciales (condiciones iniciales a y resolviendo iterativamente con un paso hasta llegar a ese valor de t.

http://www.youtube.com/watch?v=aB8_x7szgMA

Método de TaylorEste método utiliza la expansión de Taylor alrededor de un punto y puede alcanzar cualquier orden de error que se desee.La expansión de Taylor en un punto es:

podemos estimar los valores de y(x) truncando el desarrollo de Taylor. Por ejemplo, si consideramosla aproximación hasta el termino de grado 1 en h; es decir,

y(˜x + h) ! y(˜x) + y!(˜x)h " (usando la E.D.O.) " y(˜x + h) ! y(˜x) + hf (˜x, y(˜x))

es fácil deducir el método de Euler. Por tanto, el método de Euler es un método de aproximaciónde orden 1.

Método de taylor de orden 2Para obtener un método de orden 2 podemos considerar el desarrollo de Taylor truncado en el termino de h². Más concretamente, usando la aproximación

y(˜x + h) ! y(˜x) + y!(˜x)h + y!!( ˜x)h²/2

se obtiene un nuevo método de aproximación; a saber:

y0 = y(a)

yk+1 = yk + hy!k + h²/2 y!! k para k = 0, 1, . . . , n − 1

donde los valores de y!k e y!! k que aparecen en la expresión anterior se calculan desde la ecuación diferencial del P.V.I. como sigue:

y!k = f (xk, yk)

y!! k = f!x (xk, yk) + f!y (xk, yk) y!k

Ejemplo http://www.ugr.es/~lorente/APUNTESMNQ/cap22.pdf

Método de Runge-KuttaEs un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales.Se trata de un método por etapas que tiene la siguiente expresión genérica:

Donde:

i = 1,..., e

Con aij,bi,ci constantes propias del esquema numérico. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes aij del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, aij = 0 para j = i,..., e, los esquemas son explícitos.

Ejemplo:

Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en t = tn y otra en t = tn + Δtn. F (u, t) en la primera etapa es:

y para estimar F (u, t) en t = tn + Δtn usamos un esquema Euler

Con estos valores de F introducidos en la ecuación

nos queda la expresión:

Las constantes propias de este esquema son: b1 = b2 = 1 / 2;a21 = 1;c2 = 1.

Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).

http://www.youtube.com/watch?v=Tsg7wTdvtLs

http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/nunez/cursos/MetodosMatematicos2/2006A/EcDifOrdSupA06.pdf

http://www.edutecne.utn.edu.ar/eulerianas/6%20-%20Ecuaciones%20Diferenciales%20de%20Derivadas%20Parciales.pdf

Ecuaciones Diferenciales de orden superior.